Trong bài viết này, tác giả đã giới thiệu phương pháp giảm bậc cân bằng của Zhou cho hệ không ổn định. Ứng dụng thuật toán giảm bậc cân bằng của Zhou vào bài toán giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc 30 của hệ thống điều khiển cân bằng robot hai bánh cho thấy bộ điều khiển giảm bậc nhỏ nhất có thể thay thế bộ điều khiển gốc bậc là bộ điều khiển bậc 2.
Nghiên cứu khoa học công nghệ MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC CHO HỆ KHƠNG ỔN ĐỊNH DỰA THEO THUẬT TỐN CHẶT CÂN BẰNG Đỗ Trung Hải* Tóm tắt: Trong báo này, tác giả giới thiệu phương pháp giảm bậc cân Zhou cho hệ không ổn định Ứng dụng thuật toán giảm bậc cân Zhou vào toán giảm bậc điều khiển bền vững bậc 30 hệ thống điều khiển cân robot hai bánh cho thấy điều khiển giảm bậc nhỏ thay điều khiển gốc bậc điều khiển bậc Kết mô cho thấy tính đắn khả áp dụng thuật toán giảm bậc cân Zhou tốn giảm bậc hệ khơng ổn định nói chung toán giảm bậc điều khiển bậc cao nói riêng Từ khóa: Giảm bậc cân bằng, Hệ khơng ổn định, Bộ điều khiển ĐẶT VẤN ĐỀ Phương pháp chặt cân Moore [1] thực tốn giảm bậc mơ hình cách áp dụng điều kiện tương đương lên q trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển Gramian quan sát động học hệ tư hệ hở Việc tương đương hóa hai ma trận đường chéo cho phép chuyển mơ hình gốc biểu diễn hệ sở thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ không gian cân nội Từ khơng gian cân đó, mơ hình bậc thấp tìm cách loại bỏ giá trị riêng đóng góp cho tạo dựng mối quan hệ đầu vào đầu hệ, tức loại bỏ trạng thái khả điều khiển quan sát Trên sở phương pháp chặt cân Moore [1] có nhiều thuật toán khác đề xuất phương pháp cân ngẫu nhiên [2], cân thực dương [3], phương pháp xấp xỉ chuẩn Hankel [4], … thuật toán dựa lý thuyết áp dụng cho hệ tuyến tính ổn định khái niệm gốc phương pháp chặt cân (ma trận Gramian điều khiển Gramian quan sát) kèm yêu cầu hệ ổn định Nhưng thực tế, điều kiện ổn định lúc thỏa mãn [5], [6], [7] Để giải toán giảm bậc hệ khơng ổn định có hai hướng: - Mở rộng phạm vi thuật toán giảm bậc cho hệ ổn định cho giảm bậc cho hệ không ổn định [8], [9], [10] - Xây dựng thuật tốn hồn tồn thực giảm bậc khơng phân biệt hệ gốc ổn định hay không ổn định [11], [12] Mỗi thuật toán giảm bậc theo hai hướng có cách tiếp cận riêng Với mong muốn đưa đánh giá cụ thể ứng dụng thuật toán đề xuất để giảm bậc hệ không ổn định, báo này, tác giả tập trung giới thiệu ứng dụng thuật toán giảm bậc hệ không ổn định theo hướng thứ – cụ thể đánh giá, ứng dụng thuật toán thuật toán cân Zhou [10] vào toán giảm bậc điều khiển THUẬT TOÁN GIẢM BẬC HỆ KHƠNG ỔN ĐỊNH 2.1 Bài tốn giảm bậc mơ hình Cho hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, mô tả không gian trạng thái hệ phương trình sau: x Ax Bu (1) y Cx đó, x Rn, u Rp, y Rq, A Rnxn, B Rnxp, C Rqxn Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 77 Kỹ thuật điều khiển & Điện tử Mục tiêu tốn giảm bậc mơ hình (1) tìm mơ hình mơ tả hệ phương trình: x r A r xr B r u (2) yr Cr xr đó, xr Rr, u Rp, yrRq, Ar Rrxr, Br Rrxp, Cr Rqxr, với r n; Sao cho mơ hình (2) thay mơ hình (1) 2.2 Thuật tốn chặt cân Zhou Vấn đề khó khăn áp dụng thuật toán chặt cân cho hệ khơng ổn định việc xác định gramian kèm yêu cầu hệ gốc ổn định tiệm cận Để xác định Gramian hệ không ổn định Zhou [10] chứng minh sử dụng hàm đặc biệt X Y nghiệm hai phương trình Lyapunov: XA A ' X XBB ' X (3) AY YA ' YC ' CY Từ hai hàm đặc biệt X Y qua phép đặt F B ' X L YC ' , ta xác định Gramian điều khiển Gramian quan sát hệ không ổn định qua hai phương trình Lyapunov sau: A BF P P A BF ' BB (4) Q A LC A A LC ' C ' C Sau xác định Gramian điều khiển P Gramian quan sát Q ta thực bước theo thuật toán chặt cân Moore [1] thu hệ giảm bậc hệ gốc không ổn định Nội dung thuật toán sau: Từ hệ gốc A, B, C mô tả (1) (hệ khơng ổn định) Bước 1: Tính hàm đặc biệt X Y theo (3) Bước 2: Đặt F B ' X L YC ' Bước 3: Tính Gramian điều khiển P Gramian quan sát Q theo (4) Bước 4: Phân tích ma trận sau Phân tích Cholesky ma trận P RR T , với R ma trận tam giác Phân tích giá trị suy biến ma trận RQRT UΛVT Bước 5: Tính ma trận L V1/ Tính ma trận khơng suy biến T 1 R T UL-1/2 Bước 6: Tính A, B, C T1 AT, T1B, CT Bước 7: Chọn số bậc cần rút gọn r cho r < n Biểu diễn A, B, C dạng khối sau: A A 11 A 21 A12 B , B , C C1 A 22 B C2 , (5) đó, A11 rxr , B1 rxp , C1 qxr Hệ giảm bậc A11 , B1 , C1 78 Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ thuật tốn chặt cân bằng.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ ỨNG DỤNG THUẬT TỐN GIẢM BẬC HỆ KHƠNG ỔN ĐỊNH CHO BÀI TOÁN GIẢM BẬC BỘ ĐIỀU KHIỂN 3.1 Lựa chọn đối tượng Đối tượng lựa chọn để tổng hợp điều khiển thực toán giảm bậc mơ hình theo thuật tốn đề xuất mơ hình robot hai bánh tự cân [11], [12] hình Hình Mơ hình chi tiết robot hai bánh tự cân Mơ hình hóa robot hai bánh tự cân với thông số danh định ta có mơ hình hàm truyền danh định hệ thống cân robot sau [11], [12] W(s) (s) 0.223s = U(s) s 4.722 s 47.2 s 254 (6) Với cấu trúc điều khiển robot hai bánh hình 2, điều khiển tổng hợp điều khiển bền vững RH [8] Hình Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân Sau tổng hợp ta thu điều khiển đủ bậc (bậc 30) sau: H ( s) (7) D( s) H ( s ) 2.23.107 s 30 4.67.104 s 29 0.266 s 28 22.96 s 27 1006 s 26 2.853.104 s 25 5.837.105 s 24 9.144.106 s 23 1.139.108 s 22 1.158.109 s 21 9.776.109 s 20 6.949.1010 s19 4.199.1011 s18 2.172.1012 s17 9.663.1012 s16 3.71.1013 s15 1.231.1014 s14 3.53.1014 s13 8.74.1014 s12 1.862.1015 s11 3.398.1015 s10 5.276.1015 s 6.903.1015 s 7.511.1015 s 6.676.1015 s 4.721.1015 s 2.556.1015 s 9.953.1014 s 2.482.1014 s 2.977.1013 s 0.00439 D( s ) 4.971.1014 s 30 2.032.1010 s 29 2.663.107 s 28 1.221.104 s 27 9.72.103 s 26 Wc ( s ) 0.3918s 25 10.14 s 24 187.1s 23 2612 s 22 2.862.104 s 21 2.523.105 s 20 1.82.106 s19 1.088.107 s18 5.428.107 s17 2.273.108 s16 8.005.108 s15 2.372.109 s14 5.9.109 s13 1.225.1010 s12 2.107.1010 s11 2.962.1010 s10 3.341.1010 s 2.941.1010 s 1.931.1010 s 8.743.109 s 2.286.109 s 1.519.108 s 5.226.107 s 3.6.106 s 5.32.1022 s Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 79 Kỹ thuật điều khiển & Điện tử Theo [8], [13], điều khiển có bậc 30 dẫn tới nhiều bất lợi thực toán điều khiển, vấn đề đặt cần phải giảm bậc điều khiển bậc 30 Bộ điều khiển bậc 30 mơ hình tuyến tính khơng ổn định Tác giả sử dụng điều khiển bậc 30 đối tượng để đánh giá hiệu thuật toán giảm bậc giới thiệu mục Để thực giảm bậc điều khiển bậc 30 ta thực sau: - Chuyển (7) từ mơ hình hàm truyền mơ hình trạng thái dạng (1) - Thực thuật toán giảm bậc từ bước đến bước 2.2 Thực thuật toán giảm bậc điều khiển kết thu sau (để dễ dàng biểu diễn kết báo, tác giả chuyển kết giảm bậc từ dạng hệ phương trình trạng thái sang dạng mơ hình hàm truyền): Bảng Kết giảm bậc điều khiển bậc cao Bậc R r (s) 4.485.10 s 6.677.10 s 4.048.108 s 1.188109 s 1.799.109 s 1.049.109 s 2009s 1.776.104 s 1866s 1.083s 0.1069 4.48.106 s 2.669.107 s 1.68.108 s 5.91.107 s 1.595.108 s 2000s -111.9s -12.09s 0.5123 4.485.106 s 2.683.107 s 1.689.108 s 5.892.107 s 2000s 47.15s 0.288 4.485.106 s 2.686.107 s 1.688.108 s 2000s -34.41 4.485.106 s 2.702.107 s s 2000 Ta gọi điều khiển giảm bậc (bậc r ) điều khiển bậc r 3.2 Mô kiểm chứng 3.2.1 So sánh, đánh giá đặc tính điều khiển Để so sánh, đánh giá xác định mơ hình giảm bậc thích hợp, ta sử dụng đáp ứng bước nhảy đáp ứng tần số điều khiển gốc điều khiển giảm bậc, đáp ứng thể hình Qua đặc tính mơ ta thấy: Với đáp ứng q độ: Đáp ứng điều khiển bậc 5, bậc 4, 3, 2, gần trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng độ điều khiển bậc 30 Với đáp ứng tần số: + Trong vùng tần số > 0.0175 rand/s đáp ứng tần số điều khiển bậc trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số điều khiển gốc bậc 30 Trong vùng tần số 7.14 rand/s đáp ứng tần số điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số điều khiển gốc bậc 30 Trong vùng tần số < 7.145 đáp ứng tần số điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc sai lệch so với đáp ứng tần số điều khiển gốc bậc 30, bậc điều khiển giảm mức độ sai lệch tăng + Trong vùng tần số > 16.2 rand/s đáp ứng tần số điều khiển bậc trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số điều khiển gốc bậc 30 Trong vùng tần số < 16.2 rand/s đáp ứng tần số điều khiển bậc sai lệch so với đáp ứng tần số điều khiển gốc bậc 30 80 Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ thuật toán chặt cân bằng.” Nghiên cứu khoa học công nghệ Step Response x 10 Bo Bo Bo Bo Bo Bo -0.5 -1 Amplitude -1.5 dieu dieu dieu dieu dieu dieu khien khien khien khien khien khien bac 30 bac bac bac bac bac -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -3 Time (seconds) x 10 (a) Đáp ứng độ Bode Diagram 250 Bo Bo Bo Bo Bo Bo Magnitude (dB) 200 150 dieu dieu dieu dieu dieu dieu khien khien khien khien khien khien bac 30 bac bac bac bac bac 100 50 270 180 Phase (deg) 90 -90 -180 -270 -360 -3 10 -2 10 -1 10 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/s) (b) Đáp ứng tần số Hình Đáp ứng độ - Đáp ứng tần số điều khiển gốc điều khiển giảm bậc 3.2.2 So sánh đánh giá điều khiển điều khiển đối tượng Vì điều khiển giảm bậc sử dụng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng, đó, muốn xác định xác điều khiển giảm bậc phù hợp để Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 81 Kỹ thuật điều khiển & Điện tử thay điều khiển bậc 30, ta cần áp dụng điều khiển giảm bậc vào hệ thống điều khiển xe hai bánh Sử dụng điều khiển giảm bậc 5, bậc 2, bậc bảng để điều khiển robot hai bánh có mơ hình đối tượng điều khiển (3) với cấu trúc hình ta thu kết mơ hình với góc lệch ban đầu 1(rad ) Hình Sơ đồ mô hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân Dap ung goc nghieng cua robot hai banh tu can bang 0.02 Bo dieu khien bac Bo dieu khien bac Bo dieu khien bac Bo dieu khien bac 0.015 30 Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 Time (sec) Hình Kết mơ hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân Đáp ứng hệ thống điều khiển cân robot hai bánh (gọi tắt hệ thống điều khiển) sử dụng điều khiển bậc 30 đáp ứng hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển bậc hoàn toàn trùng khớp Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển bậc 30 điều khiển bậc là: Biên độ dao động cực đại lần 1: - 0,00653 radian; Biên độ dao động cực đại lần 2: + 0,00175 radian; Số lần dao động: lần; Thời gian độ: s; Sai lệch tĩnh: 0% 82 Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ thuật tốn chặt cân bằng.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển bậc là: Biên độ dao động cực đại lần 1: - 0,0059 radian; Biên độ dao động cực đại lần 2: + 0,001 radian; Số lần dao động: lần; Thời gian độ: 1,2 s; Sai lệch tĩnh: 0% Hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển bậc khơng có khả cân ổn định robot hai bánh Từ kết trên, ta thấy: - Bộ điều khiển bậc bậc 5, thỏa mãn yêu cầu toán giảm bậc điều khiển bậc 30 Bộ điều khiển bậc khơng thỏa mãn u cầu tốn giảm bậc điều khiển bậc 30 - Nếu ưu tiên yêu cầu bậc điều khiển nhỏ ta sử dụng điều khiển bậc thay điều khiển bậc 30 Nếu ưu tiên sai lệch đáp ứng bước nhảy, sai lệch đáp ứng tần số, sai lệch chất lượng điều khiển nhỏ ta sử dụng điều khiển bậc thay điều khiển bậc 30 So sánh kết giảm bậc điều khiển theo thuật toán chặt cân Zhou với phương pháp phương pháp chặt cân Zilochian [11] Thực giảm bậc điều khiển bậc 30 theo thuật toán chặt cân Zilochian [11], ta thu điều khiển bậc sau: W2 ( s ) 4.485.106 s 2.621.106 s 6.777.105 s 0.1359s +0.003364 (8) Hình Sơ đồ mô hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân Dap ung goc nghieng cua robot hai banh tu can bang 0.02 Bo dieu khien bac theo thuan toan Zilochian Bo dieu khien bac theo thuan toan Zhou 0.015 Radian 0.01 0.005 -0.005 -0.01 0.5 1.5 2.5 Time (sec) Hình Kết mơ hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 83 Kỹ thuật điều khiển & Điện tử Thực mô hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển bậc theo hai phương pháp giảm bậc theo hình 6, tác giả thu kết đáp ứng góc nghiêng robot hai bánh tự cân hình Chất lượng đáp ứng hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân Zilochian là: Số lần dao động: >25 lần; Góc nghiêng robot khơng trở (tồn sai lệch tĩnh) – robot khơng có khả cân ổn định Từ kết ta thấy, sử dụng điều khiển bậc theo thuật toán chặt cân Zhou điều khiển cân ổn định robot; Bộ điều khiển bậc theo thuật tốn chặt cân Zilochian khơng thể điều khiển cân ổn định robot Như vậy, thuật toán chặt cân Zhou có khả giảm bậc tốt (bộ điều khiển bậc thấp hơn) so với thuật toán chặt cân Zilochian toán giảm bậc điều khiển bền vững bậc 30 KẾT LUẬN Bài báo giới thiệu thuật toán giảm bậc cân Zhou cho hệ không ổn định sở thuật toán chặt cân Kết áp dụng thuật toán chặt cân Zhou vào toán giảm bậc điều khiển bậc 30 hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân cho thấy ta sử dụng điều khiển bậc thay điều khiển bậc 30 mong muốn điều khiển bậc nhỏ chấp nhận sai lệch giảm bậc sai lệch điều khiển, mong muốn sai lệch giảm bậc sai lệch điều khiển nhỏ ta sử dụng điều khiển bậc thay điều khiển bậc 30 Đồng thời toán giảm bậc điều khiển bậc 30, thuật toán chặt cân Zhou cho kết giảm bậc tốt (bậc điều khiển thấp hơn) so với phương pháp chặt cân Zilochian TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Moore B C (1981), “Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction”, IEEE Trans Auto Contr., AC-26, pp 17 – 32 [2] Desai U B., Pal D (1984), “A Transformation Approach to Stochastic Model Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 29, No 12, pp 1097 [3] Green M (1988), “A Relative Error Bound for Balanced Stochastic Truncation”, IEEE Trans Auto Contr., Vol 33, No 10, pp 961 – 965 [4] Antoulas A C., Sorensen D C., Gugercin S (2001), “A Survey of Model Reduction Methods for Large-scale Systems”, Structured Matrices in Mathematics, Computer Science, and Engineering, AMS 2001, pp 193 – 219 [5] Thanh Bui Trung , Parnichkun Manukid (2008), “Balancing control of Bycirobo by PSO-based structure-specified mixed H2/H∞ control”, International Journal of Advanced Robotic Systems, Vol 5(4), pp 395 – 402 [6] Thanh Bui Trung, Parnichkun Manukid, Hieu Le Chi (2009), “Structure-specified H∞ loop shaping control for balancing of bicycle robots: A particle swarm optimization approach”, Journal of Systems and Control Engineering, Vol 224, No 7, pp 857 – 867 [7] Nguyễn Hữu Công, Vũ Ngọc Kiên, Đỗ Trung Hải, Bùi Mạnh Cường (2015), “Ứng dụng thuật toán giảm bậc cho toán điều khiển robot hai bánh”, Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 132, số 2, tr 95 – 103 [8] Nguyễn Hưu Công (2016) “Một phương pháp giảm bậc điều khiển bền vững bậc cao”, Tạp chí NC KH Công nghệ quân sự, số 42, 04-2016, tr 95-102 [9] Jonckheere E A., Silverman L M (1983), “A New Set of Invariants for Linear System – Application to Reduced Order Compensator Design”, IEEE Transactions on Automatic Control, AC- 28, No 10, pp 953 – 964 84 Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ thuật toán chặt cân bằng.” Nghiên cứu khoa học công nghệ [10] Zhou K., Salomon G., Wu E (1999), “Balanced realization and model reduction method for unstable systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol 9, No 3, pp 183 – 198 [11] Vũ Ngọc Kiên (2015), “Nghiên cứu thuật toán giảm bậc mơ hình ứng dụng cho tốn điều khiển”, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên [12] Cong Huu Nguyen, Kien Ngoc Vu, Hai Trung Do (2015), “Model reduction based on triangle realization with pole retention”, Applied Mathematical Sciences, Vol 9, 2015, No 44, pp 2187-2196 http://dx.doi.org/10.12988/ams.2015.5290 [13] Nguyễn Doãn Phước (2009), “Lý thuyết điều khiển nâng cao”, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội ABSTRACT A REDUCTION METHOD FOR UNSTABLE SYSTEM BASED ON BALANCED TRUNCATION ALGORITHM In this paper, the author has introduced balanced reduce order algorithm of Zhou for unstable systems Applying balanced reduce order algorithm of Zhou to reducing 30th-oder robust controller of the two-wheel robot control system shows that the smallest order controller which can replace the 30th-oder robust controller is the 2nd-order controller The simulation results show the correctness and applicability of balanced reduce order algorithm of Zhou in reduce order ustable system problem in general and the reduce order of the high-order robust controller in particular Keywords: Balanced reduce, Unstable system, Controller Nhận ngày 20 tháng năm 2017 Hoàn thiện ngày 11 tháng năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 18 tháng năm 2017 Địa chỉ: * Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên Email : dotrunghai@tnut.edu.vn Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017 85 ... giảm bậc A11 , B1 , C1 78 Đỗ Trung Hải, Một phương pháp giảm bậc cho hệ thuật tốn chặt cân bằng. ” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ ỨNG DỤNG THUẬT TỐN GIẢM BẬC HỆ KHƠNG ỔN ĐỊNH CHO BÀI TOÁN GIẢM... khiển bậc thay điều khiển bậc 30 So sánh kết giảm bậc điều khiển theo thuật toán chặt cân Zhou với phương pháp phương pháp chặt cân Zilochian [11] Thực giảm bậc điều khiển bậc 30 theo thuật toán chặt. .. giảm bậc tốt (bộ điều khiển bậc thấp hơn) so với thuật toán chặt cân Zilochian toán giảm bậc điều khiển bền vững bậc 30 KẾT LUẬN Bài báo giới thiệu thuật toán giảm bậc cân Zhou cho hệ không ổn