phương trình vi phân

Mục lục 1 Kiến thức cơ sở 2 1.1 Phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính chất ổn định của phương tr ình vi phân hàm . . . . . . . . 4 1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường 5 1.4 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Bổ đề Gronwall - Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2 Bổ đề Bihari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Định lí xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của phương trình vi phân hàm 8 2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các điều kiện đủ về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Điều kiện đủ về tính không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Tính chất ổn định của hệ phương trình vi phân hàm xấp xỉ tuyến tính 32 3.1 Ma trận A có tất cả các giá trị riêng có phần thực âm . . . . . 32 3.2 Ma trận A có ít nhất một g iá trị riêng với phần thực dương . . 35 3.3 Ma trận A là xyclic, tức A có tất cả các giá trị riêng với phần thực không dương và các giá trị riêng có với phần thực bằng không ứng với ước sơ cấp đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Phương trình vi phân hàm Giả sử h > 0 là một số thực cho trước, C = C([−h, 0], R n ) là không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], với chuẩn được xác định: ϕ = sup {|ϕ(s)| : −h ≤ s ≤ 0} ∀ϕ ∈ C ở đó | .| là chuẩn trong R n . Nếu σ ∈ R, A > 0, x ∈ C([σ − h, σ + A), R n ), thì với bất kỳ t ∈ [σ, σ + A), kí hiệu x t ∈ C xác định bởi x t (s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Giả sử D là tập con của R ×C và hàm f : D −→ R n là hàm cho trước, ta gọi mọi phương t rình dạng: ˙x(t) = f (t, x t ) (1.1) trong đó ˙x(t) được hiểu là đạo hàm trên bên phải của hàm x tại t ˙x(t) = lim sup ∆→0 + 1 ∆ {x(t + ∆) − x(t)}, là phương trình vi phân hàm. Hàm số x được gọi là nghiệm của hệ (1.1) trên [σ −h, σ + A) với σ ∈ R, A > 0 nếu: x ∈ C([σ − h, σ + A), R n ), (t, x t ) ∈ D và x(t) thỏa mãn hệ (1.1) với t ∈ [σ, σ + A). Với σ ∈ R + , ϕ ∈ C, ta nói rằng x(σ, ϕ, f) là nghiệm của hệ (1.1) vớ i điều kiện đầu là ϕ tại σ, hay điều kiện đầu (σ, ϕ) nếu có số A > 0 sao cho x(σ, ϕ, f) là nghiệm của hệ (1.1) trên [σ −h, σ + A) và x σ (σ, ϕ, f) = ϕ. Về sau nếu không nói gì khác ta sẽ hiểu vế phải luôn là f và ta sẽ kí hiệu nghiệm với điều kiện đầu (σ, ϕ) là x(σ, ϕ). Bổ đề 1.1.1. Nếu σ ∈ R, ϕ ∈ C cho trước và f(t, ϕ) liên tục thì bài toán (1.1) với điều kiện đầu (σ, ϕ) tương đương với bài toán x σ = ϕ x(t) = ϕ(0) +  t σ f(s, x s )ds, t ≥ σ 2 3 Ta có các kết quả về sự tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu và sự thác triển liên tục của nghiệm. Trước hết, để thuận lợi trong quá trình sau, ta đưa ra một số kí hiệu cần thiết. Với (σ, ϕ) ∈ R × C, kí hiệu ϕ ∈ C([σ − h, ∞), R n ) xác định như sau ϕ(t + σ) =  ϕ(t) t ∈ [−h, 0] ϕ(0) t > 0 Nếu x là nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (σ, ϕ) và x(t + σ) = ϕ(t + σ) + y(t), t ≥ −h, thì từ Bổ đề 1.1 ta có y thỏa mãn y(t) =  t 0 f(s + σ, ϕ s+σ + y s )ds, t ≥ 0. (1.2) Ngược lại, nếu y thỏa mãn phương trình (1.2) thí cũng suy ra được nghiệm x của hệ (1.1) bằng phép đổi tọa độ trên. Do đó, việc tìm nghiệm của hệ (1.1) cũng tương đương với tìm nghiệm của phương trình (1.2). Nếu V ⊂ R × C thì C(V, R n ) là lớp các hàm f : V −→ R n liên tục và ◦ C(V, R n ) ⊂ C(V, R n ) là tập con các hàm liên tục và bi chặn từ V vào R n . Không gian ◦ C(V, R n ) trở thành không gian Banach với chuẩn f V = sup (t,ϕ)∈V |f(t, ϕ)|. Với α, β là số thực thì I α = [0, α]; B β = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < β}, A(α, β) = {y ∈ C([−h, α), R n ) : y 0 = 0, y t ∈ B β , t ∈ I α }. Bổ đề 1.1.2. Nếu Ω ⊆ R ×C là tập mở, W ⊆ Ω là tập compact, ◦ f ∈ C(Ω, R n ) là hàm cho trước, thì có lân cận V ⊂ Ω của W sao cho ◦ f ∈ ◦ C(V, R n ), có lân cận U ⊆ ◦ f ∈ ◦ C(V, R n ) của ◦ f ∈ C(Ω, R n ) và hằng số dương M, α, β sao cho ||f(σ, ϕ)|| < M, (σ, ϕ) ∈ V, f ∈ U. Ta cũng có với bất kì ( ◦ σ, ◦ ϕ) ∈ W, thì ( ◦ σ + t, y t + ϕ ◦ σ+t ) ∈ V với mọi t ∈ I α và y ∈ A(α, β). Bổ đề 1.1.3. Giả sử Ω ⊆ R × C là tập mở, W ⊆ Ω là tập com pact, ◦ f ∈ C(Ω, R n ) là hàm cho trước, và lân cận U, V, hằng số dương M, α, β ở trong Bổ đề 1.1.2. Nếu T : W × U ×A(α, β) −→ C([−h, α], R n ), T (σ, ϕ, f, y)(t) = 0, t ∈ [−h, 0], T (σ, ϕ, f, y)(t) =  t 0 f(σ + s, ϕ σ+s + y s )ds, t ∈ I α 4 thì T liên tục v à tồn tại tập compact K tron g C([−h, 0], R n ) sao cho T : W × U ×A(α, β) −→ K. Hơn nữa nếu Mα ≤ β thì T : W × U ×A(α, β) −→ A(α, β). Bổ đề 1.1.4 (Định lý Schauder về điểm cố định). Nếu U là tập lồi đóng bị chặn của không gia n Banach X, và á nh xạ T : U −→ U liên tục hoàn toàn (tức T là liên tục và biến một tập bị chặn thành một tập tiền compact) thì T có đ i ể m cố định trên U. Định lý 1.1.1 (Sự tồn tại nghiệm). Nếu Ω là tập mở trong R × C, ◦ f ∈ C(Ω, R n ), (σ, ϕ) ∈ Ω thì phương trình vi phân (1.1 ) với f được thay bởi ◦ f luôn có nghiệm với mọi điều kiệ n đầu (σ, ϕ). Hơn nữa nếu W ⊂ Ω là tập compact thì có m ột lân cận V của W trong Ω sao cho ◦ f ∈ ◦ C(V, R n ), và có lân cận U ⊂ ◦ C(V, R n ) của ◦ f sao cho có α > 0 để mỗi f ∈ U, phương trình vi phân RF DE(f) (retarded functional diff erential equation) có nghiệm trên [σ − h, σ + α) với mỗi điều kiện đầu (σ, ϕ). Định lý 1.1.2 (Tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu và vế phải). Giả sử Ω là tập mở trong R × C, ◦ f ∈ C(Ω, R n ), ( ◦ σ, ◦ ϕ) ∈ Ω, và ◦ x là ngh i ệm duy nhất của phương trình RF DE( ◦ f) với điều kiện đầu ( ◦ σ, ◦ ϕ) xác định trên [ ◦ σ − h, b]. Cho tập ◦ W ⊆ Ω là tập compact xác định bởi ◦ W = {(t, ◦ x t ) : t ∈ [ ◦ σ, b]} và ◦ V là lân cận mở của ◦ W mà trong đó ◦ f bị chặn. Nếu (σ k , ϕ k , f k ), k = 1, 2, 3, . . . thỏa mãn σ k → ◦ σ, ϕ k → ◦ ϕ, f k → ◦ f, khi k → ∞ thí có k 0 sao cho đối với RF DE(f k ) với k ≤ k 0 sao cho mỗi nghiệm x k = x k (σ k , ϕ k , f k ) với đ i ều kiện đầu (σ k , ϕ k ) tồn tại trên [ ◦ σ − h, b]; được hiểu là với  > 0 bấ t k ỳ, tồn tại k 1 () sao cho x k (t), k ≥ k 1 (), xác định trên [ ◦ σ − h + , b] và x k → ◦ x đều trên [ ◦ σ − h + , b]. Định lý 1.1.3 (Định lí tồn tại và duy nhất). Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f : Ω −→ R n liên tục và f(t, ϕ) Lipschitz theo ϕ với mỗi tập compact trong Ω. Với mọi (σ, ϕ) ∈ Ω, tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) với đi ều kiện ban đầu (σ, ϕ). Định lý 1.1.4 (Thác triển liên tục nghiệm). Giả sử Ω là một tập mở trong R ×C, f : Ω −→ R n là liên tục hoàn toàn, tức f liên tục và biến một tập đóng, bị chặn của Ω thành một tập bị chặn trong R n , và x là một nghiệm không thác triển được của phươn g trình (1.1) trên [σ −h, b). Khi đó, với mọi tập đóng, bị chặn U trong R ×C, U ⊂ Ω, thì tồn tại một số t U sao cho (t, x t ) /∈ U với mọi t U ≤ t < b. 5 1.2 Tính chất ổn định củ a phương trình vi phân hàm Giả sử f : R ×C −→ R n là hàm liên tục, xét hệ ˙x(t) = f (t, x t ) (1.3) Hàm f giả sử liên tục hoàn toàn và thỏa mãn mọi điều kiện để hệ tồn tại duy nhất nghiệm với mỗi điều kiện ban đầu, hơn nữa nghiệm liên tục trong khoảng xác định của nó. Cũng giả sử rằng f(t, 0) = 0 với mọi t ∈ R, điều này đảm bảo cho hệ có duy nhất nghiệm tầm thường với điều kiện đầu ϕ = 0. Ta đưa ra các định nghĩa về ổn định của nghiệm không đối với hệ (1.3). Kí hiệu B(0, ) = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < } là hình cầu tâm O bán kính  trong C. Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm x = 0 của hệ (1.3) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ σ ∈ R,  > 0, tồn tại δ = δ(σ, ) > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, δ) thì x t (σ, ϕ) ∈ B(O, ) với mọi t ≥ σ. ổn định đều nếu δ ở trên không phụ thuộc vào σ. ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tạ i η = η(σ) > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ) → 0 khi t → ∞. ổn định tiệm cận đều nếu nó là ổ n định đều và tồn tại η > 0 sao cho với mọi  > 0, tồn tại T = T () > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ) ∈ B(O, ) khi t ≥ σ + T với mọi σ ∈ R. ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại số α > 0 sao cho với mọi  > 0 tồn tại η = η() > 0 thỏa mãn với mọi σ ∈ R, ϕ ∈ B(O, η) thì ||x t (σ, ϕ)|| ≤ .e −α(t−σ) .||ϕ|| ∀t ≥ σ. Tiếp theo đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ cho sự ổn định của nghiệm x = 0 đối với hệ (1.3) nhờ việc mở rộng phương pháp hàm Liapunov trong phương trình vi phân thường. Nếu V : R ×C −→ R là hàm liên tục và x(t, ϕ) là nghiệm của hệ (1.3) đối với điều kiện đầu (t, ϕ) thì ta xác định ˙ V (t, ϕ) = lim sup ∆→0 + 1 ∆ {V (t + ∆, x t+∆ (t, ϕ)) −V (t, ϕ)}. Hàm ˙ V (t, ϕ) là đạo hàm trên bên phải của V (t, ϕ) dọc theo nghiệm của hệ (1.3). Trong (Yoshizawa) đã chứng minh rằng nếu hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm thì ˙ V (t, ϕ) xác định duy nhất theo (t, ϕ). 6 Định lý 1.2.1 (Ổn định đều và ổn định tiệm cận đều). Giả sử tồn tại các hàm a, b ∈ K(K − hàm lớp Hahn) và c là hàm li ê n tục, không âm. Nếu tồn tại hàm liên tục V : R ×C −→ R sao cho 1. a(|ϕ(0)| ) ≤ V (t, ϕ) ≤ b(||ϕ||) 2. ˙ V (t, ϕ) ≤ −c(|ϕ(0)|) thì nghiệm x = 0 của hệ (1.3) ổn định đều. Nếu hàm c là xác định dương thì nghiệm x = 0 ổn định tiệm cận đều. Định lý 1.2.2 (Không ổn định). Giả sử V : C −→ R là hàm liên tục bị chặn. Nếu tồn tại số γ > 0 và một tập mở U trong C sao cho 1. V (ϕ)) > 0 trên U, V (ϕ) = 0 trên biên U, 2. 0 thuộc bao đóng của U ∩ B(O, γ), 3. V (ϕ) ≤ b(|ϕ(0)|) với b ∈ K, 4. ˙ V − (ϕ) ≥ c(|ϕ(0)|) với c ∈ K, ˙ V − (ϕ) = lim inf ∆→0 + 1 ∆ {V (x t+∆ (t, ϕ)) − V (ϕ)} Khi đó n ghiệm x = 0 của hệ (1.3) là không ổn địn h. Hơn nữa, mọi nghiệm x t (σ, ϕ) với điều kiện đ ầu (σ, ϕ) với ϕ ∈ U ∩b(O, γ) sẽ tiến ra biên của B(O, γ) sau thời gian hữu hạn. 1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường Xét hệ phương trình vi phân thực: ˙x = Ax + ϕ(t, x) (1.4) trong đó A là ma trận hằng số và ϕ(t, x) ∈ C(R + ×B H ) hơn nữa ϕ(t, x) = 0(|x|) đều theo t, tức là: |ϕ(t, x)| |x| → 0 đều theo t khi x → 0 Khi đó, ta có các Định lí về tính ổn định của hệ (1.4). Định lý 1.3.1 (Liapunov). Nếu mọi giá trị riêng λ j (A), (j = 1, 2, . . . , n) của ma trận A có phần thực âm: Reλ j (A) < 0, (j = 1, 2 , . . . , n) thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ tựa tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận theo Liap uno v. Định lý 1.3.2 (Định lí không ổn định). Nếu ít nhất một giá trị riêng λ j (A), (j = 1, 2, . . . , n) của ma trận A có phần thực dương, thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ ( 1.4) không ổn đ ị nh theo Liapunov khi t → +∞ . 7 1.4 Một số bổ đề Trong phần này ta trình bày một số Bổ đề sẽ được sử dụng trong Chương 2 và Chương 3. 1.4.1 Bổ đề Gronwall - Bellman Bổ đề 1.4.1. Cho m, n ∈ C(R + , R + ) và giả sử rằng m(t) ≤ c +  t t 0 v(s)m(s)ds, t ≥ t 0 ≥ 0 trong đó c ≥ 0 là hằng số. Khi đó: m(t) ≤ c exp   t t 0 v(s)ds  , t ≥ t 0 . Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Gronwall - Bellman mở rộng). Ch o m, n, h ∈ C(R + , R + ) và giả sử rằng m(t) ≤ h(t) +  t t 0 v(s)m(s)ds, t ≥ t 0 ≥ 0 trong đó h(t) là hàm dương và không giảm. Khi đó: m(t) ≤ h(t) exp   t t 0 v(s)ds  , t ≥ t 0 . 1.4.2 Bổ đề Bihari Bổ đề 1.4.3 (Bihari). Giả sử u(t) ≥ 0 và f(t) ≥ 0 với t ≥ t 0 , hơn n ữa u(t), f(t) ∈ C([t 0 , ∞)) và có bất đẳng thức: u(t) ≤ c +  t t 0 f(s)Φ(u(s))ds, t ≥ t 0 trong đó c là hằng số downg và Φ(u) là hàm dương, liên tục, không giảm khi 0 < u < u, (u ≥ ∞) và giả sử: Ξ(u) =  c u du 1 Φ(u 1 ) , (0 < u < u) Khi đó, nếu:  t t 0 f(s)ds < Ξ( u −0), (t 0 ≥ t < ∞) thì với t 0 ≤ t < ∞ ta sẽ có bất đẳng thức: u(t) ≤ Ξ −1   t t 0 f(s)ds  trong đó Ξ −1 (u) là hà m ngược của hàm Ξ(u). Đặc biệt, nếu u = ∞ và Ξ(∞) = ∞ thì k ế t luận của Bổ đề không có sự hạn chế nào. 8 Hệ quả 1.4.1 (Trường hợp Φ(u) = u d (d > 1) ). Giả sử các giả thiết của Bổ đề 1.4.3 vẫn đúng với hàm Φ(u) = u d , (d > 1). Khi đó, nếu  t t 0 f(s)ds < 1 (d − 1)c d−1 , thì với t 0 ≤ t < ∞ ta sẽ có bất đẳng thức: u(t) ≤ c  1 −(d −1)c d−1  t t 0 f(s)ds  1 d−1 1.4.3 Định lí xấp xỉ Bổ đề 1.4.4. Cho ma trận A và số  > 0 cho trước. Khi đó tồn tại m a trận không suy biến T sao cho: T −1 AT =      λ 1 b 12 ··· b 1n 0 λ 2 b 2n . . . . . . . . . . . . 0 0 ··· λ n      với  i,j |b j | < . Trong đó λ j (j = 1, 2, . . . , n) là các giá trị riêng của ma trận A. Chương 2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của phương trình vi phân hàm 2.1 Mở đầu Xét hệ phương trình vi phâm hàm ˙x = F (t, x t ) = f(t, x) + g(t, x t ) (2.1) ở đó f : D H −→ R n liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x F, g : G H −→ R n liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x t và F (t, 0) ≡ 0 với D H = R + × B H ; G H = R + × Ω H trong đó B H = {x ∈ R n : |x| < H} và Ω H = {ϕ ∈ C ([−r, 0] ; R n ) : ϕ < H} Giả sử: |g(t, ϕ (.))| ≤ m 0 ϕ(.)| d 0 (m 0 > 0, d 0 > 1) (2.2) Khi đó hệ (2.1) trong lân cận đủ bé của điểm O trong Ω H sẽ "gần" với phương trình vi phân thường ˙x = f(t, x) (2.3) theo nghĩa: F (t, x t ) = f(t, ϕ(0 ) ) + 0(ϕ) khi  ϕ → 0 trong C([−h, 0]; R n ) • Kí hiệu: Với t 0 ∈ R + ; ϕ ∈ Ω H , y 0 ∈ B H 1. x(t 0 , ϕ) : R + −→ R n t −→ x(t; t 0 , ϕ) là nghiệm của phương trình vi phân hàm dạng trễ (2.1) với điều kiện ban đầu x t 0 (t 0 , ϕ) = ϕ 2. y(t 0 , y 0 ) : R + −→ R n t −→ y(t; t 0 , y 0 ) là nghiệm của phương trình vi phân thường (2.3) với điều kiện ban đầu y 0 , tức y(t 0 ; t 0 , y 0 ) = y 0 9 10 Ta sẽ phát biểu và chứng minh một vài khẳng định bổ trợ : Bổ đề 2.1.1. Giả sử hàm F thỏa mãn trong miền G H điều kiện Lipschitz với hằng số L và giả s ử đã cho điểm ϕ ∈ Ω H . Khi đó: đối với x(t; t 0 , ϕ) ∈ B H đánh giá sau đây là đúng x t  ≤ ϕexp[L(t −t 0 )] (2.4) Chứng minh. Do x(t + s) = x t 0 (t + s − t 0 ) nên với s ∈ [−h, 0], ta có x(t + s) =  ϕ(0) +  t+s t 0 F (u, x u )du với t 0 − t ≤ s ≤ 0 ϕ(t −t 0 + s) với −h ≤ s ≤ t −t 0 Từ đó ta nhận được đánh giá |x(t + s)| =  ϕ +  t+s t 0 |F (u, x u )|du ≤ ϕ + L  t+s t 0 |x u |du với t 0 − t ≤ s ≤ 0 ϕ với −h ≤ s ≤ t −t 0 Do đó, khi t ≥ t 0 : x t  = Max {|x(t + s)| : −h ≤ s ≤ 0} ≤ ϕ + L  t+s t 0 x u du Áp dụng Bổ đề Gronwall - Bellman ta được: x t  ≤ ϕexp[L(t −t 0 )] . Bổ đề 2.1.2. Giả sử đã cho t 0 và h à m ϕ ∈ Ω H và gi ả sử x(t 0 , ϕ) và y(t 0 , ϕ(0)) là các nghiệm của hệ (2.1) và (2.3) tương ứng mà giá trị trùng nhau tại t = t 0 . Khi đó: |x(t; t 0 , ϕ) −y(t; t 0 , ϕ(0))| ≤ ϕ d 0  m 0 Ld 0  (e Ld 0 (t−t 0 ) − 1)e L(t−t 0 ) (2.5) với mọi t ≥ t 0 , mà tại đó các quỹ đạo x(t; t 0 , ϕ) và y(t; t 0 , ϕ(0)) vẫn còn nằm trong B H (ở đây L là hằng số Lipschitz của hàm f và F ). Chứng minh. Nhờ biểu diễn đáng chú ý đối với y(t) = y(t; t 0 , ϕ(0)) y(t) = ϕ(0) +  t t 0 f(s, y(s))ds x(t) = ϕ(0) +  t t 0 F (s, x s )ds với mọi t ≥ t 0 [...]... (2.85) Vi c hoàn thành chứng minh được thực hiện tương tự như chứng minh Định lí 2.5.1 Nhận xét 2.5.1 Trong trường hợp trễ h = 0 thì các kết quả của Định lí 2.5.1 và Định lí 2.5.2 vẫn đúng 2.6 Kết luận Ở đây đã đưa ra một phương pháp mới đối với bài toán ổn định theo Liapunov của nghiệm không của phương trình vi phân hàm dạng (2.1) sử dụng tính chất của hàm Liapunov đối với phương trình vi phân thường... {Φ}|(2.7) = 0 Để nghiên cứu trường hợp này ta cần chuyển đến phương trình vi phân trên đa tạp tâm hoặc áp dụng kỹ thuật kiết thiết hàm Liapunov cao hơn 2.4 Thí dụ Giả sử a là hàm bị chặn đều trên R+ Kí hiệu: def {a} = lim sup t→∞ 1 t t a(τ )dτ − là giá trị trung bình trên của hàm a : R+ −→ R trên R+ (2.36) 23 Thí dụ 2.4.1 Xét phương trình vi sai phân không ôtônôm phi tuyến với trễ biến thiên: x = a(t)[x(t)]2k+1... (m1 > 0, d1 > 1) (2.7) 13 Kí hiệu K - lớp Haln K = a : R+ −→ R+ liên tục, đơn điệu tăng, a(0) = 0 Định lý về tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân thường phi tuyến được tổng quát hóa cho hệ phương trình vi phân hàm dạng trễ (2.1) Định lý 2.2.1 Giả sử rằng: 1 Tồn tại các hàm a, b ∈ K và hằng số R0 ≥ 1 sao cho: a(|x|) ≤ v(t, x) ≤ b(|x|) ∀(t, x) ∈ DH Hơn nữa các hàm ngược... chung vi c chứng minh các Định lý 2.1 và Định lý 2.2 dựa trên các đánh giá tiên nghiệm sâu sắc dạng bất đẳng thức Gronwall - Bellman và vì vậy các bất đẳng thức đã nói trên không thể áp dụng được cho vi c xây dựng miền hút của vị trí cân bằng ổn định tiệm cận Các Định lý này giải quyết vấn đề ổn định trên nguyên tắc mức độ cao Thí dụ 2.4.3 Bây giờ xét hệ phương trình vi phân hàm dạng trễ với trễ phân. .. minh 2.2 Các điều kiện đủ về tính ổn định Giả sử hệ phương trình vi phân thường (2.3) là tới hạn: có nghĩa nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ này là ổn định Liapunov nhưng không ổn định tiệm cận Giả sử v : DH −→ R là hàm Liapunov tương ứng Khi đó v|(2.1) = v|(2.3) + Φ(t, xt ) ≤ Φ(t, xt ) ˙ ˙ (2.6) trong đó: Φ(t, xt ) = vx g(t, xt ) ˙ Ta đưa vào vi c xét hệ phương trình tuyến tính xấp xỉ bậc nhất (tuyến tính hóa)... tuyến với trễ biến thiên: x = a(t)[x(t)]2k+1 + b(t)[x(t − ∆(t))]2k+1 ˙ (2.37) trong đó k ≥ 1 là số nguyên; |a(t)| ≤ m0 , |b(t)| ≤ m0 và 0 ≤ ∆(t) ≤ h ∀ t ≥ 0 Nhờ Nhận xét 2.2, phương trình (2.37) sẽ so sánh với phương trình vi phân thường: y=0 ˙ (2.38) Lấy hàm Liapunov v = x2 /2 Khi đó v(2.37) = a(t)[x(t)]2k+2 + b(t)[x(t − ∆(t))]2k+1 x(t) ˙ = Φ(t, xt ) Ta kiểm tra các điều kiện của Định lý 2.1 ◦ Điều... điều kiện ổn định với sự tăng của trễ h điều kiện 3) của Định lí 2.1 sẽ bị vi phạm Trong trường hợp 2 cos h − 1 > 0 thì nghiệm x = 0 của hệ (2.51) là không ổn định Chú ý 2.4.1 Trong ví dụ cuối đã chỉ ra các điều kiện đủ của sự không ổn định Có thể chứng minh rằng trong mọi ví dụ đã được khảo sát nghiệm không của phương trình vi phân hàm có nhiễu tương ứng trở thành không ổn định nếu như ta đổi dấu ngược... > 1 là số nguyên lẻ, ta nhận được điều kiện đủ về tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm không của hệ phương trình (2.45) sau đây: {f0 a + g0 bΛ} < 0 với d1 = d2 {f0 a} < 0 với d1 < d2 {g0 bΛ} < 0 với d1 > d2 (2.46) (2.47) (2.48) 26 với Λ(t) = 0 −∆(t) λ(t + s)ds ◦ Phương trình (2.45) được xét trong công trình ([15] - Burton.T.A, Hatvani.L), ở đó đưa đến một loạt các điều kiện ổn định tiệm cận đều đối... Thật vậy, nếu {f0 a} > 0 còn {g0 b} < 0 thì khi h = 0 nghiệm không của phương trình (2.45) không ổn định, nhưng khi h đủ 28 lớn (h > −{f0 a}/{g0 b}) điều kiện đủ (2.50) về tính ổn định tiệm cận sẽ được thỏa mãn Tiếp theo ta đưa ra một thí dụ mà điều kiện ổn định chứa đựng sự phụ thuộc theo chu kỳ vào trễ Thí dụ 2.4.4 Xét hệ phương trình sau: x = −y ˙ y = x + [−y 3 + 2y 3(t − h)] ˙ (2.51) Khi bỏ trễ h... = γ} và đi ra khỏi miền {v ≤ γ} Khi đó tích phân bất đẳng thức (2.6) từ t0 → t, ta được t v(t, x(t)) ≤ v(t0 , x(t0 )) + hay Φ(τ, xτ )dτ t0 t v(t, x(t)) ≤ γ + Φ(τ, xτ )dτ (2.8) t0 Xét hàm z : R+ −→ Rn cho bởi x(t) với t0 − h ≤ t ≤ t0 ξ(t; t0 , x(t0 )) với t ≥ t0 z(t) = với ξ(t) là nghiệm của hệ phương trình (2.7) với ξ(t0 ) = x(t0 ) và ta biểu diễn tích phân ở vế phải của (2.8) dạng t t Φ(τ, xτ )dτ . 2 1.1 Phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính chất ổn định của phương tr ình vi phân hàm . . . . . . . . 4 1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình. B(O, γ) sau thời gian hữu hạn. 1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường Xét hệ phương trình vi phân thực: ˙x = Ax + ϕ(t, x) (1.4) trong đó A là ma trận hằng số và ϕ(t,. các giá trị riêng của ma trận A. Chương 2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của phương trình vi phân hàm 2.1 Mở đầu Xét hệ phương trình vi phâm hàm ˙x = F (t, x t ) = f(t, x) +