Mô phỏng dòng chảy lưu chất nhớt không nén được qua trụ tròn bằng phương pháp biên nhúng

vii MC LC Trang tựa Trang Quyết định giao đề tƠi Lý lịch khoa học i Lời cam đoan ii Cm t iii Tóm tắt iv Mc lc vi Ký hiệu khoa học viii Danh sách các hình ix Danh sách các bng x Chng 1 TỔNG QUAN 1 Chng 2 PHNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PHNG TRÌNH NAVIER - STOKES VỚI BIÊN CỨNG 4 2.1 Phưng trình chuyển động 4 2.2 Phưng pháp số 5 2.2.1 Sự rời rc hóa theo không gian vƠ thời gian 5 2.2.2Phưng pháp gii 6 2.2.3 Gii phưng trình Navier-Stokes 7 2.2.3.1 Xử lý các thƠnh phần phi tuyến, độ nhớt vƠ thƠnh phần lực khối 8 2.2.3.2 Sự hiệu chỉnh áp suất 8 2.2.3.3 Lưới xen kẽ 9 viii 2.2.3.3.1 Đo hƠm xấp xỉ 10 2.2.3.3.2 Các điều kiện biên 14 2.2.3.3.3 Phưng trình Poisson 16 2.3Biên cng 17 Chng 3CU TRÚC HÀM DIRAC DELTA 20 Chng 4KT QU MỌ PHỎNG SỐ 25 4.1 Dòng chy qua tr tròn cố định 25 4.2 Dòng chy qua tr tròn dao động 39 Chng 5 KT LUẬN 44 TÀI LIU THAM KHO 47 ix Kụ HIU KHOA HC           kk YXtsYtsXts ,,,,, X là hàm vector được cho bởi tọa độ ca các điểm trên biên Γ(như lƠ một hàm ca độ dài cung s và thời gian t). k=0,1,2,…,m-1        tsFtsF yx ,,,F là lực khối tác dng trên biên           kk VUtsVtsUts ,,,,, U là vận tốc ca điểm lưới Lagrangian        tftf yx ,,, xxf  là lực vật thể được lồng vƠo phưng trình Navier-Stokes    yx,x là tọa độ theo lưới Eulerian         tvtut ,,,, xxxu  là vận tốc ca lưu chất ( theo 2 chiều x, y)    tp ,x là áp suất ca lưu chất.   là khối lượng riêng ca lưu chất   lƠ độ nhớt  u* là vận tốc trung gian  p là gradient áp suất. là toán tử Laplace  (.) xem như lƠ một ký hiệu vƠ được dùng : (  .) thay vì (với grap, div lƠ các hƠm được sử dng trong toán tử Laplace)  L b là chiều dài ca đường cong khép kín Γ 2 2 2 2 yx               yx grap     ,          yx div     ∇. x        ,    =         y  Y  là hàm Dirac delta. DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 2.1 a) Hệ lưu chất-kết cấu đn gin. b) Lưới rời rc Euler (đánh dấu sáng) vƠ lưới Lagrange (đánh dấu tối) 6 Hình 2.1 c) Hình vẽ phác họa việc tính toán thƠnh phần lực khối sử dng hƠm Dirac delta 6 Hình 2.2 Lưới xen kẽ với các ô biên 10 Hình 2.3 Sự dao động trong bƠi toán đối lưu-khuếch tán khi sử dng sai phơn trung tâm 13 Hình 3.1 Hàm Dirac delta 24 Hình 4.1 Đường dòng cho hệ số Re=20 và Re=40 28 Hình 4.2 Trường áp suất cho hệ số Re=20 và Re=40 24 Hình 4.3 Đường bao xoáy ti Re=100 và Re=200 31 Hình 4.4 Hệ số cn ti Re=100 và Re=200 32 Hình 4.5 Hệ số nơng ti Re=100 và Re=200 33 Hình 4.6 Đường dòng ti Re=100 và Re=200 34 Hình 4.7 Trường áp suất ti Re=100 và Re=200 35 Hình 4.8 Đường bao xoáy vƠ trường áp suất ti Re=300 36 Hình 4.9 Hệ số cn vƠ hệ số nơng ti Re=300 37 Hình 4.9 Đường bao xoáy ca tr tròn dao dộng sau 40 chu kỳ dao động ti Re=200, (a: Zhang & Zheng; b: Hiện ti) 40 Hình 4.10 Hệ số cnC D ti Re=200 đối với tr tròn cố định vƠ tr tròn dao động 41 Hình 4.11 Hệ số nơng C L ti Re=200 đối với tr tròn cố định vƠ tr tròn dao động 42 xi Hình 4.12 Trường áp suất vƠ đường dòng ti Re=200 cho trường hợp tr tròn dao động 43 DANH SÁCH CÁC BNG BNG TRANG Bng 1.1 Kế hoch thực hiện luận văn 3 Bng 4.1 Chiều dƠi vùng tuần hoƠn (L/d), hệ số cn (C D ) cho Re=20,Re=40 29 Bng 4.2 Hệ số cn ti Re=100 và Re=200 32 Bng 4.3 Hệ số nơng ti Re=100 và Re=200 33 Bng 4.4 Hệ số Strouhal ti Re=80, 100, 200, 300 38 1 Chng 1 TỔNG QUAN 1.1 Tng quan chung về lĩnh vực nghiên cu Trong tính toán động lực học lưu chất, các vấn đề cần quan tơm nhất đó lƠ sự chính xác, hiệu suất tính toán, độ ổn định ca lời gii vƠ đặc biệt lƠ xử lý được các dng hình học phc tp. Có rất nhiều phưng pháp cho việc gii các bƠi toán dòng không nén được trong miền hình học phc tp. Trong một số ng dng, phưng pháp phần tử hữu hn (FEM) trên lưới phi cấu trúc thì được sử dng rộng rƣi nhất hiện nay. Sự chính xác ca FEM có thể được ci thiện bằng cách sử dng các hƠm nội suy bậc cao. Tuy nhiên, to ra lưới phi cấu trúc theo yêu cầu bằng FEM đòi hi một kỹ thuật cao và khá tốn kém. Hn nữa, để gii các bƠi toán với một biên chuyển động mƠ đặc biệt lƠ trong lĩnh vực tưng tác giữa kết cấu vƠ lưu chất thật không d thực hiện, trường hợp nƠy ta phi chia lưới li sau mi lần di chuyển ca biên. Đƣ có sự tiến bộ vuợt bậc đáng kể ca các phưng pháp trong việc tính toán chính xác vƠ hiệu qu đối với những vật thể có hình dng phc tp bất kỳ. Phưng pháp biên nhúng (Immersed Boundary Methods - IBM) được đề xuất bởi C.S. Peskin [1,2] gần đơy đƣ được đưa ra để gii quyết đối với các bƠi toán có những dng hình học phc tp trong khi yêu cầu tính toán ít hn, to lưới d hn so với các phưng pháp khác mƠ vẫn đm bo được sự chính xác. Phưng pháp này quy định một lực khối để thay thế sự hiện diện ca một bề mặt mƠ không lƠm thay đổi lưới tính toán. Đặc biệt đối với trường hợp biên di chuyển, c thể hn lƠ trong sự tưng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu lƠm biên dịch chuyển. Lưới bám theo vật thể phi được chia li ở mi bước thời gian khi tính toán, việc chia lưới nh hưởng trực tiếp đến chi phí tính toán, độ chính xác vƠ sự ổn định ca lời gii. Có thể nói đó lƠ vấn đề cần xem xét một cách nghiêm túc. Lưới Đềcác được xơy dựng d dƠng, nhanh chóng mƠ không 2 cần gii thuật phc tp vƠ đặc biệt lƠ không bị nh hưởng đáng kể đến sự phc tp ca hình dng vật thể. Đơy được xem lƠ ưu điểm nổi bật bậc nhất ca phưng pháp biên nhúng. Vì vậy trong bƠi toán tưng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu thì có thể nóiphưng pháp biên nhúng lƠ phưng pháp số tốt nhất ti thời điểm hiện nay. Các kt qu nghiên cu trong nc vƠ ngoƠi nc đƣ công b IBM lần đầu tiên được giới thiệu bởi C.S. Peskin (1972) với việc mô phng sự tưng tác giữa các c vƠ dòng máu chy trong lúc tim đang đập vƠ nhìn chung kết qu phù hợp cho dòng lưu chất với biên đƠn hồi được nhúng. Trong phưng pháp nƠy dòng lưu chất được điều khiển bởi phưng trình Navier-Stokes không nén được vƠ chúng được xử lý trên lưới Đềcác cố định. Một số công trình nghiên cu điển hình về IBM đƣ công bố trên các tp chí khoa học uy tín trên thế giới: C.S. Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica. 11 (2) 479-517, 2002. Bài báo này trình bày về nền tng toán học ca IBM, mƠ nó thì được dùng để mô phng sự tưng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu, đặc biệt lƠ trong tính toán động lực học lưu chất, lĩnh vực c y sinh học. C.S. Peskin, Numerical analysis of blood flow in the heart, J. Comput. Phys. 25 220–252 (1977). Bài báo này nghiên cu về việc gii phưng trình Navier-Stokes khi có sự hiện diện ca biên nhúng di chuyển mƠ nó thì tưng tác với dòng lưu chất ( tưng tác giữa c tim vƠ dòng máu). Về phưng pháp nƠy thì ở nước ta vẫn đang trong thời kỳ nghiên cu s khai, vƠ có rất ít công trình được đăng ti trên tp chí khoa học quốc tế. Lĩnh vực ng dng ca phng pháp biên nhúng - Nghiên cu dòng chy lưu chất qua vật thể bất kỳ nhằm kho sát ng suất, biến dng, chuyển vị ca hệ thật: Turbine gió, van, ống dẫn dầu, c y sinh 3 - Kho sát chuyển động ca các robot trong môi trườngkhông khí vƠ nước như: cá, chim, chuồn chuồn - Tính toán, thiết kế các thiết bị vận chuyển như: Xe hi, tƠu thy, máy bay,… - Tính toán, thiết kế các thiết bị thy lực: Van thy lực, máy bm, tua bin, qut gió, máy nén, - Y khoa: Mô phng tuần hoƠn máu trong c thể, tính toán các thiết bị tr tim nhơn to, … - VƠ rất nhiều lĩnh vực khác như trong khí tượng thy văn, thiết kế cầu, nhƠ cao tầng,… 1.2 Mc đích ca đề tƠi - Thiết lập mô hình toán học ca hệ kết cấu vƠ lưu chất. - Xơy dựng phưng trình toán học. - Chia lưới vƠ gii bằng phưng pháp biên nhúng ( Immersed Boundary Method) . - Giới hn cho bƠi toán 2D. 1.3 Nhiệm v ca đề tƠi vƠ gii hn ca đề tƠi Nội dung nghiên cu cho phưng pháp biên nhúng có thể chia ra thƠnh năm phần chính với nhiệm v c thể như sau: - Phần 1: Tổng quan. - Phần 2: Phưng pháp biên nhúng cho biên cng. - Phần 3: Cấu trúc hàm Dirac delta. - Phần 4: Kết qu mô phng số. - Phần 5: Kết luận vƠ kiến nghị. Giới hạn của đề tài 4 - Phưng pháp biên nhúng chỉ áp dng để gii cho những bƠi toán 1D, 2D. Còn với bƠi toán 3D thì độ phc tp cao hn nên đòi hi nhiều thời gian nghiên cu hn nữa. - NgoƠi ra, vấn đề sai số ca phưng pháp cũng như lời gii là điểm cần hoƠn thiện hn cho luận văn trong tưng lai. 1.4 Phng pháp nghiên cu - Phưng pháp tham kho tƠi liệu từ ging viên hướng dẫn, thư viện, mng internet. - Phưng pháp trao đổi, tho luận trực tiếp với ging viên hướng dẫn. - Phưng pháp thu thập thông tin từ các buổi báo cáo chuyên đề ca nhóm Tính toán Cao cấp trong Khoa học vƠ Kỹ thuật (GACES) thuộc Khoa Xơy dựng vƠ C học ng dng, trường Đi học Sư phm Kỹ thuật TP.HCM . - Phưng pháp lập trình, tính toán mô phng với công c h trợ lƠ phần mềm Matlab ca hƣng MatWorks. 1.5 K hoch thực hiện Kế hoch thực hiện luận văn được trình bày tóm tắt trong bng 1.1 Stt Nội dung công việc Thời gian thực hiện Ghi chú 1 Tổng quan 09/2012 2 IBM cho biên cng 10/2012 3 Cấu trúc hƠm Dirac delta 11/2012 4 Kết qu mô phng số 12/2012 – 01/2013 5 Kết luận vƠ kiến nghị 02/2013 Bng 1.1 Kế hoch thực hiện luận văn 5 Chng 2 PHNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PHNG TRÌNH NAVIER-STOKES VỚI BIÊN CỨNG 2.1 Phng trình chuyển đng Ta xét mô hình bài toán cho dòng chy lưu chất nhớt không nén được trong miền không gian hai chiều f  cha biên nhúng dưới dng lƠ một đường cong khép kín đn gin b  (Hình 2.1a), hình dng đường biên nhúng sẽ được cho dưới dng tham số như sau:   ,,tsX ,0 b Ls      tLt b ,,0 XX  , trong đó L b lƠ chiều dƠi ca đường cong kín b  , và   ,stX lƠ hƠm vector cho biết vị trí ca các điểm trên biên nhúng ti thời gian t vƠ chiều dƠi cung lƠ s. Biên được mô hình bởi một lực đn mà nó thì được kết hợp li thƠnh lực khối, f, trong phưng trình Navier-Stokes. Phưng trình Navier-Stokes sau đó được gii để xác định vận tốc ca dòng lưu chất trên toƠn bộ miền lưu chất f  . Kể từ khi biên nhúng tiếp xúc với dòng chất lưu chất xung quanh, vận tốc ca nó phi phù hợp với điều kiện biên không trượt. Phưng trình chuyển động ca hệ như sau [1]:   fuuu u     p t (2.1) 0 u (2.2) Với   yx,x lƠ điểm lưới trên lưới Euler vƠ   YX ,X lƠ điểm biên trên lưới Lagrange        tvtut ,,,, xxxu  lƠ vận tốc ca lưu chất vƠ   tp ,x lƠ áp suất lưu chất. Các hệ số  và  lần lượt lƠ khối lượng riêng vƠ độ nhớt ca lưu chất. ThƠnh phần lực khối tác dng lên lưu chất lƠ         tftft yx ,,,, xxxf  mƠ dng công thc toán học lƠ           dststst ,,, XxFxf  (2.3) [...]... T QU MÔ PHỎNG SỐ 4.1 Dòng ch y qua tr tròn c định Mô ph ng dòng ch y qua tr tròn cố định bằng phư ng pháp biên nhúng lƠ một bài toán về động lực lưu chất với biên c ng cố định được đề cập đến bởi hai lý do [1] Lý do th nhất lƠ để nhấn m nh rằng phư ng pháp biên nhúng có thể gi i quyết được một số vấn đề như: Kỹ thuật chia lưới đ n gi n mà c thể là việc chia các điểm lưới Lagrangian trên biên nhúng, ... hiện mô ph ng dòng lưu chất nhớt không nén được qua tr tròn có đường kính d=0.1, có tâm t i trọng tâm c a miền Ω = [0,3] x [0,1.6] Khối lượng riêng c a lưu chất   1.0 ,vận tốc lưu chất trên toàn miền Khi mô ph ng ta sẽ cho biên di chuyển một ít t c là biến d ng nh c a một biên rất c ng ( 26 biến d ng đƠn hồi bé c a một lò xo rất c ng ) và việc chọn hệ số đƠn hồi  >>1đ lớn sao cho biên di chuyển không. .. điểm biên vƠ  x    x   y  là hƠm Dirac delta Chuyển động c a biên nhúng lƠ Xs, t   Us, t   uXs, t , t    ux, t  x  Xs, t dx t  (2.4) Phư ng trình (2.3) vƠ (2.4) thể hiện sự tư ng tác giữa biên nhúng vƠ lưu chất Trong phư ng trình (2.3) thƠnh phần lực khối tác d ng đến lưu chất bởi biên nhúng, trong khi đó phư ng trình (2.4) biên nhúng được di chuyển cùng với lưu chất. .. ng pháp s 2.2.1 Sự rời r c hóa theo không gian vƠ thời gian Phư ng pháp biên nhúng lƠ phư ng pháp sai phơn hữu h n h n hợp Euler-Lagrange cho việc tính toán dòng lưu chất tư ng tác với một biên nhúng Hình 2.1b lƠ ví d về đường biên nhúng đ n gi n trong không gian 2D Một cặp lưới tính toán bao gồm: một ô lưới Đềcác trung tơm cho biến Euler vƠ một tập các điểm rời r c cho biến Lagrange Cho miền lưu chất. .. 0 (2.35) Điều kiện biên c a dòng ra Trong điều kiện biên dòng ra thì đ o hƠm pháp tuyến c a c hai thƠnh phần vận tốc đều bằng không t i biên: uWEST  u0, j   vWEST  v0, j  u EAST  ui 1, j   vEAST  vi 1, j  u NORTH  ui , j 1   v NORTH  vi , j 1  u SOUTH  ui , 0  vSOUTH  vi ,0 (2.36) Điều kiện biên c a dòng vƠo Đối với điều kiện biên dòng vƠo thì vận tốc được cho một cách... lƠ vị trí cơn bằng, vƠ Xs, t  lƠ các điểm biên nhúng mƠ chúng sẽ tư ng tác với lưu chất Áp đặt điều kiện biên chính xác trên lưới biên nhúng đòi h i κ lớn vƠ sẽ chọn nó đ lớn để sự chuyển động lƠ không đáng kể.Vì thế, nếu các điểm trên biên di chuyển ra kh i vị trí mong muốn thì lực đƠn hồi sẽ 19 kéo các điểm biên nƠy quay trở l i Do đó, trong thời gian tới ta có thể mong rằng các điểm biên sẽ luôn... nằm sát với biên vật thể Thường hệ số nƠy được chọn theo kinh nghiệm kho ng từ 3000 – 5000 theo [7] Gi sử rằng vận tốc ban đầu u   1.0 vƠ cũng lƠ vận tốc t i vô cùngch y theo phư ng x t c là u   (u  ,0) trên toàn miền lưu chất Ta áp đặt điều kiện biên không trượt cho biên trên vƠ biên dưới, điều kiện dòng ch y ngoài cho biên ph i, dòng ch y tự do cho biên trái Ta lần lượt thực hiện mô ph ng với... tốc u và v, ta cần ph i quan tơm đến các điểm biên vƠ các điểm bên trong biên Bất kỳ một điểm nƠo thực sự nằm trong miền tính toán lƠ điểm bên trong biên cần quan tâm, còn các điểm nằm trên hoặc ngoƠi biên lƠ các điểm biên Trong Hình 2.2 các điểm được đánh dấu đậm lƠ các điểm bên trong biên, còn các điểm được đánh dấu nh t h n lƠ các điểm biên Hình 2.2 Lưới xen kẽ với các ô biên 11 2.2.3.3.1 Đ o hƠm... giữa lưu chất và kết cấu làm cho biên di chuyển ra kh i vị trí mong muốn nhưng do có lực đƠn hồi ( định luật Hooke cho lò xo) đƣ kéo các điểm biên này quay trở về vị trí ban đầu cố định trong không gian Với kỹ thuật này thì việc áp d ng để chia lưới cho những vật thể có biên d ng hình học ph c t p cũng d thực hiện như việc chia lưới trên biên c a tr tròn NgoƠi ra nó cũng không khó thực hiện khi biên. .. Các điều kiện biên Việc áp điều kiện biên chính xác lƠ vấn đề quan trọng cần quan tơm kỹ lư ng vì nó nh hưởng đến kết qu c a bƠi toán có chính xác vƠ đáng tin cậy hay không Trên lưới xen kẽ có một số điểm thì nằm trên biên trong khi đó có một điểm thì nằm giữa T i các điểm nằm trên biên thì giá trị được tính trực tiếp, như lƠ u t i biên phía 15 tây(West) và phía đông (East), và v t i biên phía bắc . 2 PHNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PHNG TRÌNH NAVIER-STOKES VỚI BIÊN CỨNG 2.1 Phng trình chuyển đng Ta xét mô hình bài toán cho dòng chy lưu chất nhớt không nén được trong miền không gian. trình Navier-Stokes sau đó được gii để xác định vận tốc ca dòng lưu chất trên toƠn bộ miền lưu chất f  . Kể từ khi biên nhúng tiếp xúc với dòng chất lưu chất xung quanh, vận tốc ca nó phi. giữa biên nhúng vƠ lưu chất. Trong phưng trình (2.3) thƠnh phần lực khối tác dng đến lưu chất bởi biên nhúng, trong khi đó phưng trình (2.4) biên nhúng được di chuyển cùng với lưu chất.