Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 763 Mã bài: 163 Điều khiển con lắc ngược di động bằng phương pháp điều khiển phi tuyến Controlling a mobile inverted pendulum by nonlinear control method Đỗ Bình Nguyên Trường Đại học Lạc Hồng Email: lhu.nguyendo@gmail.com Dương Hoài Nghĩa Trường Đại học Bách Khoa TP. HCM Email: dhnghia@hcmut.edu.vn Tóm tắt Bài báo trình bày các kết quả nghiên cứu việc điều khiển con lắc ngược di động. Trước hết, hệ phương trình trạng thái của hệ được tuyến tính hóa bằng phương pháp tuyến tính hóa tại điểm làm việc và tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. Sau đó, bộ điều khiển gán cực, thiết kế bằng phương pháp đại số, được thiết kế để điều khiển hệ thống đã được tuyến tính hóa. Kết quả mô phỏng của hai bộ điều khiển này trên Matlab – Simulink cho thấy bộ điều khiển thiết kế theo phương pháp tuyến tính hóa bằng hồi tiếp cho đáp ứng tốt hơn so với bộ điều khiển thiết kế bằng phương pháp tuyến tính hóa điểm làm việc. Abtract This paper focuses on controlling a mobile inverted pendulum. Firstly, two methods of linearization were applied to the state equation: feedback linearization and lineariztion around the operating point. Then, two poles-placement controllers, designed by polynomial method, were used to control the linearized system. Finally, the results by simulating on Matlab – Simulink show that the feedback lineariztion controller is better than the controller which use the method of linearization around operating point. Ký hiệu Ký hi ệ u Ý ngh ĩa m Moment động cơ a Moment tải R Đi ệ n tr ở danh đ ị nh L R C ả m kháng rotor k f H ằ ng s ố ma sát k m H ằ ng s ố moment k e H ằ ng s ố s ứ c đi ệ n đ ộ ng ph ả n kháng Góc quay của trục động cơ w Góc quay của bánh xe p Góc quay của thân con lắc Vận tốc góc của bánh xe Vận tốc góc của trục Gia tốc góc của trục V a Đi ệ n áp đ ặ t vào hai đ ầ u đ ộ ng cơ V e S ứ c đi ệ n đ ộ ng ph ả n kháng i Dòng đi ệ n qua ph ầ n ứ ng I R Moment quán tính c ủ a rotor M w Tr ọ ng lư ợ ng bánh xe M p Tr ọ ng lư ợ ng thân con l ắ c I w Moment quán tính c ủ a bánh xe I p Moment quán tính c ủ a con l ắ c H L , H R , P L , P R L ự c tương tác gi ữ a bánh xe và thân con lắc H fL , H fR L ự c ma sát gi ữ a m ặ t đ ấ t và bánh xe L Kho ả ng cách gi ữ a tâm bánh xe và trọng tâm của con lắc C L , C R moment c ủ a đ ộ ng cơ tác đ ộ ng vào bánh xe r Bán kính bánh xe 1. GIỚI THIỆU Con lắc ngược là một hệ phi tuyến thu hút sự quan tâm của những người nghiên cứu điều khiển tự động. Nhiều giải thuật đã được đề xuất để điều khiển hệ này như giải thuật điều khiển gán cực [1], [3], giải thuật PID Backstepping [2], giải thuật điều khiển trượt [5]. Các bộ điều khiển gán cực trong các tài liệu [1], [3] được tính toán dựa trên việc tuyến tính hóa hệ thống bằng tại điểm làm việc, và bộ điều khiển được thiết kế bằng phương pháp Ackerman. Để có 764 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa VCM2012 mộ sự so sánh giữa các phương pháp tuyến tính hóa với nhau, bài báo này sẽ tuyến tính hóa hệ thống con lắc ngược di động bằng hai phương pháp tuyến tính hóa: tuyến tính hóa tại điểm làm việc và tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. Sau đó, bộ điều khiển gán cực sẽ được thiết kế bằng phương pháp đại số. Các phần còn lại của bài báo được trình bày như sau: Phần hai trình bày cách thức xây dựng hệ phương trình phi tuyến mô tả hoạt động của hệ con lắc ngược di động trên cơ sở phân tích các lực tác dụng lên hệ. Phần ba sẽ nêu lên hai phương pháp tuyến tính hóa đã được áp dụng: tuyến tính hóa tại điểm làm việc và tuyến tính hóa bằng hồi tiếp, để đưa hệ phi tuyến về dạng tuyến tính đối với góc nghiêng của thân con lắc. Với mô hình tuyến tính vừa thu được, thiết kế bộ điều khiển gán cực bằng phương pháp đại số được trình bày, một số kết quả mô phỏng trên Matlab – Simulink cũng được trình bày trong phần này cho thấy bộ điều khiển hoạt động được, có khả năng ứng dụng vào thực tế. Phần cuối cùng nêu lên một số kết luận. 2. MÔ HÌNH TOÁN HỌC 2.1. Mô hình tuyến tính của động cơ DC [5] Moment m tỷ lệ với dòng điện i chạy trong phần ứng của động cơ: m = k m .i (2.1) H1. Mô hình động cơ DC Điện áp V emf , sinh ra khi cuộn dây động cơ quay trong từ trường, được xấp xỉ bằng hàm tuyến tính của vận tốc trục: V emf = k e (2.2) Theo định luật Kirchoff, ta có phương trình sau: a R emf di V R.i L V 0 dt (2.3) Theo định luật về chuyển động của Newton, ta có: m f a R M k I . w t t w (2.4) Từ các phương trình (2.1), (2.2), (2.3) và (2.4), bỏ qua độ tự cảm và ma sát trên trục động cơ, ta có hàm quan hệ giữa tốc độ quay, điện áp đặt vào động cơ và moment tải m e m a a R R R k k k V d dt I R I R I w w t (2.5) 2.2. Mô hình con lắc ngược di động [5] 2.2.1. Bánh xe H2. Các lực tác dụng trên bánh xe của con lắc ngược di động Áp dụng định luật về chuyển động của Newton, ta có các biểu thức sau: Tổng hợp lực tác dụng trên bánh xe theo phương x: w fR R M H H x (2.6) Tổng hợp lực tại tâm bánh xe: w w R fR I C H r q (2.7) Từ (2.4), (2.6) và (2.7), ta có biểu thức Newton cho bánh phải: m e wm w w a R k .k I k M V H R.r R.r r w x w qq (2.8) Thực hiện tương tự cho bánh trái: m e wm w w a k .k I k M V H R.r R.r r w L x w qq (2.9) Gia tốc dài và vận tốc dài của bánh xe: r r w w x x q q (2.10) r r w w x x q q (2.11) Từ (2.8), (2.9), (2.10) và (2.11) ta có biểu thức (2.12) w w 2 m e m a L R 2 I 2 M r k k k 2 x 2 V H H Rr Rr x (2.12) 2.2.2. Thân con lắc Áp dụng định luật về chuyển động của Newton cho các lực tác dụng theo phương ngang, ta có: 2 L R P P P P P P P H H M . .L.cos M . .L.sin M .x q q q q (2.13) Các lực tác dụng vào con lắc theo phương vuông góc: Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 765 Mã bài: 163 L R P L R P P P P P P P H H .cos P P .sin M .g.sin M . .L M . .cos x q q q q q (2.14) H3. Các lực tác dụng trên thân con lắc ngược di động Tổng moment tác động tại trọng: L R P L R P L R P P H H .L.cos P P .L.sin C C I . q q q (2.15) Đặt: 2 1 p p w 2 w p 2 t I M .L 2.I t 2.M M r p p p p p + sin sin cos cos p f f f q f q q f q q Từ (2.4), (2.6), (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) và (2.15), với các biến trạng thái y 1 = , y 2 = f , y 3 = x, y 4 = x , ta có hệ (2.16) 1 2 2 1 1 2 1 2 3 1 4 1 1 a 3 4 4 4 1 5 1 2 6 1 4 2 1 a y y y f y f y , y f y ,y g y .V y y y f y f y ,y f y ,y g y .V (2.16) Từ (2.16), ta thành lập được mô hình Matlab – Simulink của con lắc ngược di động như trong hình 4 3. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Bảng 3.1 Thông số hệ thống Thông số Ý nghĩa Giá trị Đơn vị g Gia tốc trọng trường 9.81 m/s 2 r Bán kính bánh xe 0.051 m M w Trọng lượng bánh xe 0.03 Kg M p Trọng lượ ng thân con lắc 1.13 Kg I w Moment quán tính bánh xe 0.000039 Kg.m 2 I p Moment quán tính của con lắc 0.0041 Kg.m 2 L Khoảng cách giữ a tâm bánh xe và trọng tâm con lắc 0.07 m k m Hằng số moment 0.006123 Nm/A k e Hằng số sức điệ n động phản kháng 0.006087 Vs/rad R Điện trở danh định 3 Ohm 3.1. Tuyến tính hóa tại điểm làm việc Khi góc 0, sin() =sin(y 1 )= , cos() = cos(y 1 )= 1, 2 0 y f , hệ phương trình (2.16) được tuyến tính hóa như sau: 1 2 2 1 1 3 4 1 1 a 3 4 4 4 1 6 4 2 1 a y y y f' y f' y g' y .V y y y f' y f' y g' y .V (3.1) Viết dưới dạng ma trận: 1 1 2 21 24 2 21 3 3 4 42 44 4 41 y 0 1 0 0 y 0 y a 0 0 a y b y 0 0 0 1 y 0 y a 0 0 a y b a V (3.2) H4. Mô hình phi tuyến của con lắc ngược di động trên Matlab - Simulink Từ 3.2, ta tính được hàm truyền của hệ thống tuyến tính hóa: 766 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa VCM2012 3 2 B s G s A s 0.2456s s 0,097s 172,116s 1,3477 (3.3) Bộ điều khiển gán cực có dạng sau: 2 1 2 3 3 2 1 2 3 D s d s d s d C s C s s c s c s c (3.4) Phương trình đặc trưng: s A s .C s B s .D s (3.5) Sau khi thử nghiệm với các cực khác nhau, ta chọn đặt các cực của hệ thống ở các vị trí (-1; -1; -1; - 10; -20; -80) do thời gian đáp ứng và khả năng chịu sai số tốt. Phương trình đặc trưng mong muốn có dạng như (3.6) d s s 1 s 1 s 1 s 10 s 20 s 80 (3.6) Cho (s) = d (s), đồng nhất hai vế, ta thu được d 1 , d 2 , d 3 và c 1 , c 2 , c 3 2 3 2 D s K s C s 224500s 2401300s 8096900 s 113s 3094s 11872 (3.7) Tiến hành mô phỏng điều khiển hệ thống phi tuyến bằng bộ điều khiển (3.7), như trong hình 5, với các góc khởi động khác nhau: 0 = 0,005 (rad) 0 = 0,01 (rad) 0 = 0,02 (rad) H5. Bộ điều khiển gán cực cho mô hình phi tuyến Các kết quả mô phỏng trong hình 7, 8 và 9, cho thấy bộ điều khiển chỉ có thể giữ ổn định cho hệ thống ở những góc khởi động 0 < 0,05 (rad). Kết quả mô phỏng thử nghiệm khả năng chịu tải của con lắc ngược với bộ điều khiển (3.7), hình 10 và 11, cho thấy hệ thống chỉ ổn định khi khối lượng thân con lắc nhỏ hơn 1,25 (kg). 3.2. Tuyến tính hóa bằng hồi tiếp Với mô hình hệ thống phi tuyến (2.16), đặt là tín hiệu điều khiển mới, áp dụng luật điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa (3.8). 1 1 2 1 4 a 1 v f(y ) f(y , y ) f(y , y ) V g(y ) (3.8) Mô hình Simulink của hệ thống mới, sau khi thực hiện tuyến tính hóa bằng hồi tiếp được trình bày trong hình 6. Hàm truyền của hệ thống sau khi tuyến tính hóa bằng hồi tiếp là: 2 B s 1 G s A s s (3.9) Bộ điều khiển gán cực có dạng sau: 1 2 2 1 2 D s d s d C s C s s c s c (3.10) H6. Mô hình hệ thốngđược tuyến tính hóa bằng hồi tiếp H7. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm làm việc. 0 = 0,005 (rad) H8. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm làm việc. 0 = 0,01 (rad) Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 767 Mã bài: 163 H9. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm làm việc. 0 = 0,05 (rad) H10. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm làm việc. M p = 1,2 (kg). 0 = 0,005 (rad) H11. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm làm việc. M p = 1,25 (kg). 0 = 0,005 (rad) Phương trình đặc trưng: s A s .C s B s .D s (3.11) Ta sẽ đặt các cực tại các vị trí (-20 – j, -20 + j, -14 – j, -14 + j). Phương trình đặc trưng mong muốn: d s s 20 j s 20 j s 14 j (s 14 j) (3.12) Cho (s) = d (s), đồng nhất hai vế, ta thu được d 1 , d 2 , d 3 và c 1 , c 2 , c 3 . Từ đó, ta có hàm truyền của bộ điều khiển như trong biểu thức (3.13) 2 D s 19108s 78997 K s C s s 68s 1718 (3.13) Với bộ điều khiển vừa tính toán được, ta thực hiện mô phỏng với mô hình cho trong hình 12. Kết quả mô phỏng được trình bày trong các hình 13 - 17. H12. Mô phỏng bộ điều khiển gán cực cho hệ thống tuyến tính hóa bằng hồi tiếp 4. KẾT LUẬN Bài báo đã trình bày chi tiết các bước thiết kế và mô phỏng bộ điều khiển gán cực kết hợp với hai phương pháp tuyến tính hóa: Tuyến tính hóa tại điểm làm việc và Tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. Kết quả mô phỏng cho thấy các bộ điều khiển có thể hoạt động được trên thực tế, tuy nhiên, một mô hình thực cần được xây dựng để kiểm chứng kết quả này. Kết quả mô phỏng cũng cho thấy, bộ điều khiển gán cực được thiết kế dựa trên hệ thống được tuyến tính hóa bằng hồi tiếp có chất lượng điều khiển tốt hơn. Phương pháp tính toán được đề xuất trong bài báo này còn đòi hỏi phải tính toán bằng thủ công, chưa được lập trình để tính toán một cách tự động nên còn vấp phải một số hạn chế. H13. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. 0 = 0,005 (rad) H14. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. 0 = 0,01 (rad) 768 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa VCM2012 H15. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. 0 = 0,05 (rad) H16. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. M p = 1,2 (kg), 0 = 0,005 (rad) H17. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. M p = 1,5 (kg), 0 = 0,005 (rad) PHỤ LỤC A p 1 1 1 2 2 2 p 1 1 2 2 2 p 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 p 1 p 1 m e 2 3 1 4 4 2 2 2 p 1 1 2 p 1 m 2 1 1 2 2 2 p 1 1 2 2 2 p 4 1 M .g.L.siny f y M .L .cos y t t M .L .siny .cosy f y ,y y t .t M .L .cos y M .L.cosy 1 2.k .k r.t f y , y y R.r M .L .cos y t t M .L.cosy 1 2.k r.t g y R M .L .cos y t t M .g.L .siny f y 1 1 2 2 2 1 2 p 1 p 1 2 5 1 2 2 2 2 2 p 1 2 1 p 1 m e 1 6 1 4 4 2 2 2 p 1 2 1 .cosy t .t M .L .cos y M .L.siny f y , y y M .L .cos y t t M .L.cosy 1 2.k .k r t f y ,y y R.r M .L .cos y t t Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 769 Mã bài: 163 p 1 m 1 2 1 2 2 2 p 1 2 1 p 1 1 1 2 2 p 1 2 p m e 2 3 4 4 2 2 p 1 2 p m 2 1 1 2 2 p 1 2 2 2 p 1 4 1 2 2 1 2 p p m e 1 6 4 p 2 M .L.cosy 1 2.k r t g y R M .L .cos y t t M .g.L.y f' y M .L t t M .L 1 2.k .k r.t f' y y R.r M .L t t M .L 1 2.k r.t g' y R M .L t t M .g.L .y f' y t .t M .L M .L 1 2.k .k r t f' y R.r M t 4 2 2 1 p m 1 2 1 2 2 p 2 1 p 21 2 2 p 1 2 p m e 2 24 2 2 p 1 2 2 2 p 41 2 2 1 2 p p m e 1 44 2 2 p 2 1 p m 2 21 2 2 p 1 2 p m 41 y .L t M .L 1 2.k r t g' y R M .L t t M .g.L a M .L t t M .L 1 2.k .k r.t a R.r M .L t t M .g.L a t .t M .L M .L 1 2.k .k r t a R.r M .L t t M .L 1 2.k r.t b R M .L t t M .L 1 2.k r b R 1 2 2 p 2 1 t M .L t t TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Phú Xuân, Thiết kế thi công con lắc ngược trên mô hình robot hai bánh, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật, trường ĐH Giao thông Vận tải TP. Hồ Chí Minh, 2010 2. Nguyen Gia Minh Thao, Duong Hoai Nghia ,Nguyen Huu Phuc, A PID Backstepping Controller For Two-Wheeled Self-Balancing Robot, IFOST, 2010 3. Felix Grasser, Aldo D’arrigo, Silvio Colombi, Alfred Rufer, JOE: A Mobile, Inverted Pendulum 4. Peter Miller, Building a Two Wheeled Balancing Robot, 2008 5. Ming Tao Kang, Hoang Duy Vo, Hak Kyeong Kim, Sang Bong Kim, Control System Design for a Mobile Inverted Pendulum via Sliding Mode Technique, Proceedings of International Conference on Mechatronics, 2007 Dương Hoài Nghĩa sinh ngày 31/5/1957 tại Bến Tre, tốt nghiệp kỹ sư Điện tự động năm 1981 tại trường Đại học Bách Khoa TP. HCM, tốt nghiệp thạc sỹ và tiến sỹ ngành Điều khiển tự động tại Institut National Polytechnique de Grenoble, Pháp năm 1989 và 1993. Từ năm 1981 đến nay, ông là giảng viên của Khoa Điện - Điện tử, Trường Đại học Bách khoa TP. HCM. Từ năm 1997-2002, ông là chủ nhiệm Bộ môn Cơ sở Kỹ thuật điện. Từ năm 2002 đến nay, ông là phó trưởng khoa. Năm 2007, nhận học hàm Phó giáo sư. Ông là thành viên của IEEE. Các lãnh vực nghiên cứu của ông bao gồm: nhận dạng hệ thống, điều khiển đa biến, điều khiển phi tuyến và tính toán mềm. Địa chỉ nơi làm việc: 268 – Lý Thường Kiệt – Quận 10 – TP. HCM. Điện thoại: 084-8-38657296, Fax: 084-8- 38645796. Email: dhnghia@hcmut.edu.vn Đỗ Bình Nguyên sinh ngày 3/9/1984 tại TP. HCM. Tốt nghiệp kỹ sư chuyên ngành Kỹ thuật Điện – Điện tử năm 2007 tại trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM, tốt nghiệp thạc sỹ chuyên ngành Kỹ thuật Điện tử tại trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật 770 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa VCM2012 TP. HCM năm 2012. Từ năm 2007 đến năm 2011 công tác tại công ty TNHH Thương mại – Dịch vụ và Đầu tư Hưng Gia trong vai trò kỹ sự thiết kế phần cứng. Từ năm 2011, hoạt động giảng dạy tại khoa Điện – Điện tử trường Đại học Lạc Hồng. Năm 2012, nhận nhiệm vụ Tổ trưởng bộ môn Công nghệ kỹ thuật Tự động hóa. Địa chỉ nơi làm việc: 10 – Huỳnh Văn Nghệ - Phường Bửu Long – TP. Biên Hòa – Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: 084 – 61 – 395225 Email: lhu.nguyendo@gmail.com . quốc lần thứ 6 763 Mã bài: 163 Điều khiển con lắc ngược di động bằng phương pháp điều khiển phi tuyến Controlling a mobile inverted pendulum by nonlinear control method Đỗ Bình Nguyên Trường. nghiên cứu điều khiển tự động. Nhiều giải thuật đã được đề xuất để điều khiển hệ này như giải thuật điều khiển gán cực [1], [3], giải thuật PID Backstepping [2], giải thuật điều khiển trượt. cho thấy bộ điều khiển chỉ có thể giữ ổn định cho hệ thống ở những góc khởi động 0 < 0,05 (rad). Kết quả mô phỏng thử nghiệm khả năng chịu tải của con lắc ngược với bộ điều khiển (3.7),