Maãu lôùp döïa treân tröôøng trung bình töï hôïp ñaõ giaûi thích ñöôïc nhöõng tính chaát cuûacaùcûnhaânmagig. Maãu lôùp moät haït cho pheùp giaûi thích caùc tính chaát cuûa traïng thaùi kích thích thaáp , nhaát laø nhöõng haït nhaân chæ thöøahay thieáu moät nucleon so vôùi söï chieám ñaày caùc lôùp. Nhöng khi ñi xa caùc nhaân magic thì maãu moät haït gaëp phaûi khoù khaên. Trong caùc traïng thaùi thaáp cuûa nhaân hình caàu, söï pha troän caáu hình taêng leân. Ñoàng thôøi töông taùc giöõa caùc nucleon khoâng theå boû qua ñöôïc. Noùi toùm laïi tröôøng theá trong maãu lôùp cuûa caùc nhaân magic khoâng hoaøn toaøn laø tröôøng töï hôïp. Ñoái vôùi caùc nhaân bieán daïng , tröôøng theá Nilson vaø Woodsacxon moâ taû tröôøng
52 Chương 7 MẪU GIẢ HẠT 7.1Lý do tại sao phải đưa vào khái niệm" tương tác cặp loại siêu chảy". - -Mẫu lớp dựa trên trường trung bình tự hợp đã giải thích được những tính chất củacácûnhânmagig. -Mẫu lớp một hạt cho phép giải thích các tính chất của trạng thái kích thích thấp , nhất là những hạt nhân chỉ thừahay thiếu một nucleon so với sự chiếm đầy các lớp. Nhưng khi đi xa các nhân magic thì mẫu một hạt gặp phải khó khăn. Trong các trạng thái thấp của nhân hình cầu, sự pha trộn cấu hình tăng lên. Đồng thời tương tác giữa các nucleon không thể bỏ qua được. Nói tóm lại trường thế trong mẫu lớp của các nhân magic không hoàn toàn là trường tự hợp. - -Đối với các nhân biến dạng , trường thế Nilson và Wood-sacxon mô tả trường trung bình của nhân tốt hơn. Nó đặc biệt tốt khi mô tả các mức thấp của hạt nhân biến dạng lẻ. - Đối với các nhân hình cầu, mở rộng sự ứng dụng mẫu các hạt độc lập cho những nhân có nhiều nucleon ngoài lớp chiếm đầy, ta lưu ý đến tương tác dư của các nucleon ngoài cùng. Nhưng việc tính toán gặp khó khăn càng lớn khi số nucleon và số lỗ trống của lớp ngoài cùng tăng. Biện pháp giải quyết là phải đưa vào "tương quan cặp loại siêu chảy". Lý thuyết tương quan cặp được phát hiện trước hết với các electron trong kim loại. Nó được miêu tả trong lý thuyết siêu dẫn của Bardeen J., Cooper L.N và Schriffer J.P (được gọi là lý thuyết BCS ). Lý thuyết BCS đã mô tả chính xác các khe trong phổ năng lïng của tinh thể kim loại. Trong hạt nhân, chính sự xuất hiện của các khe trong phổ hạt nhân là bằng chứng về tính siêu chảy của hạt nhân hay là tính tương quan cặp loại siêu chảy giưã các nucleon nằm ngoài lớp chiếm đầy của nhân. Người ta đã cho các sơ đồ mức năng lượng và các sơ đồ này đã xác nhận rằng các nhân lẻ và lẻ-lẻ có năng lượng các trạng thái kích thích thứ nhất cỡ hàng chục Kev, còn trong các nhân chẵn-chẵn thì năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất thường lớn hơn 1 Mev. Như vậy là khe năng lượng đã xuất hiện trong nhân chẵn-chẵn. Điều đó đúng cho nhân biến dạng và các nhân hình cầu. Người đề ra phương pháp toán học cho lý thuyết siêu dẫn đã gợi ý về khả năng tồn tại tính siêu chảy của nhân. Sau đ1o, Bohr.O., Mettelson B, Bines D. đã đặt cơ sở cho lý thuyết siêu chảy của hạt nhân. Người cuối cùng xây dựng lý thuyết hoàn chỉnh ứng dụng cho việc nghiên cứu cấu trúc của hạt nhân là: Belyaev S.T, Soloviev V.G 7.2.Nội dung mẫu tương tác cặp loại siêu chảy. 7.2.1 Dạng Hamintonien tương tác. - Trong mẫu đơn hạt Jensen và Mayer giả thiết là co sự tương tác giữa từng cặp nucleon trên cùng một mức năng lượng ( cặp nucleon này là 2 nucleon cùng các đặc trưng , chỉ khác nhau về hình chiếu mômen động lượng). Trong mẫu tương tác cặp loại siêu chảy, thì tương tác này chỉ xãy ra giữa các nucleon nằm trên lớp không chiếm đầy với năng lượng gần 53 với năng lượng Fermi E F . Cấu hình thích hợp nhất về phương diện năng lượng là sự phân bố các cặp trên một số mức năng lượng gần với mức Fermi. - Phương pháp toán học áp dụng ở đây nằm trong hình thức luận của phép lượng tử hóa lần thứ hai. Trong hình thức luận này thì hàm sóng bất kỳ của một hệ fermion sẽ tự động phản xứng. Hamintonien tương tác được biểu diễn qua toán tử sinh hạt a + qs và toán tử hũy hạt a qs . Khi tác dụng toán tử này sẽ làm tăng hay giảm một đơn vò của số nucleon được đặc trưng bởi số lượng tử qs. Như phép biến đổi tuyến tính chính tắc biến đổi các toán tử sinh và hủy hạt này thành toán tử mới sinh và hủy các chuẩn hạt đặc trưng cho các trạng thái chồng chất của các nucleon và lỗ trống. Ở đây , tương tác của mỗi nucleon trong hạt nhân được tách ra thành 2 thành phần : + Tương tác của mỗi nucleon trong trường thế trung bình ở đây không cần để ý đến dạng cụ thể của trường thế. Do vậy đầu tiên sẽ thu được các phương trình tổng quát cơ bản sau đó mới áp dụng cho dạng cụ thể của nhân hình cầu hay biến dạng. + Tương tác cặp siêu chảy : Ở đây ta sử dụng tập hợp các số lượng tử đặc trưng cho các mức một hạt trong trường thế trung bình. Cần tách khỏi tập hợp này các số lượng tử σ =±1 ứng với các trạng thái liên hợp đối với toán tử phản chiếu thời gian. Do đó, các trạng thái một hạt của trường trung bình diễn tả bởi tập hợp các số lượng tử (qs) và năng lượng E(q). Đối với nhân nặng và trung bình ta nên viết riêng Hamintonien cho từng hệ proton và hệ neutron vì lẽ người ta đã chứng minh được là không có tương quan cặp loại siêu chảy giữa một neutron và một proton. - Đối với hệ hạt neutron : Hamintonien có dạng sau : )1.7()()( ', ''0 ∑∑ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −= +− +++ −+ σ σσ sss ss ss ss aaaaGNaasEnH Với : E(s) : năng lượng neutron ở trạng thái s của trường trung bình. GN : là hệ số hàm số của các số lượng tử sσ. Có nghóa G ≡ G(s + , s - , s' - , s' + ) : đặc trưng cho độ lớn của tương tác cặp. Lực dẫn đến tương tác cặp của nucleon có tầm ngắn nên có thể biểu diễn bởi hàm δ(r-r'). Một cách gần đúng có thể xem G = const. Vậy, thành phần số một biểu diễn chuyển động trong trường thế trung bình. Thành phần thứ hai thể hiện tương quan cặp loại siêu chảy. Thành phần thứ hai mô tả sự hủy hai hạt và sinh hai hạt khác. (5.1) mô tả hệ với số hạt n xác đònh. Với n là trò riêng của toán tử () ∑ −−++ ++ ∧ += q qqqq aaaan 54 Nghiệm sẽ đơn giản khi chuyển đến hệ với số hạt không bảo toàn bằng việc sử dụng phép biến đổi chính tắc không bảo toàn số hạt . Sẽ thuận tiện nếu thay H 0 bằng H : H = H 0 - λ n n (7.2) Trong đó: λ n có thể xem như thế hóa học. Nó được chọn từ điều kiện bảo toàn trung bình số neutron N : ∑ σ σ + σ = s ss aaN (7.3) (5.2) được viếc lại : {} +−−+ ++ σ σ + σ ∑ ∑ −λ−= 's'ss 's,s s s ssn0 aaaaGNaa)s(E)n(H (7.4) - Đối với hệ proton : Hamintonien có dạng sau : { } +−−+ γγ + γ γγ + γ γσ γσ + γσ ∑ ∑ −λ−γ= '' ', p0 aaaaGaa)(E)p(H (7.5) Trong đó: λ p là thế hóa học của proton. Nó được chọn từ điều kiện : ∑ γσ γσ + γσ + = aaZ (7.6) Rỏ ràng việc tính năng lượng của hạt proton hay neutron phải lấy gốc là λ n và λ p . 7.2.1.Biến đổi chính tắc Bogoliubop- Các giả hạt. Hãy xét riêng từng hệ hạt, chẳng hạn hệ gồm các hạt neutron với Hamintonien trình bày trong (5.1) Các toán tử sinh và hủy hạt neutron a + sσ và a sσ thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau a + sσ a s'σ' + a s'σ ' a + sσ = δ ss' δ σσ' (7.7a) a sσ a s'σ' + a s'σ ' a sσ = 0 ( 7.7b) a + s'σ' a + sσ + a + sσ a + s'σ' = 0 ( 7.7c) Thực hiện phép biến đổi chính tắc để chuyển các toán tử hạt a + sσ và a sσ thành các toán tử giả hạt α sσ + và α sσ : a sσ = u s α s,-σ + σ v s α sσ + (7.8a) a sσ + = u s α + s,-σ + σ v s α sσ (7.8b) Ta gọi đó là phép biến đổi Bogoliubop. Để phép biến đổi này không phá vỡ tính chất giao hoán (5.7a,5.7b,5.7c) thì các hàm thực u s và v s phải thỏa điều kiện : u s 2 + v s 2 - 1 = 0 (7.9a) u s 2 + v s 2 = 1 (7.9b) và có thể biểu diễn α sσ qua a + sσ và a sσ nhờ (5.9) : α sσ = u s a s,-σ + σ v a + sσ (7.10) - Hàm trạng thái của hệ đối với các hạt và giả hạt : + Hàm trạng thái vacum 0 của một hệ hạt được đònh nghóa : a s 0 = 0 (7.11) + Hàm trạng thái một hạt σs biểu diễn qua hàm trạng thái vacum như sau : 55 σs = a + sσ 0 (7.12) Trạng thái cơ bản của hệ ψ 0 bao gồm một số chẵn neutron được đònh nghóa như là vacum của một giả hạt. Lúc này ψ 0 phải thỏa các điều kiện sau đối với mọi số lượng tử (sσ ). α sσ ψ 0 = 0 (7.13) ψ 0 * α = sσ = 0 - Tính giá trò trung bình của H(n) theo trạng thái ψ 0 . Điều này có nghóa : tìm năng lượng của trạng thái chân không của hệ giả hạt. Đại lượng 0 )n(H chính là năng lượng của trạng thái cơ bản của nhân. Bằng các hệ thức giao hoán (7.7) và điều kiện (7.13) , ta có : ( ) ( ) 0 2 0 ,, )( + + − + − + = ++= σσ σ σσσσσ αα ασαασ sss s sssssssss v vuvuaa (7.14) hay 2 s 0 ss vaa = σ + σ và: () ()() ()( ) 4 ''' 0 '' 2 ' 2 '' 0 ''''''' 0 '''''''' 0 '' sssssss ssssssssss ssssssssssssss ssssssss ss ssss ssss vvuvu vvvuvu vuvuvv vuvu v u vuaaaa δ αααα αααααααα αααα α αα −= −= −−= +− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − += + + + −−+ + + + − + +−−+ + ++ +− + −+ − − + + + − ++ +−−+ Kết quả được : {} ∑ − ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ −λ= − s 4 sN 2 ss ssN 2 sn0 0 vGvuGv)s(E2)n(H Thành phần G N V s 4 là phần đóng góp vào trường tự hợp , do vậy có thể chuẩn hóa được : E(s) = E 0 (s) - ½G N V s 2 Và được : {} 2 s ssN 2 s s n 0 n s )vu(Gv)s(E2)n(H ∑ ∑ −λ−=≡ξ (7.15) Hàm u s và v s được xác đònh từ điều kiện cực tiểu của năng lượng trạng thái cơ bản (7.14) : 0H s ss 0 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ημ−δ ∑ (7.16) μ s : thừa số Legendre Đạo hàm (5.15) theo u s và v s , cho bằng 0 ta được các phương trình 56 và {} {} ∑ ∑ =+−− =+−− ' '' '' 022)(4 022)(4 s sssssNsn s sssssNsn uvuvGusE VvuuGvsE μλ μλ Nhân phương trình trên cho u s và phương trình dưới cho v s rồi trừ cho nhau ta sẽ có : {} )17.7(0)()(2 ' '' 22 ∑ =−−− s ssNssssn vuGvuvusE λ Mặt khác, từ (7.14) và (7.3) ta có : (7.18) 2 2 s s vN ∑ = Ý nghóa vật lý của đại lượng u s , v s là : 2v s 2 là mật độ hạt trên mức s; 2u s 2 = 2(1-v s 2 ) là mật độ lỗ trống - Gỉai phương trình (7.17) : Thấy rằng (7.18) có 2 nghiệm : + Nghiệm tầm thường : u s v s = 0. Nó có thể viết : u s = 1- θ F (s) và v s = θ F (s) với (7.19) ⎩ ⎨ ⎧ > < = n n F sEnếu sEnếu s λ λ θ )( )( )( 0 1 + Nghiệm không tầm thường u s v s ≠ 0 . Để tìm nghiệm này ta đưa vào hàm tương quan : (7.20) ss s Nn vuG ∑ =Δ Từ (5.17) và (5.9) ta có : ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − += )( )( s sE u n s ε λ 1 2 1 2 (7.21a) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − −= )( )( s sE v n s ε λ 1 2 1 2 (7.21b) Trong đó ε(s) xác đònh bằng cách đặt (5.20) và (5.21) vào (5.17) được : )(s vu n ss ε Δ = 2 1 (7.22) Từ (5.21) ta có : { } )( )()( s sEs vu n ss 2 2 2 22 4 1 ε λε −− = (7.23) và từ (5.22) và (5.23) ta có : {} 2 2 nn sEs λε −+Δ= )()( (7.24) Muốn được các phương trình cho trạng thái cơ bản của hệ neutron ta thay (7.22) vào (7.20) xong giản ước cho Δ n . Chú ý đến (7.18) sẽ được : 57 {} ∑ −+Δ = s nn N sE G 2 2 1 2 1 λ )( (7.25) Thay giá trò v s 2 trong (5.21b) và (5.18) ta được : {} ∑ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+Δ − −= s nn n sE sE N 2 2 1 λ λ )( )( (7.26) (7.25) và (7.26) là hệ hai phương trình nhằm xác đònh Δ n và λ n - Năng lượng của hệ neutron trong trạng thái cơ bản được xác đònh từ (7.15) và (7.20): N n s s n s G vsE 2 2 2 Δ −= ∑ )( ζ (7.27) Biểu thức này cho biết dáng điệu của sự phụ thuộc của năng lượng của trạng thái cơ bản vào G N