Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng - phần 4

www.hsmath.net www.hsmath.net Còng tõ ph−¬ng ph¸p nµy, nhÊt (Max) cđa biĨu thøc + + + ®−ỵc nh÷ng bµi to¸n míi. qu¸t vµ t¹o ra S ư dơng bÊt ®¼ng thøc (B§T) ® biÕt mµ ®Ỉc biƯt lµ B§T C«-si lµ ph−¬ng ph¸p th−êng ®−ỵc ¸p dơng ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ B§T nãi chung. Nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ, nhÊt lµ tr−êng hỵp cã thªm c¸c ®iỊu kiƯn phơ th−êng g©y khã kh¨n cho ng−êi gi¶i trong viƯc −íc l−ỵng hƯ sè vµ xÐt ®iỊu kiƯn ®Ĩ dÊu ®¶ng thøc xÈy ra. Bµi viÕt nµy tr×nh bµy mét ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ th«ng qua B§T C«-si ®Ĩ tõ ®ã, chun bµi to¸n cùc trÞ vỊ viƯc gi¶i mét ph−¬ng tr×nh (PT) hc hƯ ph−¬ng tr×nh (HPT) mµ viƯc gi¶i qut lµ dƠ dµng hc cã ®−êng lèi râ rµng h¬n, ®ã lµ ph−¬ng ph¸p c©n b»ng hƯ sè víi mét chót s¸ng t¹o, chóng ta cã thĨ tỉng Tr−íc hÕt xin nªu l¹i mµ kh«ng chøng minh hai B§T quen thc sau: i) B§T C«-si tỉng qu¸t: 1 2 1 2 n n n a a a n a a a+ + + ≥ ii) B§T C«-si suy réng: 1 1 2 2 n n a a a α α α ≥ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 n n a a a n n a a a a α α α α α + + + + + + Trong hai B§T trªn th× 1 2 , , , n a a a kh«ng ©m, 1 2 , , , n α α α d−¬ng vµ dÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi 1 2 n a a a= = = . Chóng ta b¾t ®Çu tï bµi to¸n sau: VÝ dơ 1. Cho c¸c sè thùc d−¬ng , x y tháa mn ®iỊu kiƯn 3 3 1 x y + = (1). T×m gi¸ trÞ lín ( ; ) P x y x y = + Ph−¬ng ph¸p suy ln: Sù chªnh lƯch vỊ sè mò cđa c¸c biĨu thøc 3 3 x y + vµ ( ; ) P x y x y = + gỵi cho ta sư dơng B§T C«-si ®Ĩ h¹ bËc cđa 3 3 x y + . Nh−ng ta cÇn ¸p dơng cho bao nhiªu sè vµ lµ nh÷ng sè nµo? C¨n cø vµo bËc cđa c¸c biÕn sè x vµ y trong c¸c biĨu thøc trªn, ta thÊy cÇn ph¶i ¸p dơng B§T C«-si lÇn l−ỵt cho 3 x vµ 3 y cïng víi 5 h»ng sè d−¬ng t−¬ng øng kh¸c ®Ĩ lµm xt hiƯn x vµ y . MỈt kh¸c do x, y d−¬ng vµ vai trß cđa chóng nh− nhau nªn ta dù ®o¸n ( ; ) P x y ®¹t Max khi x y = . Tõ (1) suy ra 3 1 2 x y = = vµ ta ®i ®Õn lêi gi¶i nh− sau. Lêi gi¶i. ¸p dơng B§T C«-si cho 6 sè d−¬ng: 1 sè 3 x vµ 5 sè 1 , ta cã: 5 5 3 3 6 6 1 1 5. 6 . 6.2 2 2 x x x −   + ≥ =     DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3 1 2 x = T−¬ng tù nh− vËy: 5 5 3 3 6 6 1 1 5. 6 . 6.2 2 2 y y y −   + ≥ =     DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3 1 2 y = Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta ®−ỵc: ( ) 5 3 3 6 ( ) 5 6.2 x y x y − + + ≥ + (2) DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3 1 2 x y = = . CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI 2 www.hsmath.net + + đạt Min khi dự đoán Từ (1) và (2) suy ra: 6 5 ( ; ) 2 P x y x y = + Dấu bằng xẩy ra 3 1 2 x y = = , thỏa mn điều kiện (1). Vậy { } 6 5 ( ; ) 2Max P x y = . Ví dụ 2. Cho các số thực dơng , x y thỏa mn điều kiện 3 3 1 x y + (3). Tìm giá trị lớn nhất (Max) của biểu thức ( ; ) 2 P x y x y = + Phơng pháp suy luận: ở ví dụ 1, chúng ta đ nhanh chóng dự đoán đợc Max ( ; ) P x y đạt đợc khi x y = , từ đó tính đợc , x y . Nhng trong bài toán này, vai trò của x và y là không bình đẳng. Tuy nhiên ta hy giả sử ( ; ) P x y đạt Max khi x y = = nào đó và dự đoán , ở điều kiện biên của (3), tức là 3 3 1 + = (4). Ta viết: ( ) 5 5 3 3 3 3 2 6 5. 6 . 6. x x x + = ( ) 5 5 3 3 3 3 2 6 5. 6 . 6. y y y + = Suy ra ( ) ( ) 5 5 3 3 3 3 2 2 5. 6. 6. x y x y + + + + Để xuất hiện ( ; ) P x y ở vế phải, ta cần chọn , sao có tỷ lệ: 5 2 6. x : 5 2 6. y =1. x : 2. y 5 2 5 1 1 2 4 = = (5) Vậy từ (4) và(5) ta thu đợc HPT: 5 3 3 1 4 1 = + = 3 5 5 3 5 1 1 2 2 4 1 2 2 = + = + Bằng cách làm ngợc lại các bớc trên ta sẽ thu đợc { } ( ) 5 5 6 ( ; ) 1 2 2 Max P x y = + Nhận xét. Từ cách phân tích trên ta thấy có thể thay đổi dữ kiện của bài toán sao cho HPT sau khi cân bằng hệ số có thể giải đợc. Chẳng hạn nh các bài toán dới đây: Bài toán 1. Cho các số nguyên dơng , , m p q sao cho { } ,m Max p q . Hy tìm GTLN của biểu thức ( ; ) p q P x y ax y = + trong hai trờng hợp sau, biết rằng a là hằng số dơng và x, y là các biến số không âm thỏa mn điều kiện 1 m m x y + : i) 2 m q p + = ii) 2 3 m q p + = Bài toán 2. Cho các số thực dơng a, b, c, d và các số nguyên m, n thỏa mn điều kiện 0 m n > > . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ; ; ) n n n P x y z ax by cz = + + trong đó , , x y z là các biến số không âm thỏa mn điều kiện m m m x y z d + + . Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 2 ( ; ; ) P x y z a x y z = + + . Trong đó a là số thực dơng và x, y, z là các biến số thỏa mn điều kiện 1 xy yz zx + + = (6) Phơng pháp suy luận: Do vai trò của x và y là nh nhau nên ta ( ; ; ) P x y z ( 0) x y z = = > (7). áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dơng ta có 2 2 2 2 x y xy xy + ( ) 2 2 2 2 x z x z xz 2 2 1 2 x z xz + ( ) 2 2 2 2 y z y z yz 2 2 1 2 y z yz + Từ các BĐT trên suy ra: www.hsmath.net www.hsmath.net chỉ phụ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 x y z xy yz zx + + + + + Vế phải của BĐT trên là hằng số, vì vậy ta cần tìm để có tỷ lệ: 1 1 : 2 :1a + = 2 2 1 0a = 1 1 8 4 a a + + = , 1 1 8 0 4 a a + = < loại. Cùng với (6) và (7) ta có HPT: 1 xy yz zx x y z + + = = = ( ) 2 2 2 1z x y z + = = = Giải HPT này với nh trên ta đợc: ( ) ( ) 2 2 16 8 1 8 1 1 4 8 1 8 1 1 a z a a a x y a a = + + + = = + + + Bằng cách làm ngợc lại ta tính đợc { } 4 ( ; ; ) 1 1 8 xy yz zx Min P x y z a + + = = + + Nhận xét. Bằng cách làm tơng tự nh trên chúng ta có thể giải trọn vẹn đợc bài toán tổng quát hơn sau: Bài toán 3. Cho các hằng thực dơng a, b, c và các biến số x, y, z thỏa mn điều kiện 1 xy yz zx + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 ( ; ; ) P x y z ax by cz = + + . Ví dụ 4. Xét các số thực dơng a, b, c thỏa mn điều kiện 21 2 8 12ab bc ca+ + . Hy thức 1 2 3 ( ; ; )P a b c a b c = + + . (Đề thi chọn ĐTVN dự thi IMO 2001) Phơng pháp suy luận: Đặt 1 1 1 , ,a b c x y z = = = . Điều kiện của bài toán tở thành 2 8 21 12 x y z xyz + + (9). Và ta cần tìm Min của biểu thức ( ; ; ) 2 3 P x y z x y z = + + Giả sử ( ; ; ) P x y z đạt Min khi x z y z = = áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có: 12 2 8 21 xyz x y z + + 2 8 21 x y z + + ( ) 1 8 2 2 8 21 21 2 8 21 x y z + + + + ( ) 8 21 2 21 2 8 ,x y z A + + + (10) Trong đó biểu thức ( ) ,A chỉ phụ thuộc vào , . Cũng theo BĐT Cô-si suy rộng ta có: ( ) , , P x y z = x + 2y + 3z = 2 3 x y z + + ( ) 1 2 2 3 3 2 3 x y z + + + + = ( ) ( ) 1 2 3 2 3 ,B x y z + + (11) Trong đó biểu thức ( ) ,B thuộc vào , . Đối chiếu (10) và (11) ta thấy cần chọn , sao cho có tỷ lệ: ( ) ( ) ( ) : 2 :3 8 21 : 2 21 : 8 2 = + + + 8 21 8 2 3 2 21 2 8 2 3 + = + + = + 2 2 2 8 24 63 16 4 6 63 + = + + = + Từ PT thứ nhất ( ) 2 2 63 8 3 = . Thay vào PT thứ hai ta có: www.hsmath.net www.hsmath.net (13) ( ) ( ) 2 2 2 2 63 2 63 16 4 6 63 8 3 8 3 + = + 3 2 4 78 306 567 0 + = ( ) ( ) 2 2 9 2 48 63 0 + + = 9 2 = ( do 0 > ) 15 8 = . Khi ( ) , , P x y z đạt Min thì tất cả các BĐT trên đều trở thành đẳng thức, nghĩa là 2 8 21 12 3 9 5 2 4 18 2 5 3 x y z x x z z y y z z z + + = = = = = = = = Tới đây, điểm mấu chốt của bài toán đ đợc giải quyết và ta đi đến một lời giải tơng đối ngắn gọn cho bài toán nh sau: Lời giải. Đặt 1 1 1 5 2 3 , , 4 3 x x y y z z = = = khi đó điều kiện (9) trở thành 1 1 1 1 1 1 5 2 5 2 2.3 8. 21. 12.3 . . 4 3 4 3 x y z x y z + + 1 1 1 1 1 1 3 5 7 15 x y z x y z + + . ( ) ( ) 1 1 1 , , , ,P x y z P x y z= = 1 1 1 5 2 3 2. 3 4 3 x y z = + + = ( ) 1 1 1 1 6 5 4 2 x y z + + áp dụng BĐT Cô-si tổng quát cho 15 số dơng ta có: 3 5 7 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 3 5 7 15 x y z x y z x y z + + (12) ( ) ( ) 1 1 1 1 , , 6 5 4 2 P x y z x y z = + + 6 5 4 15 1 1 1 1 .15. 2 x y z Từ (12) suy ra 6 5 4 1 1 1 1x y z , do đó từ (13) ta đợc ( ) 15 , , 2 P x y z Đẳng thức xẩy ra 1 1 1 1x y z = = = 1 1 1 5 5 2 2 3 3, , 4 4 3 3 x x y y z z = = = = = = 1 4 3 , , 3 5 2 a b c = = = Vậy Min ( ) 15 , , 2 P a b c = . Nhận xét. Sở dĩ ta đặt các biến mới 1 1 1 , , x y z là vì ta đ xác định đợc bộ số (x,y,z) để ( ) , , P x y z đạt Min. Mặt khác việc xét dấu bằng sẽ trở nên dễ dàng hơn bếu các biến tham gia khi xẩy ra dấu đẳng thức là bằng nhau và đều bằng 1. Một điều thú vị và đáng chú ý ở đây là các BĐT (12), (13) tơng đối đơn giản, nhng qua phép đổi biến đ trở thành BĐT khác phức tạp hơn rất nhiều. Chúng ta hy thử vận dụng điều này để tạo ra những bài toán mới rất thú vị, xuất phát từ bổ đề sau: Bổ đề: Cho các số thực , , , 0 và , , , 0 x y z t > . Khi đó ta có: i) Nếu ( ) x y z t xyzt + + + + + + thì ( ) ( ) ( ) x y z + + + + + + + + + ( ) ( ) 3t + + + + + + (14) ii) Nếu ( ) ( ) ( ) x y z + + + + + + + + + ( ) ( ) 3t + + + + + + thì ( ) x y z t xyzt + + + + + + (15) Chứng minh. Trờng hợp 0 = = = = thì bổ đề hiển nhiên đúng. Ta xét khi 2 2 2 2 0 + + + > . i) áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có: ( ) xyzt x y z t + + + + + + ( ) ( ) 1 x y z t + + + + + + 1x y z t + + + + + + + + Nh vậy: ( ) ( ) x y + + + + + + + ( ) ( ) z t + + + + + ( ) 3 + + + ì ( ) 1 x y z t + + + + + + + + + + + ì ( ) 3 + + + Đẳng thức xẩy ra 1 x y z t = = = = . www.hsmath.net www.hsmath.net Cho các số thực dơng a,b,c Chúc các bạn thành cần thiết khi học toán . chúng theo tập sau và hy cố gắng mở rộng hơn nữa. Để kết thúc trờng hợp nhiều biến Các bạn hy thử tiếp tục suy nghĩ toán mới. và Chứng minh rằng: 56 ii) áp dụng BĐT Cô-si suy rộng ta có: ( ) ( ) 3 x + + + + + + ( ) ( ) ( ) y z t + + + + + + + + + ( ) 3 + + + ì ( ) 1 x y z t + + + + + + + + + + + ì 1 x y z t + + + + + + + + ( ) 1 x y z t xyzt + + + Nh vậy: x y z t + + + ( ) ( ) 1 x y z t + + + + + + ( ) xyzt + + + Đẳng thức xảy ra 1 x y z t = = = = . Bổ đề đợc chứng minh. Sử dụng bổ đề trên bằng cách thay vào những giá trị đặc biệt và bằng những cách phát biểu khác nhau, ta sẽ có những kết quả khác nhau: - Với 1, 0, 3, 5, 7t = = = = = , thay x, y, z, t lần lợt bởi 3x, 5 4 y , 2 3 z vào (14), sau đó đặt 1 1 1 , , a b c x y z = = ta đợc Bài toán ví dụ 4. - Thay 1, 1, 1, 2, 3t = = = = = vào (14) và đặt 1 2 4 , , 2 3 3 x y z a b c = = = ta có bài toán: Bài toán 4. Cho các số thực dơng a, b, c thỏa mn điều kiện 72ab + 9bc + 24ca + + 18abc 3 10 16 15 a b c + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? - Thay 1 1 1 1, 1, , , 2 3 6 t = = = = = vào (14) và đặt 1 2 4 , , 2 3 3 x y z a b c = = = ta có bài toán sau: Bài toán 5. Cho các số thực dơng a, b, c thỏa mn điều kiện ( ) 2 8 27 16a b c abc+ + . Chứng minh rằng: 5 10 22 6 4 9 9 a b c + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? - Vì khi xẩy ra đẳng thức ở hai Bài toán 4 và 5 đều có 1 2 4 , , 2 3 3 a b c= = = nên khi kết hợp hai bài toán trên ta có: Bài toán 6. thỏa mn điều kiện 72ab + 9bc + 24ca + 18abc ( ) 2 8 27 16a b c abc+ + . Chứng minh rằng: 17 19 166 21 4 9 9a b c + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? 56 - Thay 1 , 1, 1, 2, 3 t x = = = = = vào (14) và đặt 1 2 4 , , 2 3 3 x y z a b c = = = ta có bài toán sau: Bài toán 7. Cho các số thực a, b, c dơng thỏa mn điều kiện 3 10 16 12 21 3 3 a a b c + + + , chứng minh rằng 1 4 4 28 2 2 3 9 a a b c abc + + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? Bằng cách thay đổi dữ kiện bài toán theo hớng trên chúng ta sẽ có đợc rất nhiều bài theo hớng trên và theo hớng tổng quát cho bài viết này, đề nghị các bạn giải một số bài cách của mình. Đó là một việc làm thực sự công! www.hsmath.net . ) 2 8 27 16a b c abc+ + . Chứng minh rằng: 5 10 22 6 4 9 9 a b c + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? - Vì khi xẩy ra đẳng thức ở hai Bài toán 4 và 5 đều có 1 2 4 , , 2 3 3 a b c= = = nên khi. 9bc + 24ca + 18abc ( ) 2 8 27 16a b c abc+ + . Chứng minh rằng: 17 19 166 21 4 9 9a b c + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? 56 - Thay 1 , 1, 1, 2, 3 t x = = = = = vào ( 14) và đặt. = vào ( 14) và đặt 1 2 4 , , 2 3 3 x y z a b c = = = ta có bài toán: Bài toán 4. Cho các số thực dơng a, b, c thỏa mn điều kiện 72ab + 9bc + 24ca + + 18abc 3 10 16 15 a b c + + . Đẳng thức