TÓM TẮT KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: Phương trìng lượng giác cơ bản: sinx=sin  cosx = cos  tanx =tan Û x = +kp ; cotx =cot Û x= +kp .  Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt : sinx =0  cosx =0 sinx =1 cosx =1 với k sinx = 1 cosx =1 BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad  2 3 4 6 0 6 4 3 2 23 34 56  độ 180o 90o 60o 45o 30o 0 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o sin 0 1 3 2 2 2 12 0 12 2 2 3 2 1 3 2 2 2 12 0 cos 1 0 12 2 2 3 2 1 3 2 2 2 12 0 12 2 2 3 2 1 tan 0 || 3 1 13 0 13 1 3 || 3 1 13 0 cot || 0 13 1 3 || 3 1 13 0 13 1 3 || Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ;  Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx) 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là . Cách giải : Chia hai vế phương trình cho , ta được: Đặt: . Khi đó phương trình tương đương: hay . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (). Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với . + Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t | . II CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1) Công thức cộng:  cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb  tan(a b) = tana tanb1 + tana.tanb  sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb  tan(a + b) = tana + tanb1 tana.tanb  sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi :  sin2x = 2sinxcosx  cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x 1 = 1 – 2sin2x  tan2x =  cot2x = 3) Công thức nhân 3:  sin3x =  cos3x = 4cos3x – 3cosx  tan3x = 4) Công thức hạ bậc:   5) Công thức tích thành tổng.  cosxcosy=  sinxcosy=  sinxsiny= 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:  sinx + siny =  sinx – siny =  cosx + cosy =  cosx – cosy =  tanx + tany =  tanx – tany =  cotx + coty =  cotx – coty =

TÓM TẮT KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11 I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN :

 Phương trìng lượng giác cơ bản:

* sinx=sinα  





+

−

=

∈ +

=

π α π

π α

2

; 2

k x

Z k k x

* cosx = cosα 





+

−

=

∈ +

=

π α

π α

2

; 2

k x

Z k k x

* tanx =tanα ⇔ x = α +kπ ; (k∈Z) * cotx =cotα ⇔ x= α +kπ (k∈Z)

 Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt :

* sinx =0  x=kπ *cosx =0 ⇔ x=π +kπ

2

* sinx =1 π 2π

2 k

x= +

⇔ *cosx =1⇔ x=k2π với k Z∈

* sinx = -1 π 2π

2 k

x=− +

⇔ *cosx =-1 ⇔ x=π +k2π

arcsin + 2

sin + 2

x arc a k

π

=



arc os + 2

sin + 2

x c a k

x arc a k

π π

=



4

4

π

¢

¢

¢

 BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o

Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:

( )

180

x  π x rad

= ÷

o

; x rad( ) 180.x

π

o

 Một số phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công

thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

k Z∈

k Z∈

tan x a = ⇔ = x arc tan + a k k π , ∈ ¢

ot ot ot + ,

c x = ⇔ a c x c = α ⇔ = x α π k k ∈ ¢

k Z∈

k Z∈

4

2

4

¢

¢

¢

k Z∈

k Z∈

k Z∈

k Z∈

k Z∈

k Z∈

=

π ; 90

2

0

= π

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0

(hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng

hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2+ ≥b2 c2

C

ách giải : Chia hai vế phương trình cho a2+b2 , ta được: 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b + a b = a b

Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin

a b = β a b = β

+ + Khi đó phương trình tương đương:

a b

+ hay sin(x ) 2c 2 sin

a b

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với

2

x= +π kπ

+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý: 12 tan2 1

2

= +  ≠ + ÷

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx Điều kiện | t |≤ 2

II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1) Công thức cộng:

 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

 tan(a - b) =

 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

 tan(a + b) =

 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx

 cos2x = cos 2 x – sin 2 x

= 2cos 2 x - 1

= 1 – 2sin 2 x

 tan2x = 2 2

1

tanx tan x

−

 cot2x =

2 1 2

cot x

cotx

−

 sin3x = 3sinx−4sin3 x

 cos3x = 4cos 3 x – 3cosx

 tan3x =

3 2

3

1 3

tanx tan x

tan x

−

−

4) Công thức hạ bậc:

os

2

cos x

c x= +

sin

2

c x

x= −

 cosxcosy=

1

2 cos x y+ +cos x y−

 sinxcosy=

[ ( ) ( )] 2

1

y x Sin y x Sin + + −

 sinxsiny=

1

2 cos x y cos x y

 sinx + siny = 2sin

x y x y cos

 sinx – siny = 2 os

x y x y

c  + sin − 

 cosx + cosy = 2cos

x y x y cos

 cosx – cosy = 2sin

x y x y sin

 tanx + tany = ( )

cos

sin x y xcosy

+

 tanx – tany = ( )

cos

sin x y xcosy

−

 cotx + coty = ( )

sin

sin x y xsiny

+

 cotx – coty = ( )

sin

sin y x xsiny

−

III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

1) Cung đối nhau:

 cos(–x) = cosx

 sin(–x) = – sinx

 tan(–x) = – tanx

 cot(–x) = – cotx

2) Cung bù nhau:

 sin(π −x)=sinx

 cos(π −x)=−cosx

 tan(π −x)=−tanx

3) Cung hơn kém:

 sin(π +x)=−sinx

 cos(π +x)=−cosx

 tan(π +x)= tanx

 cot(π +x)= cotx

 cot(π −x)=−cotx

4) Cung phụ nhau.

2

(π −x

= cosx  cosx = sin (900 – x )

2

(π −x

= sinx  sinx = cos (900 – x )

2

(π −x

= cotx  cotx = tan (900 – x )

2

(π −x

= tanx  tanx = cotx (900 – x )

5) Cung hơn kém.

 sin( )

2 x cosx

π + =  cosx = sin (900 + x )

2 (π +x

= sinx−  - sinx = cos (900 + x )

2 (π +x

= cotx−  - cotx = tan (900 + x )

2 (π +x

= tanx−  - tanx = cotx (900 + x )

Ghi nhớ : Cos đối – Sin bù – Phụ chéo

 t anx= sinx ,(x k )

cosx 2

π

≠ + π

 sin x cos x 12 + 2 =

1 tan x,(x k )

2 cos x

π

= + ≠ + π

1 cot x,(x k )

t anx.cotx=1,(x )

2

π

≠

 sin3x c + os3x = (sinx cos )(1 sinx.cos ) + x − x

 sin3x c − os3x = (sinx cos )(1 sinx.cos ) − x + x

2

x + x = − x

4

x + x = − x

1 sin 2 ± x = sin x ± cos x

x+ x= sin x +π = cos x −π 

x− x= sin x −π= − cos x +π 