Bài tập nâng cao về bất đẳng thức dành cho học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9

tuyển tập những bài tập bất đẳng thức hay trong các đề thi. Giúp những học sinh giỏi đạt được kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi. Chuyên đề này gồm 35 bài tập bất đăng thức hay và khó. Các bạn đọc nhớ đọc kĩ lời giải sau mỗi bài để đạt kết quả cao. cảm ơn.

 Đây là nhưng bài toán khó về chuyên đề bất đẳng thức có chọn lọc kĩ càng

Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn học sinh đang thi học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 để đạt được kết quả cực cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh Hãy ủng hộ cho bài viết của tôi nếu các thấy đây là tài liệu tốt, điều đó giúp tôi có tinh thần hơn trong viết upload trên 123.doc Xincảm ơn

2 xy x− y=x− y +

2

x− y (v× x.y = 1)

x2+y2x− y ≥2√2

x= t2-2

Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c >0





c b a

2 1 1 1

2 2

2   

c b a

(Vì a2b2  6) Hay 3(a2 6) ( a b ) 2Câu 13:

1

) 1 1

1

1 )

)(

( ) (

) (

2 2

2 2

2 2

2 2 3 3 2

3 3

2 2 2

y y

x x

y x y x y x y

y x x y

1 1 1 ( 2 1 1 1

2 2

ca bc ab c

b a

1 1 1 1

2 1 1 1

2 2

2   



c b a

Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :

2 1 3

0 2

MÆt kh¸c a b  2 ab  0

Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có

< >(a2y + b2x)(x + y) ¿(a+b)2xy

 a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy

 a2y2 + b2x2  2abxy

a+c a+b+c (1)(

b a+b+c <

b b+c <

b+a a+b+c (2)

c a+b+c <

c c+a <

c+b a+b+c (3)

Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :

1 <

a a+b +

b b+c +

c c+a < 2

Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x  y  z  x nên có thể giả sử x là số lớn nhất Xét hai trường hợp :

a) x ≥ y ≥ z > 0 Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với :

4 +

a2

12 +b

2+c2−ab−bc−ca

=(a42+b

2+c2−ab−ac+2 bc)+a2

12−3 bc =(a2−b−c)2+1

12a (a

3−36)>0

(Vì abc = 1 và a3 > 36 nên a > 0) Vậy :

a2

3 +b

2 +c2>ab+bc +ca

Cõu 22:

Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2

Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2

Giải:

Nếu a  1 thì b + c > a  1  a + b + c > 2 , vô lý ! Vậy 0 < a < 1

V× 1 - c > 0 nªn :(1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (2) (1 - a - b)(1 - c) = 1 - a - b - c + c(a + b) > 1 - a - b - c (3)

Tõ (2) vµ (3) suy ra : (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c Suy ra : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)

>1 - a - b - c - d + d(a + b + c) > 1 - a - b - c - d

( v× d(a + b + c) > 0)VËy : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d

V× 1 a  2 nªn (a - 1)(a - 2) = a2 - 3a + 2  0  a(3 -a) 2Suy ra : ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(3 - a) + bc  2 VËy a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ac) (1)

= 9 - 2(ab + bc + ac)  5 ( theo (1))VËy : a2 + b2 + c2  5

b) √ c( a−c)+ √ c( b−c)≤ √ ab⇔ ( √ c(a−c)+ √ c(b−c) )2≤ ab

VËy √ c(a−c)+ √ c(b−c)≤ √ ab

Câu 26:

Chøng minh r»ng víi ba sè d¬ng a , b , c bÊt kú ta lu«n cã :

x + y  16xyzc) Cho a , b , c > 0 Chøng minh r»ng :

1 1

a+

1

b

+ 1 1

b+

1

c

+ 1 1

DÊu “ = “ x¶y ra khi vµ chØ khi a=1

 4z(x + y)  1 4z(x + y)2  x +yVËy x + y  16xyz

a+

1

b

+ 1 1

b+

1

c

+ 1 1

g) áp dụng bất đẳng thức 4ab  (a + b)2 ta có :

a) Cho 3 số dơng a , b , c Chứng minh rằng :

1< a

b b+c+

c

c +a<2

b) Cho 4 số dơng a , b , c , d Chứng minh rằng :

a+ b a+b+ c+

b+c b+c +d+

c +d c+ d+ a+

a a+b+ c<

a a+b<

a+c

Tơng tự :

b a+b+c<

b b+c<

b+a a+b+c c

a+b+ c<

c c+ a<

c +b a+b+ c

Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta có :

1< a

b b+c+

a+b a+b +c<

a+b+ d a+b+c +d

Tơng tự :

b+ c a+b+ c+d<

b+c b+c +d <

b +c +d a+b+ c+d

c +d a+b+ c+ d<

c+ d

c +d +a<

c+ d+ b a+b+ c+ d

d +a a+b+c+ d<

d+ a

d +a+b<

d +a+c a+ b+c +d

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có :

2< a+ b

b+c b+c +d+

c +d c+ d+a+

d +a

d + a+b<3

Vậy

a+ b a+b+ c+

b+c b+c +d+

c +d c+ d+ a+

<2

2 k−1⇒a k>a k−1 ;

1 (2 k−1 )a

k2

< 1 (2 k −1)a k −1 a k=

n

<2 Câu 30:

Cho a  0 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×

Cõu 31:

Cho a , b là hai số tuỳ ý thoả mãn điều kiện a + b  0 Chứng minh

rằng với mọi số nguyên dơng n thì (a+b2 )n≤a n+b n

2 (1).Giải:

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1) cũng đúng với n = k +1 , tức

là phải chứng minh : (a+b2 )k+1≤a k +1+bk +1

từ a + b  0  a  -b  a  | b | do đó ak - bk  0 Vậy bất đẳng thức (2) đã đợc chứng minh

c 1+c≥2√ bc

(1+b)(1+c) , dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi :

b

1+b=

c

1+c⇔b=c

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki ta có :

Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác có

hay: 0<2 √ ( p−a)( p−b)+2 √ ( p−a)( p−c)+2 √ ( p−b)( p−c)

Bất đẳng thức này luôn luôn đúng nên bất đẳng thức (2) đúng Kết hợp với (1) ta có : √ p< √ p−a+ √ p−b+ √ p−c≤ √ 3 p

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi :

{ x 3 + y 3 =2 ¿ { √ x

√ y =

√ x 3

√ y 3 ¿¿¿¿