tuyển tập những bài tập bất đẳng thức hay trong các đề thi. Giúp những học sinh giỏi đạt được kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi. Chuyên đề này gồm 35 bài tập bất đăng thức hay và khó. Các bạn đọc nhớ đọc kĩ lời giải sau mỗi bài để đạt kết quả cao. cảm ơn.
• Đây là nhưng bài toán khó về chuyên đề bất đẳng thức có chọn lọc kĩ càng. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn học sinh đang thi học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 để đạt được kết quả cực cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh. Hãy ủng hộ cho bài viết của tôi nếu các thấy đây là tài liệu tốt, điều đó giúp tôi có tinh thần hơn trong viết upload trên 123.doc. Xin cảm ơn. Câu 1: Cho , ,a b c R∈ thoả mãn: 2 2 2 1a b c+ + = Chứng minh rằng: 1 1 2 ab bc ca− ≤ + + ≤ Giải: Ta có 0)(20)( 2222 ≥+++++⇔≥++ cabcabcbacba 1)(2 −≥++⇒ cabcab (vì 2 2 2 1a b c+ + = ) 2 1 −≥++⇒ cabcab (1) Mặt khác: caacbccbabba 2;2;2 222222 ≥+≥+≥+ )(2)(2 222 cabcabcba ++≥++⇒ )(22 cabcab ++≥⇒ (vì 2 2 2 1a b c+ + = ) Bất Đẳng Thức 1≤++⇒ cabcab (2) Từ (1) và (2) 1 2 1 ≤++≤−⇒ cabcab (đpcm) Câu 2: Cho n ∈ N * . Chứng minh rằng : 1 1 3 n n + < ÷ giải: • Với n = 1, ta có : 1 1 1 2 3 1 + = < ÷ (đúng) • Với n ≥ 2, ta có : 2 3 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 3) 1 ( 1)( 2) 2.1 1 1 1 . . . . 2! 3! ! n n n n n n n n n n n n n n n n n − − − − − + = + + + + + ÷ 1 1 1 1 1 2! 3! !n < + + + + + ÷ Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2! 3! ! 1.2 2.3 ( 1)n n n n + + + ≤ + + + = − < − Vậy 1 1 3 n n + < ÷ (đpcm) Câu 3: Cho hai sè x vµ y tháa m¶n ®iÒu kiÖn: x.y = 1 vµ x > y. Chøng minh r»ng: 22 22 ≥ − + yx yx Gi ải: Ta cã: ( ) yx yx yx xy yx yx xyyx yx yx − +−= − +−= − −− = − + 222 2 22 (v× x.y = 1) V×: x >y => x-y > 0 vµ 0 2 > − yx . ¸p dông B§T Cauchy (C« si) cho hai sè kh«ng ©m x-y vµ yx − 2 , ta cã: x-y + yx − 2 yx yx − − ≥ ).(2 .2 = 2. 2 Suy ra: 22 22 ≥ − + yx yx Câu 4: Chứng minh rằng 2 44 ba + 2233 babaab −+≥ Giải: 2 44 ba + 2233 babaab −+≥ ≥+⇔ 44 ba 2233 222 babaab −+ −+⇔ 44 ba 2233 222 babaab +− 0≥ )2()2( 22342234 baabbbabaa +−++−⇔ 0)()( 2222 ≥−+−⇔ abbaba (đpcm) Câu 5: Chứng minh với mọi số dương x, y ta đều có: x y y x x y y x +≥+ Giải: Xét hiệu: P= ( ) y x y x y x y x + − + Đặt t= x y y x + ⇒ =+ x y y x t 2 -2 Thay vào P ta có: P=t 2 -t-2=(t+1)(t-2) Do x,y là hai số dương nên x y và y x cùng dưong. Do đó 2≥+ x y y x Câu 7: Cho 3 số a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 1 1 1 a b c b c a + + ≥ + + + giải: Với a,b, c dương theo BĐT Côsi ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 a ab ab ab a a a b b b = − ≥ − = − + + Chứng minh tương tự ta được: 2 2 ; 2 2 1 1 b bc c ac b c c a ≥ − ≥ − + + Cộng các BĐT trên theo vế ta được: 2 2 2 3 2 2 1 1 1 a b c ab bc ca ab bc ca a b c b c a + + + + + + ≥ + + − = − + + + (3) ta có (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca)(dễ chứng minh) ( ) 2 3 3 a b c ab bc ca + + ⇒ + + ≤ = (4) Từ (3) và (4) ta có: 2 2 2 3 3 3 2 2 1 1 1 a b c b c a + + ≥ − + + + = Câu 8: Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c >0. Chứng minh: ( ) ( ) 1 2 a b 2 b c b − < < − giải: Ta có: ( ) a b 1 a b 1 a b 1= + ⇒ − = ⇒ > . ( ) b 1 c 2 b c 1 b c 0 2+ = + ⇒ − = ⇒ > > . (c > 0 theo (gt)) Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0. Mặt khác ( ) ( ) 1 1 a b 1 a b a b 1 a b a b 2 b − = ⇒ − + = ⇒ − = < + (Vì a >b>0) ( ) 1 2 a b b ⇒ − < . Chứng minh tương tự cho trường hợp: ( ) 1 2 b c b < − . Vậy ( ) ( ) 1 2 a b 2 b c b − < < − (đpcm). Câu 9: Cho a ≥ 1 ; b ≥ 1 .Chứng minh rằng : a 1b − + b 1a − ≤ ab Giải: với a ≥ 1 ; b ≥ 1 , Áp dụng BĐT Cô-Si cho hai số không âm , ta có ( ) 1 1 1 1. 1 2 2 b b b b + − − = − ≤ = ; ( ) 1 1 1 1. 1 2 2 a a a a + − − = − ≤ = Suy ra : a 1b − + b 1a − . 2 2 2 2 b a ab ab a b ab≤ + = + = Câu 10: Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ta luôn có: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Giải: Ta có: ,a b 2 2 a b ab + ≥ ÷ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a b a ab b a ab b ab ab + + + − + − = − = ÷ Vậy: Dấu đẳng thức xảy ra khi Câu 11: a. Cho hai số x và y là hai số dương và x 3 +y 3 = x-y. Chứng minh rằng : x 2 + y 2 <1 b. Chứng minh rằng , nếu và a + b + c = abc thì ta có: Giải: a. Ta có : y+y 3 = x(1-x 2 )>0 ; (vì x;y>0) Suy ra 0<x 2 <1 hay 0<x<1 Mà x 3 +y 3 = x-y>0 (vì x;y>0) Suy ra 0<y<x<1 Áp dung bất đẳng thức Bunhiakopsky ta có: ( ) 2 0, , 4 a b a b − = ≥ ∀ ∈R ( ) 2 2 , , 4 , , 2 a b ab a b a b ab a b + ≥ ∀ ∈ ⇔ + ≥ ∀ ∈ ÷ R R a b= 2 111 =++ cba 2 111 222 =++ cba (Vì b. Do : (1) Và a + b + c = abc (2) Từ (1) và (2) Câu 12: Cho ;a b là hai số dương thỏa mãn: 2 2 6a b+ = . Chứng minh: 2 3( 6) ( ) 2a a b + ≥ + Giải Với ;a b là hai số dương ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2. . .1 2 1 2 2 a b a b a b + = + ≤ + + ÷ ÷ (Theo Bunhiacopski) 1 )111 1))(()()( 22 2222 2233233222 <+⇒ <−<−⇒< <−=++≤+=+ yx yyxx yxyxyxyyxxyx ⇒=++ 2 111 cba 4) 111 (2 111 222 =+++++ cabcabcba 1 111 =++⇒ cabcab 2 111 222 =++⇒ cba ( ) ( ) 2 2 3 6 2 a b a⇔ + ≤ + (Vì 2 2 6a b+ = ) Hay 2 3( 6) ( ) 2a a b+ ≥ + Câu 13: Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức : ( ) 2 1 3 a b c ab bc ca a b c+ + + ≥ + + + + + giải Khi nào đẳng thức xảy ra ? ( ) 2 0 2a b a b ab− ≥ ⇒ + ≥ + Tương tự, 2a c ac+ ≥ 2b c bc + ≥ 1 2a a + ≥ + 1 2b b + ≥ 1 2c c+ ≥ Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Câu 14: Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng : ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + ≥ + gii Ta có : 2 2 1 1 0; 0 2 2 a b ữ ữ a , b > 0 1 1 0; 0 4 4 a a b b + + 1 1 ( ) ( ) 0 4 4 a a b b + + + a , b > 0 1 0 2 a b a b + + + > Mặt khác 2 0a b ab+ > Nhân từng vế ta có : ( ) ( ) ( ) 1 2 2 a b a b ab a b + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + + Cõu 15: Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 x 3 + y 4 . Chứng minh: x 3 + y 3 x 2 + y 2 x + y 2 Gii Ta có (y 2 - y) + 2 0 2y 3 y 4 + y 2 (x 3 + y 2 ) + (x 2 + y 3 ) (x 2 + y 2 ) + (y 4 + x 3 ) mà x 3 + y 4 x 2 + y 3 do đó x 3 + y 3 x 2 + y 2 (1) + Ta có: x(x - 1) 2 0: y(y + 1)(y - 1) 2 0 x(x - 1) 2 + y(y + 1)(y - 1) 2 0 x 3 - 2x 2 + x + y 4 - y 3 - y 2 + y 0 (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y3) (x + y) + (x 3 + y 4 ) mà x 2 + y 3 x 3 + y 4 x 2 + y 2 x + y (2) và (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y 3 -1) 0 x 3 - x 2 - x + 1 + y 4 - y - y 3 + 1 0 (x + y) + (x 2 + y 3 ) 2 + (x 3 + y 4 ) mà x 2 + y 3 x 3 + y 4 x + y 2 Từ (1) (2) và (3) ta có: x 3 + y 3 x 2 + y 2 x + y 2 [...]... thức này luôn luôn đúng nên bất đẳng thức (2) đúng p< pa + p b + p c 3p Kết hợp với (1) ta có : Cõu 35: Gii: Các số không âm x và y thoả mãn điều kiện x3 + y3 = 2 Chứng minh rằng : x2 + y2 2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki cho hai bộ số 3 ( x; y ) 3 ( x ; y ) (x 2 + y2 ) ta có : 2 = ( x x3 + y y 3 ) 2 ( x + y )( x 3 + y 3 ) = 2( x + y ) (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki một lần nữa... 2 a b c d + + + 2 b+c c+d a+d a+b Vậy : áp dụng bất đẳng thức 4ab (a + b)2 ta có : ab áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 4 ab 1 1 4 + ( x , y > 0) x y x+ y ta có : 1 1 1 1 4 1 + 2 = + + 2 2+ =6 2 2 ab a + b 2ab 2ab a + b ( a + b) 2 1 1 + 2 6 ab a + b 2 Vậy : Cõu 28: a) Cho 3 số dơng a , b , c Chứng minh rằng : 1< a b c + + 1 + a + b > 2 + + b a b a a b + 2 a+b > 4 b a áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 + ( x , y > 0) x y x+ y ta có : 1 1 4 4 + = ; p a p b 2p a b c 1 1 4 4 + = ; p b p c 2p b c a 1 1 4 4 + = ; p c p a 2p c a b 1 1 1 1 1 1 Vậy : 2 p a + p b + p c 4 a + b + c 1 1 1 1 1 1 + + 2 + + pa pb pc a b c f áp dụng bất đẳng thức 1 4 ( x, y > 0) xy (... a+b+c c c c+b < < a+b+c c+a a+b+c Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta có : , không là số 1< b a b c + + . nhưng bài toán khó về chuyên đề bất đẳng thức có chọn lọc kĩ càng. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn học sinh đang thi học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 để đạt được kết quả cực cao trong. + b 2 x 2 0 (ay - bx) 2 0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0 Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay a b x y = áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1. 0 ⇔ z 2 (x – z)(x 3 – zy 2 ) + x 2 (xz 2 – y 3 )(z – y) ≥ 0 Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng. Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 2 2 2 x y z x y z 1 1 1 3 y z