tuyển tập những bài tập bất đẳng thức hay trong các đề thi. Giúp những học sinh giỏi đạt được kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi. Chuyên đề này gồm 35 bài tập bất đăng thức hay và khó. Các bạn đọc nhớ đọc kĩ lời giải sau mỗi bài để đạt kết quả cao. cảm ơn.
Trang 1 Đây là nhưng bài toán khó về chuyên đề bất đẳng thức có chọn lọc kĩ càng
Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn học sinh đang thi học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 để đạt được kết quả cực cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh Hãy ủng hộ cho bài viết của tôi nếu các thấy đây là tài liệu tốt, điều đó giúp tôi có tinh thần hơn trong viết upload trên 123.doc Xincảm ơn
Trang 22 xy x− y=x− y +
2
x− y (v× x.y = 1)
Trang 3x2+y2x− y ≥2√2
x= t2-2
Trang 5Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c >0
Trang 6
c b a
2 1 1 1
2 2
2
c b a
Trang 7(Vì a2b2 6) Hay 3(a2 6) ( a b ) 2Câu 13:
1
) 1 1
1
1 )
)(
( ) (
) (
2 2
2 2
2 2
2 2 3 3 2
3 3
2 2 2
y y
x x
y x y x y x y
y x x y
1 1 1 ( 2 1 1 1
2 2
ca bc ab c
b a
1 1 1 1
2 1 1 1
2 2
2
c b a
Trang 8Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
2 1 3
0 2
MÆt kh¸c a b 2 ab 0
Trang 9Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ
Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có
< >(a2y + b2x)(x + y) ¿(a+b)2xy
a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy
a2y2 + b2x2 2abxy
Trang 10a+c a+b+c (1)(
Trang 11
b a+b+c <
b b+c <
b+a a+b+c (2)
c a+b+c <
c c+a <
c+b a+b+c (3)
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :
1 <
a a+b +
b b+c +
c c+a < 2
Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x y z x nên có thể giả sử x là số lớn nhất Xét hai trường hợp :
Trang 12a) x ≥ y ≥ z > 0 Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với :
Trang 134 +
a2
12 +b
2+c2−ab−bc−ca
=(a42+b
2+c2−ab−ac+2 bc)+a2
12−3 bc =(a2−b−c)2+1
12a (a
3−36)>0
(Vì abc = 1 và a3 > 36 nên a > 0) Vậy :
a2
3 +b
2 +c2>ab+bc +ca
Cõu 22:
Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Giải:
Nếu a 1 thì b + c > a 1 a + b + c > 2 , vô lý ! Vậy 0 < a < 1
Trang 14V× 1 - c > 0 nªn :(1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (2) (1 - a - b)(1 - c) = 1 - a - b - c + c(a + b) > 1 - a - b - c (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra : (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c Suy ra : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
>1 - a - b - c - d + d(a + b + c) > 1 - a - b - c - d
( v× d(a + b + c) > 0)VËy : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d
V× 1 a 2 nªn (a - 1)(a - 2) = a2 - 3a + 2 0 a(3 -a) 2Suy ra : ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(3 - a) + bc 2 VËy a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ac) (1)
= 9 - 2(ab + bc + ac) 5 ( theo (1))VËy : a2 + b2 + c2 5
b) √ c( a−c)+ √ c( b−c)≤ √ ab⇔ ( √ c(a−c)+ √ c(b−c) )2≤ ab
VËy √ c(a−c)+ √ c(b−c)≤ √ ab
Câu 26:
Trang 15Chøng minh r»ng víi ba sè d¬ng a , b , c bÊt kú ta lu«n cã :
x + y 16xyzc) Cho a , b , c > 0 Chøng minh r»ng :
1 1
a+
1
b
+ 1 1
b+
1
c
+ 1 1
Trang 16DÊu “ = “ x¶y ra khi vµ chØ khi a=1
4z(x + y) 1 4z(x + y)2 x +yVËy x + y 16xyz
a+
1
b
+ 1 1
b+
1
c
+ 1 1
Trang 17g) áp dụng bất đẳng thức 4ab (a + b)2 ta có :
a) Cho 3 số dơng a , b , c Chứng minh rằng :
1< a
b b+c+
c
c +a<2
b) Cho 4 số dơng a , b , c , d Chứng minh rằng :
Trang 18a+ b a+b+ c+
b+c b+c +d+
c +d c+ d+ a+
a a+b+ c<
a a+b<
a+c
Tơng tự :
b a+b+c<
b b+c<
b+a a+b+c c
a+b+ c<
c c+ a<
c +b a+b+ c
Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta có :
1< a
b b+c+
a+b a+b +c<
a+b+ d a+b+c +d
Tơng tự :
b+ c a+b+ c+d<
b+c b+c +d <
b +c +d a+b+ c+d
c +d a+b+ c+ d<
c+ d
c +d +a<
c+ d+ b a+b+ c+ d
d +a a+b+c+ d<
d+ a
d +a+b<
d +a+c a+ b+c +d
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có :
2< a+ b
b+c b+c +d+
c +d c+ d+a+
d +a
d + a+b<3
Vậy
a+ b a+b+ c+
b+c b+c +d+
c +d c+ d+ a+
Trang 19<2
2 k−1⇒a k>a k−1 ;
Trang 201 (2 k−1 )a
k2
< 1 (2 k −1)a k −1 a k=
n
<2 Câu 30:
Cho a 0 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×
Trang 21Cõu 31:
Cho a , b là hai số tuỳ ý thoả mãn điều kiện a + b 0 Chứng minh
rằng với mọi số nguyên dơng n thì (a+b2 )n≤a n+b n
2 (1).Giải:
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1) cũng đúng với n = k +1 , tức
là phải chứng minh : (a+b2 )k+1≤a k +1+bk +1
từ a + b 0 a -b a | b | do đó ak - bk 0 Vậy bất đẳng thức (2) đã đợc chứng minh
c 1+c≥2√ bc
(1+b)(1+c) , dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi :
b
1+b=
c
1+c⇔b=c
Trang 22áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki ta có :
Trang 23Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác có
hay: 0<2 √ ( p−a)( p−b)+2 √ ( p−a)( p−c)+2 √ ( p−b)( p−c)
Bất đẳng thức này luôn luôn đúng nên bất đẳng thức (2) đúng Kết hợp với (1) ta có : √ p< √ p−a+ √ p−b+ √ p−c≤ √ 3 p
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi :
{ x 3 + y 3 =2 ¿ { √ x
√ y =
√ x 3
√ y 3 ¿¿¿¿