PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN : 1.Đònh nghóa: → AB là một đoạn thẳng đònh hướng. 2. Hai véctơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài. 3.Hai véctơ đối nhau: ngược hướng và có cùng độ dài. 4.Cộng véctơ: , ,A B C AC AB BC ∀ = + uuur uuur uuur ta có: Nếu ABCD là hình bình hành, thì AB AD AC+ = uuur uuur uuur Tính chất: + = + r r r r a b b a ; ( ) ( )+ + = + + r r r r r r a b c a b c 0 0a a a + = + = r r r r r ; ( ) 0 + − = r r r a a 5.Trừ véctơ: OA OB BA − = uuur uuur uuur 6.Tích 1 số thực với 1 véctơ: akb r r = ⇔ akb r r = vàø < ≥ 0k nếu hướng ngược b,a 0k nếu hướng cùng b,a r r r r a r cùng phương b r ⇔ ∃k∈R: b r =k a r . Tính chất: ( )+ = + r r r r m a b ma mb ; ( ) + = + r r r m n a ma na ( ) ( )m na mn a = r r ; 1. ; 1.a a a a = − = − r r r r 7.Tích vô hướng: )b,acos(|b|.|a|b.a r r r r r r = 8.Véctơ đồng phẳng: 3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với 1 mặt phẳng. c ,b ,a r r r đồng phẳng ⇔ bnamc :Rn,m r rr +=∈∃ 9.Phân tích 1 véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng: Với 321 e ,e ,e rrr không đồng phẳng và véctơ a r , có duy nhất 3 số thực x 1 , x 2 , x 3 : a r = x 1 33221 e xe xe rrr ++ 10.Đònh lý: a) Với M là trung điểm AB, G là trọng tâm của ∆ABC, O tùy ý thì: 0MBMA r =+ →→ 2 →→→ += CBCACM 0GCGBGA r =++ →→→ )OCOBOA( 3 1 OG →→→→ ++= b) G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD ⇔ )ODOCOBOA( 4 1 OG →→→→→ +++= II.HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM 1.Hệ toạ độ Đêcác vuông góc trong không gian: Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ tọa độ Oxyz với Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao. Trên Ox, Oy và Oz lần lượt có các vectơ đơn vò (0;0;1)kvà (0;1;0)j ),0;0;1(i === rrr . 2.Tọa độ của véctơ: u (x; y; z) u xi yj zk = ⇔ = + + r r r r r . 3.Tọa độ của điểm: M(x; y; z) OM (x; y;z) → ⇔ = x: hoành độ; y: tung độ; z: cao độ của M hoặc → OM . 4. Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(x A ; y A ; z A; ) và B(x B ;y B ; z B ) và → a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và → b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Ta có: a) → a ± → b = (x 1 ± x 2 ; y 1 ± y 2 ; z 1 ± z 2 ) b)k → a = (kx 1 ; ky 1 ; kz 1 ) (k là số thực). c) Tích vô hướng: → a . → b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Hệ quả: 1. | a| r = 2 1 2 1 2 1 zyx ++ . 2. )b;acos( r r = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x x y y z z x y z . x y z + + + + + + 3. → a ⊥ → b ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. = 0 d) → a = → b ⇔ x 1 =x 2 ; y 1 =y 2 và z 1 =z 2 e) → a , → b cùng phương 2 1 2 1 2 1 z z y y x x a.kb:Rk ==⇔=∈∃⇔ →→ f) Tọa độ của vectơ: → AB = (x B −x A ; y B −y A ; z B − z A ). g) Khoảng cách: 2 AB 2 AB 2 AB )z-(z)y-(y)x-(x AB ++= h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k≠1) ⇔ → MA = k. → MB ⇔ k1 OBKOA OM − − = →→ → ( k≠1). Khi đó tọa độ của M là: − − = − − = − − = k1 kzz z k1 kyy y k1 kxx x BA M BA M BA M M là trung điểm AB⇔ + = + = + = 2 zz z 2 yy y 2 xx x BA M BA M BA M III. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VÉCTƠ VÀ ÁP DỤNG 1.Tích có hướng của 2 véctơ: • Đònh nghiã: Cho → a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và → b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , ; ; y z z x x y a b y z z x x y = r r • Các tính chất: a r cùng phương , 0b a b ⇔ = r r r r , ⊥ r r r a b a và ,a b b ⊥ r r r , . .sin( , ) = r r r r r r a b a b a b 2 Diện tích tam giác: 1 , 2 ∆ = uuur uuur ABC S AB AC 3.Thể tích: • Hình hộp: . ' ' ' ' , . ' = uuur uuur uuur ABCD A B C D V AB AD AA • Tứ diện: 1 , . 6 = uuur uuur uuur ABCD V AB AC AD 4.Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng: • , ,a b c r r r đồng phẳng , . 0 ⇔ = r r r a b c • A, B, C, D đồng phẳng , . 0 ⇔ = uuur uuur uuur AB AC AD IV. PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng: a) Đònh nghóa: 0n ≠ r r là VTPT của mặt phẳng ( ) ( )n α α ⇔ ⊥ r . b)Chú ý: 2 véctơ 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ); ( ; ; ) = = r r a x y z b x y z không cùng phương và cùng song song hoặc nằm trong (α), gọi là cặp véctơ chỉ phương của (α). Khi đó véctơ pháp tuyến của (α): 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , ; ; y z z x x y n a b y z z x x y = = r r r 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: a) Đònh nghóa: Phương trình dạng: 2 2 2 Ax By Cz D 0, A B C 0 + + + = + + ≠ gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. • (α):Ax+By+Cz+D=0 có véctơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C = r . • Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có véctơ pháp tuyến ( ; ; )n A B C = r là: 0 0 0 0A(x - x ) B(y - y ) C(z - z ) + + = b) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: • Mặt phẳng qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương trình là: 1 x y z a b c + + = (a,b,c đều khác 0) V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG CHÙM MẶÊT PHẲNG: 1.Vò trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2 mp (α 1 ): A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, (α 2 ): A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 lần lượt có các VTPT n → 1 =(A 1 ; B 1 ; C 1 ) và n → 2 =(A 2 ; B 2 ; C 2 ) Trang 1 Ta có: 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 22211121 D D C C B B A A )( )( D D C C B B A A )( // )( C:B:AC:B:A )(cắt )( ===⇔α≡α ≠==⇔αα ≠⇔αα 2.Chùm mặt phẳng: Cho 2 mp (α 1 ): A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, (α 2 ): A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 cắt nhau theo giao tuyến (∆). Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến (∆) đều có phương trình dạng: m(A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 )+ n(A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 ) = 0 (m 2 +n 2 ≠0) VI.PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Nếu đường thẳng (∆) là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì phương trình tổng quát là: =+++ =+++ 0DzCyBxA 0DzCyBxA 2222 1111 , Với A 1 :B 1 :C 1 ≠A 2 :B 2 :C 2 VT chỉ phương của (∆) là 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 B C C A A B u ( ; ; ) B C C A A B → = 2. Phương trình tham số của đường thẳng: a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng: Một véctơ ( ; ; )u a b c = r khác → 0 nằm trên 1 đường thẳng song song hay trùng với (∆), được gọi là VTCP của đường thẳng (∆). b)Phương trình tham số: của đường thẳng (∆) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ; z 0 ) và có VTCP ( ; ; )u a b c = r là: 0 0 0 = + = + = + x x at y y bt z z ct 2 2 2 ( 0) + + ≠ a b c 3. Phương trình chính tắc: của đường thẳng (∆) đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTCP ( ; ; )u a b c = r là: 0 0 0 (*) x x y y z z a b c − − − = = 2 2 2 ( 0)a b c + + ≠ Chú ý: Từ (*) có thể suy ra 3 mặt phẳng chứa (∆) lần lượt song song Oz, Oy hoặc Ox. Từ đây có thể tìm hình chiếu vuông góc của (∆) lên (Oxy):z=0; lên (Oxz):y=0 hoặc lên (Oyz): x=0. VII .VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: 1.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng: (∆ 1 ) đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) có vectơ chỉ phương u → =(a 1 ;b 1 ;c 1 ) và (∆ 2 ) đi qua M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) có vectơ chỉ phương v → =(a 2 ;b 2 ;c 2 ). Tacó: 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1. ( ) //( ) : : : : ( ) : ( ) : ( ) 2. ( ) ( ) : : : : ( ) : ( ) : ( ) 3. ( ), ( ) : : : : , . 0 4. ( ),( ) ∆ ∆ ⇔ = ≠ − − − ∆ ≡ ∆ ⇔ = = − − − ∆ ∆ ⇔ ≠ = ∆ ∆ r r uuuuur a b c a b c x x y y z z a b c a b c x x y y z z a b c a b c u v M M cắt nhau và chéo nhau 1 2 1 2 1 2 , . 0 5. ( ), ( ) , . 0 ⇔ ≠ ∆ ∆ ⇔ = r r uuuuur r r uuuuur u v M M u v M M đồng phẳng 2.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : Cho (∆) đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có VTCP u → =(a; b; c) và (α): Ax+By+Cz+D=0 có VTPT n → =(A; B; C). Ta có: 0 0 0 0 0 0 1. ( ) ( ) 0 0 2. ( ) //( ) 0 0 3. ( ) ( ) 0 ∆ ⇔ + + ≠ + + = ∆ ⇔ + + + ≠ + + = ∆ ⊂ ⇔ + + + = Aa Bb Cc Aa Bb Cc Ax By Cz D Aa Bb Cc Ax By Cz D α α α cắt Đặc biệt: CBAcbad ::::)( =⇔⊥ α VIII. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mp 0:)( =+++ DCzByAx α là: ( ) 0 0 0 0 2 2 2 ,( ) + + + = + + Ax By Cz D d M A B C α 2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng (∆) đi qua điểm M 0 và có VTCP phương u r là: 0 1 1 , ( , ) M M u d M u ∆ = uuuuuur r r 3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: (∆ 1 ) đi qua M 1 và có VTCP u r và (∆ 2 ) đi qua M 2 và có véctơ chỉ phương r v . Khoảng cách giữa (∆ 1 ) và (∆ 2 ) là: 1 2 1 2 , . ( , ) , ∆ ∆ = r r uuuuur r r u v M M d u v IX.GÓC: 1.Góc giữa 2 đường thẳng: Cho (∆ 1 ) có VTCP u r =(a 1 ; b 1 ; c 1 ) và (∆ 2 ) có VTCP r v = (a 2 ; b 2 ; c 2 ). Gọi ϕ là góc giữa (∆ 1 ) và (∆ 2 ). Ta có: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos | |.| | → → → → + + = = + + + + u v a a bb c c a b c a b c u v ϕ Đặc biệt: 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) a a b b c c 0 ∆ ⊥∆ ⇔ + + = 2.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng (∆) có VTCP u → =(a; b; c) và (α) có VTPT n → =(A; B; C). Nếu ψ là góc giữa (∆) và (α) thì: 2 2 2 2 2 2 . sin | |.| | → → → → + + = = + + + + n u Aa Bb Cc A B C a b c n u ψ (0 0 ≤ ψ ≤ 90 0 ) Đặc biệt: //( ) ( ) Aa Bb Cc 0 ∆α ∆⊂α⇔ + + = hoặc 3.Góc giữa 2 mặt thẳng: Cho mp(α 1 ) có VTPT n → 1 =(A 1 ; B 1 ; C 1 ) và mp(α 1 ) có VTPT n → 2 =(A 2 ; B 2 ; C 2 ). Nếu β là góc giữa (α 1 ) và (α 2 ) thì: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 . cos | |. | | → → → → + + = = + + + + n n A A B B C C A B C A B C n n β Đặc biệt: (α 1 )⊥ (α 2 ) ⇔ A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0 X.PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU: 1. Phương trình của mặt cầu: 1. Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x−a) 2 + (y−b) 2 + (z−c) 2 = R 2 Đặc biệt: Phương trình mặt cầu S(O,R) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 2. Phương trình: 2 2 2 2 2 2 0 + + + + + + = x y z Ax By Cz D với: 2 2 2 0A B C D + + − > là phương trình mặt cầu tâm I(−A;−B;−C), bán kính : 2 2 2 R A B C D = + + − 2. Giao của mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S): (x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 có tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a; b; c) lên mặt phẳng (α) ta có: IH là khoảng cách từ I đến (α): 2 2 2 ( , ) Aa Bb Cc D IH d I A B C α + + + = = + + Khi đó: • (α)∩(S)=∅ ⇔ IH>R • (α)∩(S)={H} ⇔ IH=R: H là tiếp điểm và (α) là tiếp diện của (S). • (α)∩(S)= C(H,r) ⇔ IH<R: Đường tròn (C) là giao của (α) và (S), có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (α), bán kính r= 2 2 R IH − và có phương trình: 2 2 2 2 (x a) (y b) (z c) R Ax By Cz D 0 − + − + − = + + + = Giáo viên soạn: Phạm Văn Luật, THPT Đốc Binh Kiều Trang 2 Tài liệu dành cho học sinh lớp 12 –HK2 . tứ diện ABCD ⇔ )ODOCOBOA( 4 1 OG →→→→→ +++= II.HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM 1.Hệ toạ độ Đêcác vuông góc trong không gian: Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz. yj zk = ⇔ = + + r r r r r . 3 .Tọa độ của điểm: M(x; y; z) OM (x; y;z) → ⇔ = x: hoành độ; y: tung độ; z: cao độ của M hoặc → OM . 4. Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(x A ; y A ; z A; ). PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN : 1.Đònh nghóa: → AB là một đoạn thẳng đònh hướng. 2. Hai véctơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài. 3.Hai