Phương pháp tọa độ trong không gian(doc)

Hồ Văn Hoàng  Ki n th c ế ứ – K năngỹ gi iả CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN ÔN THI TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG TRONG KHÔNG GIAN GIAN Hình học 12  Hồ Văn Hoàng (Lưu hành nội bộ) 2011 2 Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Tóm tắt lý thuyết TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ  Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị , ,i j k r ur ur ( ) 1i j k= = = r r r .  ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ;a a a a a a i a j a k= ⇔ = + + ur ur r ur ur ; M( x; y; z) ⇔ OM xi y j zk= + + uuuur r ur ur  Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z= = r r 1. '; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = = r r 2. ( ) '; '; 'u v x x y y z z± = ± ± ± r r 3. ( ; ; )ku kx ky kz= r 4. . ' ' 'u v xx yy zz= + + r r 5. ' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + = r r 6. 2 2 2 u x y z= + + r 7. ,u v r r cùng phương⇔ [ , ] 0u v = r r r ⇔ x: y: z = x’: y’: z’. 9. ( ) . cos , . u v u v u v = ur r r r r r .  Tích có hướng cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= = r r 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a , ; ; ( ; ; ) b b b b b b n a b a b a b a b a b a b a b     = = = − − −  ÷    ÷   r r r Nếu (P) có cặp vtcp ,ba r r (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) ) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định , p n a b   =   uur r r  Tọa độ của điểm: cho A( x A ; y A ; z A ), B( x B ; y B ; z B ) 1. ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur 2. 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z= − + − + − 3.G là trọng tâm ∆ ABC: x G = 3 A B C x x x+ + ;y G = 3 A B C y y y+ + ; z G = 3 A B C z z z+ + 4. M chia AB theo tỉ số k: ; ; ; 1 1 1 A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k − − − = = = − − − Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x zy + + + = = = 5. ABC là một tam giác⇔ AB AC∧ uuur uuur ≠ 0 r khi đó S= 1 2 AB AC∧ uuur uuur 6. ABCD là một tứ diện⇔ AB AC∧ uuur uuur . AD uuur ≠0, V ABCD = ( ) 1 , 6 AB ADAC∧ uuur uuuur uuur , 3 ( ) 1; 0; 0i r ( ) 0;1; 0j r ( ) 0; 0;1k r O z x y Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 1. Kiến thức cần nhớ: −  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ ≠ r 0n được gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của r n vuông góc với (P), viết tắt là ⊥ r ( )n P .  Nếu hai vectơ r r , a b không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là:   =   uur r r , P n a b .  Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với + + ≠ 2 2 2 0A B C  Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z có vectơ pháp tuyến ( ) = uur ; ; P n A B C có dạng: ( ) ( ) ( ) − + − + − = 0 0 0 0A x x B y y C z z . Nhớ Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: ( )    =   r 0 0 0 ñieåm ( ; ; ) thuoäc mp moät VTPT ; ; moät M x y z n A B C 2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua một điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z và vuông góc với đường thẳng d.   →  =   uur uur 0 0 0 ñi qua ( ; ; ) HD P d Ñieåm M x y z VTPT n a Nhớ: mặt phẳng vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đường thẳng làm VTPT.  Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuông góc với d:  = +  = −   =  1 2 3 2 x t y t z Bài giải   →  =   uur uur ñi qua A(2;2-1) HD P d Ñieåm VTPT n a Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); có vectơ pháp tuyến là ( ) = = − uur uur 2; 3;0 P d n a . (P): ( ) ( ) ( ) − − − + + = ⇔ − − + = ⇔ − + =2 2 3 2 0 1 0 2 4 3 6 0 2 3 2 0x y z x y x y Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuông góc với đường thẳng d: − + = = − 1 2 1 2 2 x y z . Bài giải   →  =   uur uur ñi qua A(2;2-1) HD P d Ñieåm VTPT n a Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); có vectơ pháp tuyến là ( ) = = − uur uur 1;2; 2 P d n a . (P): ( ) ( ) ( ) 1 − + − − + = ⇔ − + − − − = ⇔ + − − =2 2 2 2 1 0 2 2 4 2 2 0 2 2 8 0x y z x y z x y z Nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ uur d a làm vectơ pháp tuyến. 4 Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC. Bài giải   →  =   uur uuur ñi qua B(0;2;0) HD P Ñieåm VTPT n AC Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); có vectơ pháp tuyến là ( ) = = − uur uuur 2;0;2 P n AC . (P): ( ) ( ) ( ) −2 − + − + − = ⇔ −2 ⇔ −0 0 2 2 0 0 x +2z = 0 x+z=0x y z Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ uuur AC làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B. Bài giải   →  =   uur uuur ñi qua B(0;2;0) HD P Ñieåm VTPT n BC Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); có vectơ pháp tuyến là ( ) = = − uur uuur 0; 2;2 P n BC . (P): ( ) ( ) ( ) 0 − − − + − = ⇔ −2 ⇔ −20 2 2 2 0 0 y+4+2z=0 y+2z+4=0x y z Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ uuur BC làm vectơ pháp tuyến. Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài giải   →  =   uur uuur ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2) HD P Ñieåm VTPT n AB . Gọi I là trung điểm của AB ( ) ⇒ 2;2;2I Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2); có vectơ pháp tuyến là ( ) = = uur uuur 2;2;2 P n AB . (P): ( ) ( ) ( ) 2 − + − + − = ⇔ 22 2 2 2 2 0 y+2y+2z-12=0x y z Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB. Kiến thức không được quên − Trục Ox có VTCP là ( ) = r 1;0;0i . − Trục Oy có VTCP là ( ) = r 0;1;0j . − Trục Oz có VTCP là ( ) = r 0;0;1k . − Mp (Oxy) có VTPT: ( )   = = =   r r r r , 0;0;1n i j k . − Mp (Oxz) có VTPT: ( )   = = =   r r r r , 0;1;0n i k j . − Mp (Oyz) có VTPT: ( )   = = =   r r r r , 1;0;0n j k i  Trục Ox:  =  =   =  0 0 x t y z ;  Trục Oy:  =  =   =  0 0 x y t z .  Trục Oz:  =  =   =  0 0 x y z t  mp(Oxy): z = 0.  mp(Oxz): y = 0.  mp(Oyz): x = 0. 5 Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Bài 5: Cho điểm M(1;2;3). 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox. Bài giải ( )   →  = =   uur r ñi qua M(1;2;3) 1;0;0 HD P Ñieåm VTPT n i .(P): ( ) ( ) ( ) 1 − + − + − = ⇔1 0 2 0 3 0 x-1=0x y z Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ r i làm vectơ pháp tuyến. 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy. Bài giải ( )   →  = =   uur r ñi qua M(1;2;3) 0;1;0 HD P Ñieåm VTPT n j (P): y – 2 = 0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ r j làm vectơ pháp tuyến. 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz. Bài giải ( )   →  = =   uur r ñi qua M(1;2;3) 0;0;1 HD P Ñieåm VTPT n k .(P): z – 3 = 0. Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ r k làm vectơ pháp tuyến. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C   →    =     uur uuur uuur 0 0 0 ñi qua A( ; ; ) , HD P Ñieåm x y z VTPT n AB AC Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0); có vectơ pháp tuyến là   =   uur uuur uuur , P n AB AC =(1; 1; 1) (P): ( ) ( ) ( ) 1 − + − + − = ⇔ − + + = ⇔ + + − =1 1 0 1 0 0 1 0 1 0x y z x y z x y z Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;−1;1). Viết phương trình mp(OMN). Bài giải   → =   uur uuuur uuur ñi qua O, VTPT , HD P Ñieåm n OM ON ; (P): x – z = 0. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z và song song với mp(Q)   →  =   uur uur 0 0 0 ñi qua ( ; ; ) HD P Q Ñieåm M x y z VTPT n n Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua A(1;2;3) và song song mp(Q): 2x+2y+z=0. Bài giải   →  =   uur uur ñi qua A(1;2;3) HD P Q Ñieåm VTPT n n .Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT. Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3); có vectơ pháp tuyến là ( ) = = uur uur 2;2;1 P Q n n . (P): ( ) ( ) ( ) 2 − + − + − = ⇔ 2 − + − + − = ⇔ 2 + + − =1 2 2 1 3 0 2 2 4 3 0 2 9 0x y z x y z x y z 6 Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC) Bài giải   →    = =     uur uuuur uuur uuur ñi qua M , HD P ABC Ñieåm VTPT n n AB AC Mặt phẳng (P) qua M(1;2;3); có vectơ pháp tuyến là   = =   uur uuuur uuur uuur , P ABC n n AB AC = (1;1;1) (P): ( ) ( ) ( ) 1 − + − + − = ⇔ − + − + − = ⇔ + + − =1 1 2 1 3 0 1 2 3 0 6 0x y z x y z x y z Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy). Bài giải ( )   →    = = =     uur r r r ñi qua M(1;2;3) , 0;0;1 HD P Ñieåm VTPT n i j k . (P): z – 3 = 0. Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz). Bài giải ( )   →    = = =     uur r r r ñi qua M(1;2;3) , 0;1;0 HD P Ñieåm VTPT n i k j .(P): y – 2 = 0. Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz). Bài giải ( )   →    = = =     uur r r r ñi qua M(1;2;3) , 1;0;0 HD P Ñieåm VTPT n j k i ; (P): x – 1 = 0. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q)   →    =     uur uuur uur ñi qua A , HD P Q Ñieåm VTPT n AB n Bài 1: Viết pt mp(P) qua A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với (Q): 2x−y+3z−1=0 Bài giải   →    =     uur uuur uur ñi qua A , HD P Q Ñieåm VTPT n AB n Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;−1). Cặp vectơ chỉ phương là: ( ) ( ) = − − = − uuur uur 1; 2;5 ; 2; 1;3 Q AB n ⇒ vectơ pháp tuyến là ( )   = = −   uur uuur uur : , 1;13;5 P Q n AB n (P): ( ) ( ) ( ) ⇔ −1 − + − + + = ⇔ − − + =3 13 1 5 1 0 13 5 5 0x y z x y z Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mp(Oxy) Bài giải   →    =     uur uuur r ñi qua A , HD P Ñieåm VTPT n AB k . (P): −2x + y + 5 = 0. Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz) Bài giải   →    =     uur uuur r ñi qua O , HD P Ñieåm VTPT n OA i ; (P): y – z = 0. 7 Hình học 12  Hồ Văn Hồng Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng. 1. Kiến thức cần nhớ: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song với đt hoặc trùng với đt. Đường thẳng d qua điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z có vectơ chỉ phương ( ) = uur ; ; d a a b c : Có phương trình tham số:  = +  = +   = +  0 0 0 x x at y y bt z z ct . Có phương trình chính tắc: − − − = = ≠ 0 0 0 , a.b.c 0 x x y y z z a b c Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm: ( )    =   uur 0 0 0 điểm ( ; ; ) thuộc đường thẳng một VTCP ; ; d một M x y z a a b c 2. Các dạng tốn. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B. Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ uuur AB . Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4). Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3); có vectơ chỉ phương là: = uuur uuur AB a AB =(1;−1;1). - Pt tham số của AB là:  = +  = −   = +  1 2 3 x t y t z t . Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OG. Ta có G(2;3;4). Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0); có vectơ chỉ phương là: = uuur uuur OG a OG =(2;3;4). Pt tham số của OG là:  =  =   =  2 3 4 x t y t z t . Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vng góc với mp(P). uur d VTCPa = VTPT uur P n Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và ⊥ (P): x − 2y – z – 1 = 0. Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3); có vectơ chỉ phương là: = uur uur d P a n =(1;−2;−1). - Pt tham số của d là:  = +  = −   = −  1 2 2 3 x t y t z t . Cần nhớ: Đường thẳng vng góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP. 8 Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC). Bài giải   →    = =     uur uuuur uuur uuur ñi qua O , HD d ABC Ñieåm VTCP a n AB AC Đường thẳng d qua O(0;0;0); có vectơ chỉ phương là:   = =   uur uuuur uuur uuur , d ABC a n AB AC =(1;1;1). - Pt tham số của d là:  =  =   =  x t y t z t . Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy). Bài giải   →    = =     uur r r r ñi qua M , HD d Ñieåm VTCP a i j k . Pt d:  =  =   = +  1 2 3 x y z t Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz). Bài giải ( )   →    = = =     uur r r r ñi qua M , 0;1;0 HD d Ñieåm VTCP a i k j .Pt tham số của d là:  =  = +   =  1 2 3 x y t z . Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz). Bài giải ( )   →    = = =     uur r r r ñi qua M , 1;0;0 HD d Ñieåm VTPCP a j k i .Pt tham số của d là:  = +  =   =  1 2 3 x t y z . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đ thẳng d’. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và // d’:  = +  = −   = +  1 2 3 3 4 x t y t z t Bài giải   →  =   uur uur ' ñi qua M HD d d Ñieåm VTCP a a Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). có vectơ chỉ phương là: = uur uur ' d d a a =(1;−3;4). - Pt tham số của d là:  = +  = +   = + ⇔ = −     = + = +   0 0 0 1 2 3 3 4 x x at x t y y bt y t z t z z ct . Bài 2: Viết phương trình d qua điểm M(1;2;3) và song song d’: − + = = − 12 23 1 3 4 x y z 9 Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Bài giải   →  =   uur uur ' ñi qua M HD d d Ñieåm VTCP a a . Pt tham số của d:  = +  = −   = +  1 2 3 3 4 x t y t z t . Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;−3), C(3;−2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC. Bài giải   →  =   uur uuur ñi qua A HD d Ñieåm VTCP a BC . Pt tham số của d:  = +  = −   = +  1 2 3 3 4 x t y t z t . Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox. Bài giải   →  =   uur r ñi qua A HD d Ñieåm VTCP a i . Pt tham số của d:  = +  =   =  1 2 3 x t y z Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy. Bài giải   →  =   uur r ñi qua A HD d Ñieåm VTCP a j . Pt tham số của d:  =  = +   =  1 2 3 x y t z . Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz. Bài giải   →  =   uur r ñi qua A HD d Ñieåm VTCP a k . Pt (d):  =  =   = +  1 2 3 x y z t . Các dạng toán khác. Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d:  = − +  = − +   = −  1 1 2 x t y t z t và mp(P): x + y − 2z – 4 = 0. Gọi H( x; y; z) là giao điểm của d và (P). Tọa độ H là nghiệm của hệ pt:  = − +  = − +   = −   + − =  1 1 2 2 –4 0 x t y t z t x y z . Ta có −1 + t – 1 + t − 2(−2t) – 4 = 0 ⇔ t = 1. Vậy H(0; 0; −2) Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển về dạng tham số. Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: + + = = − 1 1 1 1 2 x y z và mp(P):x+y−2z−4=0. Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;−1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). 10 [...]... nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’   ba t không bằng nhau ⇒ A ∉ d' Đề thi Tốt nghiệp năm 2008 x −1 y +1 z Cho điểm M(−2;1;−2) và đt d: = = CMR: OM song song d 2 −1 2 uuuu r Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0) có vectơ chỉ phương: OM = ( −2;1; −2 ) ur u Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a ' = ( 2; −1;2 ) uuuu r r −2 1 −2 Ta có: OM và a cùng phương do = = = −1 2 −1 2 0 −1 0 +1 0 Thế tọa độ điểm O vào... VTCP cùng phương: 11  Hồ Văn Hồng Hình học 12 r u r 1 1 1 Cách 1: a và a' cùng phương do = = 2 2 2 ur u r r u r Cách 2: Do a ' =2 a nên a và a' cùng phương ru r r r u r Cách 3: Do  a,a'  = ( 0; 0; 0 ) = 0 nên a và a' cùn g phương   + Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng khơng thuộc d’  0 = 2t t = 0   Thế tọa độ điểm A vào pt của d’: 2 = −2 + 2t ⇔ t = 2 suy ra A khơng thuộc d’ 1 = −5... thế tọa độ điểm O vào d   ba phân số không bằng nhau ⇒ Ο ∉ d Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: rr Ta chứng minh a.n = 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng khơng thuộc mp  x = 1 − 2t  Bài 1: Chứng minh đường thẳng d:  y = 2 + 3t song song mp(P): 3x + 4y + z – 9 = 0  z = 3 − 6t  r Đường thẳng d qua A(1;2;3) có vectơ chỉ phương: a = ( −2;3; −6 ) r rr MP(P) có vectơ pháp. .. tuyến (C) có phương trình là giao của α và (S) Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:  Mặt cầu có đường kính AB thì R = 17  Hồ Văn Hồng Hình học 12 a Tìm r = R 2 − d 2 [ I , (α )] b Tìm H là hình chiếu của I trên (α)  Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vng góc với (α)  H = ∆ ∩ (α) (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với (α)) Chúc các em ơn tập tốt, đạt kết quả cao trong các... 2 − d  Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA = ( x A − xI ) 2 + ( y A − yI ) + ( z A − z I ) 2 2 1 AB và tâm I là trung điểm AB 2 Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R: 1) d[I, (α)] > R: (α) ∩ (S) = ∅ 2) d[I, (α)] = R: (α) ∩ (S)... minh hai VTCP cùng phương và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng khơng thuộc đường thẳng kia x = t  Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:  y = 2 + t // d’: z = 1 + t  Bài giải  x = 2t   y = −2 + 2 t  z = −3 + 2t  r Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1) có vectơ chỉ phương: a = ( 1;1;1) ur u Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a ' = ( 2;2;2 ) + Ta chứng minh hai VTCP cùng phương: 11  Hồ Văn... r Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 1;2;3 ) r r 1r r r r r MP(P) có vectơ pháp tuyến: n = ( 2; 4;6 ) Ta có: a = n hoặc n = 2a nên a, n 2 cùng phương với nhau Vậy: d vng góc mp(P) ( ) Các bài tốn về tam giác Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác uuu uuu r r Ta chứng minh: AB, AC khơng cùng phương Cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Cm A, B, C là ba đỉnh một tam giác... cùng phương nên A, B, C là ba đỉnh một tam giác uuu uuu r r Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9) Chứng minh A, B, C thẳng hàng 13 Hình học 12  Hồ Văn Hồng uuu uuu r r r uuu r uuu r AB = ( 1;1;1) ; AC = ( 8;8;8) Ta có: 1: 1: 1 = 8: 8: 8 hay  AB, AC  = ( 0; 0; 0 ) = 0 hay   uuu uuu r r uuu r uuu r AC = 8 AB nên AB, AC cùng phương. .. vectơ chỉ phương là a = ( −1;1; 0 ) ur u Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ chỉ phương là a ' = ( −1; 0;1) r ur u uuu r r ur uuu u r Tính  a, a ' = ( 1;1;1) , AB = ( 5;5;5 ) ⇒  a, a ' AB = 1.5 + 1.5 + 1.5 = 15 ≠ 0     Vậy: d và d’ chéo nhau x y+5 z−4 x −1 y − 2 z Bài 2: Chứng minh d: = = chéo nhau = = và d’: −2 3 −1 2 −2 1 r Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ chỉ phương là a... Nếu thế t = −1 và t’ = 1 vào (3) mà khơng thỏa thì d khơng cắt d’ Ta có thể thế t’=1 vào pt của d’ để tìm tọa độ điểm H x = 1+ t x=2-2t'   Bài 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d:  y = 2 + 3t , d': y=-2+t' z = 3 + t z=9+3t'   1 + t = 2 − 2t ' (1)  Gọi H là giao điểm của d và d’ Xét hệ phương trình: 2 + 3t = −2 + t ' (2) 3 + t = 9 + 3t ' (3)  1 + t = 2 − 2t ' t + 2t ' = 1 t = −1 ⇔ . NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG TRONG KHÔNG GIAN GIAN Hình học 12  Hồ Văn Hoàng (Lưu hành nội bộ) 2011 2 Hình học 12  Hồ Văn Hoàng Tóm tắt lý thuyết TỌA ĐỘ CỦA. r Nếu (P) có cặp vtcp ,ba r r (không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) ) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định , p n a b   =   uur r r  Tọa độ của điểm: cho A( x A ; y A ;. vectơ chỉ phương: ( ) = − − uuuur 2;1; 2OM . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: ( ) = − uur ' 2; 1;2a . Ta có: uuuur r và a cùng phương doOM − − = = = − − 2 1 2 1 2 1 2 Thế tọa độ điểm