Sở giáo dục và đào tạo Kiên Giang Trường THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt ĐỀ THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN KHỐI 12 NĂM HỌC 2010-2011 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) A. PHẦN CHUNG (6.0Đ) Bài 1.(3.0 điểm) Tính các tích phân sau a/ ( ) 2 2 3 2 1 2A x x dx= − ∫ b/ π + = ∫ 4 2 0 1 cos x B dx x c/ ( ) ln11 ln6 3 1 2 x x x e e C dx e + = − ∫ d/ 2 2 2 ln e e D x xdx= ∫ Bài 2.(1.0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 2 4 , 0, 1, 3y x y x x= − = = − = . Bài 3.(2.0 điểm) a. Cho hai số phức 1 1 3 1 3 i z i + = − và 2 2 3 2 i z i = − . Tính z 1 .z 2 . b. Tìm số phức z thỏa mãn : ( ) ( ) 2 1 3 9 (1 4 )i i z i i z+ − = + + + . B. PHẦN RIÊNG (4.0Đ) 1. Theo chương trình chuẩn (Dành cho lớp Văn-A5): Bài 4a. (1.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức 3z 2 – 5z + 10 = 0 Bài 5a. (2.0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho 3 2 7 , 6 2OA i j k OB i k = + − = − uuur r r r uuur r r với , ,i j k r r r lần lượt là các vec tơ đơn vị của trục x’Ox, y’Oy và z’Oz. a. Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua ba điểm là hình chiếu vuông góc của A lên các trục tọa độ. b. Tìm hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng ( ) α . c. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) chứa Oz và song song AB. Bài 6a. (1 điểm) Trong không gian Oxyz, đường thẳng 4 : 1 1 3 x y z d − = = − và các điểm ( ) 1;2;3A − , ( ) 4;1; 5B − , ( ) 3;0; 1 − C .Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho 2 2 2 MA MB MC+ + nhỏ nhất. 2. Theo chương trình nâng cao (Các lớp còn lại): Bài 4b. (1.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức z 2 – 2(2 + i)z + 7 + 4i = 0. Bài 5b: (2.0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC, A(1;1;0), B(0;2;1), trọng tâm G của tam giác ABC là G(0;2;-1). a. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. c. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d), biết (d) đi qua G và (d) vuông góc mặt phẳng (ABC) sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 29 4 (đvtt). Bài 6b: (1.0điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) : 1 2 2 x t y t z t = − = − + = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) tạo với Oy góc lớn nhất. HẾT Họ và tên thí sinh:………………………………… SBD:………………. ĐÁP ÁN TOÁN HỌC KÌ II Bài Đáp án Điểm 1 3.0 1.a (0,75đ) ( ) 2 2 2 3 2 3 4 2 1 1 2 ( 4 4)= − = − + ∫ ∫ A x x dx x x x dx 0,25 2 2 8 7 5 3 6 4 1 1 2 ( 4 4 ) 8 3 = − + = − + ÷ ∫ x x x x dx x x 0,25 39 8 A = . 0,25 1.b (0,75đ) 4 2 0 1 cos x B dx x π + = ∫ Đặt 2 1 tan cos u x du dx dx v x dv x = + = ⇒ = = 0,25 4 4 4 4 0 0 0 0 (cos ) ( 1)tan tan ( 1)tan cos d x B x x xdx x x x π π π π = + − = + + ∫ ∫ 0,25 4 4 0 0 2 ( 1)tan ln(cos ) 1 ln . 4 2 B x x x π π π = + + = + + 0,25 1.c (0,75đ) ( ) ln11 ln6 3 1 2 + = − ∫ x x x e e C dx e Đặt 2 2 2 2 x x x t e t e tdt e dx= − ⇒ = − ⇒ = 0,25 ln11 3 ln6 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 0,25 ( ) ( ) 3 3 2 3 2 2 2 3 7 2 7 52C t dt t t= + = + = ∫ 0,25 1.d (0,75đ) 2 2 2 ln= ∫ e e D x xdx Đặt 2 3 2 ln 2. ln 3 x du dx u x x x dv x dx v = = ⇒ = = 2 2 3 2 2 2 .ln ln 3 3 e e e e x D x x xdx= − ∫ 0,25 Đặt 2 3 1 ln 3 du dx m x x dn x dx x n = = ⇒ = = 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 .ln . .ln . 3 3 3 3 3 e e e e e e x x D x x x dx⇒ = − + ∫ 0,25 2 2 2 3 3 2 3 2 2 .ln .ln 3 9 9 3 e e e e e e x x x x x= − + = 6 3 26 5 27 e e− 0,25 2 1.0 Phương trình hoành độ giao điểm giữa 2 4 , 0= − =y x y : 2 2 2 [ 1; 3] 4 0 4 0 2 [ 1; 3] = − ∉ − − = ⇔ − = ⇔ = ∉ − x x x x 0,25 Diện tích hình phẳng S được tính bởi 3 2 1 4S x dx − = − ∫ Đặt 2sin , ; 2cos 2 2 x t t dx tdt π π = ∈ − ⇒ = 0,25 1 6 3 3 x t x t π π = − ⇒ = − = ⇒ = 3 3 2 6 6 4 cos 2 (1 cos2 )S tdt t dt π π π π − − = = + ∫ ∫ 0,25 3 6 1 3 2 sin2 2 2 3 6 2 t t π π π π − = + = + + ÷ ÷ ÷ 0,25 3 2.0 3.a (1,0 đ) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 1 3 + + = = = − + − − + i i z i i i i 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 1 8 8 2 3 2 2 3 2 2 3 2 + = = = − − − + i i i z i i i i 0,25 Suy ra 1 2 1 . 4 z z i= . 0,5 3.b (1,0 đ) Ta có ( ) ( ) 2 1 3 9 (1 4 )+ − = + + +i i z i i z (2 6 ) 9 (1 4 )⇔ + = + + +i z i i z 0,25 (1 2 ) 9⇔ + = +i z i 0,25 9 11 17 1 2 5 5 + ⇔ = = − + i z i i 0,5 Chương trình nâng cao 4b 1.0 Ta có: / 2 4 (2 )i∆ = − = 0,5 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: 2 3 ; 2z i z i= + = − . 0,5 5b 2.0 a. (0,75 đ) Gọi ( , , )C x y z Do G là trọng tâm tam giác ABC, ta có 1 0 1 2 6 1 3 x y z + = + + = + = − ( 1;3; 4)C⇒ − − 0,25 (1; 1; 1); ( 1;1; 5)BA BC= − − = − − uuur uuur 0,25 ( ) , 6;6;0 , 6 2BA BC BA BC = ⇒ = uuur uuur uuur uuur Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC , 2 6 ( , ) 3 BA BC d A BC BC = = uuur uuur uuur 0,25 b. (0,5 đ) Gọi 1 1 1 ( ; ; )H x y z ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1; 1; ; 1; 3; 4AH x y z CH x y z= − − = + − + uuur uuur 0,25 Từ giả thiết ta có hệ sau: . 0 . 0 , . 0 AH BC CH BA BA BC CH = = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 1 1 1 1 1 1 1 5 0 0 2 0 x y z x y z x y − + − = ⇔ − − = + − = Tìm được (1;1;0)H 0,25 c. (0,75 đ) Đường thẳng (d) vuông góc (ABC) nên có vec tơ chỉ phương u r cùng phương với vec tơ ( ) , 6;6;0BA BC = uuur uuur , chọn (1;1;0)u = r và (d) qua G(0;2;-1) có phương trình: 0,25 ( ): 2 1 x t d y t z = = + = − ( ;2 ; 1); ( ; ; 2); , . 12 M d M t t BM t t BA BC BM t ∈ ⇒ + − = − = uuur uuur uuur uuur 0,25 29 1 29 , . 4 6 4 MABC V BA BC BM = ⇔ = uuur uuur uuur 29 29 8 8 t t⇔ = ⇔ = ± 0,25 Có hai điểm thỏa mãn đề là 1 2 29 45 29 13 ; ; 1 , ; ; 1 8 8 8 8 M M − − − − ÷ ÷ . 6b 1.0 Đường thẳng (d) qua (1; 2;0)N − có vec tơ chỉ phương ( 1;1;2)u = − r . 0,25 (P) chứa (d) nên qua (1; 2;0)N − , phương trình có dạng ( 1) ( 2) 0A x B y Cz− + + + = ( ( ; ; ) 0n A B C= ≠ r r là vec tơ pháp tuyến (P)) Ta có . 0 2 0 2n u A B C A B C= ⇔ − + + = ⇔ = + r r (2) Gọi 0 (0 90 ) ϕ ϕ ≤ ≤ là góc giữa (P) và trục Oy, ta có 2 2 2 . sin . n j B n j A B C ϕ = = + + r r r r 0,25 Từ (2) suy ra 2 2 sin 2 4 5 B B BC C ϕ = + + • Nếu B = 0 thì sin 0 ϕ = . • Nếu 0B ≠ , chọn B = 1 2 2 1 1 1 sin 6 5 4 2 2 6 5 5 5 5 C C C ϕ = = ≤ + + + + ÷ ϕ lớn nhất khi sin ϕ lớn nhất. Cả hai trường hợp sin ϕ lớn nhất bằng 5 6 khi 2 1, 5 B C= = − . Vậy (P) cần tìm có phương trình : 5 2 9 0x y z+ − + = . 0,25 Chương trình chuẩn 4a 1.0 Ta có ( ) 2 95 95∆ = − = i 0,5 Vậy phương trình có hai nghiệm: 5 95 6 i z − = và 5 95 6 i z + = . 0,5 5a 2.0 a. (0,5 đ) Ta có: ( ) 3;2; 7A − , hình chiếu của A lên các trục tọa độ là: ( ) 1 3;0;0A , ( ) 2 0;2;0A , ( ) 3 0;0; 7A − . 0,25 Phương trình mặt phẳng ( ) α : 1 14 21 6 42 0 3 2 7 x y z x y z + − = ⇔ + − − = 0,25 b. (0,75 đ) Gọi (d) là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng ( ) α . Phương trình đường thẳng (d): 14 21 6 x t y t z t = = = − . 0,25 H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ( ) α suy ra H là giao điểm của (d) và ( ) α . ( ) ( ) 14 ;21 ; 6∈ ⇒ −H d H t t t 0,25 ( ) 42 673 42 0 673 α ∈ ⇒ − = ⇒ =H t t Vậy 588 882 252 ; ; 673 673 673 − ÷ H . 0,25 c. (0,75 đ) Ta có (6;0; 2)B = − Viết được mặt phẳng (P): 2 3 0x y+ = 0,25 Bán kính mặt cầu (S) 12 ( ,( )) 13 R d B P= = 2 2 2 144 ( ):( 6) ( 2) 13 S x y z− + + + = 0,25 + 0,25 6a 1.0 (4 ; ; 3 )M d M t t t∈ ⇒ + − ( 5 ;2 ;3 3 ) ( ;1 ; 5 3 ) ( 1 ; ; 1 3 ) MA t t t MB t t t MC t t t = − − − + = − − − + = − − − − + uuur uuur uuuur 0,25 2 2 2 2 33 12 66MA MB MC t t+ + = − + 0,25 2 2 2 2 2 714 714 33 11 11 11 MA MB MC t + + = − + ≥ ÷ 0,25 Đẳng thức xảy ra khi 2 11 t = Vậy 2 2 2 MA MB MC+ + nhỏ nhất khi 46 2 6 ; ; 11 11 11 M − ÷ 0,25 . và đào tạo Kiên Giang Trường THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt ĐỀ THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN KHỐI 12 NĂM HỌC 2010 -2011 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) A. PHẦN CHUNG (6.0Đ) Bài. thẳng (d) tạo với Oy góc lớn nhất. HẾT Họ và tên thí sinh:………………………………… SBD:………………. ĐÁP ÁN TOÁN HỌC KÌ II Bài Đáp án Điểm 1 3.0 1.a (0,75đ) ( ) 2 2 2 3 2 3 4 2 1 1 2 ( 4 4)= − = − + ∫ ∫ A x x. )H x y z ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1; 1; ; 1; 3; 4AH x y z CH x y z= − − = + − + uuur uuur 0,25 Từ giả thi t ta có hệ sau: . 0 . 0 , . 0 AH BC CH BA BA BC CH = = = uuur uuur uuur