Giúp học sinh trung học phổ thông (THPT) vượt qua những sai lầm trong lập luận toán học: phần đại số

Nói đến học toán, thường người ta nghĩ ngay đến các con số, các ký hiệu, dấu toán, hình vẽ và các mối quan hệ phức tạp giữa chúng

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hồng Tâm MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài .4 Mục đích nghiên cứu Các đối tượng nghiên cứu .5 Câu hỏi nghiên cứu 5 Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khoá luận CHƯƠNG CCƠ SỞ LÍ LUẬN .7 Nguyên nhân gây nên khó khăn cho học sinh học tốn Một số nguyên tắc cho việc dạy học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn học toán 11 Một số biện pháp chung hoạt động dạy giáo viên nhằm giúp học sinh hạn chế sai lầm lập luận toán: phần đại số 15 Một số kết sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức 17 CHƯƠNG , GIÚP HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN ĐẠI SỐ 23 Chủ đề phương trình .23 2.Chủ đề bất phương trình 42 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hồng Tâm CHƯƠNG TTHỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61 Mục đích ý nghĩa thực nghiệm 61 Quá trình thực nghiệm 61 Kết phiếu điều tra giáo viên học sinh 67 Kết luận sư phạm 76 KẾT LUẬN 78 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤ LỤC 81 PHỤ LỤC 81 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT CNTT : Công nghệ thông tin GSP : The Geometer’s Sketchpad HS : Học sinh GV : Giáo viên PPDH : Phương pháp dạy học SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thơng Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nói đến học tốn, thường người ta nghĩ đến số, ký hiệu, dấu tốn, hình vẽ mối quan hệ phức tạp chúng Quả thế, Tốn học khoa học ký hiệu trừu tượng, khác với ngành khoa học thực nghiệm Lý, Hóa, Sinh… chỗ khơng có vật chất cụ thể để sờ mó Cho nên phần lớn học sinh không hiểu nguồn gốc ý nghĩa kiến thức tốn cách chất để áp dụng vào tình thực tiễn Hơn nữa, kiến thức mà học sinh phải tiếp thu chương trình phần lớn biến đổi đại số mà khơng có hình ảnh minh họa Do đó, em thường cảm thấy vấn đề rắc rối phức tạp Điều khiến em nhìn nhận đối tượng theo khía cạnh đơn giản phiến diện, không đầy đủ chất nên thường mắc sai lầm đối diện với toán Chẳng hạn biện luận theo tham số tương giao hai đồ thị, phương trình tương đương phương trình hệ quả, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức… Chính mà thực trạng dạy học tốn số trường phổ thơng phần lớn học sinh học tốn khơng hiểu, gặp phải nhiều khó khăn q trình học tốn có xu hướng ngày yếu dần mơn Toán Đặc biệt khả lập luận Đại số chương trình tốn học phổ thơng Là giáo viên dạy tốn tương lai tơi khơng thể khơng trăn trở với điều Tuy nhiên, làm để giúp em vượt qua sai lầm học tốn tốt hơn? Có lẽ điều mà người giáo viên dạy tốn quan tâm cố gắng thực Bởi cịn trách nhiệm nhà giáo toán đường thiết kế phát triển môi trường học tập nhằm nâng cao chất lượng học toán cho học sinh Để giải vấn đề này, trước hết, người giáo viên cần ý thức khó khăn em q trình học tốn, dự kiến tốt sai lầm em đối diện với tốn Trên sở giáo viên đề xuất số biện pháp nhằm hạn chế phần sai lầm mà học sinh hay mắc phải Bằng cách đó, việc học em đạt hiệu hơn, khả tư toán học cải thiện Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hồng Tâm khơng ngừng nâng cao Từ đem lại cho em niềm say mê, hứng thú với môn tốn giải tốt vấn đề sống Với lí trên, chọn đề tài “Giúp học sinh trung học phổ thông (THPT) vượt qua sai lầm lập luận toán học: phần đại số” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu khó khăn học sinh q trình học tốn; • Dự kiến sai lầm thường gặp học sinh lập luận toán học: phần đại số đề xuất biện pháp khắc phục sai lầm; • Thiết kế số hoạt động phục vụ cho dạy học phương trình, bất phương trình Các đối tượng nghiên cứu • Các tài liệu sai lầm HS giải phương trình, bất phương trình • Các hoạt động thiết kế cho dạy nhằm giúp học sinh vượt qua sai lầm lập luận tốn học; • Học sinh giáo viên trường THPT Câu hỏi nghiên cứu • Việc học HS đạt hiệu giáo viên tiến hành dự kiến áp dụng biện pháp thích hợp để khắc phục khó khăn cho em q trình học tốn? • Việc sử dụng mơi trường tốn tích cực máy tính nên tiến hành để giúp HS vượt qua sai lầm lập luận toán? Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận • Sử dụng phương pháp phân tích – tổng hợp tài liệu; • Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu sở lí luận đề tài  Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hồng Tâm • Phương pháp quan sát sư phạm; • Phương pháp điều tra, vấn; • Phương pháp dạy thực nghiệm Cấu trúc khố luận Chương 1: Cơ sở lí luận Ngun nhân gây nên khó khăn cho học sinh học toán Một số nguyên tắc cho việc dạy học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn học toán Một số biện pháp chung hoạt động dạy giáo viên nhằm giúp học sinh hạn chế sai lầm lập luận toán: phần đại số Một số kết sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Chương 2: Giúp học sinh trung học phổ thông vượt qua sai lầm lập luận toán học: phần đại số Chủ đề phương trình Chủ đề bất phương trình Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Mục đích thực nghiệm sư phạm Quá trình thực nghiệm Kết phiếu điều tra giáo viên học sinh Kết luận sư phạm Kết luận Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm CHƯƠNG CCƠ SỞ LÍ LUẬN Những sai lầm mà học sinh thường vấp phải lập luận toán học trước hết có khó khăn định học tốn Cụ thể là: • Khó khăn học sinh học khái niệm tốn học; • Khó khăn học sinh với ngơn ngữ tốn học; • Khó khăn học sinh giải vấn đề toán học; • Khó khăn học sinh với lập luận, chứng minh tư tốn học Vì trước đề xuất biện pháp nhằm giúp học sinh vượt qua sai lầm lập luận toán học: phần đại số, cần thiết phải tìm hiểu nguyên nhân khó khăn đó; đưa số nguyên tắc việc dạy học để tạo mơi trường tốn tích cực thúc đẩy hiểu biết em Nguyên nhân gây nên khó khăn cho học sinh học tốn Trong thực tế, có phận học sinh học toán dễ dàng, với nhiều học sinh mơn Tốn lại mơn học khó Trong số ngun nhân, có ngun nhân mơn Toán nguyên nhân người học 1.1 Nguyên nhân mơn Tốn Một nhà tốn học cho rằng, để làm chủ toán học, người học cần phải thiết lập mối quan hệ yếu tố: đối tượng tốn học, ngơn ngữ tốn học thể cụ thể đối tượng toán học Như vậy, muốn hiểu rõ đối tượng toán học, học sinh cần phải sử dụng hệ thống ngôn ngữ tốn học liên quan đến đối tượng đó; nắm vững thể cụ thể đối tượng toán học để làm sở cho việc hiểu chất đối tượng tốn học Tốn học trở thành mơn học tinh tế tính phong phú, đa dạng ngơn ngữ toán học thể cụ thể đối tượng toán học Tuy nhiên, tinh tế gây khó khăn cho học sinh học tốn nhiêu Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm Quan niệm yếu tố cấu thành mơn Tốn xem xét sau: a Các đối tượng toán học đối tượng tinh thần, tư tưởng hình thành, tồn đầu óc người Nhìn lại lịch sử, thời gian dài, người đến số Con số hình thành nhu cầu sống cần phải đếm, tính tốn đồ vật Chẳng hạn, số tồn đầu khái quát trừu tượng, thực tế có bị, viên sỏi, khơng có số Con số đối tượng tốn học, hình thành đầu óc người khơng phải có thật Những hình ảnh, mơ hình đối tượng tốn học vật tồn thực sự, thân đối tượng tốn học tồn đầu óc người Với đối tượng học tập vậy, việc tổ chức q trình hình thành khái niệm tốn học tất yếu gặp khơng khó khăn b Ngơn ngữ tốn học hình thức diễn tả đối tượng toán học, mối quan hệ đối tượng Bất kì mơn khoa học có thuật ngữ riêng Ngơn ngữ tốn học loại thuật ngữ tốn chun mơn hố Nó có ba đặc điểm bản: - Nghĩa xác tức danh từ, ký hiệu biểu thức ký hiệu tạo thành biểu thị ý nghĩa rõ ràng, hiểu thành hai nghĩa Ví dụ: log a x biểu thị log x có số a, lgx log x có số 10; y = kx (k ≠ 0) biểu thị y hàm số tỉ lệ thuận x; y = k (k ≠ 0, x ≠ 0) biểu thị y hàm số tỉ lệ nghịch x x, v.v - Diễn đạt ngắn gọn Ví dụ: câu “bình phương hiệu a b 5” dùng ký hiệu để diễn đạt là: (a – b)2 = Qua ta thấy rõ, ngơn ngữ ký hiệu khơng xác mà cịn “rút ngắn” nhiều so với dùng ngơn ngữ thơng thường Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hồng Tâm - Sử dụng thuận tiện, linh hoạt Ví dụ công thức sau (a + b)(a – b) = a2 – b2, a b số biểu thức Rộng nữa, a b cơng thức biểu thị hai ký hiệu khác vị trí Đó điểm khác ngơn ngữ tốn học ngơn ngữ thông thường Trên ta đưa ngôn ngữ ký hiệu tốn học Thực ra, hình thức diễn đạt ngơn ngữ tốn có hai loại: Một loại thuật ngữ chữ viết “hình tạo đầu chung hai đoạn thẳng gọi góc”; loại ngơn ngữ hình học, bao gồm hình hình học, đồ thị lược đồ Như vậy, học sinh cần tư toán học cách xác học sử dụng chuẩn xác ngơn ngữ tốn học điều vơ quan trọng Đương nhiên việc làm sáng chiều mà cần phải có nỗ lực liên tục Đây khó khăn trong việc học toán em c Các thể cụ thể đối tượng toán học cách diễn tả cách cụ thể, trực quan số mặt đối tượng tốn học Chúng hình thành ngơn ngữ tốn học, hình vẽ, sơ đồ Tùy theo trường hợp mà xác định ngơn ngữ toán học hay thể cụ thể toán học Các thể cụ thể đối tượng toán học dùng làm chỗ dựa để phản ánh từ cụ thể đến tư tưởng toán học (từ trực quan đến trừu tượng) dùng phản ánh tư tưởng tốn học vào cụ thể (cụ thể hóa), chỗ dựa tư tưởng tốn học, nhờ ta suy nghĩ để giải tốn thuận lợi Tuy nhiên, nguyên nhân gây khó khăn cho học sinh biết có tư tưởng tốn học nảy sinh trừu tượng hóa trừu tượng đạt trước 1.2 Nguyên nhân phía người học Tùy theo trình độ điêu luyện ngôn ngữ bên trong, vốn kiến thức cũ, kinh nghiệm em, phản ánh yếu tố bên vào bên đầu người khác nhau, địi hỏi khoảng thời gian khác Ví dụ, học sinh có thói quen gợi lại âm hay lời nói, quan sát hình vẽ, ký hiệu, cần có Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm thời gian diễn dịch chúng thành lời nói để nắm ý nghĩa Cịn học sinh có thói quen gợi lại hình ảnh nhìn thấy đầu, hiểu nghĩa cơng thức, ký hiệu dễ dàng trình bày lại cho người khác hiểu ngôn ngữ thông thường cần có thời gian Đặc điểm tâm lý học sinh gây khơng khó khăn cho em học tốn Hay nói khác hầu hết học sinh không giống tư cách tiếp thu tốn Có học sinh hứng thú xoay xở tốn tìm lời giải hay, cách tiếp cận khơng quen thuộc; có học sinh muốn mơi trường có cảm giác thoải mái, thích ghi lại ví dụ bảng, thực hành nhà, lập lại bước giải kiểm tra… có học sinh khơng giải tốn khơng có hướng dẫn theo bước giải cách cụ thể Vậy giáo viên khơng hiểu điều khơng có phương pháp dạy học phù hợp khơng khơng giúp học sinh vượt qua khó khăn mà làm cho em khó khăn học tốn Đến đây, có lẽ khơng thể không thừa nhận trách nhiệm người giáo viên khó khăn mà học sinh gặp phải học tốn 1.3 Ngun nhân phía giáo viên phương pháp dạy học giáo viên Một thực tế chung cần thừa nhận có yếu tố làm học sinh khơng học tốn được, là: • Chúng ta dạy tốn ký hiệu có ý nghĩa rõ ràng cố hữu; • Chúng ta thường khơng quan tâm đến mức độ chín chắn nhận thức người học Những rõ ràng thầy xa lạ học sinh; • Chúng ta thường bỏ qua tầm quan trọng nhu cầu học sinh việc tự kiến tạo cách hiểu tốn riêng Mặt khác, lối truyền thụ theo kiểu áp đặt thầy giáo tiếp thu hoàn toàn thụ động HS khiến em có suy nghĩ Tốn học tồn từ lâu với công thức thuật tốn bất di bất dịch, khơng cịn chỗ cho ý tưởng mới, 10 ... Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hoàng Tâm CHƯƠNG , GIÚP HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN ĐẠI SỐ Chủ đề phương trình 2.1.1 Thiết kế hoạt động dạy học. .. với mơn tốn giải tốt vấn đề sống Với lí trên, tơi chọn đề tài ? ?Giúp học sinh trung học phổ thông (THPT) vượt qua sai lầm lập luận toán học: phần đại số? ?? làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Mục đích... nhằm giúp học sinh hạn chế sai lầm lập luận toán: phần đại số Một số kết sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Chương 2: Giúp học sinh trung học