Sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải bất phương trình đại số và biện pháp khắc phục
MỤC LỤC
Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn trong học toán
Trong phương pháp tổ chức, người học - đối tượng của hoạt động “dạy”, đồng thời là chủ thể của hoạt động “học” - được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thụng qua đú tự lực khỏm phỏ những điều mỡnh chưa rừ chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được giáo viên sắp đặt. Được đặt vào những tình huống của đời sống thực tế, người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình, từ đó nắm được kiến thức kĩ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kĩ năng đó, không rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo.
Một số biện pháp chung trong hoạt động dạy của giáo viên nhằm giúp học sinh hạn chế sai lầm trong lập luận toán: phần đại số
Đặc biệt, giải phương trình hoặc bất phương trình chứa tham số một bước tính sai (như sai dấu, sai hệ số) sẽ dẫn đến tất cả đều sai. Do đó phải hết sức cẩn thận, tự tin, kiên trì tính toán. c) Kiên trì kiểm tra: Làm xong bài phải kiên trì kiểm tra. Từ xem lại đề, bước giải đầu tiên, quá trình giải cho đến tận đáp số đều không được cẩu thả. d) Chữ viết ngay ngắn: Giải bài tập nhất định phải viết chữ ngay ngắn, trình bày thích hợp theo các loại đề. Một số kết quả về các sai lầm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình,.
Một số kết quả về các sai lầm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức
Một số tùy ý thì bằng với 0 hay chăng?
Cách giải của HS dĩ nhiên là tương tự với cách giải ở đây nhưng ý nghĩa sau cùng là số nhõn tạo ra nghiệm ngoại lai đó được tỏch ra để thấy rừ ràng hơn. Cỏc em sẽ hiểu rừ vấn đề vỡ sao cú nghiệm x = 4 khụng thỏa phương trỡnh đầu.
Một chứng minh bằng nhau của hai số tuỳ ý
Với n = 2, định lí này có thể phát biểu như sau:”Nếu 2 hình vuông có cùng diện tích thì các cạnh của chúng bằng nhau”. Nếu x, y cùng âm hoặc một trong chúng là âm thì không thể kết luận như trên, ví dụ với x.
Nếu a > b thì a > 2b?
Việc chia cả 2 vế bất đẳng thức bởi cùng một số đưa đến bất đẳng thức cùng chiều_tức là nhận một trong 2 dấu (< và >), chỉ đúng nếu số chia là số dương. Việc chứng minh tính chất này có thể tìm thấy trong bất kì cuốn sách đại số nào.
Một số lỗi của học sinh
Nội dung này chỉ cho HS thấy trong một số trường hợp các phép biến đổi là không tương đương (vì có thể xuất hiện thêm hoặc làm mất nghiệm). Hoạt động sau thiết kế để cú thể dẫn dắt và minh hoạ cho cỏc em hỡnh dung rừ về điều này. Hoạt động diễn ra trước khi HS được biết về định nghĩa phương trình hệ quả và các định lí nhằm mục đích để cho HS tự mình có thể mắc những lỗi sai, sau đó quan sát trên GSP và phát hiện ra vấn đề. Đối diện với bài này đa số các em đều nghĩ đến việc bình phương hai vế để khử căn, do đó tiến hành giải như sau:. Vì sao thừa nghiệm này?. Mở file HĐ2.gsp. Hay nói cách khác là biến đổi như vậy không tương đương. Từ đây, GV nêu định nghĩa phương trình hệ quả và nghiệm ngoại lai. Hoạt động 3: Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Giải thích?. Hoạt động này nhằm củng cố cho HS về phương trình hệ quả. Hoạt động 4: Khi bình phương hai vế của một phương trình ta có được một phương trình tương đương với phương trình đã cho hay không? Vì sao?. Trả lời câu hỏi này chính là nội dung của định lí 2. Tuy nhiên, GV cần giúp các em phát hiện ra hệ quả quan trọng của định lí. Chẳng hạn, xét hai bài toán trong hoạt động sau:. Hoạt động 5: Giải các phương trình sau:. Nhiều HS áp dụng định lí 2 và cho rằng việc bình phương hai vế thu được phương trình hệ quả. Tuy nhiên có phải lúc nào cũng ráp công thức như vậy là hoàn toàn đỳng? HS sẽ được hiểu rừ điều này qua minh hoạ sau trờn GSP. Hoạt động 6: Quan sát đồ thị và có nhận xét gì về nghiệm của hai phương trình trước và sau khi bình phương?. Minh hoạ phương trình a), mở file Hd 6a).gsp. Minh hoạ phương trình b), mở file Hd 6b).gsp. • Biện pháp: Phương trình (1) có dạng A B= , theo định lí 2 đã học, ta sẽ bình phương hai vế và thu được phương trình hệ quả, khi đó kết quả có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai nên phải thử lại. Để phép bình phương này là một biến đổi tương đương thỡ cần phải cú điều kiện B≥0. Phương trình trên nếu không đặt điều kiện thì đáp số vẫn đúng do sự trùng hợp vì vậy giáo viên có thể dẫn ra ví dụ sau để làm sáng tỏ thêm dạng toán này. Chẳng hạn giải phương trình. x+ = x, nếu bình phương không điều kiện và cho đó là một biến đổi tương đương ta thu được hai nghiệm x = 1 hoặc 1. x= −4 không thoả phương trình. Hơn nữa phải phân biệt cho học sinh thấy rằng ta có A B. Việc nhầm lẫn hằng đẳng thức là do học sinh chưa hiểu thấu đáo công thức nên khi vận dụng gặp khó khăn trong việc nhớ đúng vì vậy cần khắc sâu kiến thức cho các em. Với bài toán trên nếu nhận dạng A B= thì việc giải là đơn giản bằng hai cách:. + Dùng định lí 2 về phương trình hệ quả, bình phương hai vế của phương trình và thử lại nghiệm;. Sau đây là một lời giải đầy đủ theo cách này cho học sinh tham khảo:. Qua các phân tích trên đây ta giúp học sinh nhận ra rằng. Tương tự với dạng toán này yêu cầu học sinh giải phương trình sau. • Phõn tớch: Nếu khụng hiểu rừ bản chất của căn bậc hai ở bài trờn HS lại nhầm. Cách làm thứ hai là thường gặp, bình phương mà chưa đảm bảo hai vế cùng dấu và biến đổi lại để sai vì vậy cũng sót nghiệm x = -3. • Biện pháp: Tương tự như bài 3, nếu muốn tách căn để rút gọn phải đặt điều. kiện cho biểu thức trong căn không âm, tức là. là cần thiết nhắc nhở HS vì các em hay tách căn tuỳ tiện. Sai lầm thứ hai tuy không nghiêm trọng lắm nhưng cũng vì các em hay chủ quan phần điều kiện mà kết quả thường sai. Do đó, ngoài việc cung cấp các dạng toán cơ bản cho HS giáo viên cần nêu một phương pháp chung đối với các phương trình chứa căn, đó là:. a) Đặt điều kiện để căn thức xác định;. b) Bình phương hai vế (nếu hai vế cùng dấu);. c) Giải phương trình này;. d) So sánh điều kiện để kết luận tập nghiệm.
Chủ đề bất phương trình
Phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình
• Phân tích sai lầm: Học sinh không hiểu được bản chất của phép biến đổi tương đương trong bất phương trình, sai lầm này cũng tương tự như trong phương trình vì thế các em cho rằng bình phương luôn là phép biến đổi tương đương. Nếu tiến hành giải với những sai lầm như trên là thể hiện sự mơ hồ về dấu trong bất phương trình, khi xuất hiện thêm dấu “=” bài toán sẽ rắc rối hơn và với học sinh sẽ khó khăn hơn trong việc lập luận đúng.
Giải bất phương trình
− , ở đây ta không đánh giá như trên mà chuyển vế, qui đồng và xét dấu sẽ nhanh hơn. Đề cập đến dạng bất phương trình trên cần nhắc lại cho học sinh một số dạng sau.
Giải bất phương trình
Một số bất phương trình ứng dụng GSP để giúp học sinh trực quan và hiểu rừ vấn đề hơn
Qua các bài toán trên ta thấy sai lầm mà HS thường hay mắc phải là khử căn bậc hai trong bất phương trình vô tỷ, do không hiểu và vi phạm qui tắc nâng lên luỹ thừa. Hoạt động sau thiết kế trờn GSP để giỳp HS khỏm phỏ và hiểu rừ hơn quy tắc nõng lên luỹ thừa bậc chẵn. Mở file bpt1.gsp. a) Trước hết, hãy nêu cách xác định tập nghiệm của hai bất phương trình trên?. Nếu quỏ trỡnh thực nghiệm thành cụng thỡ đõy sẽ là một minh chứng rừ ràng bổ sung vào những nghiên cứu khẳng định vai trò của việc chẩn đoán sai lầm của học sinh khi lập luận toán trong dạy học để từ đó đề ra biện pháp khắc phục cho các em.
Quá trình thực nghiệm
Ngoài ra, khoá luận sẽ là một tài liệu tham khảo thiết thực cho sinh viên sư phạm và những ai quan tâm đến việc nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy học theo xu hướng mới, đặc biệt với chương trình sách giáo khoa hiện nay. Vì không có điều kiện thực nghiệm những nội dung liên quan đến phần phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức (trình bày ở chương 2), tôi đã chọn một bài trong lịch dạy được phân công của mình và vận dụng phần cơ sở lí luận trình bày ở chương 1 để thiết kế bài dạy có dự kiến khó khăn của học sinh khi học toán.