Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà cả người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với học si
Trang 1A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1) Cơ sở lý luận.
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà cả người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với học sinh nhỏ thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán
Giải toán là một hình thức vận dụng những kiến thức đã biết vào các vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào các vấn đề mới Trong quá trình giải toán, người giải toán đã hồi tưởng hay nhớ lại, huy động và tổ chức những kiến thức toán học đã biết, lựa chọn
và kết hợp những kiến thức khác nhau để vận dụng Mặt khác, mỗi bài toán có thể xem là một định lí, có những bài toán là tiên đề của những kiến thức khác Do đó, qua quá trình giải toán, kiến thức toán học của người giải được củng cố đào sâu, mở rộng và trở nên “sống động”
Giải toán là một hình thức rất tốt để rèn luyện các kỹ năng: Kỹ năng tính toán,
kỹ năng biến đổi, kỹ năng suy luận, kỹ năng toán học hoá
Giải toán còn là một hình thức tốt nhất để kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức
Việc tìm kiến thức lời giải cho một bài toán rèn luyện phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết các vấn đề, và qua đó rèn luyện trí thông minh sáng tạo, phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ
Việc tìm ra lời giải của một bài toán khó, phương pháp mới, độc đáo của một bài toán gây nên sự hoà hứng, phấn chấn, khoái trá, điều đó có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán và ước mơ vươn tới vinh quang trong lĩnh vực nghiên cứu, khám phá, phát minh những vấn đề mới
Ngoài ra, giải toán còn rèn luyện nhiều đức tính tốt như: Tính cần cù, tính kỷ luật, tính năng động,
2) Cơ sở thực tiễn.
Hiện nay, ở các trường phổ thông nói chung, trường THCS Thanh Sơn nói riêng, việc giải toán là một yêu cầu thiết thực và bắt buộc Để có một lời giải hay, chính xác và khoa học thì việc nắm vững và hiểu được các phương pháp suy luận trong giải toán là hết sức cần thiết mà mỗi người dạy cũng như người học cần phải
Trang 2Vì lẽ đó, qua một thời gian dài tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu và đúc kết kinh nghiệm, tôi mạnh dạn đưa ra đề tài: “Một số phương pháp suy luận trong giải toán” góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả trong việc tìm lời giải bài toán
II NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
- Tìm hiểu trên cơ sở lý luận khoa học của việc giải toán ở các trường phổ thông
- Thực trạng công tác, giảng dạy của bản thân và việc giải toán của học sinh ở trường THCS Thanh Sơn
- Một số phương pháp góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả cho việc giải toán
III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1) Phương pháp nghiên cứu lý luận khoa học:
Phương pháp này nhằm thu thập thông tin khoa học dựa trên các tài liệu, sách báo, các bài toán và lời giải theo chương trình mới có liên quan đến đề tài để xây dựng nội dung hoàn chỉnh
2) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:
Qua thời gian học tập, công tác và giảng dạy, tôi đã tổng kết, rút kinh nghiệm, chỉ ra những thành công và cả những mặt hạn chế trong việc giải toán của bản thân
Vì vậy, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và đưa ra những phương pháp khoa học hữu hiệu cho việc nâng cao chất lượng và hiệu quả giải toán
IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Một số phương pháp suy luận trong giải toán
- Việc vận dụng các phương pháp suy luận trong giải toán của giáo viên và học sinh
V THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Từ năm 2007 đến tháng 04 năm 2009, cụ thể:
- Từ tháng 01/2007 đến 04/2007, thu thập tài liệu, sách tham khảo
- Từ tháng 05/2007 đến 09/2007 lập đề cương
- Từ tháng 10/2007 đến 12/2007, đánh máy, chỉnh sửa đề tài
- Từ tháng 01/2008 đến 05/2008, hoàn chỉnh đề tài
- Từ tháng 09/2008 đến 04/2009, ứng dụng vào thực tế đối với bản thân và học
Trang 3B- NỘI DUNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN TRONG GIẢI TOÁN
1 Phương pháp phân tích và tổng hợp:
1.1- Khái niệm:
a) Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc tách ra từng thuộc tính, từng dấu hiệu riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó
b) Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của toàn thể hoặc kết hợp những thuộc tính, những dấu hiệu khác nhau nằm trong cái toàn thể
Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau nhưng liên quan chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất
1.2- Phương pháp phân tích trong giải toán:
Phương pháp đi từ cái chưa biết đến cái đã biết, từ cái cần tìm đến cái đã cho,
từ kết luận đến giả thiết gọi là phương pháp phân tích
Trong giải toán, phương pháp phân tích giúp ta tìm ra cách giải nhiều bài toán rất có hiệu quả
Ví dụ:
Bài toán 1: Cho a ≠b;a≠cvà a2 = b.c Chứng minh rằng:
a c
a c b a
b a
−
+
=
− +
Phân tích tìm lời giải:
Để có
a c
a c b a
b a
−
+
=
−
+
phải có (a + b)(c – a) = (a – b)(c + a) Hay ac - a2 + bc – ab = ac + a2 – bc – ab Hay - a2 + bc = a2 – bc
Hay 2a2 = 2bc Hay a2 = bc Đúng (theo giải thiết)
Bài toán 2: Cho đường tròn đường kính AB và M là một điểm nằm trên tiếp tuyến tại
A của đường tròn, tiếp tuyến thứ hai qua M tiếp xúc với đường tròn tại C Hạ CH vuông góc với AB Chứng minh rằng đường thẳng BM chia đoạn CH thành hai phần bằng nhau
Phân tích tìm lời giải:
Gọi I là giao điểm của BM và CH
Trang 4Để có IC = IH, do CH // MA (cùng vuông góc với AB), nên kéo dài BC cắt AM tại
D thì cần phải có MD = MA
Để có MD = MA, do MA = MC (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ M)
thì phải có MD = MC, muốn vậy phải có MCD = MDC
Do ACB = 1V ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
nên MCD + MCA = 1V = MDC + MAC
để có MCD = MDC phải có MCA = MAC điều này
dễ dàng thấy vì MA = MC
1.3- Phương pháp tổng hợp trong giải toán:
Phương pháp đi từ cái đã biết đến cái chưa biết, từ cái đã cho đến cái cần tìm,
từ giả thiết đến kết luận gọi là phương pháp tổng hợp Phương pháp này thường được
sử dụng khi trình bày lời giải của các bài toán hay chứng minh định lí
Ví dụ:
Giải bài toán 1: Từ giả thiết a2 = bc, ta có a2 – bc = bc – a2
Hay a2 – bc + ac – ab = bc – a2 + ac – ab Hay a(a – b) + c(a – b) = c(a + b) – a(a + b) Hay (a – b)(a + c) = (a + b)(c – a)
Từ giả thiết a ≠ b và a ≠ c ta có a – b ≠0 và c – a ≠ 0
Chia hai vế cho (a – b)(c – a) ta được:
b a
b a a c
c a
−
+
=
−
+
(đpcm)
Giải bài toán 2: (Hình vẽ 1)
Vì MA và MC là hai tiếp tuyến từ M nên MA = MC, do có MAC = MCA
mà ACB = 1V (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
nên MAC + MDC = MCA + MCD = 1V Suy ra MCD = MDC
hay MD = MC, do đó MD = MA (1)
Mặt khác MA ⊥AB (vì MA là tiếp tuyến)
CH ⊥ AB (gt) ⇒ MA // CH Theo hệ thức Ta lét
B A
C I M
D
Hình 1
H
Trang 5IH BM
BI DM
CI = = hay
MA
IH MD
CI = do (1) nên CI = IH (đpcm).
Ta thấy rằng quá trình của phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp
là trái ngược nhau Sử dụng phương pháp phân tích trong nhiều trường hợp dễ tìm thấy cách giải hơn nhưng trình bày theo phương pháp tổng hợp lại gọn hơn, mạch lạc hơn Bởi vậy, trong giải toán người ta thường kết hợp cả hai phương pháp này: Dùng phương pháp phân tích để tìm lời giải sau đó trình bày lời giải theo phương pháp tổng hợp.
Ví dụ: Cho đường tròn (O) có hai cung bằng nhau AB và AC Qua A vẽ một cát
tuyến cắt dây BC ở D và cắt đường tròn (O) ở E Chứng minh rằng: AB2 = AD.AE (SGK Hình học 9)
Để có AB2 = AD.AE thì phải có
AB
AD
AE
AB = Muốn vậy phải có
ABD ~ AEB Để có ABD ~ AEB,
do ABD và AEB có:
A chung; BEA = ABD (góc nội tiếp chắn
hai cung bằng nhau) Suy ra
ABD ~ AEB (g.g)
Xét ABD và AEB có:
A chung; BEA = ABD (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
⇒ ABD ~ AEB (g.g)
AB
AD AE
AB
.
2 =
⇒
^
^
A
E B
C D
Hình 2
Trang 62 Phương pháp quy nạp:
2.1- Khái niệm:
Từ các khẳng định của các trương hợp riêng rút ra kết luận tổng quát gọi là quy nạp
Ví dụ 1:
- Với m chia hết cho 3, hay m = 3k, ta có:
m3 – m = (3k)3 – 3k = 3k(9k2 – 1) 3
- Với m chia cho 3 dư 1, hay m = 3k + 1, ta có:
m3 – m = (3k+1)3 – (3k + 1) = 3k(9k2 + 9k + 2) 3
- Với m chia cho 3 dư 2, hay m = 3k + 2, ta có:
m3 – m = (3k + 2)3 – (3k + 2) = 3(9k3 + 18k2 + 4k + 2) 3
Kết luận: Với mọi số nguyên m ta có m3 – m 3
Ví dụ 2: Ta có: 1 +3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
Kết luận: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên bằng n2
2.2- Quy nạp không hoàn toàn:
Là quy nạp mà kết luận tổng quát không được khẳng định bởi tất cả các trường hợp có thể xảy ra Từ đó, ta thấy kết luận rút ra từ quy nạp không hoàn toàn không bao giờ cũng đúng Bởi vậy, chỉ có thể xem kết luận rút ra từ quy nạp không hoàn toàn là một dự đoán, một giả thuyết Tuy vậy, những kết luận rút ra từ quy nạp
không hoàn toàn lại có ý nghĩa rất to lớn trong sự phát triển của toán học cũng như của khoa học qua việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ những dự đoán, những giả thuyết đó
Ví dụ 3: Ta có 22 0 + 1 = 3 là số nguyên tố
22 1 + 1 = 5 là số nguyên tố
22 2 + 1 = 17 là số nguyên tố
22 3 + 1 = 257 là số nguyên tố
Kết luận: Với mọi số tự nhiên n ta có 22n + 1 là số nguyên tố
Trang 72.3- Quy nạp hoàn toàn:
Là quy nạp mà kết luận tổng quát được khẳng định bởi tất cả các trương hợp
có thể xảy ra (số trường hợp là hữu hạn); ví dụ 1 Từ đó, ta thấy kết luận rút ra từ quy nạp hoàn toàn luôn đúng Trong giải toán ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn
Chẳng hạn, chứng minh định lí: “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung” – Sách giáo khoa Hình học 9
Ta xét và chứng minh tất cả các trường hợp có thể xảy ra, tuỳ theo vị trí của tâm O đối với góc nội tiếp:
- Tâm O ở trên một cạnh của góc (hình 3a)
- Tâm O ở bên trong góc (hình 3b)
- Tâm O ở bên ngoài góc (hình 3c)
2.4- Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
Bên cạnh việc giải toán bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn, ta còn sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n
Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n0 ta tiến hành:
Bước 1: Chứng minh mệnh đề A(n) đúng với n = n0
Bước 2: Giả sử mệnh đề A(n) đúng với n = k; k ≥ n0 (còn gọi là giả thiết quy nạp)
Từ đó chứng minh mệnh đề A(n) đúng với n = k + 1
Kết luận: Mệnh đề A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n0
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:
12 + 22 + … + n2 =
6
) 1 2 )(
1 (n+ n+
n
(*)
Giải
Bước 1: Với n = 2, dễ thấy (*) đúng.
Hình 3
Trang 8Bước 2: Giải sử (*) đúng với n = k (k ≥ 2), nghĩa là:
12 + 22 + … + k2 =
6
) 1 2 )(
1 (k+ k+
k
(**)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, nghĩa là:
12 + 22 + … + k2 + (k + 1)2 =
6
) 3 2 )(
2 )(
1 (k+ k+ k+
Thật vậy, do (**) nên:
12 + 22 + … + k2 + (k + 1)2 =
6
) 1 2 )(
1 (k+ k+
k
+ (k + 1)2 =
6
) 1 ( 6 ) 1 2 ( ) 1 (k+ k k+ + k+
=
6
) 3 2 )(
2 )(
1 (k+ k+ k+
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2
3 Phương pháp so sánh:
3.1- Khái niệm:
Từ hai đối tượng ta rút ra những thuộc tính, những dấu hiệu giống nhau và khác nhau giữa chúng, gọi là so sánh
Muốn so sánh hai đối tượng nào đó, ta phân tích các thuộc tính, các dấu hiệu của từng đối tượng đó, đối chiếu các thuộc tính, các dấu hiệu đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai đối tượng có gì giống nhau và khác nhau
3.2- Tác dụng:
Nhờ so sánh các đối tượng với nhau mà ta nhận thức được các đối tượng đó một cách sâu sắc Trong giải toán, từ sự so sánh các bài toán ta có thể tìm ra lời giải của bài toán cần giải bằng cách lợi dụng kết quả, phương pháp hay kinh nghiệm giải của những bài toán đã giải
Ví dụ 1: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Giải
Từ a + b + c = 0 ⇒ c = - (a + b), ta có: a3 + b3 + c3 = a3 + b3 + [- (a + b)]3 =
= - 3ab(a + b) = 3abc (đpcm)
Ví dụ 2: Cho a + b - c = 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 - c3 + 3abc = 0
Ta thấy, bài toán này giống như bài toán ở ví dụ 1 Liên hệ với cách giải của ví
dụ 1 ta dễ dàng suy ra được cách giải ở ví dụ này
Trang 94 Phương pháp đặc biệt hoá:
4.1- Khái niệm:
Đặc biệt hoá là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng sang một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu
Ví dụ: Chuyển từ việc khảo sát các đa giác sang việc khảo sát các tam giác hay
chuyển từ việc khảo sát tam giác sang việc khảo sát tam giác đều
4.2- Tác dụng:
- Dùng để kiểm nghiệm kết quả
- Dùng để tìm kết quả khác, chẳng hạn tìm lại hệ thức lượng trong tam giác vuông nhờ xét trường hợp đặc biệt của hệ thức lượng trong đường tròn
- Dùng trong giải toán: Giải bài toán trong trường hợp đặc biệt rồi đưa trường hợp tổng quát về trường hợp đặc biệt để giải
Ví dụ: Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trên cạnh BC Hãy dựng đường thẳng
qua M chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau
Để ìm lời giải của bài toán, ta hãy xét trong trường hợp nào có thể tìm ra lời giải dễ hơn, có thể thấy ngay khi M ở những trường hợp đặc biệt như:
1- M là một điểm nằm chính giữa cạnh BC
Khi đó đường thẳng cần dựng là trung tuyến
AM của tam giác ABC ( ABM và AMC có
đường cao AH chung và đáy BM, CM bằng nhau)
(Hình 4)
2- M trùng với đỉnh B (hoặc đỉnh C) thì đường
thẳng cần dựng là trung tuyến BN (Hình 5)
Trường hợp tổng quát:
Nếu ta đưa bài toán về được một trong những trường hợp đặc biệt nêu trên thì xem như đã tìm được lời giải
Đưa về trường hợp đặc biệt 1:
A
M
H
Hình 4
M B
A
C
N
≡
Hình 5
Trang 10Trên đường thẳng BC lấy điểm D sao cho M là điểm chính giữa của CD, với
BM < CM (nếu BM > CM thì lấy D sao cho M là điểm chính giữa của BD)
Kẻ BE // DA (Hình 6)
Ta thấy BAE và BDE có diện tích bằng nhau
(hai đường cao bằng nhau, cạnh đáy BE chung)
nên ABC và DEC có diện tích bằng nhau
Mà DEC có M là trung điểm của cạnh DC nên
trung tuyến EM chia đôi diện tích DEC, do đó
cũng chia đôi diện tích ABC
Đưa về trường hợp đặc biệt 2:
(với BM < CM) vẽ BD // AM (Hình 7)
Ta thấy ABM và ADM có diện tích bằng
nhau (hai đường cao bằng nhau, cạnh đáy AM
chung) nên ABC và MDC có diện tích
bằng nhau Mà MDC có trung tuyến MN chia
đôi diện tích của nó nên MN cũng chia đôi diện
tích ABC
5 Phương pháp tổng quát hoá:
5.1- Khái niệm:
Tổng quát hoá là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đến khảo sát một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp đối tượng ban đầu
Ví dụ: Chuyển từ việc khảo sát tam giác đều đến khảo sát đa giác đều.
5.2- Tác dụng:
Tổng quát hoá có ý nghĩa to lớn trong học toán nói riêng và trong khoa học nói chung, ở đây ta chỉ nói đến tác dụng của nó trong giải toán
Việc tổng quát một bài toán không những cho ta biết kết quả lớn hơn, rộng hơn mà có khi lại giúp ta giải bài toán dễ dàng hơn, thuận lợi hơn Điều này tưởng
D
A
E
Hình 6
.
.
.
A D
N
C
Hình 7
Trang 11chừng như nghịch lý nhưng có những trường hợp nhờ tổng quát mà dữ kiện sử dụng cho việc giải toán được thể hiện rõ hơn, do đó việc tìm cách giải tốt hơn
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M nằm trong tam giác
đều ABC đến các cạnh của tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
Giải
Gọi N, P, Q lần lượt là chân đường vuông góc
hạ từ M xuống các cạnh AB, BC, AC
AB MN
2
1
=
AB MQ AC
MQ
2
1
2
=
AB MP BC
MP
2
1
2
1
=
=
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
ABC BMC
AMC AMB S S AB MN MQ MP S
2
1
AB
S MQ MP
⇒ 2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
(Điều phải chứng minh)
Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M nằm
trong một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau đến các cạnh của đa giác đó không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
Ta thấy bài toán ban đầu nói đến tam giác đều, khi đó ta chú ý đến cả 3 cạnh bằng nhau và 3 góc cùng bằng 600 Ở bài toán tổng quát, không có gì nói đến các góc (có chăng chỉ là các góc nhỏ hơn góc bẹt), bởi vậy ta chỉ tập trung vào giả thiết các cạnh bằng nhau, đó chính là giả thiết dùng để giải toán
Cũng có khi lời giải của bài toán tổng quát lại gọn hơn, dễ hiểu hơn lời giải của bài toán ban đầu (do ký hiệu gọn hơn, giả thiết dùng để giải thể hiện rõ hơn) Khi
đó, ta nên giải bài toán tổng quát rồi chỉ ra bài toán đã cho chỉ là một trường hợp riêng Như thế lời giải chẳng những có thêm phần sáng tạo mà lại còn đẹp hơn, mạch lạc hơn
Ví dụ 2: Chứng minh rằng đa thức:
C
A
B
M N
P Q
Hình 8