GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.. Hàm số không có cực trị.. Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất... Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.. Với
Trang 1Bài giảng số 5 GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hai đồ thị hàm số C : y f x và C ' : y g x
Hai đồ thị C và C ' cắt nhau tại điểm
0 0
M x y
tức là x y0; 0 là một nghiệm
của hệ phương trình
Như vậy hoành độ giao điểm của C và C ' là nghiệm của phương trình f x g x 1
Số nghiệm của phương trình 1 bằng số giao điểm của C và C '
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hàm s ố 1
1
x y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
(1) 1
x
m x
Lời giải:
1
x y
x
có tập xác định D R \ 1
Giới hạn:
Đạo hàm:
2
2
1
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;
Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên:
Trang 2Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1; tiệm cận ngang y 1.
Giao của hai tiệm cận I 1;1 là tâm đối xứng
Đồ thị
b Đồ thị hàm số 1
1
x y x
được vẽ từ đồ thị hàm số
1 1
x y x
theo quy tắc giữ nguyên phần đồ thị của
1
x
y
x
ứng với x 0, phần đồ thị của hàm số ứng với x 0 lấy đối xứng qua trục tung
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị 1
1
x y x
và đường thẳng y m .
Dựa vào đồ thị ta có
Với m 1; m 1: phương trình (1) có 2 nghiệm
Với m 1: phương trình (1) có 1 nghiệm
Với 1 m 1: phương trình (1) vô nghiệm
x 1
'
y
y
1
1
Trang 3Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2
y x m x m x C Tìm m để Cm cắt trục hoành tại
ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân
Lời giải:
Điều kiện cần: Giả sử Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 lập thành một cấp số nhân Khi đó phương trình:
có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3
1 2 3 8
x x x
Vì x x x1, 2, 3 lập thành một cấp số nhân nên x22 x x1 3 x23 8 x2 2.
Thay x 2 vào phương trình 3 2
x m x m x ta được4 2 m 0 m 2.
Điều kiện đủ:
Với m 2 thay vào phương trình (2) ta được:
x x x x x x x x x lập thành một cấp số nhân Vậy m 2 là giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1
2
x y
x có đồ thị C Chứng minh đường thẳng d : y x m luôn cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A B , Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
2
2
2
x x
x
Do phương trình 1 có m2 1 0 và 2 2 4 m 2 1 2 m 3 0, m nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A B ,
AB ngắn nhất AB2 nhỏ nhất m 0 AB 12.
Trang 4Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng d : y mx 1 cắt
2 1 :
2
x
tại hai điểm phân biệt thuộc
cùng một nhánh của đồ thị C
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C là nghiệm của phương trình
2
2 1
2
x
Do C có tiệm cận đứng là x 2 nên d cắt C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của
C khi và chỉ khi phương trình 4 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn
1 2
2
0 1
1 0 2.2 4 0
1
m m
m m
m m
m
Vậy với m 0 thì d cắt C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị
Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y m x ( 3) cắt đồ thị hàm số 2
1
x y x
tại hai
điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1
Lời giải:
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số 2
1
x y x
và y m x ( 3) là số nghiệm của phương trình
1
x
x
Để đường thẳng y m x ( 3) cắt đồ thị hàm số 2
1
x y x
tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một
điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình 5 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1
Nếu m = 0, thì phương trình có nghiệm x = 2 Vậy m = 0 không thỏa mãn
Nếu m 0, ta có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 1 x2
2
m
Trang 5TH2: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 x1 x2
2
1 2
2 0
2 0
m
m
m
Vậy m 0 thỏa mãn bài toán
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số y x3 mx2 x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Đáp số: m 0; 3
Bài 2: Cho hàm số y x3 3 x2 2 có đồ thị C Gọi d là đường thẳng đi qua A 1; 2 và có hệ số
góc k
a Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N Đáp số: 2
2
b Với điều kiện câu a, hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi
Đáp số: : x 2, 2 y 25.
Bài 3: Cho hàm số y x3 6 x2 9 x Tìm m để đường thẳng d y : mx (C) tại ba điểm phân biệt
, ,
O A B Chứng minh rằng khi m thay đổi, trung điểm I của AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục Oy
Bài 4: Cho hàm số 1 3
3 3
y x x có đồ thị (C) và đường thẳng d y : m x ( 3) và A 3; 0 Tìm m
để d cắt (C) tại ba điểm A, B, C Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng BC Đáp số: 3
4
m
Bài 5: Cho đường cong 3 2 2 2
y x m x m m x m C Tìm m để Cm
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Đáp số: 3 17 3 17
m m
Trang 6Bài 6: Cho đường cong 3 2
y x x mx m C Tìm m để Cm cắt đường thẳng
d : y 3 x 1 tại ba điểm phân biệt x x x1, 2, 3 sao cho x1 1 x2 2 x3. Đáp số: m 1.
Bài 7: Cho đường cong 3 2
y x mx x m C Tìm m để Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 sao cho x12 x22 x32 15. Đáp số: m 1.
Bài 8: Tìm m để hàm số y x4 2 mx2 2 m 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp
số cộng Xác định cấp số cộng ứng với mỗi m tìm được Đáp số: 1 5
2 m m m 9
Bài 9: Cho đường cong 4 2
y x m x m C Tìm m để đường thẳng y 1 cắt Cm
tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 Đáp số:
1
1 3
0.
m m
Bài 10: Cho hàm số 1 4 2 3
y x mx có đồ thị Cm
a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị Cm có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của tam giác vuông cân
b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị Cm cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ thỏa mãn
x x x x
Bài 11: Cho đường cong 4 2
y x m x m C Tìm m để đường thẳng y 1 cắt Cm
tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 Đáp số: 1
1; 0.
Bài 12: Cho hàm số 3
1
x y x
có đồ thị (C)
a Chứng minh rằng đường thẳng d y : 2 x m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N Tìm tập hợp
trung điểm I của đoạn thẳng MN Đáp số: quỹ tích I là đường thẳng y 2 x 1.
b Xác định m để đoạn MN ngắn nhất Đáp số: MNmin 2 5 m 3.
Bài 13: Cho hàm số 2 2
1
x y x
Tìm m để đường thẳng d : y 2 x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A B , sao cho AB 5. Đáp số: m 10; m 2
Trang 7Bài 14: Cho hàm số 2 4
1
x y
x
Gọi d là đường thẳng đi qua A 1;1 có hệ số góc k Tìm k sao cho đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M N , và MN 3 10.
3;
16
Bài 15: Cho hàm số
2
1
y
x
Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm
0.
Bài 16: Tìm m để đường thẳng d : y 2 mx m cắt đồ thị
2
:
2
x
tại hai điểm phân biệt
thuộc hai nhánh của đồ thị C Đáp số: m 1.
Bài 17: Tìm m để đường thẳng d : y 2 x m cắt đồ thị hàm số : 3 3
1
x
tại hai
điểm phân biệt A B , sao cho AB có độ dài ngắn nhất Đáp số: m 0.