http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài giảng số 5. GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai đồ thị hàm số : C y f x và ' : . C y g x Hai đồ thị C và ' C cắt nhau tại điểm 0 0 0 0 0 0 , y f x M x y y g x tức là 0 0 ; x y là một nghiệm của hệ phương trình y f x y g x . Như vậy hoành độ giao điểm của C và ' C là nghiệm của phương trình 1 f x g x Số nghiệm của phương trình 1 bằng số giao điểm của C và ' C . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho hàm số 1 . 1 x y x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 (1) 1 x m x Lời giải: a. Hàm số 1 1 x y x có tập xác định \ 1 . D R Giới hạn: 1 1 1 1 1 lim 1; lim ; lim . 1 1 1 x x x x x x x x x Đạo hàm: 2 2 ' 0, 1 1 y x x Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; . Hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1; x tiệm cận ngang 1. y Giao của hai tiệm cận 1;1 I là tâm đối xứng. Đồ thị b. Đồ thị hàm số 1 1 x y x được vẽ từ đồ thị hàm số 1 1 x y x theo quy tắc giữ nguyên phần đồ thị của hàm số 1 1 x y x ứng với 0 x , phần đồ thị của hàm số ứng với 0 x lấy đối xứng qua trục tung. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị 1 1 x y x và đường thẳng . y m Dựa vào đồ thị ta có Với 1; 1: m m phương trình (1) có 2 nghiệm. Với 1: m phương trình (1) có 1 nghiệm. Với 1 1: m phương trình (1) vô nghiệm. x 1 ' y y 1 1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 3 1 3 4 8 . m y x m x m x C Tìm m để m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , , x x x lập thành một cấp số nhân. Khi đó phương trình: 3 2 3 1 3 4 8 0 x m x m x (2) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 , , x x x . 3 2 1 2 3 3 1 3 4 8 x m x m x x x x x x x 3 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 1 3 4 8 x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 3 8 x x x . Vì 1 2 3 , , x x x lập thành một cấp số nhân nên 2 3 2 1 3 2 2 8 2. x x x x x Thay 2 x vào phương trình 3 2 3 1 3 4 8 0 x m x m x ta được 4 2 0 2. m m Điều kiện đủ: Với 2 m thay vào phương trình (2) ta được: 3 2 1 2 3 7 14 8 0 1 2 4 0 1; 2; 4 x x x x x x x x x lập thành một cấp số nhân. Vậy 2 m là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1 2 x y x có đồ thị C . Chứng minh đường thẳng : d y x m luôn cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt , A B . Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất. Lời giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d là nghiệm của phương trình 2 2 2 1 4 1 2 0 3 2 x x x m x m x mx Do phương trình 1 có 2 1 0 m và 2 2 4 2 1 2 3 0, m m m nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt , A B . Ta có 2 2 2 2 ; 2 12 A A B B A B A B y m x y m x AB x x y y m AB ngắn nhất 2 AB nhỏ nhất 0 12. m AB http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng : 1 d y mx cắt 2 1 : 2 x x C y x tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị . C Lời giải: Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C là nghiệm của phương trình 2 2 1 1 1 2 1 1 0 4 2 x x mx g x m x m x x Do C có tiệm cận đứng là 2 x nên d cắt C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của C khi và chỉ khi phương trình 4 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ' 1 0 1 0 2 2 2 2 0 2 4 0 m m m m x x x x x x x x x x 1 0 1 0 0 1 1 0 2.2 4 0 1 m m m m m m m Vậy với 0 m thì d cắt C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng ( 3) y m x cắt đồ thị hàm số 2 1 x y x tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải: Số giao điểm của hai đồ thị hàm số 2 1 x y x và ( 3) y m x là số nghiệm của phương trình hoành đồ giao điểm: 2 2 ( 3) (4 1) 3 2 0 (5) 1 x m x mx m x m x Để đường thẳng ( 3) y m x cắt đồ thị hàm số 2 1 x y x tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình 5 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1. Nếu m = 0, thì phương trình có nghiệm x = 2. Vậy m = 0 không thỏa mãn Nếu 0 m , ta có các trường hợp sau: TH1: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 1 x x 2 1 2 1 2 1 2 0 4 1 0 3 2 4 1 1 0 0 1 1 0 1 0 m m m m x x m m x x x x http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần TH2: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 1 x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 4 1 0 4 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 4 1 2 0 2 0 1 1 0 m m m m m x x x x x x m m x x x x m Vậy 0 m thỏa mãn bài toán. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số 3 2 . y x mx x m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Đáp số: 0; 3 m Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 2 y x x có đồ thị . C Gọi d là đường thẳng đi qua 1; 2 A và có hệ số góc k. a. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N. Đáp số: 2 1 4 4 0 x x x k 2 x 1 0 k 9 g x x 4x 4 k 0 b. Với điều kiện câu a, hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi. Đáp số: : 2, 2 25. x y Bài 3: Cho hàm số 3 2 6 9 . y x x x Tìm m để đường thẳng : d y mx (C) tại ba điểm phân biệt , , . O A B Chứng minh rằng khi m thay đổi, trung điểm I của AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục Oy. Bài 4: Cho hàm số 3 1 3 3 y x x có đồ thị (C) và đường thẳng : ( 3) d y m x và 3;0 . A Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm A, B, C. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng BC. Đáp số: 3 6 , 4 m 3 9 ( ) : , 36 2 2 x y Bài 5: Cho đường cong 3 2 2 2 2 1 4 1 2 1 . m y x m x m m x m C Tìm m để m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Đáp số: 3 17 3 17 2 17 m m http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài 6: Cho đường cong 3 2 3 3 3 . m y x x mx m C Tìm m để m C cắt đường thẳng : 3 1 d y x tại ba điểm phân biệt 1 2 3 , , x x x sao cho 1 2 3 1 2 . x x x Đáp số: 1. m Bài 7: Cho đường cong 3 2 3 3 3 2 . m y x mx x m C Tìm m để m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , , x x x sao cho 2 2 2 1 2 3 15. x x x Đáp số: 1. m Bài 8: Tìm m để hàm số 4 2 2 2 1 y x mx m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng ứng với mỗi m tìm được. Đáp số: 1 5 1, 5, . 2 9 m m m Bài 9: Cho đường cong 4 2 3 2 3 . m y x m x m C Tìm m để đường thẳng 1 y cắt m C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số: 1 1 3 0. m m Bài 10: Cho hàm số 4 2 1 3 4 2 y x mx có đồ thị . m C a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị m C có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của tam giác vuông cân. b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị m C cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 3 4 20. x x x x Bài 11: Cho đường cong 4 2 3 2 3 . m y x m x m C Tìm m để đường thẳng 1 y cắt m C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số: 1 1; 0. 3 m m Bài 12: Cho hàm số 3 1 x y x có đồ thị (C). a. Chứng minh rằng đường thẳng : 2 d y x m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN. Đáp số: quỹ tích I là đường thẳng 2 1. y x b. Xác định m để đoạn MN ngắn nhất. Đáp số: min 2 5 3. MN m Bài 13: Cho hàm số 2 2 1 x y x Tìm m để đường thẳng : 2 d y x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 5. AB Đáp số: 10; 2 m m http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài 14: Cho hàm số 2 4 . 1 x y x Gọi d là đường thẳng đi qua 1;1 A có hệ số góc . k Tìm k sao cho đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , M N và 3 10. MN Đáp số: 3 41 3; 16 k k Bài 15: Cho hàm số 2 . 1 mx x m y x Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. Đáp số: 1 0. 2 m Bài 16: Tìm m để đường thẳng : 2 d y mx m cắt đồ thị 2 2 3 : 2 x x C y x tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị . C Đáp số: 1. m Bài 17: Tìm m để đường thẳng : 2 d y x m cắt đồ thị hàm số 3 : 3 1 C y x x tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. Đáp số: 0. m . nguyên phần đồ thị của hàm số 1 1 x y x ứng với 0 x , phần đồ thị của hàm số ứng với 0 x lấy đối xứng qua trục tung. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị 1 1 x y x . Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài giảng số 5. GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải: Số giao điểm của hai đồ thị hàm số 2 1 x y x và ( 3) y m x là số nghiệm của phương trình hoành đồ giao điểm: 2 2 ( 3)