SKKN - ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GHI NHỚ NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Để thực hiện được mục tiêu đó quả là không dễ chút nào đối với bộ môn Toán, đặc biệt là phần LƯỢNG GIÁC với sự đa dạng về các loại toán và một khối lượng khổng lồ các công thức, đã làm c

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Một trong những mục tiêu quan trọng trong quá trình đổi mới phương pháp dạy và học ở bậc THPT là: Người thày phải cung cấp và hướng dẫn cho học sinh những phương pháp học tập tích cực, cách thức tiếp cận, lĩnh hội thông tin và tri thức một cách nhanh nhất, khả năng lưu trữ thông tin bền vững nhất Để thực hiện được mục tiêu đó quả là không

dễ chút nào đối với bộ môn Toán, đặc biệt là phần LƯỢNG GIÁC với sự

đa dạng về các loại toán và một khối lượng khổng lồ các công thức, đã làm cho số đông học sinh luôn cảm thấy môn học này là khó

Thực tế qua quá trình giảng dạy mấy năm vừa qua tôi nhận thấy khả năng áp dụng công thức lượng giác vào giải toán của học sinh là rất yếu,

vì hầu hết các em không nhớ hoặc nhớ lơ mơ các công thức lượng giác nên việc giải toán lượng giác của các em ngày càng gặp nhiều khó khăn

Từ đó các em không còn hứng thú và thậm chí còn có cảm giác sợ hãi khi học phần lượng giác Để giúp các em giải quyết những khó khăn đó, tạo niềm vui, hứng thú và thái độ tự tin trong học tập đồng thời phát huy khả năng ghi nhớ kiến thức để áp dụng vào thực hành, và tính toán nhanh

trong các bài tập Tôi đã quyết định tìm hiểu “Phương pháp giúp học

sinh ghi nhớ nhanh một số công thức lượng giác”

II PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

1 Phạm vi:

- Hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

- Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt

- Các công thức lượng giác: Công thức cộng, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng

2 Đối tượng: Đối với học sinh khối THPT

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Giúp học sinh tự tìm tòi, xây dựng cho mình một cách thức học nhanh

và nhớ lâu các công thức lượng giác để áp dụng vào giải toán lượng giác trên cơ sở chuyển tải từ công thức lượng giác trở thành những vần thơ hoặc những câu văn vần…mà các em dễ ghi nhớ nhất

- Giúp học sinh có thái độ thích thú và có niềm say mê học toán đặc biệt

là phần lượng giác, cũng như học sinh tự trao đổi với nhau về cách nhớ công thức lượng giác để giải nhanh các bài tập áp dụng, bài tập trắc nghiệm

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Giúp học sinh học tốt phần công thức lượng giác, từ đó từng bước nâng cao chất lượng môn học đồng thời tạo cơ sở kiến thức cho các bộ môn khoa học khác như Vật lí… Gây sự hứng thú trong học tập của học sinh đối với bộ môn toán nói chung và phần công thức lượng giác nói riêng

V PHƯƠNG PHÁP VÀ TƯ LIỆU NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp

- Phương pháp quan sát, đàm thoại trực tiếp đối tượng

- Phương pháp phân tích và tổng hợp

- Phương pháp thống kê mô tả

2 Tư liệu nghiên cứu

- Sách giáo khoa, tạp chí toán học, báo mực tím, báo hoa học trò

- Những mẩu chuyện vui mà học sinh thường gặp

- Các vần thơ vui dễ nhớ

B PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SƠ LÝ LUẬN

Bộ môn toán thường được người học nhận xét là môn học: “khô, khó, khổ“, vì tính đa dạng về các dạng toán, số lượng các công thức áp dụng

nhiều, phức tạp do vậy việc ghi nhớ một cách chính xác một khối lượng lớn các công thức là việc rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian nếu ta không có phương pháp và cách thức học cụ thể và hợp lý Bên cạnh đó đối với những vần thơ, câu ca có vần có điệu, chứa đựng nội vui vẻ thì rất dễ đi sâu vào lòng người, khiến người đọc dễ nhớ và nhớ lâu hơn

II THỰC TRẠNG

Đại đa số học sinh hiện nay vẫn giữ thói quen học thuộc lòng các công

thức một cách máy móc, mà số lượng công thức thì nhiều cho nên khả năng nghi nhớ kiến thức không được nhiều, nhanh quên dễ nhầm lẫn giác công thức này với công thức khác

Đến khoảng 80% học sinh ngán ngẩm, không có hứng thú với phần lượng giác, khả năng giải các bài tập áp dụng công thức còn hạn chế vì

không nắm vững công thức hay áp dụng sai công thức Ngoài ra học sinh

còn chủ quan khi ỷ lại vào máy tính tay đã tạo cho học sinh tính lười biếng trong tính toán nhanh các phép tính đơn giản

III GIẢI PHÁP

Hình thành cách học, cách ghi nhớ công thức lượng giác cho học sinh, từ

đó các em có thể tìm tòi thêm một số cách thức, qui tắc nhớ riêng cho mình

Liên tưởng giữa thực tiễn cuộc sống hằng ngày vào bài học và từ bài học

vào thực tế để giảm bớt sự “khô khan” của môn toán

IV QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU

1 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

a Định nghĩa:

Cho tam giác ABC vuông tại A Với = Khi đó:

sin = =

C A

C.kề

cos = =

tan = =

cot = =

b Phương pháp ghi nhớ

- Để ghi nhớ các tỉ số lương giác trên ta có thể chuyển đổi từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ văn học như sau:

“ Tính sin lấy đối chia huyền.

Côsin hai cạnh kề huyền chia nhau

Côtang ta sẽ tính sau Còn tang hai cạnh chia nhau đối kề ”

Vì sao côtang ta lại tính sau? Vì ta đã biết cot và tan là hai giá trị nghịch

đảo của nhau, do vậy nếu tính được tan sẽ suy ra được cot

Ngoài ra ta còn có thể dùng cách so sánh ví von như sau:

“ sin đi học, cos không hư, tang đoàn kết, côtang kết đoàn”.

Chúng ta liên tưởng và ví bốn giá trị sin, cos, tang, côtang như là các cô, cậu học trò nào đó mà mỗi người có một tính cách riêng Để từ đó luận ra tỉ số của từng giá trị, ví dụ như anh bạn “sin” chẳng hạn thì ta sẽ lấy hai chữ cái đầu của

câu “đi học” để lập tỉ số cho giá trị này, tức là giá trị sin bằng đối chia huyền

Nếu đặt Bˆ=β thì từ định nghĩa trên ta có:

AB = sin BC = cosβ.BC

AC = sinβ.BC = cos BC.

Vậy: “ trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng sin góc đối hoặc cos góc

kề nhân với cạnh huyền ”

Như vậy với cách “mã hóa” từ công thức toán học thành ngôn ngữ văn thơ

sẽ giúp các em ghi nhớ các công thức một cách nhanh nhất và lâu nhất

2 BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

α

a Bảng giá trị lượng giác của các góc: 0 o ; 30 o ; 45 o ; 60 o ; 90 o

Trong quá trình giải toán lượng giác thì các giá trị trên thường được sử dụng để

tính toán, thu gọn, biến đổi……Thế nhưng khi áp dụng thì đại đa số các em đều lung túng vì không nhớ hoặc nhầm lẫn giữa giá trị này và giá trị kia nên thường dẫn đến một đáp số sai Mặt khác nếu để các em học thuộc lòng một cách máy móc thì rất cực nhọc

Để khắc phục tình trạng đó chúng ta có thể hướng dẫn các em cách xây dựng lại bảng giá trị lượng giác trên (trong trường hợp bị quên) như sau:

b Cách xây dựng

Nếu để ý kỹ thì thì ta thấy dãy các giá trị của sin (với = 0o; 30o; 45o; 60o;

90o) tuân theo qui luật sau: = ; ; ;

Tức là nếu ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng phân số thì tử số tăng dần từ

đến , còn mẫu số không đổi là 2

Để xác định dãy các giá trị của cos (với = 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) ta đảo lại dãy các giá trị của sin

Sau khi xác định xong các giá trị sin , cos thì dễ dàng xác định tan và

cot dựa vào công thức: tan ; cot

 Chú ý: Nếu cos thì tan không xác định

Nếu sin thì cot không xác định

Như vậy chỉ cần từ 1 đến 2 phút là các em đã có thể xây dựng được bảng giá trị lượng giác như sau:

Trong các góc đặc biệt trên ta thấy góc 45o là góc đặc biệt nhất sin45o=sin45o =

nên tan45o = cot45o = 1 Đây là các giá trị tương đối dễ nhớ

Còn với o o thì có phần khó nhớ hơn một chút và dễ nhầm lẫn giữa các giá trị sin và cos Nhưng không sao nếu các em chịu khó nhẩm vài ba lần

câu “thần chú” sau thì mọi chuyện sẽ được giải quyết

“ sin ba cos sáu nửa phần ”

“ cos ba sin sáu nửa phần căn ba ”

Tức là sin30o và cos600 bằng , còn cos300 sin60o bằng

3 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

a Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt

a 1) Cung đối nhau và

cos( ) = cos

sins( ) = - sin

tan( ) = - tan

cot( ) = - cot

a 2) Cung bù nhau và ( )

sins( ) = sin

cos( ) = - cos

tan( ) = - tan

cot( ) = - cot

a 3) Cung phụ nhau và ( )

sin( ) = cos

cos = sin

tan( ) = cot

cot( ) = tan

a 4) cung hơn kém nhau π

sins( + π ) = - sin

cos( + π) = - cos

tan( + π) = tan

cot( + π) = cot

 Nhận xét: trong nhóm các công thức đối chỉ có cos( ) = cos , trong nhóm công thức bù chỉ có sins( ) = sin , nhóm công thức hơn kém π

thì tan( + π) = tan , còn trong nhóm công thức phụ thì các giá trị sin,

cos của các cung và ( ) chéo nhau, các giá trị tan, cot của các cung

và ( ) chéo nhau.

 Do đó để ghi nhớ nhóm các công thức trên ta cần nhớ câu:

” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”

b Công thức cộng

cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb

cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb

sin(a - b) = sina cosb – cosa sinb

Cách thức để ghi nhớ bốn công thức này vẫn là cách tìm một vài điểm đặc biệt nào đó và chuyển thể thành dạng văn nói sao cho có vần, có điệu để học sinh

dễ học, dễ nhớ chẳng hạn như:

“ cos cùng loài khác dấu sin cùng dấu khác loài ”

Ở đây ta cần giải thích cho học sinh hiểu được như thế nào là cùng loài, khác

loài? Các tích: cosa cosb; sina sinb được gọi là cùng loài, còn các tích: sina cosb; cosa sinb được gọi là khác loài Còn khác dấu, cùng dấu thì chỉ cần hiểu một cách nôm na là nếu bên trái dấu bằng là giá trị lượng giác của một tổng thì bên phải dấu bằng sẽ là hiệu của các tích trên và ngược lại.

 Chú ý: Cần lưu ý cho học sinh nắm được mức độ ưu tiên về “thứ tự “ của

các giá trị trong công thức sẽ phụ thuộc vào vế trái

 Ví dụ: Khi triển khai công thức: cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb vì vế trái

là cos(a+b) nên tích cosa cosb được viết trước rồi mới đến tích sina sinb

Còn trong công thức: sin(a+b) = sina cosb – cosa sinb (vì khác loai) mà vế trái là sin(a+b) nên tích sina cosb được ưu tiên

4 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG

a Công thức biến đổi tổng thành tích

cos + cos = 2cos cos

cos - cos = -2sin

sin + sin = 2sin cos

sin - sin = 2cos sin

chúng ta hướng dẫn học sinh mã hóa như sau:

“ cos cộng cos bằng hai cos, cos cos trừ cos bằng trừ hai sin,sin sin cộng sin bằng hai sin, cos sin trừ sin bằng hai cos, sin ”

 Chú ý: Bên vế phải luôn tích hai hệ thức lượng giác của góc và

mà hệ thức của góc được viết trước

Đối với công thức: tan + tan = được ghi nhớ qua câu sau:

“ tang ta cộng với tang mình bằng sin hai đứa chia cos mình cos ta”

Ở đây ta liên tưởng và như là đôi bạn thân chơi với nhau và có cách xưng hô

là ta và mình

b Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)]

sina sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)]

sina cosb = [sin(a - b) + sin(a + b)]

Tương tự như công thức biến đổi tổng thành tích ta có đoạn mã cho nhóm các công thức trên như sau:

“ cos nhân cos bằng một phần hai cos cộng cos sin nhân sin bằng một phần hai cos trừ cos sin nhân cos bằng một phần hai sin cộng sin”

 Chú ý: Vế phải trong nhóm công thức này thì hệ thức lượng giác của góc

(a-b) được viết trước

V ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Hãy nối một dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để được biểu thức

đúng

 Hướng

lượng

góc đặc

biệt ta có

A) sin300cos600 = B)

2

2

sin450 = C) – cos(-1350) = D) tan(x +π) =

30 cos

1

2

1) 1 2) – cos(1350) 3) tanx

4) cos(1350) 5)

4 1

6)

2 3

7)

4 3

A - 5; B - 1; C - 2; D - 3; E - 7

Ví dụ 2: Ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô vuông

A) cos (π + α ) = cosα

B) cos (π + α

2 ) = sinα

C) sin (π − α

2 ) = cosα

D) - tan(− α ) = tanα

E) tan(α + π ) = tan(α π − )

F) cos (α − β) = cos(β − α)

G) cos (π − α ) = cos (π + α )

H) - cos (π − α ) = cosα

I) sin (π − α ) = sinα

J) - sin (π + α ) = sinα

K) tan(π + α) = tan(π − α )

L) cot(α − β) = -cot(β α − )

M) sin (α − β) = sin(β − α)

N) sin (π + α ) = sin(π α − )

 Hướng dẫn: Áp dụng ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”

Ví dụ 3: Biết sinα = m và cosβ= n

Tính giá trị của biểu thức T = cos(π − α

2 ) + cos(4π − β) theo m và n.

A) T = m + n

B) T = - (m + n)

C) T = m - n

D) T = n - m

cos(4π − β) = cos(-β ) = cosβ (cos đối)

Vậy chọn Câu A

Ví dụ 4: tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung α và

2

3 π

α −

 Hướng dẫn:

cos(

2

3π

α − ) = cos(-( π − α

2

3

)) = cos(π+ π − α

2 ) ( CT đối) = - cos(π − α

2 ) (CT hơn kém π)

= - sinα (CT phụ)

sin(

2

3π

α − ) = sin(-( π − α

2

3

)) = -sin(π + π − α

2 ) ( CT đối) = sin(π − α

2 ) (CT hơn kém π)

= cosα (CT phụ)

tan(

2

3π

α − ) =

) 2

3 cos(

) 2

3 sin(

π α

π α

−

−

=

cos

sin

−

= - tanα

cot(

2

3π

α − ) =

) 2

3 sin(

) 2

3 cos(

π α

π α

−

−

−

=

α

α

sin

cos

− = - cotα

Ví dụ 5: Hãy tính các giá trị lượng giác của góc 750

Hướng dẫn:

cos750 = cos( 450 + 300)

= cos450cos300 - sin450sin300 (CT cộng _cos cùng loài khác dấu) = ( 3 1 )

4

2 ) 2

1 2

3 ( 2

2

−

=

− sin750 = sin( 450 + 300)

= sin450cos300 + cos450sin300 (CT cộng _sin cùng dấu khác loài) = ( 3 1 )

4

2 ) 2

1 2

3 ( 2

2

+

= +

tan750 = 2 3

1 3

1 3

+

=

−

+ ; cot750 = 2 3

1 3

1 3

−

= +

−

Ví dụ 6: Chứng minh rằng:

cosα sin(β −γ ) + cosβ sin(γ −α ) + cosγ sin(α −β ) = 0, với mọi α,β ,γ

 Hướng dẫn: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

cosα sin(β −γ ) = [sin( ) sin( )]

2

1 α + β −γ − α − β +γ

cosβ sin(γ −α ) = [sin( ) sin( )]

2 β +γ −α − β −γ +α cosγ sin(α −β ) = [sin( ) sin( )]

2

1

β α γ β

α

γ + − − − + Cộng vế với vế ba đẳng thức trên, ta suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức sau: cos2(π + α

4 ) - cos2(π − α

Hướng dẫn:

cos2(π + α

4 ) - cos2(π − α

4 ) = [cos(π + α

4 ) + cos(π − α

4 )][cos(π + α

4 ) - cos(π − α

4 )] = 2cos

4

π

cosα .(-2 sin

4

π

sinα ) = -2 sinα cosα = -sinα

VI. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

Với phương pháp tiếp cận và truyền đạt kiến thức như trên, khi dạy cho học sinh được phân công, tôi nhận thấy (khoảng 95 số các em cảm thấy thích thú hơn, tiếp nhận kiến thức nhanh hơn và nhớ lâu hơn

Để đánh giá khả năng tiếp thu và nắm bắt kiến thức của học sinh trong quá trình áp dụng đề tài này tôi đã cho học sinh làm các bài kiểm tra khác nhau vào các thời điểm khác nhau và kết quả thu được có trong bảng sau:

Năm học Lớp Số lấn kiểm tra Số bài kiểm tra Số bài đạt Tỉ lệ (%) 2006-2007 10B2

2007-2008 10A4

I BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Trong quá trình triển khai áp dụng nên giải thích kỹ ý nghĩa của từng câu thơ,

câu ca và qui tắc về dấu, vị trí của các giá trị trong công thức ( Như đã trình bày trong phần nội dung ) tránh làm cho học sinh hiểu nhầm, hiểu sai dẫn đến việc áp dụng sai

II KẾT LUẬN

Đây là một phương phương pháp nhằm giúp học sinh học công thức lượng giác thông qua ngôn ngữ của văn nói, nó rất gần gũi và gắn bó mật thiết với đời sống thường ngày, giúp các em thấy được mối liên hệ mật thiết giữa toán học và thực tiễn, mối liên hệ giữa toán học và các môn khoa học khác Từ đó các em có một cách nhìn và đánh giá khác về phần lượng giác không còn khó khăn như các

em thường suy nghĩ

III LỜI CẢM ƠN

Mặc dù đã hết sức cố gắng song không thể tránh được những thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến, trao đổi của các đồng nghiệp về các phương pháp giúp học sinh ghi nhớ các công thức lượng giác

Tôi xin chân thành cảm ơn BGH nhà trường, các tổ chuyên môn, các đồng nghiệp trong hội đồng sư phạm, các giáo viên bộ môn Toán, Vật lí đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này