Đề kiểm tra học kỳ môn Toán lớp 11 (2)

TRƯỜNG THPT VINH XUÂN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11 - Thời gian làm bài: 90 phút o0o  MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA (ĐỀ TỰ LUẬN) NỘI DUNG – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THỒNG HIỂU VẬN DỤNG TỔNG Chương IV Giới hạn Giới hạn hàm số Câu 1a 1,0 Câu 1b 1,0 2 2,0 Hàm số liên tục Câu 2 1,0 1 1,0 Chương V Đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm Câu 3a 0,5 Câu 3b 1,0 2 1,5 Đạo hàm hàm lượng giác Câu 3c 0,5 1 0,5 Đạo hàm cấp hai Câu 4 1,0 1 1,0 Ý nghĩa của đạo hàm Câu 5b 1,0 2 2,0 Chương III Quan hệ vuông góc Đường thẳng vuông góc mặt phẳng Câu 6a 1,0 1 1,0 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Câu 6b 1,0 Câu 6c 1,0 1 1,0 Góc giữa hai mặt phẳng Câu 6c 1,0 1 1,0 TỔNG 4 3,0 5 4,0 3 3,0 12 10, 0 Chú thích: Câu 1:Tính giới hạn của hàm số. Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm. Câu 3a: Tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ. Câu 3b: Tính đạo hàm của hàm số hợp. Câu 3c: Tính đạo hàm của hàm lượng giác. Câu 4: Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm cấp 2. Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết một số yếu tố. Câu 6a: Chứng minh đường thẳng vuông góc mp. Câu 6b: Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Câu 6c: Xác định được góc giữa 2 mặt phẳng. TRƯỜNG THPT VINH XUÂN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 90phút  ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1 (2,0 điểm): Tính các giới hạn sau: a) 1 2 lim 2 3 x x x →+∞ + − b) 2 7 3 lim 2 x x x → + − − Câu 2 (1,0 điểm): Cho hàm số 3 2 8 khi 2 ( ) 3 2 12 khi 2 x x f x x x x  − ≠  = − +   =  . Xét tính liên tục của hàm số trên ¡ . Câu 3 (2,0 điểm): Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 1 2 4 x y x − = − b) ( ) 6 2 2 1y x x = − − c) 2 sin 2 3 1 2 x y cos x= − + Câu 4 (1,0 điểm): Cho hàm số ( ) 2 2 1 .y x x= + + Chứng minh đẳng thức : ( ) 2 1 '' ' 4 0x y xy y + + − = . Câu 5(1,0 điểm): Cho hàm số 3 2 ( ) 2 1y f x x x = = + − có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:2x-2y-3=0. Câu 6 (3,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AC= 2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . a) Chứng minh ( )BC SAB⊥ . b) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). c) Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (ABC) Hết Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. TRƯỜNG THPT VINH XUÂN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM TỔ TOÁN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 o0o MÔN TOÁN LỚP 11  Câu Ý Nội dung Điểm 1 Tính các giới hạn sau 2,0 a 1 2 1 2 2 2 3 3 lim lim x x x x x x →+∞ →+∞ + + = − − 0,5 0 2 2 0 3 3 + = = − − 0,5 b 2 2 7 3 ( 7 3)( 7 3) lim lim 2 ( 2)( 7 3) x x x x x x x x → → + − + − + + = − − + + 0,25 2 2 lim ( 2)( 7 3) x x x x → − = − + + 0,25 2 1 lim 7 3 x x → = + + 0,25 1 6 = 0,25 2 Cho hàm số 3 2 8 khi 2 ( ) 3 2 12 khi 2 x x f x x x x  − ≠  = − +   =  .Xét tính liên tục của hàm số trên ¡ 1,0 + Hàm số liên tục trên các khoảng ( ) ;1−∞ , ( ) 1;2 ; ( ) 2;+∞ Ta có f(1) không xác định nên hàm số f(x) không liên tục tại x = 1 0,25 +Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 , Ta có: ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 .( 2 4) 8 lim lim lim 3 2 ( 2)( 1) x x x x x x x f x x x x x → → → − + + − = = − + − − 2 2 2 4 lim 12 1 x x x x → + + = = − 0,25 + ( ) 2 12f = ; 2 lim ( ) (2) x f x f → = ( ) f x ⇒ liên tục tại x=2. 0,25 Vậy hàm số liên tục trên ¡ \ { } 1 0,25 3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau 2,0 a 1 2 4 x y x − = − 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ' 2 4 1 2 4 ' ' (2 4) x x x x y x − − − − − = − 0,25 2 2 ' (2 4) y x − = − 0,25 b ( ) 6 2 2 1y x x = − − 1,0 ( ) ( ) 5 ' ' 6 2 2 1 2 2 1y x x x x = − − − − 0,5 ( ) 5 (2 1)' 6 2 2 1 2 2 2 1 x x x x −   = − − −  ÷ −   0,25 ( ) 5 1 6 2 2 1 2 2 1 x x x   = − − −  ÷ −   0,25 c 2 sin 2 3 1 2 x y cos x= − + 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ' .2sin 2 . sin 2 ' cos3 ' 0 2 sin 2 . 2 'cos 2 3 'sin3 y x x x x x x x x = − + = + 0,25 2sin 2 .cos 2 3sin3x x x = + 0,25 4 Cho hàm số ( ) 2 2 1 .y x x= + + Chứng minh: ( ) 2 1 '' ' 4 0x y xy y+ + − = 1,0 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ' 2 1 . 1 1 1 x x x y x x x x + +   = + + + =  ÷ + +   0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 '. 1 1 ' 1 '' 2. 1 2 1 . 1 1 1 1 2. 1 2 4 1 1 1 1 x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x   + + + − + + +     = +   + +   + − + +   + +     = + + + − + + + = + 0,25 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 '' ' 4 2 4( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 (1 ) 2 ) 4( 1 ) 1 1 VT x y xy y x x x x x x x x x x x x x x = + + −   + + − + +   + + +   = + + − + + +   +     0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) 4( 1 ) ( 1 ) 2 ) 4( 1 ) 1 1 0 x x x x x x x x x x x x VP + + = + + − + + + − + + + + = = 0,25 5 Cho hàm số 3 2 ( ) 2 1f x x x= + − có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:2x-2y-3=0. 1,0 Gọi M(x;y) là tiếp điểm. Ta có: 2 '( ) 3 4f x x x= + 0,25 Vì tiếp tuyến vuông góc với 3 : 2 2 3 0 2 d x y y x− − = ⇔ = − nên hệ số góc của tiếp tuyến k=-1 0,25 2 '( ) 1 3 4 1 1 1 3 f x x x x x ⇔ = − ⇔ + = − = −   ⇔  = −  • Với 1 0 ( 1;0)x y M= − ⇒ = ⇒ − . Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 1( 1) 0 1y x y x= − + + ⇔ = − − 0,25 • Với 1 22 1 22 ( ; ) 3 27 3 27 x y M − − − − = ⇒ = ⇒ . Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 1 22 31 1( ) 3 27 27 y x y x= − + − ⇔ = − − 0,25 6 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC= 2a .Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . 3,0 a Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (SAB). 1,0 H I M A C B S 0,25 Ta có: BC AB⊥ (vì tam giác ABC vuông tại B) (1) 0,25 BC SA⊥ (vì ( )SA ABC⊥ ) (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: ( )BC SAB⊥ 0,25 b Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). 1,0 Ta có ( )SA ABC⊥ nên hình chiếu của SB lên mp(ABC) là AB. Suy ra ( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA ∧ = = 0,25 2 2 2 2 2 2 2 AB BC AC AC AB a AB a + = ⇔ = = ⇒ = 0,25 Trong tam giác vuông SAB ta có: 3 tan 3 SA a B AB a = = = 0,25 Suy ra 0 ˆ 60B = . Vậy 0 ( ,( )) 60SB ABC = . 0,25 c Gọi M là trung điểm của SC . Tính góc của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (ABC) 1,0 Ta có: ( ) ( )ABM ABC AB∩ = .Gọi I là trung điểm của AB. Gọi H là trung điểm của AC / / ( )MH SA MH SAB⇒ ⇒ ⊥ . 0,25 Trong mặt phẳng (ABC): HI//BC mà BC ⊥ AB nên HI AB⊥ .(1) Ta lại có: AB MH AB MI AB HI ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  (2) Từ (1) và (2) suy ra ˆ (( ),( )) ( , )MAB ABC MI HI MIH α = = = 0,25 IH= 22 aBC = và 3 2 2 SA a MH = = Trong tam giác MIH vuông tại H : 3 tan : 3 60 2 2 MH a a HI α α = = = ⇒ = o 0,25 Vậy 0 (( ),( )) 60MAB ABC = 0,25 . TRƯỜNG THPT VINH XUÂN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11 - Thời gian làm bài: 90 phút o0o  MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA (ĐỀ TỰ LUẬN) NỘI DUNG – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THỒNG HIỂU VẬN DỤNG. được góc giữa 2 mặt phẳng. TRƯỜNG THPT VINH XUÂN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 90phút  ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1 (2,0 điểm): Tính các giới hạn. Hết Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. TRƯỜNG THPT VINH XUÂN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM TỔ TOÁN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 o0o MÔN TOÁN LỚP 11  Câu Ý Nội