Đề kiểm tra học kỳ môn Toán lớp 11 (7)

Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2009-2010 Tổ Toán Tin MÔN TOÁN LỚP 11 ( Thời gian 90 phút ) ĐỀ THI CHÍNH THỨC A-PHẦN CHUNG: ( bắt buộc cho mọi thí sinh ) ( 7,0 điểm ) Câu I: (2 điểm ) 1. Tìm giới hạn: 2 2 2 7 10 lim 5 6 x x x x x → − + − + 2. Hàm số sau đây liên tục hay gián đoạn tại điểm 1x = ? 2 2 4 3 khi 1 ( ) 1 2 khi 1 x x x f x x x x  − + >  = −   − ≤  Câu II: (3 điểm ) 1. Chứng minh hàm số cosy x x= thỏa mãn hệ thức: 2 2cosxy y xy x ′′ ′ − + = − 2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 1 x y x + = − , biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 2 3y x= + . Câu III: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng 1, cạnh bên 3SA = và vuông góc với đáy. Một mặt phẳng chứa BD và vuông góc với SC, cắt SC tại điểm H. 1. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). 2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (HBD). B-PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau: ( phần 1 hoặc phần 2 ) Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu IVa: (2 điểm ) Cho hàm số 3 2 ( ) 3 9 9f x x x x= − − + . 1. Tìm x để ( ) 0f x ′ < . 2. Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ) 3; 5− . Câu Va: (1 điểm ) Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M là trung điểm của AH và N là trung điểm của DF. Chứng minh rằng ba véctơ , , AC MN FG uuur uuuur uuur đồng phẳng. Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu IVb: (2 điểm ) Cho hàm số 4 2 ( ) 8 9f x x x= − + . 1. Tìm x để ( ) 0f x ′ > . 2. Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có bốn nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ) 3; 3− . Câu Vb: (1 điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE, DF và P là điểm trên cạnh EF sao cho 2 0PF PE+ = uuur uuur r . Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, P đồng phẳng. HẾT 1 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2009-2010 - ĐỀ THI CHÍNH THỨC . A- PHẦN CHUNG ( 7 điểm ) Câu Nội dung Điểm I.1 Tính giới hạn 1,00 2 2 2 7 10 lim 5 6 x x x x x → − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 lim 3 2 x x x x x → − − = − − ( ) ( ) 2 5 lim 3 3 x x x → − = = − 0,50 0,50 I.2 Hàm số sau đây liên tục hay gián đoạn tại điểm 1x = ? 1,00 2 2 1 1 4 3 lim ( ) lim 1 x x x x f x x + + → → − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 lim 1 1 x x x x x + → − − = + − ( ) ( ) 1 3 lim 1 1 x x x + → − = = − + ( ) 1 1 lim ( ) lim 2 1 x x f x x − − → → = − = − và (1) 1f = − Suy ra 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) x x f x f x f + − → → = = Vậy hàm số liên tục tại điểm 1x = . 0,25 0,25 0,25 0,25 II.1 Chứng minh hàm số cosy x x= thỏa mãn hệ thức 1,00 Từ cosy x x= , suy ra cos siny x x x ′ = − và 2sin cosy x x x ′′ = − − Vậy 2xy y xy ′′ ′ − + = ( ) ( ) 2sin cos 2 cos sin . cosx x x x x x x x x x− − − − + 2 2 2 sin cos 2cos 2 sin cosx x x x x x x x x= − − − + + 2cos x= − 0,50 0,50 II.2 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2,00 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2 3y x= + nên ta có 2 1k = − , suy ra 1 2 k = − . Phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số 1 1 x y x + = − là: ( ) 2 2 1 2 1 y k x − ′ = ⇔ = − − ( ) 2 1 4x⇔ − = 1 3 x x = −  ⇔  =  + Với 1x = − thì 0y = . Ta có tiếp điểm ( ) 1; 0A − . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại tiếp điểm A là: ( ) 1 1 1 1 2 2 2 y x y x= − + ⇔ = − − + Với 3x = thì 2y = . Ta có tiếp điểm ( ) 3; 2B . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại tiếp điểm B là: ( ) 1 1 7 3 2 2 2 2 y x y x= − − + ⇔ = − + 0,25 0,25 0,50 0,50 0,50 2 III Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng 1 2,00 1. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). 1,00 Hình vẽ ( 0,50 điểm ) Ta có BC là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Từ ( )SA ABCD⊥ và AB BC⊥ suy ra SB BC⊥ ( định lý ba đường vuông góc ). Vậy · SBA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Từ tam giác vuông SAB ta có: · tan 3 SA SBA AB = = · 0 60SBA⇒ = 0,50 0,25 0,25 2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (HBD). 1,00 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có ( )SC HBD⊥ , suy ra SC OH⊥ . Vì O là trung điểm của AC và O thuộc mặt phẳng (HBD) nên ( ) ( ) ,( ) ,( )d A HBD d C HBD CH= = Từ hai tam giác vuông đồng dạng SAC và OHC ( trường hợp góc-góc) Suy ra AC SC HC OC = 2 . 2 AC OC AC HC SC SC ⇒ = = mà 2 2 2AC AB BC= + = và 2 2 5SC SA AC= + = Do đó 2 2 5 2 5 2 5 AC HC SC = = = . Vậy ( ) 5 ,( ) 5 d A HBD CH= = . 0,50 0,50 PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) • Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu Nội dung Điểm IVa Cho hàm số 3 2 ( ) 3 9 9f x x x x= − − + . 2,00 1. Tìm x để ( ) 0f x ′ < . 1,00 Từ 3 2 ( ) 3 9 9f x x x x= − − + , suy ra 2 ( ) 3 6 9f x x x ′ = − − Ta có ( ) 0f x ′ < 2 3 6 9 0x x⇔ − − < 1 3x⇔ − < < 0,50 0,50 2. Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có ba nghiệm phân biệt 1,00 Hàm số 3 2 ( ) 3 9 9f x x x x= − − + liên tục trên ¡ nên cũng liên tục trên đoạn [ ] 3; 5− . Ta có ( 3) 18, ( 1) 14, (3) 18, (5) 14f f f f− = − − = = − = . Suy ra: ( 3). ( 1) 252 0f f− − = − < ⇒ tồn tại ( ) 1 3; 1x ∈ − − sao cho 1 ( ) 0f x = . ( 1). (3) 252 0f f− = − < ⇒ tồn tại ( ) 2 1; 3x ∈ − sao cho 2 ( ) 0f x = . 0,25 0,25 3 (3). (5) 252 0f f = − < ⇒ tồn tại ( ) 3 3; 5x ∈ sao cho 3 ( ) 0f x = . Vì các khoảng ( ) 3; 1− − , ( ) 1; 3− , ( ) 3; 5 rời nhau từng đôi một nên 1 2 3 , , x x x phân biệt. Vậy phương trình ( ) 0f x = có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ) 3; 5− . 0,25 0,25 Va Chứng minh rằng ba véctơ , , AC MN FG uuur uuuur uuur đồng phẳng. 1,00 Đặt AB a= uuur r , AD b= uuur r , AE c= uuur r . Theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có: 1 2 AM AH= uuuur uuur ( ) 1 2 AD AE= + uuur uuur ( ) 1 2 b c= + r r 1 1 2 2 b c= + r r ( ) 1 2 AN AD AF= + uuur uuur uuur ( ) 1 2 AD AB AE= + + uuur uuur uuur ( ) 1 2 a b c= + + r r r Do đó MN AN AM= − uuuur uuur uuuur 1 2 a= r (1) Mặt khác, ta có FG AD b= = uuur uuur r (2) và AC AB AD a b= + = + uuur uuur uuur r r (3) Từ (1), (2), (3) suy ra 1 2. 2 AC a b= + uuur r r 2MN FG= + uuuur uuur . Hệ thức 2AC MN FG= + uuur uuuur uuur chứng tỏ rằng ba véctơ , , AC MN FG uuur uuuur uuur đồng phẳng. 0,25 0,25 0,25 0,25 • Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu Nội dung Điểm IVb Cho hàm số 4 2 ( ) 8 9f x x x= − + . 2,00 1. Tìm x để ( ) 0f x ′ > . 1,00 Từ 4 2 ( ) 8 9f x x x= − + , suy ra ( ) 3 2 ( ) 4 16 4 4f x x x x x ′ = − = − . Lập bảng xét dấu đạo hàm ( )f x ′ : x −∞ 2− 0 2 +∞ 4x − − 0 + + 2 4x − + 0 − − 0 + ( )f x ′ − 0 + 0 − 0 + Từ bảng xét dấu, suy ra ( ) 0f x ′ > 2 0x⇔ − < < hoặc 2x > . 0,25 0,50 0,25 4 2. Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x = có bốn nghiệm phân biệt 1,00 Hàm số 4 2 ( ) 8 9f x x x= − + liên tục trên ¡ nên cũng liên tục trên đoạn [ ] 3; 3− . Ta có ( 3) 18, ( 2) 7, (0) 9, (2) 7, (3) 18f f f f f− = − = − = = − = . Suy ra ( 3). ( 2) 126 0f f− − = − < ⇒ tồn tại ( ) 1 3; 2x ∈ − − sao cho 1 ( ) 0f x = . ( 2). (0) 63 0f f− = − < ⇒ tồn tại ( ) 2 2; 0x ∈ − sao cho 2 ( ) 0f x = . (0). (2) 63 0f f = − < ⇒ tồn tại ( ) 3 0; 2x ∈ sao cho 3 ( ) 0f x = . (2). (3) 126 0f f = − < ⇒ tồn tại ( ) 4 2; 3x ∈ sao cho 4 ( ) 0f x = . Vì các khoảng ( ) 3; 2− − , ( ) 2; 0− , ( ) 0; 2 , ( ) 2; 3 rời nhau từng đôi một nên 1 2 3 4 , , , x x x x phân biệt. Vậy phương trình ( ) 0f x = có bốn nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ) 3; 3− . 0,25 0,25 0,25 0,25 Vb Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, P đồng phẳng. 1,00 Đặt , , AB a AC b AD c= = = uuur uuur uuur r r r . Ta có 1 2 AM AB BM AB BE= + = + uuuur uuur uuuur uuur uuur 1 2 a c= + r r (1) 1 2 AN AD DN AD DF= + = + uuur uuur uuur uuur uuur 1 2 c b= + r r (2) Từ giả thiết 2 0PF PE+ = uuur uuur r suy ra ( ) 2 0AF AP AE AP− + − = uuur uuur uuur uuur r ( ) 1 2 3 AP AE AF⇒ = + uuur uuur uuur ( ) 1 2 3 AP AB AD AC AD   ⇒ = + + +   uuur uuur uuur uuur uuur ( ) 1 2 3 3 AP a b c⇒ = + + uuur r r r (3) Từ (1) và (2) ta có 1 3 2 2 AM AN a b c+ = + + uuuur uuur r r r ( ) ( ) 2 1 2 3 3 3 AM AN a b c⇒ + = + + uuuur uuur r r r (4) Từ (3) và (4) suy ra ( ) 2 3 AP AM AN= + uuur uuuur uuur . Hệ thức trên chứng tỏ rằng ba véctơ AP uuur , AM uuuur , AN uuur đồng phẳng. Vậy bốn điểm A, M, N, P đồng phẳng. 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Mọi cách chứng minh khác đúng và hợp lý vẫn cho điểm tối đa của câu đó. 5 . Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2009-2010 Tổ Toán Tin MÔN TOÁN LỚP 11 ( Thời gian 90 phút ) ĐỀ THI CHÍNH THỨC A-PHẦN CHUNG: ( bắt buộc cho mọi. minh rằng bốn điểm A, M, N, P đồng phẳng. HẾT 1 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2009-2010 - ĐỀ THI CHÍNH THỨC . A- PHẦN CHUNG ( 7 điểm ) Câu Nội dung Điểm I.1