Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi Quốc Gia tỉnh Quảng Trị năm 2012 - 2013 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012 MÔN TOÁN ( Vòng I) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 ( 4,0 điểm ) Giải phương trình 3 3 3 666 xx -++= . Câu 2 (4,0 điểm) Dãy số thực () n u được cho bởi 1 1 u = , 2 1 354 2 nn n uu u + +- = , với 1. n ³ Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là số nguyên dương. Câu 3 ( 4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f ® ¡¡ thỏa mãn điều kiện : ()() (()) 2 xfyyfx fxyfzz + +=+với mọi ,, xyz thuộc ¡ . Câu 4 (4,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một phân biệt lấy từ tập { } 1;2;3;4;5;6;7;8 sao cho tích hai chữ số kề nhau của số đó là một số chẵn? Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi PM = PN, với P là trung điểm của cạnh BC. HẾT SỞGIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012 MÔN TOÁN ( Vòng II) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.( 4,0 điểm ) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 22 2 23 (1) 3230 (2) yxyyx yy xy xx ì =-+ ï í ++-= ï î Câu 2.( 4,0 điểm ) Cho tam giác ABC có  0 120 BAC = . Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng AB + AC. Câu 3.( 4,0 điểm ) Cho các số dương x 1 , x 2 , , x n , nằm trên một đoạn D có độ dài bằng 2, với n ³ 2. Chứng minh rằng: 1212231 11 1 nn xxxxxxxxx +++£++++++ 12 n xxxn £++++ Câu 4.( 4,0 điểm ) Cho các dãy số (a n ) và (b n ) thoả mãn các điều kiện: a 1 = 1, b 1 = 2 và với n ³ 1 thì 1 1 nnn n n aab a b + ++ = , 1 1 nnn n n bab b a + ++ = . Tính lim n n a n ®¥ Câu 5.( 4,0 điểm ) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2013 chữ số mà số các chữ số 0 xuất hiện là chẵn? HẾT . SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012 MÔN TOÁN ( Vòng I) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC. SỞGIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA QUẢNG TRỊ Khoá ngày 18 tháng 9 năm 2012 MÔN TOÁN ( Vòng II) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC. 3 3 3 666 xx -+ += . Câu 2 (4,0 điểm) Dãy số thực () n u được cho bởi 1 1 u = , 2 1 354 2 nn n uu u + +- = , với 1. n ³ Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là số nguyên