ĐỀ THI HSG HUYỆN BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC - NĂM HỌC 2008-2009

ĐỀ THI HSG HUYỆN BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC - NĂM HỌC 2008-2009 Bài 1 Cho hai số a, b khác 0 thỏa mãn: a + b = 1 Chứng minh rằng: 3b 3a 2(a b)2 2



Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho x3 - x2y + 3x - 2y - 5 = 0

Bài 3 Giải phương trình sau x 1  x3x2   x 1 1 x41

Bài 4 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và COD  (α < 900) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD Gọi E, G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB, BOC và AOD Biết AH cắt DK tại F Chứng minh rằng:

b) FK = AC.cotgα

c) ΔIEG IEG ΔIEG HFK

Bài 5 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

1 b 1 c 1 a 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 Cho hai số a, b khác 0 thỏa mãn: a + b = 1 Chứng minh rằng: 3b 3a 2(a b)2 2



Giải:

Từ a + b = 1  (a + b)2 = 1  a2 + b2 = 1 – 2ab

Ta có:

2 2

Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho x3 – x2y + 3x – 2y – 5 = 0 (1)

Giải:

Ta có: (1)  y(x2 + 2) = x3 + 3x – 5 

Vì y  Z nên x – 5  x2 + 2  (x – 5)(x + 5)  x2 + 2  x2 – 25  x2 + 2  x2 + 2 – 27  x2 + 2

 27  x2 + 2

Vì x  Z và x2 + 2 ≥ 2 nên: 27  x2 + 2



2

2

x 1

x 5

















Thay vào phương trình:

Với x = 1 (không thỏa mãn)

Với x = –1  y = –3

Với x = 5  y = 5

Với x = –5 (không thỏa mãn)

Vậy: (x ; y)  {(–1; –3) ; (5 ; 5)}

Bài 3 Giải phương trình sau x 1  x3x2   x 1 1 x41

Giải: điều kiện: x ≥ 1

3 2 4

2 2

2

3 2

x 2

x 0





Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

Bài 4 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và COD  (α < 900) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD Gọi E, G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB, BOC và AOD Biết AH cắt DK tại F Chứng minh rằng:

b) FK = AC.cotgα

c) ΔIEG IEG ΔIEG HFK

Giải:

BM BN 3  EG // AC (định lí Talet đảo) Từ EG // MN 

1

2

Tương tự với tam giác APQ: EI 1

BD 3 suy ra:

b) Ta có: AFD COD  (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Gọi L là giao điểm của FK và AC Ta có: FKC AFD  (so le trong)

Ta có: FK = FL + LK = AL.cotgα + LC.cotgα = (AL + LC).cotgα = AC.cotgα

c) Chứng minh tương tự phần b) ta có: FH = BD.cotgα

Từ đó suy ra: FK AC

FH BD mặt khác, theo phần a)

EI BD suy ra:

Lại có: GEI COD = α (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng song song)

Do đó: HFK GEI  Vậy: ΔIEG IGE ΔIEG HFK (c.g.c)

Bài 5 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

1 b 1 c 1 a 2

Giải Ta có:

1 b   1 b   2b   2 (Áp dụng bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ 2xy)

Mặt khác: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + ac + bc)  3 ≥ ab + ac + bc  –(ab + bc + ac) ≥ –3

1 b 1 c 1 a   2 2

Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 1







 L F

I E

G

K H

Q

N

M

P O

B

C