Xĩt tổng câc số được tính theo từng cột , từng hăng vă theo đường chĩo.. Kẻ BM vuông góc với AC, gọi N lă trung điểm của AM, P lă trung điểm của CD... NI cắt BC tại E.. Ta có NI lă đường
Trang 1PHÒNG GIÂO DỤC- ĐĂO TẠO HUYỆN TRIỆU PHONG
ĐỀ THI CHỌN ĐỌI CHÍNH THỨC MÔN TOÂN
(Năm học 2008-2009) Thời gian 120 phút Băi 1: (1,5 điểm )
Giải hệ phương trình
2
2
x x x y
+ + =
Băi 2: ( 1 điểm )
Cho Phương trình : ax2 + bx + c = 0 có câc hệ số a,b,c lă câc số lẻ
Chứng minh rằng : Nếu phương trình có nghiệm thì câc nghiệm đó không thể
lă số hữu tỷ
Băi 3: (2 điểm ) Cho a,b lă câc số thực dương thoả mên điều kiện a2+b2 = 1 Chứng minh rằng :
2
1 1
2 2
+ − − ÷ ≥
Băi 4: (1,5 điểm) Chọn một trong hai cđu sau
Cđu 1: Cho một lưới vuông kích thước 5x5 Người ta điền văo mỗi ô của lưới một trong câc số -1 , 0 , 1 Xĩt tổng câc số được tính theo từng cột , từng hăng vă theo đường chĩo Chứng minh rằng : Trong tất cả câc tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giâ trị bằng nhau
Cđu 2: Cho a vă b lă câc số nguyín dương thoả mên
a + 1 vă b + 2007 đều chia hết cho 6
Chứng minh rằng : 4a + a + b chia hết cho 6
Băi 5: (2điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BM vuông góc với AC, gọi N lă trung điểm của AM, P lă trung điểm của CD Chứng minh: ·BNP= °90
Bài 6: (2điểm)
Cho tam giác ABC (AB<AC) (O)là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB,AC,BC lần lượt tại M,N,P Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ MN ,H là trung điểm của MN ,K là điểm đối xứng của I qua O
a Chứng minh : KA.IH =HK.IA
b Chứng minh PI là phân giác của góc APH
Trang 2Đáp án
Bài 1: ( 1,5 đ) Đặt a = ( x 2 +x) , b = x + y từ hệ phương trình ta có hệ
suy ra (x;y) = (1;-3 ) ,(-2;0)
Bài 2 ( 1 đ) : ∆ = b 2 – 4ac vì b lẻ suy ra b 2 chia 8 dư 1 nên ta đặt b = 8k + 1 (k ∈z)
Vì a,c lẻ nên ac lẻ Ta đặt ac = 2m – 1 ( m ∈z)
Khi đó ∆ = (8k + 1 ) 2 – 4 ( 2m – 1) = 8 k’ + 5 ( k’ = 8k 2 +2k – m) không phải là số chính phương vì số chính phương chia 8 dư 1
Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó không thể là số hữu tỷ
Bài 3: ( 2 đ)
1 1 a b 1 b 1 a
a b b a a a b b
1 b a 1 a b
Vì a 2 + b 2 = 1 và a,b >0 suy ra 0<a<1 , 0 <b <1 nên 1 – b + a >0 và 1 – a + b >0
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
2 2 (1 b a)(1 a b 1 (a b ) 2ab
Dấu “=” xảy ra
2 2
a b 1
1
a b
1 a b 1 b a
2
Bài 4:
Câu 1:
Có tất cả 12 tổng S i mà -5 ≤ S i ≤ 5 có 11 giá trị mà S i phải nhận
Do đó theo nguyên lý Đỉrichlê thì sẽ tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau
Câu 2:
Ta có 4 a +2 là số chẳn và 4 a +2 = ( 4 a -1 ) +3 chia hết cho 3
Nên 4 a +2 chia hết cho 6
Vậy 4 a + a + b = ( 4 a +2) + ( a + 1) + ( b + 2007 ) – 2010 chia hết cho 6
Trang 3Băi 5 (2đ)
Gọi I lă trung điểm của BM.
NI cắt BC tại E.
Ta có NI lă đường trung bình của ∆BMA.
⇒ NI // AB vă NI = 1
điểm
AB ⊥ BC ⇒ NI ⊥ BC tại E 0.5 điểm
⇒ I lă trực tđm của ∆BCN ⇒ CI ⊥ BN (1) 0.5 điểm
Ta có:
1
2
1
2
IN AB
CP CD
=
mă AB = CD ⇒ IN = CP ⇒ CINM lă hình bình hănh ⇒CI // NP (2)
0.5 điểm
// //
//
IN AB
IN CP
AB CP
⇒
Từ (1) vă (2) ⇒ NP ⊥ BN tại N ⇒ BNP· = °90 0.5 điểm Bài 6( 2 đ)
a) I là điểm chính giữa cung MN suy ra
MI là phân giác trong của tam giác AMH
Ta có IAIH =MAMH
mặt khác IMK = 90 0
Nên MK là phân giác ngoài của tam giác AMH
Ta có KAKH = MAMH
do đó : IH KA IA KH
KA
KH IA
IH
=
⇒
=
b) ta có OP 2 = ON 2 =OH.OA
OP
OA
OH
OP =
⇒ và HOP=AOP nên ∆ AOP ∆ POH ⇒
OH
PO PH
PA =
Mặt khác ∆ AOM ∆ MOH ⇒
OH
OP MH
MA OH
OM
=
=
⇒
IH
IA PH
PA MH
MA = = ⇒ PI là phân giác HPA
A
N I
H M
P
O K
I
P D
C B
A