Câu 1 ( 2,0 điểm ). a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : a2 + b2 = c2 + d2 = 1 và ac + bd = 0. Tính ab + cd. b) Cho ( với ). Tính theo và . Câu 2 (3,0 điểm ). Cho phương trình x3 – (2m +5)x2 + (11m + 2)x – 5m – 10 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm mọi giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm nhỏ hơn 1. c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn các nghiệm đó trên trục số được 3 điểm chắn trên trục số thành hai đoạn bằng nhau. Câu 3 ( 1,0 điểm ). Tìm các số hữu tỉ b và c biết phương trình: x2 + bx + c = 0 có một nghiệm là x = . Câu 4 ( 3,0 điểm ).
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 ( 2,0 điểm ). a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 và ac + bd = 0. Tính ab + cd. b) Cho m n x n m = + ( với . 0m n > ). Tính 2 2 2 . 4 4 n x A x x - = - - theo m và n . Câu 2 (3,0 điểm ). Cho phương trình x 3 – (2m +5)x 2 + (11m + 2)x – 5m – 10 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 3 2 b) Tìm mọi giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm nhỏ hơn 1. c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn các nghiệm đó trên trục số được 3 điểm chắn trên trục số thành hai đoạn bằng nhau. Câu 3 ( 1,0 điểm ). Tìm các số hữu tỉ b và c biết phương trình: x 2 + bx + c = 0 có một nghiệm là x = 31 8 15- . Câu 4 ( 3,0 điểm ). Cho nửa đường tròn (O ; R), đường kính AB và một điểm M trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến d tại M cắt đường trung trực của AB tại I. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với AB, cắt d tại C và D ( C nằm trong góc AOM ). a) Chứng minh OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM, BOM. b) OC cắt AM tại P, OD cắt BM tại Q. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ đến d. c) Xác định vị trí điểm M để tam giác COD có chu vi nhỏ nhất. Câu 5 ( 1,0 điểm ). Cho tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d, các đường chéo bằng p, q. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 ( )( )pq a b c d+ +£ . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ DỰ BỊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) ( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 03 trang ) Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) 1,0 điểm (ac + bd)(ad + bc) = (c 2 + d 2 )ab + (a 2 + b 2 )cd = ab + cd => ab + cd = 0 1 ,0 b) 1,0 điểm x 2 = 2 m n n m + + => x 2 – 4 = 2 m n n m æ ö ÷ ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø => 2 4 m n x n m - = - 0,25 * Xét m n³ thì 2 2 2 2 0 m n m n m n m n n m mn n m - => - = =>³ ³ ³ => A = m - n 0,25 * Xét m n< thì m n n m < 0,25 => A = ( )n n m m - 0,25 Câu 2 ( 3,0 điểm ) a) 1,0 Điểm (1) (x - 5)(x 2 – 2mx + m + 2) = 0 ' D = m 2 – m – 2 0,5 Phương trinh có nghiệm 2m ³ hoặc 1m -£ 0,25 -1 < m = 3 2 < 2 => pt vô nghiệm 0,25 b) 1,0 Điểm phươnh trình luôn có một nghiệm x 1 = 5 suy ra x 2 – 2mx + m + 2 = 0 phải có 2 nghiệm nhỏ hơn 1 ' D ³ 0 (x 2 – 1)(x 3 – 1) > 0 (x 2 – 1) + (x 3 – 1) < 0 m £ -1 0,5 0,5 c) 1,0 Điểm pt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 5 => m < -1 hoặc m > 2; m ¹ 3 0,25 +) nếu x 2 – 2mx + m + 2 = 0 có một nghiệm lớn hơn 5, một nghiệm nhỏ hơn 5 thì 2 5x - = 3 5x - => x 2 = x 3 ( loại ) hoặc x 2 + x 3 = 10 => m = 5 ( thỏa mãn ) 0,25 +) nếu x 2 – 2mx + m + 2 = 0 có cả 2 nghiệm đều lớn hơn hoặc nhỏ hơn 5 đều có 2 3 3 5x x x- = - => x 2 = 5 ( loại ) hoặc x 2 – 2x 3 = -5 => 1 345 16 m - - = . Kết luận : m = 5 hoặc 1 345 16 m - - = 0,5 Câu 3 ( 1,0 điểm ) x 1 = 31 8 15- = 4 - 15 nên ta có x 2 + bx + c = ( ) ( ) 2 4 15x x x- + - = 0 x 2 – ( 4 - 15 + x 2 )x + ( 4 - 15 )x 2 = 0 0,25 ( 4 - 15 )x 2 = c => x 2 = c ( 4 + 15 ) 4 - 15 + x 2 = -b 4 + 4c - 15 ( 1 – c ) = -b 0,25 Do b, c hữu tỉ nên 1 – c = 0 b = - ( 4 + 4c ) => c = 1 và b = -8 0,5 Câu 4 ( 3,0 điểm ) a) 1,0 Điểm d OI vuông góc với AB tại O thuộc AB nên (I) tiếp xúc với AB tại O. 0,25 Chứng minh góc AOC bằng góc MOC ( cùng bằng góc CDO ) 0,25 Nên OC là phân giác của góc AOM Tương tự OD là phân giác góc BOM. 0,5 b) 1,0 Chứng minh được tứ giác CPQD nội tiếp 0,25 => tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ là giao điểm K các đường trung trực của PQ và CD 0,25 chứng minh được IKNO là hình bình hành 0,25 Khoảng cách từ K đến d là IK = 2 2 OM R = 0,25 c) 1,0 điểm Chứng minh được trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền không đổi tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất 0,5 Chu vi tam giác COD nhỏ nhất tam giác COD vuông cân 0,25 A O B D M K I P Q N C MC = MD M là điểm chính giữa cung AB. 0,25 Câu 5 ( 1,0 điểm ) Chứng minh được pq = ac + bd ( định lí Ptôlêmê ) 0,25 Chứng minh được ( ac + bd ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) ( bất đẳng thức Bunhiacôpxki ) 0,25 Từ đó suy ra pq 2 ≤ ( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) => pq ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c d + + 0,5 Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương. HẾT . có 3 nghiệm phân bi t sao cho khi bi u diễn các nghiệm đó trên trục số được 3 điểm chắn trên trục số thành hai đoạn bằng nhau. Câu 3 ( 1,0 điểm ). Tìm các số hữu tỉ b và c bi t phương trình:. CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) ( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 03 trang ) Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) 1,0 điểm (ac + bd)(ad + bc) = (c 2 + d 2 )ab. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 ( 2,0 điểm ). a) Cho