Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1, Giải tích 12 chương 1
Chương 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1.1 Tính đơn điệu của hàm số 1.1.1 Định lí Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I. • Nếu f (x) >0, ∀x ∈ I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. • Nếu f (x) =0, ∀x ∈I thì f là hàm hằng trên I. 1.1.2 Xét sự biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x), ta thực hiện các bước như sau: ① Tìm tập xác định của hàm số. ② Tính y . Tìm các điểm mà tại đó y =0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn). ③ Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 1.1.3 Bài tập 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y =3x 2 −8x 3 b) y = x 3 −2x 2 +x −2 c) y =(4 −x)(x −1) 2 d) y = x 3 −3x 2 +4x −1 e) y = 1 3 x 3 +x 2 +x +1 f) y = 1 4 x 4 −2x 2 −1 g) y =−x 4 −2x 2 +3 h) y = x 4 +8x 3 +5 i) y = 2x −1 x +5 j) y = x −1 2 −x k) y =1 − 1 1 −x l) y = 2x −1 x 2 m) y = 4x 2 −15x +9 3x n) y = 2x 2 +x +26 x +2 o) y =−x +3 − 1 1 −x p) y = x 2 −1 x 2 −4 q) y = x 2 −x +1 x 2 +x +1 r) y = x x 2 −3x +2 s) y = 1 ( x −5 ) 2 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y =−6x 4 +8x 3 −3x 2 −1 b) y =9x 7 −7x 6 + 7 5 x 5 +12 c) y = 2x −x 2 d) y = x +3 +2 2 −x e) y = 2x −1 − 3 −x f) y = x 2 −x 2 g) y = x x +100 h) y = x 16 −x 2 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số a) y = x −sin x trong [ 0;2π ] b) y =sin2x − π 2 < x < π 2 c) y = x +2cos x, x ∈ π 6 ; 5π 6 d) y =sin2x −x, − π 2 < x < π 2 4. Chứng minh rằng: 1 © Nguyễn Hồng Điệp L A T E X 2015 12 a) y = x −2 x +2 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) y = −x 2 −2x +3 x +1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định c) y =−x + x 2 +8 nghịch biến trên R d) y = x 3 −6x 2 +17x +4 đồng biến trên R e) y = 2x −x 2 nghịch biến trên [ 1;2 ] f) y = x 2 −9 đồng biến trên [ 3;+∞ ) g) y = x + 4 x nghịch biến trên [ −2;0 ) và ( 0;2 ] h) y = x 2 −2mx −1 x −m đồng biến trên R i) y =−sin x +4x đồng biến trên R. j) y = x 3 +x −cos x −4 đồng biến trên R k) y =cos 2 x −x nghịch biến trên R l) y =cos2x −2x +3 nghịch biến trên R m) y =3x −sin(3x +1) đồng biến trên R n) y =−5x +cot(x −1) nghịch biến trên R o) y =cos x −x nghịch biến trên R p) y =sin x −cos x −2 2x nghịch biến trên R 5. Chứng minh rằng: a) y = x −2 x +2 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) y = −x 2 −2x +3 x +1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định c) y =−x + x 2 +8 nghịch biến trên R d) y = x 3 −6x 2 +17x +4 đồng biến trên R e) y = x 3 +x −cos x −4 đồng biến trên R f) y =cos 2 x −x nghịch biến trên R g) y =cos2x −2x +3 nghịch biến trên R h) y = 2x −x 2 nghịch biến trên [ 1;2 ] i) y = x 2 −9 đồng biến trên [ 3;+∞ ) j) y = x + 4 x nghịch biến trên [ −2;0 ) và ( 0;2 ] k) y =3x −sin(3x +1) đồng biến trên R l) y = x 2 −2mx −1 x −m đồng biến trên R m) y =−5x +cot(x −1) nghịch biến trên R n) y =cos x −x nghịch biến trên R o) y =sin x −cos x −2 2x nghịch biến trên R 6. Chứng minh rằng: 1) sin x < x, ∀x >0 2) sin x > x, ∀x <0 3) x − x 3 6 <sin x, ∀x >0 4) x − x 3 6 >sin x ∀x <0 5) sin x < x − x 3 6 + x 5 120 x >0 6) cos x >1 − x 2 2 , ∀x =0 7) phương trình x 3 −3x + c = 0 không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [ 0,1 ] . 1.1.4 Điều kiện biến thiên của hàm số ① Hàm đa thức f (x) đồng biến trên D khi và chỉ khi f (x) 0, ∀x ∈D ② Hàm đa thức f (x) nghịch biến trên D khi và chỉ khi f (x) 0, ∀x ∈D ③ Hàm nhất biến f (x) = ax +b cx +d đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi f (x) >0, ∀x ∈D ④ Hàm nhất biến f (x) = ax +b cx +d nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi f (x) <0, ∀x ∈D ⑤ Tam thức bậc hai f (x) = ax 2 +bx+c =0, (a =0) • f (x) ≥0, ∀x ∈R ⇔ ∆ ≤0 a >0 • f (x) ≤0, ∀x ∈R ⇔ ∆ ≤0 a <0 1.1.5 Bài tập 1. Tìm các giá trị của tham số m để a) y = x 3 −3mx 2 +(m −2)x −1 đồng biến trên R. Đs: − 2 3 m 1 b) y =− x 3 3 +(m −2)x 2 +(m −8)x +1 nghịch biến trên tập xác định. Đs: −1 m 4 c) y = 1 3 x 3 +mx 2 +(m−6)x−2m−1 đồng biến trên R. d) y =− x 3 3 +(m −2)x 2 +(m −8)x +1 nghịch biến trên R e) y = m −1 3 x 3 +mx 2 +(3m −2)x +3 đồng biến trên tập xác định. Đs: m 1 2 2 © Nguyễn Hồng Điệp L A T E X 2015 12 f) y = mx 3 −(2m−1)x 2 +4m−1 đồng biến trên R. Đs: m = 1 2 2. Tìm các giá trị của tham số m để a) y = mx +1 x −m đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. Đs: m <−1 hoặc m >1 b) y = 2mx −m +10 x +m nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. Đs: − 5 2 < m <2 c) y = mx +4 x +m đồng biến trên từng khoảng xác định. d) y = x +2 + m x −1 đồng biến trên từng khoảng xác định. e) y = mx −1 x +m đồng biến trên từng khoảng xác định. Đs: m ∈ R 1.2 Cực trị 1.2.1 Các qui tắc tìm cực trị 1.2.2 Bài tập 1. Tìm cực trị các hàm số sau a) y =3x 2 −2x 3 b) y = x 3 −2x 2 +2x −1 c) y =− 1 3 x 3 +4x 2 −15x d) y = x 4 2 −x 2 +3 e) y = x 4 −4x 2 +5 f) y =− x 4 2 +x 2 + 3 2 g) y = −x 2 +3x +6 x +2 h) y = 3x 2 +4x +5 x +1 i) y = x 2 −2x −15 x −3 j) y =(x −2) 3 (x +1) 4 k) y = 4x 2 +2x −1 2x 2 +x −3 l) y = 3x 2 +4x +4 x 2 +x +1 m) y = x x 2 −4 n) y = x 2 −2x +5 o) y = x + 2x −x 2 p) y = x + 1 x 2. Tìm cực trị các hàm số sau a) y = x −4sin 2 x b) y =sin2x c) y =cos x −sin x d) y =sin 2 x e) y =sin 2 x − 3cos x trên [ 0,π ] f) y =2sin x −cos2x trên [ 0,π ] 1.2.3 Điều kiện để hàm số có cực trị • Hàm số có k cực trị ⇔ phương trình y = 0 có k nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó. • Hàm bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) ⇔ phương tr ình y =0 có 2 nghiệm phân biệt. • Hàm số đạt cực trị tại x = x 0 thì y (x 0 ) =0. Sau đó ta dùng dấu hiệu I hoặc dấu hiệu 2 thử lại xem đó là cực đại hay cực tiểu.1 • Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 điều kiện là y (x 0 ) =0 y (x 0 ) >0 • Hàm số đạt cực đại tại x 0 điều kiện là y (x 0 ) =0 y (x 0 ) <0 1.2.4 Bài tập 1. Tìm m để hàm số: a) y = mx 3 +3x 2 +5x +2 đạt cực đại tại x =2 b) y = x 3 −mx 2 −mx −5 đạt cực tiểu tại x = 1. Đs: m =1 c) y =−x 3 +mx 2 −4 đạt cực tiểu tại x =6 d) y = x 3 +(m +1)x 2 +(2m −1)x +1 đạt cực đại tại x =−2. Đs: m = 7 2 e) y = x 3 −3mx 2 +(m −1)x +2 đạt cực trị tại x =2. f) y = x 2 +mx +1 x +m đạt cực trị tại x =2. 2. Tìm m để hàm số: a) y =(m +2)x 3 +3x 2 +mx −5 có cực đại, cực tiểu. b) y = x 3 −3(m −1)x 2 +(2m 2 −3m +2)x −m(m −1) có cực đại, cực tiểu. c) y = x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x +2 đạt cực đại tại x =2. d) y = x 3 −2mx 2 +1 có cực đại và cực tiểu. Đs: m =0 e) y = m 3 x 3 −2x 2 +(3m+1)x−1 có cực đại và cực tiểu. Đs: − 4 3 < m <1, m =0 f) y = x 2 −mx +2 x −1 có cực đại và cực tiểu. Đs: m < 3 g) y = x 4 −mx 2 +2 có 3 cực trị. Đs: m >0 h) y =−mx 4 +2( m −2)x 2 +m−5 có một cực đại x = 1 2 . 3 © Nguyễn Hồng Điệp L A T E X 2015 12 i) y = x 2 −2mx +2 x −m đạt cực tiểu khi x =2. j) y = x 2 −(m +1)x −m 2 +4m −2 x −1 có cực đại, cực tiểu. k) y = x 2 −x +m x −1 có một giá trị cực đại bằng 0. 3. Tìm m để hàm số không có cực trị a) y = x 3 −3x 2 +3mx +3m +4 b) y = mx 3 +3mx 2 −(m −1)x −1 c) y = −x 2 +mx +5 x −3 d) y = x 2 −(m +1)x −m 2 +4m −2 x −1 4. Tìm a, b, c, d để hàm số a) y = ax 3 +bx 2 +cx+d đạt cực tiểu bằng 0 tại x =0 và đạt cực đại bằng 4 27 tại x = 1 3 b) y = ax 4 +bx 2 +c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3. c) y = x 2 +bx+c x −1 đạt cực trị bằng –6 tại x = –1. d) y = ax 2 +bx+ab bx +a đạt cực trị tại x =0 và x =4. e) y = ax 2 +2x +b x 2 +1 đạt cực đại bằng 5 tại x =1. f) y = ax 3 +bx 2 +cx+d đạt cực đại tại x =0, f ( 0 ) =0 và đạt cực đại tại x =1, f ( 0 ) =1 g) y = x 3 +ax 2 +bx +c đạt cực trị bằng 0 tại x = −2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 1,0 ) h) y = x 3 −mx 2 + m − 2 3 x+5 có cực trị tại x =1. Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính cực trị tương ứng. i) y = x 3 + a x 2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f ( 1 ) = −3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. 1.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1.3.1 Bài tập 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số a) y =2x 3 +3x 2 −12x +1 trên [–1;5] b) y =3x −x 3 trên [–2;3] c) y = x 4 −2x 2 +3 trên [–3;2] d) y = x 4 −2x 2 +5 trên [–2;2] e) y = 3x −1 x −3 trên [0;2] f) y = x −1 x +1 trên [0;4] g) y = 4x 2 +7x +7 x +2 trên [0;2] h) y = 1 −x +x 2 1 +x −x 2 trên [0;1] i) y = 100 −x 2 trên [–6;8] j) y = 25 −x 2 trên [ −4,4 ] k) y = x 2 −3x +2 trên [ −10,10 ] l) y = x −sin2x trên − π 2 ,π m) y =2sin x +sin2x trên 0, 3π 2 n) y = 1 sin x trên π 3 , 5π 6 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau a) y = x x +2 trên ( −2,4 ] b) y = x + 1 x trên ( 0,+∞ ) c) y = x − 1 x trên [ 0,2 ) d) y = x 2 + 1 x (x >0) e) y = x 4 +x 2 +1 x 3 +x (x >0) f) y = 1 cos x trên d f racπ2, 3π 2 g) y = 1 sin x trên ( 0,π ) 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau a) y =2sin 2 x +2 sin x −1 b) y =2sin 2 x −cos x +1 c) y =cos2x −2 sin x −1 d) y =cos 2 2x −sin x cos x +4 e) y =sin 4 x +cos 2 x +2 f) y =cos 3 x −6cos 2 x +9 cos x +5 g) y =sin 3 x −cos 2x +sin x +2 h) y = 2sin x −1 sin x +2 i) y = 1 cos 2 x +cos x +1 j) y =sin 4 x +cos 4 x k) y =sin 3 x +cos 3 x l) y = 2cos 2 x + | cos x | +1 | cos x | +1 m) y = x 2 −1 x 4 −x 2 +1 n) y =4 x 2 −2x +5+x 2 −2x +3 o) y =−x 2 +4x + x 2 −4x +3 4