Thuyết trình LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU Nhóm 3 Đàm Minh Lịnh Vũ Duy Khánh Nông Thanh Lâm Phạm Thị Mỹ Linh Trà Bảo Linh Lê Minh Kha Phạm Minh Lộc Từ Xuân Lộc Bài toán mở đầu Bài toán mở đầu 1 1 Định nghĩa bài toán đối ngẫu Định nghĩa bài toán đối ngẫu Định lý về đối ngẫu Định lý về đối ngẫu Độ lệch bù Độ lệch bù Thuật toán đơn hình đối ngẫu Thuật toán đơn hình đối ngẫu Ví dụ minh họa Ví dụ minh họa 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1. Bài toán mở đầu Xét một quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc (1) Xét phương án không thỏa (nghĩa là một lượng, trong đólà véc tơ Thay b-vào (1) giải bài toán: (2)   1. Bài toán mở đầu Trong đó: y được gọi là nhân tử Lagrange, L(x,y) := được gọi là hàm Lagrange của bài toán (1) Đặt g(y) là giá trị tối ưu của (2) g(y)= Vì chấp nhận được (1) nên = max g(y), (3) Biến đổi (3) để được dạng tốt hơn: g(y)=   1. Bài toán mở đầu Mặt khác Thay vào (3) ta được dạng tương đương   (4)  max g(y), (3)  1. Bài toán mở đầu Vậy bài toán đối ngẫu của QHTT (1) là QHTT (4) (1)  → (4)  1. Bài toán mở đầu Thành lập bài toán đối ngẫu cho QHTT dạng chuẩn (thêm biến bù) = b, Vì biến bù nên mục tiêu trở thành     1. Bài toán mở đầu Xét trường hợp bài toán gốc không ở dạng chính tắc hoặc dạng chuẩn Tìm: + Cận dưới sát nhất của giá trị mục tiêu tối ưu; + Vectơ ở bài toán gốc là tự do về dấu Vậy bài toán đối ngẫu phải có ràng buộc   1. Bài toán mở đầu Ví dụ1: Bài toán đối ngẫu của bài toán QHTT dạng chuẩn f(x) = 20x 1 + 15x 2 → min g(y) = 60y 1 + 40y 2 + 60y 3 →max →        ≥≥ ≥+ ≥+ ≥+ 0,0 602 40 603 21 21 21 21 xx xx xx xx      ≥≥≥ ≤++ ≤++ 0;0;0 152 203 321 321 321 yyy yyy yyy 1. Bài toán mở đầu Ví dụ 2:          ≤≥ ≤−+ =+−− ≥−+ →+−= ýtùyxxx xxx xxx xxx xxxxf 321 321 321 321 321 ,0,0 343 642 832 min234)(          ≤≥ =−+− −≥+− ≤+− →++= 0y,ýtùyy,0y 2yy4y3 3y4y2y 4y3yy2 maxy3y6y8)y(g 321 321 321 321 321 [...]... toán gốc và bài toán đối ngẫu 2 định nghĩa bài toán đối ngẫu Xét ví dụ   Min , Max 2 định nghĩa bài toán đối ngẫu Viết lại ở dạng bài toán min và nhân cả ba ràng buộc cuối với -1   Min Max , BTĐN bên phải trên của bài toán ĐN trùng với bài toán gốc 2 định nghĩa bài toán đối ngẫu Định lý: Nếu ta biến đổi bài toán đối ngẫu về dạng tương đương là tìm cực tiểu (min) và lập đối ngẫu của nó, ta nhận được... vựng đôi ngẫu Biến vào 5 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU Thực hiện bước đơn hình tiếp theo trên từ vựng đối ngẫu ta thấ� �3 vào �2 ra Tương ứng ở từ vựng gốc là w2 vào và w3 Hai từ vựng tối ưu Giải quy hoạch đối ngẫu rồi áp dụng định lý đối ngẫu mạnh ta tìm được lời giải cho bài toán gốc: Mục tiêu tối ưu là z* = -7 Nghiệm tối ưu là (�1*, �*)=(d1*, d2*) = (7,0) 2 5 Ví dụ minh họa Viết bài toán đối ngẫu của... đối ngẫu Giả sử ma trận A có hàng làvà các cột là   MIN với ràng buộc MAX với ràng buộc Nhận xét: Mỗi ràng buộc ở bài toán gốc, không kể ràng buộc dấu, ứng với một biến của bài toán đối ngẫu Mỗi biến của bài toán gốc ứng với một ràng buộc ở bài toán đối ngẫu Đồng thời các chiếu bất đẳng thức có quan hệ trực tiếp với nhau và cho bằng bảng sau đây 2 định nghĩa bài toán đối ngẫu GỐC MIN MAX = ĐỐI NGẪU... ≥ 0 (15) 5 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU Viết cặp đối ngẫu (14) và (15) ở dạng từ vựng Min � + 2, 1 Min - 4=‫, 37 728 81�ع‬ – – 2 -21 – 2 ≤ 4 21 + 22 + 3 ≤ 1 2 2 4 -21 + 42 ≤ -8 - 13 32 ≤ -7 + 1, �2 ≥ 0 (14) 14- 423 33 ≤ 1 �1 , 2, �3 ≥ 0 (15) 5 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU    hiện phép xoay cho cả hai từ vựng: Thực Vì từ vựng gốc không chấp nhận được, nhưng từ vựng đối ngẫu chấp nhận được nên ta thực... 4 độ lệch bù    lý: (Điều kiện độ lệch bù) Giả sử x và y là nghiệm chấp nhận được của bài Định toán gốc và bài toán đối ngẫu, tương ứng Khi đó x và y là tối ưu khi và chỉ khi: T yi(ai x - bi) = 0 T (cj – y Aj)xj= 0 j i (10) (11) 4 độ lệch bù Chứng minh:   Đặt ui = yi (aiT x - bi) và vj = (cj – yTAj)xj Theo bài toán đối ngẫu ta có ui ≥ 0, vj ≥ 0 , cT x – y T b = + Theo định lý đối ngẫu mạnh, nếu x... 2 và y2* = 1 Tính giá trị mục tiêu đối ngẫu được 8y1* + 3y2* = 19 Vì x* là chấp nhận được, y* = (y1*,y2*) là tối ưu theo điều kiện độ lệch bù Giá trị mục tiêu ứng với x* cũng là 19 nên x* cũng là tối ưu (của bài toán gốc) 5 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU Giải qu� hoạch Min �1 + 2, -2�1 – 2 ≤ 4 2 -21 + 4�2 ≤ -8(14) - 1 + 3�2 ≤ -7 1, �2 ≥ 0 5 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU Giải qu� hoạch Min 1 + 2, 2 -21... j* ≥ 0, j = 1, , n , và di* ≥ 0, i = 1, ,m m yi*aij ≤ c j , j = 1, , n, ∑ i =1 * Tức là y* là nghiệm * nhận được của bài toán đối ngẫu Do (y*)Tb = cTx*, y* phải là nghiệm tối ưu theo hệ chấp quả yi = − d i ≤ 0, i = 1, , m, 3.2 định lý tồn tại Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau thì có thể xảy ra một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây:  Cả hai bài toán đều không có phương án  Cả hai bài... được của bài toán đối ngẫu với (y*)Tb = cTx* * * yi = − d i , i = 1, , m 3.2 đối ngẫu mạnh n n m j =1 j =1 i =1 c j x j = z * + ∑ c * x j + ∑ d i* wi ∑ j n m n = z + ∑ c x j + ∑ (− y )(b1 − ∑ aij x j ) * j =1 m * j * i i =1 n j =1 m = z − ∑ bi y + ∑ (c + ∑ y a ) x j ' * i =1 * i * j j =1 * i ij i =1 Các hệ số tương ứng m z = ∑ bi y , * i =1 * i m c j = c + ∑ y aij ' * j i =1 * i 3.2 đối ngẫu mạnh Ta có... y 3 ≤ 0  6 Ví dụ minh họa Xét quy hoạch tuyến tính Chứng tỏ rằng bài toán trùng với bài toán đối ngẫu của nó (bài toán tự đối ngẫu) f = x1 + x 2 + x 2 → min,  − x 2 + x 3 ≥ −1,   − x 3 ≥ −1,  x1 − x + x ≥ −1, 1 2  x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0  Giả sử bài toán g’(y) trùng với bài toán gốc Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc f(x) là: g / = y1 + y2 + y3 → min  g = − y1 − y 2 − y 3 → max,  y 2 −... được Hệquả 2: Giả sử và là nghiệm chấp nhận được tương ứng của 2 BTĐN nhau Nếu thì và phải là nghiệm tối ưu tương ứng của 2 BT 3.2 đối ngẫu mạnh Định lý: Nếu QHTT gốc có nghiệm tối ưu x* QHĐN cũng có nghiệm tối ưu y*và giá trị mục tiêu tối ưu = nhau cTx*= (y*)T b 3.2 đối ngẫu mạnh Chứng minh: min cTx, Ax ≤ b, x ≥ 0, Áp dụng phương pháp đơn hình lên quy hoạch này n m z = z + ∑c x + ∑d w * * j j * i i' . nghĩa bài toán đối ngẫu Định nghĩa bài toán đối ngẫu Định lý về đối ngẫu Định lý về đối ngẫu Độ lệch bù Độ lệch bù Thuật toán đơn hình đối ngẫu Thuật toán đơn hình đối ngẫu Ví dụ minh. ngẫu Định lý: Nếu ta biến đổi bài toán đối ngẫu về dạng tương đương là tìm cực tiểu (min) và lập đối ngẫu của nó, ta nhận được bài toán gốc 3.1 đối ngẫu yếu Định lý: nếulà nghiệm chấp nhận được của. do Ràng buộc GỐC MIN MAX ĐỐI NGẪU Ràng buộc Biến Biến Ràng buộc Bảng quan hệ giữa biến và ràng buộc của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu 2. định nghĩa bài toán đối ngẫu Xét ví dụ Min Max