lý thuyết đối ngẫu

LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU GIÁO VIÊN CHỦ NHIỆM MÔN: Nguyễn Xuân Hải NỘI DUNG TRÌNH BÀY: LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU BÀI TOÁN MỞ ĐẦU ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỐI NGẪU 3.1 Đối ngẫu yếu 3.2 Đối ngẫu mạnh ĐỘ LỆCH BÙ THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TOÁN MỞ ĐẦU 1.1 Xét quy hoạch tuyến tính dạng tắc   (1)   Xétphươngánkhôngthỏa(nghĩa làmột lượng, trongđólàvéctơ   - Thay b-vào (1) giải toán:   (2)   - Trong đó: y gọi nhân tử Lagrange, L(x,y) := gọi hàm Lagrange toán (1) - Đặt g(y) giá trị tối ưu (2)   g(y)=   - Vì chấp nhận (1) nên =   max g(y), (3) - Biến đổi (3) để dạng tốt hơn:   g(y)= - Mặt khác   - Thay vào (3) ta dạng tương đương     max g(y), (3) (4) Vậy toán đối ngẫu QHTT (1) QHTT (4)     (1) → (4) Thành lập toán đối ngẫu cho QHTT dạng chuẩn (thêm biến bù)   = b,   Vì biến bù nên mục tiêu trở thành       VÍ DỤ MINH HỌA 6.1 Viết toán đối ngẫu qui hoạch tuyến tính sau: a f = 2x1 + 3x2 - 4x3 + 5x4+→ Điều kiện  x1 + x − x + x ≥ 10, − x + 2x + x − x = 8,    x1 − x − x + x ≤ 9, x1 tùy ý, x ≥ 0, x ≤ 0, x ≥ Giải Bài toán đối ngẫu toán gốc : g = 10y + 8y + 9y → max Điều kiện  y1 − y + y = 2,  y + y − y ≤ 3,  − y1 + y − y ≥ −4,  y − y + y ≤ 5,   y1 ≥ 0, y ≤ 0, y tùy ý b) f = x - 4x - 3x - 2x → Điều kiện Giải g = -y1 + 8y2 - 4y3 → max  x1 − x + x3 + x = −1,  x + x + x − x ≥ 8,   − x1 − x − x3 + x ≤ − 4,   x1 ≥ 0, x tùy ý , x3 ≥ 0, x ≤ y1 + y − y ≤ 1,  − y + y − y = −4,   y1 + y − y ≤ −3,   y1 − y + y ≥ −2,    y1 tùy ý , y ≥ 0, y ≤ 6.2 Xét qui hoạch tuyến tính: Chứng tỏ toán trùng với toán đối ngẫu (bài toán tự đối ngẫu) Giải f = x1 + x + x → min,  − x + x ≥ − ,  − x ≥ −1,  x1 − x + x ≥ −1,  x1 ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ Giả sử toán g’(y) Bài toán đối ngẫu trùng với toán gốc toán gốc f(x) là: g / = y1 + y + y → − y + y ≥ −1   y − y ≥ −1   ≥ −1 − y + y   y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥  g = − y1 − y − y → max,  y − y ≤ 1,  + y ≤ 1, − y1  y −y ≤ 1,   y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ Đưa toán đối ngẫu dạng ta có toán tương đương: g / = y1 + y + y → min,  − y + y ≥ −1,   + y ≥ −1,  y1 − y + y ≥ −1,   y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ Bài toán tương đương toán đối ngẫu trùng với toán gốc ⇒ điều phải chứng minh ⇒ toán tự đối ngẫu 6.3 Cho toán qui hoạch tuyến tính:  f = x1 − x + x3 → min, x + x + x = 6,    x + x3 + x = 8,  x j ≥ 0, j = 1, 2, 3,  * Có phương án tối ưu x = (2, 4, 0, 0) giá trị tối ưu -6 Hãy tìm phương án tối ưu giá trị tối ưu toán đối ngẫu Giải BTĐN BTG:  g = y1 + y → max, y ≤ 1,    y1 + y ≤ −2,  y ≤ 2,  4 y1 + y ≤    y1 , y tùy ý * * * Gọi y = (y1, y2) phương án tối ưu toán đối ngẫu Do x1 , x2 > nên theo định lí độ * lệch bù, y nghiệm hệ phương trình =1  y1   y1 + y = −2 6.4 Xét qui hoạch tuyến tính:  f = 15 x1 + 19 x → 3x + x ≥ 3,  ,  x1 + x ≥ 2, 3x + x ≥ 7,   x1 ≥ 0, x ≥ Giải a.Phát biểu BTĐN toán b.Giải hai suy PA tối ưu BT lại a BTĐN toán gốc:  g = y1 + y + y → max, 3 y + y + y ≤ 15,    y1 + y + y ≤ 19,  y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ b Ta giải toán đối ngẫu: Cơ Hệ sở số A4 A5 Bảng Phương án A1 A2 A3 A4 A5 0 15 3 19 1 [4] 19/4 -3 -2 -7 0   θ A4 3/4 [9/4] 1/4 -3/4 1/3 A3 19/4 1/4 1/4 1/4 19 Bảng 133/4 -5/4 -1/4 0 7/4   A1 1/3 [1/9] 4/9 -1/3 A3 14/3 2/9 -1/9 1/3 21 101/3 -1/9 5/9 4/3   Bảng A2 -3   A3 -2 -1   34 0 1   Bảng * ⇒ Phương án tối ưu toán đối ngẫu: y = (0, 3, 4) * Gọi x = (x1, x2) PA tối ưu toán gốc * * * Do y2 , y3 >0, nên theo định lí độ lệch bù, x nghiệm hệ PT:  x1 + x =  3x1 + x = * Giải hệ PT, ta được: x = (1, 1) Với fmin = gmax = 34 6.5 Xét toán quy hoạch tuyến tính: f(x) = 4x1 –x2 -3x3 →  x1 + 3x − x ≥ −2,  x − x ≤ 4,   2 x1 − x + 3x ≥ −  ≥ −6,  x1 − 3x − x1 + x ≤    x1 , x , x tùy ý Giải Viết toán đối ngẫu Chứng tỏ x = (-1, 1, 1) phương án tối ưu Xác định phương án tối ưu toán đối ngẫu BTĐN BTG: g(y) = -2y1 + 4y2 - 3y3 - 6y4 + 3y5 → max + y3 + y − y5 = 4,  y1  3y + y − y − 3y = −1,   − y − y + y + y = − ,   y1 , y3 , y ≥ ; y , y5 ≤ Thay x = (-1, 1, 1) vào hệ ràng buộc (*), ta có: − + −  −  − − + − −  1 +2 = −2, = ≤ 4, = −3, = −4 ≥ −6, =  y1 + y3 − y5 = 4,  3y = −1,  − y3  − y1 + y3 + y5 = −3,  y = 0, y = 0 x = (-1, 1, 1) thỏa (*) ⇒ x phương án toán gốc Gọi y = (y1, y2, y3, y4, y5) phương án toán đối ngẫu Do độ lệch ràng buộc 2, toán gốc khác nên theo định lí độ lệch bù, y nghiệm hệ phương trình: Giải hệ phương trình, ta y = (1, 0, 1, 0, -1) Với: f(x) = g(x) = -8 ⇒ x = (-1, 1, 1) phương án tối ưu toán gốc ⇒ y = (1, 0, 1, 0, -1) phương án tối ưu toán đối ngẫu CÁM ƠN THẦY GIÁO VÀ CÁC BẠN LẮNG NGHE! CÙNG XÂY DỰNG VÀ ĐÓNG GÓP Ý KIẾN ... DUNG TRÌNH BÀY: LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU BÀI TOÁN MỞ ĐẦU ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỐI NGẪU 3.1 Đối ngẫu yếu 3.2 Đối ngẫu mạnh ĐỘ LỆCH BÙ THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU VÍ DỤ MINH HỌA...   Vậy toán đối ngẫu phải có ràng buộc Ví dụ: Bài toán đối ngẫu toán QHTT dạng chuẩn Bài f(x) = 20x + 15x → 3x1 + x ≥ 60  x + x ≥ 40   x + x ≥ 60   x1 ≥ 0, x ≥ toán ngẫu là: → đối g(y) =... toán đối ngẫu Đồng thời chiếu bất đẳng thức có quan hệ trực tiếp với cho bảng sau GỐC MIN   MAX ĐỐI NGẪU   Ràng buộc   Biến   Biến Ràng buộc Bảng Quan hệ biến ràng buộc toán gốc toán đối ngẫu