Báo cáo khoa học: " NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI NGẪU VÔ HẠN PHẦN TỬ" pot

T ập phần tử là một khoảng trên đường thẳng Trong mục này ta kí hiệu dI là độ dài của khoảng I ⊂ R.. Khi đó ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng trên có một điểm trong chung.. Vậy

NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỐI NGẪU VÔ HẠN PHẦN TỬ

THE INFINITE DUAL DIRICHLET PRINCIPLE

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TRƯƠNG CÔNG NÊN

Học viên Cao học khóa 2005 – 2008

TÓM T ẮT

Mặc dù đơn giản nhưng nguyên lý Dirichlet được áp dụn g để giải nhiều bài toán tổ hợp

ph ức tạp Tuy nhiên, nguyên lý Dirichlet chỉ được áp dụng cho các tập hữu hạn Bài báo này trình bày nguyên lý Dirichlet đối ngẫu cho tập hữu hạn và chứng minh rằng nó tương đương với nguyên lý Dirichlet (cổ điển ) Sau đó, nguyên lý Dirichlet đối ngẫu

được mở rộng cho tập vô hạn Cuối cùng, các kết quả được áp dụng để giải một số bài

toán tổ hợp phức tạp

ABSTRACT

Although it is simple, the Dirichlet principle is applied to solve many difficult combinatorical problems However Dirichlet principle deals exceptionally with finite sets This paper presents the dual Dirichlet principle and shows that it is equivalent to the Dirichlet principle Then, the dual Dirichlet principle is extended for infinite sets Finally, the results are applied to solve some difficult combinatorical problems

1 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu hữu hạn phần tử

Trước hết ta nhắc lại Nguyên lý Dirichlet

• Nguyên lí Dirichlet Nếu xếp nhiều hơn n đối tượng vào m cái hộp và n

m > k thì tồn

tại một hộp chứa ít nhất k + 1 đối tượng

Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu được phát biểu như sau

• Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ và S1, S2, …, Sn là các tập con

của S sao cho | S1 | + | S2 | + … + | Sn | > k | S | Khi đó, tồn tại một phần tử x S sao ∈

cho x là ph ần tử chung của k+ 1 tập Si ( i = 1, 2, … n)

Ta sẽ chứng minh hai nguyên lý này tương đương nhau

• Định lí 1 (Định lí tương đương) Nguyên lý Dirichlet và Nguyên lý Dirichlet đối

ngẫu tương đương nhau

Ch ứng minh

◊ Nguyên lý Dirichlet suy ra Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu:

Giả sử S có m phần tử x1, x2, …, xm Xét tập X = { (xi,Sj) | xi S∈ j , i = 1, 2, …,

m & j = 1, 2, …, n } Hiển nhiên | X | = | S1 | + | S2 | + … + | Sn | > k | S | = k.m

Ta phân bố các phần tử của tập X vào m hộp 1, 2, …, m như sau: nếu xi S∈ j thì

(xi,Sj) được phân vào hộp i với mọi i = 1, 2, …, m và j = 1, 2, …, n Khi đó, theo

nguyên lí Dirichlet, tồn tại hộp i có ít nhất k + 1 phần tử Từ đó suy ra tồn tại phần tử xi

là phần tử chung của k + 1 tập Si ( i = 1, 2, … n)

◊ Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu suy ra Nguyên lý Dirichlet:

Kí hiệu n phần tử là j = 1, 2, …, n Ta phân bố các phần tử j = 1, 2, …, n vào m

hộp Hi , i = 1, …, m Kí hiệu S = { Hi | i = 1, 2, …, m}, Sj = { Hi | j ∈ Hi } ∀ j = 1, 2,

…, n Hiển nhiên | Sj | = 1 ∀j = 1, 2, …, n và | S | = m Suy ra | S1 | + | S2 | + … + | Sn |

= n > k.m > k |S|

Theo Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu tồn tại phần tử Hi chung của k + 1 tập Sj ( i =

1, 2, … n), tức là tồn tại hộp Hi

2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử

chứa ít nhất k + 1 phần tử

2.1 T ập phần tử là một khoảng trên đường thẳng

Trong mục này ta kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I ⊂ R

• Định lý 2 Cho A là một khoảng giới nội, A 1, A2, … , An là các khoảng sao cho

Ai⊂A (i = 1, 2, …, n) và d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An) Khi đó ít nhất có hai

khoảng trong số các khoảng trên có một điểm trong chung

Ch ứng minh Thật vậy, giả sử không có cặp nào trong những khoảng đã cho có

điểm trong chung Khi đó, d(A1  A2  …  An) = d(A1) + d(A2) + … + d(An) >

d(A) Mặt khác, từ Ai ⊂A (i = 1, 2, …, n) suy ra d(A1  A2  …  An) d(A) Các ≤

bất đẳng thức trên mâu thuẫn với nhau Vậy ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng

trên có điểm trong chung

• Định lý 3 Cho A là một khoảng giới nội, A1, A2, … , An là những khoảng con của A,

k là số tự nhiên thỏa mãn

Khi đó tồn tại ít nhất k + 1 khoảng Ai (i = 1, 2, …, n) có điểm trong chung

Ch ứng minh Ta chứng minh bài toán này bằng phương pháp quy nạp

◊ Trường hợp k = 1 được chứng minh ở định lý 2

◊ Giả sử định lí đúng với k, ta phải chứng minh nó cũng đúng với k + 1 Cho A1, A2, …

, An các khoảng con của A thỏa mãn

Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại điểm trong chung của k + 2 khoảng Ai (i = 1, 2, …, n)

Vì Ai⊂A, nên d(Ai) d(A) (i = 1, 2, … , n), t≤ ừ đó suy ra d(A1) + d(A2) + … + d(An

≤

) n.d(A) Theo (2.1) ta có (k + 1).d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An

≥

) < n.d(A) Suy ra

k + 1 < n Vì vậy n k + 2

Ta chứng minh tồn tại điểm chung cho ít nhất k + 2 tập A1, A2, …, An thỏa (2.1)

bằng quy nạp theo n Ta bắt đầu từ n = k + 2, tức là :

(k + 1).d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(Ak + 2) (2.2)

và

Suy ra : A'i⊂A' và A"i⊂A"( i = 1, 2, … , k + 1)

Vì có tất cả k + 1 tập hợp A'i

≥

, từ bao hàm thức trên ta được :

Nếu lấy (2.2) trừ đi (2.7) ta có :

(k + 1).d(A") < d(Ak + 2) + d(A"1) + d(A"2) +… + d(A"k+1) (2.8)

Từ (2.8) suy ra :

k.d(Ak + 2) < d(A1Ak + 2) + d(A2Ak + 2) +… + d(Ak + 1Ak + 2) (2.9)

Từ (2.9) và theo giả thiết quy nạp (mệnh đề đúng với k) suy ra A 1 Ak + 2, A2Ak + 2,

…, Ak+1Ak + 2 có điểm trong chung, điều này có nghĩa là tập hợp A1, A2, … , Ak + 2

≥

có điểm trong chung Như vậy với n = k + 2 từ (2.3) suy ra ít nhất k + 2 tập hợp thỏa (

2.1) có điểm trong chung

Bây giờ chúng ta giả thiết với n k + 2 có ít nhất k + 2 tập hợp thỏa (2.1) có

điểm trong chung Ta sẽ phải chứng minh rằng từ (k + 1).d(A) < d(A1) + d(A2) + … +

suy ra có ít nhất k + 2 tập hợp trong dãy A1, A2, … , An + 1có điểm trong chung

Thật vậy, chúng ta đặt :

Vì A'iA"i = Ai, A'i  A"i = ∅ (i = 1, 2, …, n) và A'  A" = A, A'  A" = ∅ nên

Chúng ta sẽ chứng minh một trong các bất đẳng thức sau là đúng:

Thật vậy trong trường hợp ngược lại ta có

(k + 1).d(A') ≥ d(A'1) + d(A'2) + … + d(A'n)

và k.d(A'') ≥ d(A"1) + d(A"2) + … + d(A"n

≥

)

Cộng hai vế lại và do (2.15), (2.16) ta có :

≥

Cộng hai vế (2.19) với d(A") và từ (2.15), (2.16) ta có :

(k + 1).d(A) d(A1) + d(A2) + … + d(An) + d(An + 1) Điều này trái với (2.10) Nên một trong hai bất đẳng thức (2.17) và (2.18) phải có ít nhất

một bất đẳng thức đúng

Giả sử (2.17) đúng Theo giả thiết quy nạp đối với n từ (2.17) suy ra ít nhất k + 2

tập hợp trong dãy A'1, A'2, … , A'n có điểm trong chung Từ (2.11) suy ra rằng kết luận

cũng đúng cho dãy A1, A2, … , An

Giả sử (2.18) đúng Từ giả thiết quy nạp đối với k suy ra k + 1 tập hợp trong

A"1, A"2, … , A"n có điểm trong chung và cùng với (2.12) chỉ ra rằng tồn tại một điểm

mà nó là điểm trong k+1 tập hợp A1, A2, … , An và cả của An +1

Như vậy từ (2.10) suy ra k + 2 tập hợp trong dãy A1, A2, … , An

2.2 T ập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín

có điểm trong chung Suy ra kết luận đúng với n + 1 Từ phương pháp quy nạp, suy ra điều phải chứng

minh

Trong mục này ta kí hiệu S(A) là diện tích miền A trong một mặt phẳng

Định lý 4 Nếu A là một miền giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín, còn A1,

A2, … , An là các miền sao cho Ai⊂A (i = 1, 2, …, n) và S(A) < S(A1) + S(A2) + … +

S(An), thì ít nhất có hai miền trong số các miền nói trên có điểm trong chung

Ch ứng minh Tương tự như chứng minh Định lí 2

Định lý 5 Cho A là một miền giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín, còn A1,

A2, … , An là những miền thoả mãn Ai⊂A (i = 1, 2, …, n) và k là số tự nhiên thỏa mãn

k S(A) < S(A1) + S(A2) + … + S(An

2.3 Tập phần tử là khối ba chiều giới hạn bởi các mặt cong phẳng

Khi đó ít nhất k + 1 trong số những miền nói trên có điểm trong chung

Chứng minh Tương tự như chứng minh Định lý 3

Trong mục này ta kí hiệu V(A) là diện tích khối A

Định lý 6 Nếu A là một khối giới hạn bởi các mặt cong phẳng, còn A1, A2, … , An là

các khối sao cho Ai⊂A (i = 1, 2, …, n) và V(A) < V(A1) + V(A2) + … + V(An), thì ít

nhất có hai khối trong số các khối trên có điểm trong chung

Ch ứng minh Tương tự như chứng minh Định lí 2

Định lý 7 Cho A là một khối giới hạn bởi các mặt cong phẳng, A 1, A2, … , An là

những khối và thoả mãn Ai⊂A (i = 1, 2, …, n), còn k là số tự nhiên mà thỏa

Khi đó ít nhất k + 1 trong số những khối trên có điểm trong chung

Ch ứng minh Tương tự như chứng minh Định lí 3

3 ỨNG DỤNG

• Ví d ụ 1

Trong một hình vuông có cạnh là 1 chứa một số

đường tròn Tổng tất cả chu vi của chúng là 10 Chứng

minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 4 đường tròn

trong những đường tròn đó?

Gi ải Ta chọn một cạnh hình vuông rồi chiếu vuông

góc các đường tròn xuống cạnh đó (xem hình 1) Ta có,

hình chiếu của một đường tròn bán kính R xuống AB là

một đoạn thẳng có độ dài 2R Vì vậy trên cạnh hình vuông

đã chọn có những đoạn thẳng chiếu xuống với tổng độ dài là 10

π Mà

10

π > 3 Nên theo nguyên lý Dirichlet đối ngẫu (Định lí 3) suy ra có một điểm M nào đó thuộc AB là điểm trong chung của ít nhất 4 đoạn thẳng đã c hiếu xuống Khi đó, đường thẳng đi qua M vuông góc với AB cắt ít nhất 4 trong những đường tròn đó

• Ví d ụ 2

Một tập hợp M là hợp của một số đoạn thẳng

nằm trong khoảng [0, 1] Biết rằng khoảng cách giữa 2

điểm bất kỳ của M khác 0,1 Chứng minh rằng tổng độ

dài của những đoạn tạo nên M không vượt quá 0,5

L ời giải Giả sử tổng độ dài của tất cả các đoạn

thẳng trong M lớn hơn 0,5 Chia đoạn [0,1] thành 10

phần 0, 1

10

,

10 10

,

10 10

9 ,1 10

hiệu Mi

,

10 10

+

là phần của M nằm trong đoạn ( i = 0, 1, 2, … , 9) và Di là tổng độ dài các đoạn thẳng tạo ra Mi

,

10 10

Bằng cách tịnh tiến thích hợp chúng ta chuyển mọi đoạn

10 10

9 ,1 10

10

  Kí hiệu Mi’ là ảnh của Mi

Vì D = D

với i = 1,

2, 3, … , 9

0 + D1 + … + D9 > 0,5 = 5*0,1 Theo nguyên lý Dirichlet đối ngẫu (Định lí 3) suy ra có ít nhất 6 tập hợp trong Mo, M1’, M2’, … , M9

1 0, 10

’ có điểm chung Điều này có nghĩa là một số nào đó trong là kết quả của 6 điểm khác nhau x1,

10

của M trừ đi tương ứng những số dạng , k2

10,…,

6

k

10, với ki là một số nào

R

B

A Hình 1

C

D

C1

D1

O

Hình 2

đó trong 0, 1, 2, … , 9 và i = 1, 2, … , 6 Theo nguyên lý Dirichlet ít nhất có 2 trong các

số k1, k2, … , k6 là liên tiếp Ví dụ k2 = k1 + 1 hay k2 – k1 = 1 Và vì x1 1

k 10 – = x2

2

k

10

–

, nên x2 – x1 k2 k1

10

−

10, mâu thuẫn với giả thiết

Vậy tổng độ dài của những đoạn tạo nên M không vượt quá 0,5

• Ví d ụ 3

Tìm hình vuông có kích thước bé nhất, để trong hình vuông đó có thể sắp xếp 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có 2 hình tròn có điểm trong chung ?

L ời giải Giả sử hình vuông ABCD có tâm O và cạnh là a, chứa 5 hình tròn

không cắt nhau và đều có bán kính bằng 1, khi đó các tâm của chúng nằm trong hình vuông A1B1C1D1 có tâm O, AB//A1B1 và cạnh bằng a – 2 (xem hình 2) Các đường

thẳng nối từ các trung điểm của các cạnh đối diện của hình vuông A1B1C1D1

≤

chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ Theo nguyên lý Dirichlet, ở một trong chúng ít

nhất cũng có hai trong số các tâm Khi đó khoảng cách giữa hai tâm này một mặt không

lớn hơn đường chéo hình vuông bé, mặt khác không bé hơn 2 Do vậy có:

A B

2 2

2

−

Suy ra : a ≥ 2 2 2+

Vậy nếu a ≥ 2 2+2 và tâm của các hình tròn là các điểm O, A1, B1, C1, D1

thì tất cả các điều kiện của bài toán được thoả mãn, như vậy cạnh của hình vuông cần

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

[1] Vũ Hữu Bình, Các bài toán hình học tổ hợp (Dùng cho bậc trung học cơ sở), NXB

Giáo dục, Hà Nội, 2005

[2] Trần Quốc Chiến, Giáo trình Lý thuyết tổ hợp, Đại học Đà Nẵng, 2005

[3] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Dirichlet và ứng dụng , NXB khoa học và kỹ

thuật, 1999

Hà Nội, 2003

[5] Bộ Giáo dục và Đào tạo - Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán

h ọc và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục, 2004

[6] V.K Balakrishnan, Theory and Problems of Combinatorics, Schaum’s Outline

series McGraw-Hill, Inc

[7] Stefan Danchev Brics and Soren Riis, “Tree Resolution proofs of the Weak Pigeon-hole Principle”

[8] Andreas Blass, “An Induction Principle and Pigeonhole Principles for K- Finite Sets”, 2003

[9] Edwin Kwek Swee Hee - Huang Meiizhuo - Koh Chan - Heng Wee Kua,

“Applications of the Pigeonhole Principle”, Singapore Maths Project Festival,

2003

[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Johan_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet,

“Johan_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet”, ngày truy cập 11/9/2007

[11] http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs280/2002sp/pigeonhole% 20problem htm,

“Quiz (sort of) with answers Pigeonhole Principle CS 280 – Spring 2002”