Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Đề bài ****** (Thời gian làm bài 120 phút - Không kể chép đề) Bài 1(2 điểm). Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + = Tính giá trị của biểu thức : 2007 2007 2007 A x y z= + + . Bài 2(1,5 điểm). Cho biểu thức : 2 2 5 4 2014M x x y xy y= + + + . Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 3(1,5 điểm). Giải hệ phơng trình : ( ) ( ) 2 2 18 1 . 1 72 x y x y x x y y + + + = + + = Bài 4(2,5 điểm). Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lợt tại C và D. a.Chứng minh : AC . BD = R 2 . b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất . Bài 5(1,5 điểm).Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + + Bài 6(1 điểm).Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD 2 = AB . AC - BD . DC. Hớng dẫn giải *************** Bài 1. (2 điểm)Từ giả thiết ta có : 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y y z z x + + = + + = + + = (0,5đ) Cộng từng vế các đẳng thức ta có : TRờng THCS Lê Đình Kiên GV : Lê THị Khơng 1 Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + = (0,25đ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0x y z + + + + + = (0,25đ) 1 0 1 0 1 0 x y z + = + = + = 1x y z = = = (0,5đ) ( ) ( ) ( ) 2007 2007 2007 2007 2007 2007 1 1 1 3A x y z = + + = + + = (0,25đ) Vậy : A = -3. (0,25đ) Bài 2.(1,5 điểm) Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y= + + + + + + + + (0,25đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2007M x y x y= + + + (0,25đ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 1 1 2007 2 4 M x y y = + + + (0,25đ) Do ( ) 2 1 0y và ( ) ( ) 2 1 2 1 0 2 x y + ,x y (0,25đ) 2007M (0,25đ). min 2007 2; 1M x y = = = (0,25đ). Bài 3.(1,5điểm) Đặt : ( ) ( ) 1 1 u x x v y y = + = + (0,25đ). Ta có : 18 72 u v uv + = = u ; v là nghiệm của phơng trình : 2 1 2 18 72 0 12; 6X X X X + = = = (0,25đ). 12 6 u v = = ; 6 12 u v = = (0,25đ). ( ) ( ) 1 12 1 6 x x y y + = + = ; ( ) ( ) 1 6 1 12 x x y y + = + = (0,25đ). Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. (0,25đ). Bài 4. (2,5 điểm) a.Ta có CA = CM DB = DM (0,25đ). Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC OD Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO 2 = CM . MD (0,25đ). R 2 = AC . BD (0,25đ). b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp (0,25đ) TRờng THCS Lê Đình Kiên GV : Lê THị Khơng 2 Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 ã ã ã ã ;MCO MAO MDO MBO = = (0,25đ) ( ) .COD AMB g gV : V (0,25đ) Do đó : 1 . . . . Chu vi COD OM Chu vi AMB MH = V V (MH 1 AB) (0,25đ) Do MH 1 OM nên 1 1 OM MH (0,25đ) Chu vi COD V chu vi AMBV Dấu = xảy ra MH 1 = OM M O (0,25đ) M là điểm chính giữa của cung ằ AB (0,25đ). Bài 5 (1,5 điểm) Ta có : 2 2 1 1 0; 0 2 2 a b ữ ữ a , b > 0 (0,25đ) 1 1 0; 0 4 4 a a b b + + (0,25đ) 1 1 ( ) ( ) 0 4 4 a a b b + + + a , b > 0 1 0 2 a b a b + + + > (0,25đ) Mặt khác 2 0a b ab+ > (0,25đ) Nhân từng vế ta có : ( ) ( ) ( ) 1 2 2 a b a b ab a b + + + + (0,25đ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + + (0,25đ) Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABCV Gọi E là giao điểm của AD và (O) Ta có: ABD CEDV : V (g.g) . . BD AD AB ED BD CD ED CD = = (0,25đ) ( ) 2 . . . . AD AE AD BD CD AD AD AE BD CD = = (0,25đ) Lại có : ( ) .ABD AEC g gV : V (0,25đ) 2 . . . . AB AD AB AC AE AD AE AC AD AB AC BD CD = = = (0,25đ) L u ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình không chấm điểm. TRờng THCS Lê Đình Kiên GV : Lê THị Khơng 3 oh d c m b a d e c b a . Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Đề bài ****** (Thời gian làm bài 120 phút - Không kể chép đề) Bài 1(2 điểm). Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời. y y z z x + + = + + = + + = (0,5đ) Cộng từng vế các đẳng thức ta có : TRờng THCS Lê Đình Kiên GV : Lê THị Khơng 1 Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+. = CM . MD (0,25đ). R 2 = AC . BD (0,25đ). b .Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp (0,25đ) TRờng THCS Lê Đình Kiên GV : Lê THị Khơng 2 Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 ã ã ã ã ;MCO MAO MDO MBO = = (0,25đ) (