ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN 9. Thời gian làm bài: 120 phút ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên. Câu 2: (2 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức P = a 3 + b 3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng: 3333 2121721217;625625 −++=−++= ba (Không sử dụng máy tính cầm tay). Câu 3: (3 điểm) Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC. a Viết phương trình của đường thẳng BC. b Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 4: (5 điểm) a Cho x > 0; y > 0. Chứng minh rằng yx yxyx ; 411 ∀ + ≥+ b Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = 2 cba ++ . Chứng minh rằng nếu cbacpbpap 222111 ++= − + − + − thì tam giác đó là tam giác đều. Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b, c. Chứng minh rằng: ))(( SinCSinBSinAcbaSinCcSinBbSinAa ++++=++ Câu 6: (4 điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn. –––––––––––––– ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN 9. ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Gợi ý giải: + Để ý rằng nếu n là một số nguyên bất kì thì số dư khi chia n 2 cho 3 chỉ có thể là 0 hoặc 1 (1). (Thật vậy: Nếu n = 3k thì n 2 chia hết cho 3; nếu n = 3k ± 1 thì n 2 = 3p + 1 nên n 2 chia 3 dư 1 với k; p là các số nguyên ). + Gọi a – 1, a, a + 1 là ba số nguyên liên tiếp. Đặt m = (a – 1) 2 + a 2 + (a + 1) 2 thì m = 3a 2 + 2 (2) Vậy từ (1) và (2) suy ra tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên. Câu 2: (2 điểm) Gợi ý giải: Từ giả thiết suy ra a 3 = 10 + 3a; b 3 = 34 + 3b Suy ra P = (a 3 – 3a) + (b 3 – 3b) + 2008 = 2052. Câu 3: (3 điểm) Gợi ý giải: a + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y = 3 2 x – 3 1 + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y = 3 2 x + b. Vì N thuộc đường thẳng BC suy ra b = – 6. Vậy phương trình của đường thẳng BC là y = 3 2 x – 6 . b + Tương tự ta có PTĐT AC là y = – 5x + 28 và PTĐT AB là y = 2 7 x – 6 + Giải hệ −= +−= 6 2 7 285 xy xy ta suy ra tọa độ đỉnh A là A (4; 8) Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2) + Gọi d 1 là đường thẳng đia qua A và song song với BC, d 2 là đường thẳng đi qua C và song song với AB. Lập luận, xác định được phương trình dường thẳng d 1 là y = )1( 3 16 3 2 +x ; phương trình của đường thẳng d 2 là y = 2 7 x – 23 (2). Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta có nghiệm của hệ (x = 10; y = 12) là tọa độ giao điểm của d 1 và d 2 . Vậy D(10; 12). Câu 4: (5 điểm) Gợi ý giải: a Vì x > 0; y > 0 nên yxyx + ≥+ 411 ⇔ ⇔ (x – y) 2 ≥ 0 Vậy nếu x > 0; y > 0 thì yx yxyx ; 411 ∀ + ≥+ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. b Từ giả thiết suy ra 2 1 acb ap −+ == − > 0 ; 0 1 ;0 1 > − > − cpbp Áp dụng kết quả câu a ta có: cbapbpap 4 )(2 411 = +− ≥ − + − Tương tự, suy ra cbacpbpap 222111 ++≥ − + − + − Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cba apcp cpbp bpap bapcp acpbp cbpap ==⇔ −=− −=− −=− ⇔ = − + − = − + − = − + − 411 411 411 Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 5: (4 điểm) Gợi ý giải: Vẽ đường cao AH. Ta có SinC c SinB b HC AH SinC HB AH BSin =⇒== ; Tương tự, suy ra: 0>= ++ ++ === k SinCSinBSinA cba SinC c SinB b SinA a Vậy kSinCSinBSinAcSinCbSinBaSinA ).( ++==++ (1) Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k Suy ra: kSinCSinBSinASinCSinBSinAcba ).())(( ++=++++ (2) Từ (1) và (2) ta có đ.p.c.m. Câu 6: (4 điểm) Gợi ý giải: Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IP ⊥ AD từ đó suy ra I là trực tâm của tam giác APD. Suy ra DI ⊥ AP (1). Chứng tỏ được tứ giác DIPQ là hình bình hành, suy ra DI // PQ (2). Từ (1) và (2) suy ra AP ⊥ PQ suy ra đ.p.c.m. * Chú ý: + Điểm tối đa ở mỗi phần chỉ chấm với những bài làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch, đẹp. Điểm tổng cộng của toàn bài không làm tròn. + Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất. –––––––––––– . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN 9. Thời gian làm bài: 120 phút ––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm) Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số. là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn. –––––––––––––– ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN:. dụng máy tính cầm tay). Câu 3: (3 điểm) Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC. a Viết phương trình của đường