Đề học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng học sinh các huyện, sở (30)

đề thi học sinh giỏi toán 9 Đề 7 Cõu I: (6đ) Cho biu thc: 2 1 1 ( ) : 2 1 1 1 x x x A x x x x x + = + + + + a- Rỳt gn biu thc A. b- Tớnh giỏ tr ca A khi 7 2 6x = . c- Tỡm x A t GTLN. Câu II: (4 im) 1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca 2 2 3 5 1 x x y x + + = + . 2. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau: 11x + 18y = 120. Câu III: (2đ) Cho hệ phơng trình: ( ) += = 52 131 myx mmyxm Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho 22 yxS += đạt giá trị nhỏ nhất. Câu IV. (2đ) Giải phơng trình sau: 2 4 2 2 3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + = Câu V. (2đ) Tim x, y, z thoa man: x y z 2009 2 x 19 4 y 7 6 z 1997+ + = + + Câu VI: (4đ)Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC . Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đ- ờng tròn (O) . Gọi K là giao điểm của CF và ED a. Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trên một đờng tròn. b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ? O K F E D C B A đáp án đề 7 Cõu I: a. iu kin xỏc nh: 0 1x (0,25) 2 ( 1) ( 1) 2 . 1 1 x x x x x A x x x + + + + = 2 ( 2 1)2 2 ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x + = = + + + + (0,75) b- 2 2 2 2 1 3 1 3 ( ) 2 4 4 4 A x = = + + + (0,5). Du = xy ra 0 0x x = = (0,25) Vy giỏ tr ln nht ca A l 2 khi x = 0.(0,25) c- Vi x = 2 7 2 6 ( 6 1) = 6 1x = (0,5). Ta cú: 2 2 7 2 6 6 1 1 7 6 A = = + + (0,5) Câu II: a. Vy tp giỏ tr ca y l 1 11 ; 2 2 , do ú 11 1 ; 2 2 Max y Min y= = (4đ) b. Vậy ( ) ( ) , 6,3x y = là nghiệm nguyên dơng của phơng trình.(2đ) Câu III: Khi m -1 thì hệ có nghiệm duy nhất = += 3 1 my mx ( ) ( ) ( ) 8812104231 2 2 22 22 +=+=++=+= mmmmmyxS . Vậy 18 min == mS Câu IV:Ta coự: VT 5; VP 5. Vây hệ có nghiệm duy nhất x = 1. Câu V: Đa về dạng: ( ) ( ) ( ) 03199727119 222 =++ zyx . Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 20; y = 11; z = 2006. Câu VI: a. Ta có KEB= 90 0 mặt khác BFC= 90 0 ( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn) do CF kéo dài cắt ED tại D => BFK= 90 0 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK. b. BCF= BAF Mà BAF= BAE=45 0 => BCF= 45 0 Ta có BKF= BEF Mà BEF= BEA=45 0 (EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=> BKF=45 0 Vì BKC= BCK= 45 0 => tam giác BCK vuông cân tại B đề thi học sinh giỏi toán 9 Đề 8 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức x3 3x 1x )3x(2 3x2x 3xx P + + + = a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = 14 - 6 5 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tơng ứng của x. Bài 2: (4 điểm) a) Giải phơng trình: 1 x1x 1 1x2x 1 2x3x 1 = ++ + +++ + +++ b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: )3z42y31x2.(235zyx +++++=+++ Bài 3: (4 điểm) a) Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: 2 1 y 1 x 1 =+ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yxA += b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x375x3B += Bài 4: (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x + y + xy = 4 b) Tìm các số nguyên x để 2x2x199 2 + là số chính phơng chẵn. Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn (I) đờng kính BH cắt AB tại D. Vẽ đờng tròn (K) đờng kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE.AC b) DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K). c) Diện tích tứ giác DEKI bằng nửa diện tích tam giác ABC. Đáp án đề 8 Bài 1: (4 điểm) a) ĐK x 0, x 9 1 8 )3)(1( )1)(3()3(23 2 + + = + ++ = x x xx xxxxx P b) Ta có x = 14 - 6 5 = ( 5 - 3) 2 => 5335 ==x => P = 11 5258 c) ( )( ) 2 1 9 1 1 9 1 1 911 1 91 1 8 + ++= + += + ++ = + + = + + = x x x x x xx x x x x P áp dụng BĐT Côsi ta có: ( ) 42922 1 9 122 1 9 1 == + + + ++= x x x xP P = 4 4 1 9 1 = + =+ x x x . Vậy min P = 4 khi x = 4 Bài 2: (4 điểm) a. ĐK x 0, nghiệm của phơng trình là x = 1. b) Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: )3z42y31x2.(235zyx +++++=+++ ĐK x -1, y -2, z -3. Nghiệm của phơng trình là x = 3; y = 7; z = 13 Bài 3: (4 điểm) a) Vì x > 0, y > 0 nên 0;0;0 1 ;0 1 >>>> yx yx + Vận dụng BĐT Côsi cho 2 số dơng yx 1 ; 1 ta đợc: + yxyx 11 2 111 . Suy ra : 4 4 11 xy xy + Vận dụng BĐT Côsi cho 2 số dơng yx; ta đợc: 42.24.2.2 ==+= yxyxA Vậy min A = 4 khi và chỉ khi x = y = 4 b) ĐKXĐ: 3 7 3 5 x . Khi đó: A 2 = (3x - 5) + (7 3x) + 2 )37).(53( xx = 2 + 2 )37).(53( xx Vậy max A 2 = 4 => max A = 2 khi x = 2. Bài 4: (4 điểm) a) x + y + xy = 4 (x + 1)(y + 1) 1 = 4 (x + 1)(y + 1) = 5. Ta xó nghiệm là (0 ; 4) ; (4 ; 0) ; (-2 ; -6) ; (-6 ; -2) b) Tìm các số nguyên x để 2x2x199 2 + là số chính phơng chẵn.Vậy x { } 13 ;1 ;3 ;15 Bài 5: (4 điểm) a) Nối HD, HE thì: BDH = 90 0 ; CEH = 90 0 . áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: AH 2 = AB.AD; AH 2 = AC.AE, suy ra AD.AB = AE.AC b) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật. Ta có: IDE = IDH + HDE = IHD + DHA = 90 0 => ID DE => DE là tiếp tuyến của (I). Tơng tự ta có : DE là tiếp tuyến của (K) Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K). c) Ta có DEIK là hình thang vuông : ABCDEIK S AHBCAHIKAHHKIHDEEKDI S 2 1 2 . 2 1 2 . 2 ).( 2 ).( === + = + = . đề thi học sinh giỏi toán 9 Đề 7 Cõu I: (6đ) Cho biu thc: 2 1 1 ( ) : 2 1 1 1 x x x A x x x x x + = + + +. ABED)=> BKF=45 0 Vì BKC= BCK= 45 0 => tam giác BCK vuông cân tại B đề thi học sinh giỏi toán 9 Đề 8 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức x3 3x 1x )3x(2 3x2x 3xx P + + + = a) Rút. K nằm trên một đờng tròn. b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ? O K F E D C B A đáp án đề 7 Cõu I: a. iu kin xỏc nh: 0 1x (0,25) 2 ( 1) ( 1) 2 . 1 1 x x x x x A x x x + + + + = 2 (