Đề học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng học sinh các huyện, sở (31)

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toỏn Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bi 1 ( 6 im ) Cho P = + + 3 2 2 3 6 9 : 9 3 1 x x x x xx x x xx 1. Rỳt gn P. 2. Tỡm x P > 0 3. Vi x > 4, x 9. Tỡm giỏ tr ln nht ca P.(x + 1) Bi 2 ( 4 im ) 1. Tỡm tt c s t nhiờn n sao cho n 2 14n 256 l 1 s chớnh phng. 2. Cho: a > 0, b > 0 v ab = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = ( ) ( ) ba baba + ++++ 4 1 22 Bi 3 ( 2 im ) Cho h phng trỡnh : =+ =+ 20122012 20122012 yx yx 1. Chng minh rng : x = y 2. Tỡm nghim ca h phng trỡnh. Bi 4 ( 5 im ) Cho hai ng trũn ( O; R) v ( O ; R ) tip xỳc ngoi ti A( R > R ). V dõy AM ca ng trũn ( O ) v dõy AN ca ng trũn ( O) sao cho AM AN. Gi BC l tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn (O) v (O) vi B (O) v C (O) 1. Chng minh OM // ON. 2. Chng minh : Ba ng thng MN, BC, OO ng qui. 3. Xỏc nh v trớ ca M v N t giỏc MNOO cú din tớch ln nht. Tớnh giỏ tr ln nht ú. Bi 5 ( 3 im ) 1. Cho tam giỏc nhn ABC. Gi ha, hb, hc ln lt l cỏc ng cao v ma, mb, mc ln lt l trung tuyn ca cỏc cnh BC, CA, AB; R v r ln lt l bỏn kớnh ca cỏc ng trũn ngoi tip v ni tip ca tam giỏc ABC. Chng minh rng : r rR hc mc hb mb ha ma + ++ 2. Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng a,b sao cho : a + b 2 chia ht cho a 2 b 1. __________________________________________________________ Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2012 - 2013 M«n thi : To¸n Bài Nội dung Điểm Bài 1 (6 đ ) 1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9 P = ( )( )         + − − − − + −+ −         − − − 3 2 2 3 23 9 : 9 3 1 x x x x xx x x xx = … = x−2 2 2. P > 0     ≠≠≥ >− 9,4,0 02 xxx x  40 <≤ x 0,5đ. 0,5đ. 2,0đ. 0,5đ. 0,5đ. 3. P. ( x + 1 ) =         + − +−−= − +− 4 2 5 23 2 )1(3 x x x x Áp dụng bất đẳng thức Cô si chỉ ra Max [ ] 1256)1.( −−=+xP Chỉ ra dấu bằng  x = ( ) 2 25 + 1,0đ. 0,5đ. 0,5đ. Bài 2 (4đ) 1. Đặt n 2 – 14n – 256 = K 2 ( K є N )  ( n – 7 ) 2 – K 2 = 305  ( n – K – 7 )( n + K – 7 ) = 305 = 1.305 = 61.5 Xét các trường hợp: do n + K -7 > n – K – 7 n – K – 7 = 1 và n + K – 7 = 305 => n = 160 n – K – 7 = - 305 và n + K – 7 = -1 => n = -146 ( loại ) n – K – 7 = 5 và n + K – 7 = 61 => n = 40 n – K – 7 = -61 và n + K – 7 = -5 => n = -26 ( loại ) Vậy n = 40, K = 28 hoặc n = 160 , K = 152 2. Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương a 2 và b 2 222 2222 ==≥+ abbaba A = ( ) ( ) ( )       + +++≥ + ++++ ba ba ba baba 2 12 4 1 22 = ( ) ba ba ba ++       + +++ 4 2 . Áp dụng BĐT Cô si có A ( ) 82422 4 .22 =++=+ + ++≥ ab ba ba -> Giá trị nhỏ nhất của A=8 a = b = 1 1,0đ. 0,25đ. 0,25đ. 0,25đ. 0,25đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ Bài 3 (2đ) Điều kiện    ≤≤ ≤≤ 20120 20120 y x Từ 2 phương trình của hệ ta có : yxyx +−=−+ 20122012 <-> yyxx −−=−− 20122012 Nếu x > y thì yx −−>−− 20122012 => VT > VP ( mâu thuẫn ) Tương tự nếu x < y => VT < VP ( mâu thuẫn ) 0,5đ. 0,5đ. => x = y => Hệ     =−+ = 20122012 xx yx )2( )1( Bình phương 2 vế của pt (2) => x = 0 hoặc x = 2012 => Nghiệm của hệ ( x;y) = (0;0),(2012;2012) 0,5đ. 0,5đ. Bài 4 (5đ) 1. ' 11 OO  = ) ˆ 2180( 1 0 A −= => OM //O’N 2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’ Có : R R OM NO PO PO ''' == Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’ Do OB // O’C => R R OB CO OP OP '' ' '' == => P = P’ -> đpcm 3. MNO’C là hình thang có S = ( ) ( ) 2 ' ' 2 ' ' 2 ' 2 '' 2 RR OO RR HO RRHONOOM + =⋅ + ≤⋅ + = + Dấu “ = “ xảy ra  H ≡ O  OM ⊥ OO’ và O’N ⊥ OO’ Vậy Max S = ( ) 2 ' 2 RR + 2,0đ. 0,75đ. 0,75đ. 1,0đ. 0,5đ. Bài 5 (2đ) 1. Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Có : AA 1 = m a ≤ R + OA 1 đẳng thức xảy ra  AB = AC BB 1 = m b ≤ R + OB 1 đẳng thức xảy ra  AB = BC CC 1 = m c ≤ R + OC 1 đẳng thức xảy ra  AC = BC =>         +++         ++≤++ cbacbac c b b a a h OC h OB h OA hhh R h m h m h m 111 111 (1) Có 2S = ( a + b + c)r -> cba h S h S h S cba r S 2222 ++=++= Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) => rhhh cba 1111 =++ (2) 2S = 111111 222 OC h S OB h S OA h S OCcOBbOAa cba ⋅+⋅+⋅=++ =         ++ cba h OC h OB h OA S 111 2 => 1 111 =++ cba h OC h OB h OA (3) Từ (1),(2),(3) => r rR h m h m h m c c b b a a + ≤++ Dấu đẳng thức xảy ra  ∆ABC đều 2. Theo đề bài có : a + b 2 = K(a 2 b – 1) ( K є N* )  a + K = b( Ka 2 – b )  a + K = mb (1) Với Ka 2 – b = m ( m є N*) -> m + b = Ka 2 (2) Từ (1) và (2) có ( m – 1 )( b - 1 )= mb – b – m + 1 = a + K – Ka 2 + 1 = ( a + 1)( K + 1 – Ka ) (3) Vì m > 0 theo (1) nên ( m – 1 )( b – 1) ≥ 0 . Từ (3) => K + 1 – Ka ≥ 0 => K + 1 ≥ Ka => 1 ≥ K( a – 1 ) =>       == = ⇒ =− =− 1,2 1 1)1( 0)1( Ka a aK aK * Nếu a = 1 từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 2 => b = 2 hoặc b = 3 => (a; b) = ( 1; 2) và ( 1; 3) * Nếu a = 2, K = 1 => ( m -1)(b – 1 ) = 0 Khi m = 1 từ (1) => ( a; b ) = ( 2; 3 ) Khi b = 1 => (a; b) = ( 2; 1) Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1) 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 0,75đ. 0,25đ. . Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : Toỏn Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bi 1 ( 6 im ) Cho P = + + 3 2 2 3 6 9 : 9 3 1 x x x x xx x x xx 1 a 2 b 1. __________________________________________________________ Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2012 - 2013 M«n thi : To¸n Bài Nội dung Điểm Bài 1 (6 đ ) 1. Tìm đúng điều kiện. (3) Từ (1),(2),(3) => r rR h m h m h m c c b b a a + ≤++ Dấu đẳng thức xảy ra  ∆ABC đều 2. Theo đề bài có : a + b 2 = K(a 2 b – 1) ( K є N* )  a + K = b( Ka 2 – b )  a + K = mb (1)