Đề học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng học sinh các huyện, sở (33)

Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di ========== Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : a)A = 51 1 + + 95 1 + + 139 1 + + 20052001 1 + + 20092005 1 + b) B = x 3 - 3x + 2000 với x = 3 223 + + 3 223 Bi 2 (2,0 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ,a b ta luôn có: 2 2 a b ab + ữ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? b) Cho ba số thực , ,a b c không âm sao cho 1a b c + + = . Chứng minh: 16b c abc + . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? c) Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức 6 6 sin cosP = + có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó. Bài 4: (1,5 điểm) Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời. =============================================== Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Môn: Toán 9 Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm Bài 1.b (1,5 đ) áp dụng công thức (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b), với a= 3 223 + , b= 3 223 và biến đổi => x 3 = 6 + 3x Suy ra B = 2006 0,75 a Có A = 15 15 + 59 59 + 913 913 + + 20012005 20012005 + 20052009 20052009 Rút gọn, đợc A = 4 12009 . 0,75 Bài 2a (2,0đ) Gii, xỏc nh ỳng iu kin: 2 2 ; 2 2 x x < 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x + + = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = + = = = = = (Tha món) 0,25 0,25 0,25 0.5 0,25 0,25 0,25 Bài 3a (2,0đ) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a b a ab b a ab b ab ab + + + + = = ữ ( ) 2 0, , 4 a b a b = R Vậy: ( ) 2 2 , , 4 , , 2 a b ab a b a b ab a b + + ữ R R Dấu đẳng thức xảy ra khi a b = 0,25 0,25 b Theo kết quả câu 3.a, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 4a b c a b c a b c + + = + + + mà 1a b c+ + = (giả thiết) nên: ( ) ( ) 2 1 4 4a b c b c a b c + + + (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhng: ( ) 2 4b c bc+ (không âm) Suy ra: 16b c abc + . 0,25 0,25 0,25 Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 1 , 4 2 a b c b c a b c = + = = = = c Ta có: ( ) ( ) 3 3 6 6 2 2 sin cos sin sP co = + = + ( ) 2 2 4 2 2 4 sin cos sin sin cos cosP = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 3sin cos 1 3sin cosP = + = áp dụng kết quả câu 3.1, ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin cos 4sin cos 1 4sin cos sin cos 4 + Suy ra: 2 2 3 1 1 3sin cos 1 4 4 P = = Do đó: min 1 4 P = khi và chỉ khi: 2 2 sin cos sin cos = = (vì là góc nhọn) 0 sin 1 1 45 cos tg = = = 0,25 0,25 0,25 Bài 4 (1,5đ) + Gọi số ô tô lúc đầu là x ( x nguyên và x 2) Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1. + Theo giả thiết: Nếu số xe là 1x thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30). + Do đó ta có phơng trình: ( ) 22 1 23 1 22 1 22 1 1 x x y x y x x + = + = = + 0,25 0,25 0,25 + Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên 1x phải là ớc số của 23. Mà 23 nguyên tố, nên: 1 1 2x x = = hoặc 1 23 24x x = = Nếu 2x = thì 22 23 45 30y = + = > (trái giả thiết) Nếu 24x = thì 22 1 23y = + = < 30 (thỏa điều kiện bài toán). + Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là: 22 24 1 23 23 529 ì + = ì = học sinh. 0,25 0,25 0,25 Bài 5 (3,0đ) I E K M D O A C B Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đ- ờng trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đờng trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đờng trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ADB,ABC Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng ) 0,25 1a Ta có ã ã BAI EBA= mà ã ã 0 90BAI ABO+ = ã ã 0 90EBA ABO + = 0,25 Xét EBK có ã 0 90EBK = ,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có 2 2 2 1 1 1 BE BK BM + = 0,25 Mà BK = r , BE = BI = R; BM = 2 a Nên 2 2 2 1 1 4 R r a + = (Đpcm) 0,25 1b Xét AOB và AMI có ã ã 0 90AOB AMI= = và à A chung AOB AMI : 2 . 2 AO AM AM AB AB AO AB AI AI R = = = Chứng minh tơng tự ta đợc 2 . 2 BM AB AB BO BK r = = 0,25 0,25 Ta cã 4 2. . 2. 4 ABCD AB S AO OB Rr = = Mµ theo ®Þnh lÝ Pi ta go trong tam gi¸c vu«ng AOB ta cã 2 2 2 4 2 2 1 1 1 4 AB OA OB AB R r   = + = +  ÷   2 2 2 2 2 4R r AB R r ⇒ = + Tõ ®ã ta cã : 3 3 2 2 2 8 ( ) ABCD R r S R r = + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 . đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh. x ( x nguyên và x 2) Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1. + Theo giả thiết: Nếu số xe là 1x thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và. tờng Trờng THCS vũ di ========== Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : a)A = 51 1 + + 95 1 + + 139 1 +