π BoxMath - 2013 DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN π ĐỀ SỐ 01 ĐỀ TỰ LUYỆN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: x 3 + 3x 2 y − 24xy 2 − 52y 3 + 24y 2 + 3y = 1 x 2 + 4y 2 − 2xy − 4y = −1 Câu 2. (3,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng 18 và AB + BD + DC = 12. Tính độ dài đường chéo AC. Câu 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình sau x 3 + y 3 − 3xy = 3 Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức u 1 = 1, u 2 = 3 u n+1 = u 2 n − 4 u n−1 , ∀n ≥ 2 Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗ ta luôn có u n là số nguyên. Xác định công thức của số hạng tổng quát u n . Câu 5. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có A(1; 1) và phương trình BC là x−y +1 = 0. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết R = ( √ 3+1)r. (Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC). Câu 6. (3,0 điểm) Cho các số thực a, b, c ∈ [0; 1] . Chứng minh rằng a 2a + 1 + b 2b + 1 + c 2c + 1 ≤ 1 Câu 7. (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗ , ta luôn có: 1 (n + 2) C 1 n+1 + 1 (n + 3) C 2 n+2 + + 1 (2n + 1) C n 2n < 1 n (n + 1) HẾT . π BoxMath - 2 013 DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN π ĐỀ SỐ 01 ĐỀ TỰ LUYỆN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2 013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 18 0 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (3,0 điểm) Giải. [0; 1] . Chứng minh rằng a 2a + 1 + b 2b + 1 + c 2c + 1 ≤ 1 Câu 7. (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ∗ , ta luôn có: 1 (n + 2) C 1 n +1 + 1 (n + 3) C 2 n+2 + + 1 (2n + 1) C n 2n < 1 n. cho tam giác ABC vuông tại A có A (1; 1) và phương trình BC là x−y +1 = 0. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết R = ( √ 3 +1) r. (Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường tròn