ĐỀ THI HSG TOÁN VÒNG 2 TỈNH ĐỒNG THÁP 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP

_

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT

DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2012 - 2013

_

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Ngày thi: 28/10/2012 Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

(Đề thi gồm có: 01 trang)

Câu 1: (6 điểm)

Cho tam thức bậc hai f x( )ax2bxc với các hệ số thực thoả mãn các điều kiện

| ( ) | 1,f x    x [ 1,1] và phương trình (a2)x2bx c  1 0 có nghiệm thực

a) Chứng minh rằng

5 17

·

| ( )|f 

b) Chứng minh rằng với mọi số dương q, ta đều có

| (f qq )| q q2)

Câu 2: (4 điểm)

Xác định các hàm số f : (0,1)  thoả mãn điều kiện

( ) ( (1 )), , (0,1)

f xy  f x y x y

Câu 3: (6 điểm)

Cho tam giác đều ABC và hình vuông MNPQ nội tiếp trong cùng đường tròn ( )E bán

kính 1 Giả sử điểm I chạy trên đường tròn ( ).E

a) Chứng minh rằng IAIBIC 3 2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của p:IM INIPIQ

Câu 4: (4 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực a 3 cho trước, luôn tồn tại dãy các số nguyên

dương { }:x n x1 1, 1 2 ,

3

x  x  n 1, sao cho

1 lim 2 / 3(( )n ) .

n

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: _ Chữ ký GT1: _ Chữ ký GT2: