ĐỀ THI THỬ HSG MÁY TÍNH CASIO ĐỀ 16

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO ĐỀ SỐ 16 Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1. (5 điểm) Cho hàm số 3 2 () 6log 3 x fx x   . Tính tổng      1 2 3 100Sf f f f Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 2. (5 điểm) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: 2 2 25 () 34 x fx xx    . Tóm tắt cách giải: Kết quả: www.vnmath.com Bài 3. (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   2 ( ) 3(sin cos ) 2 3 s 2 3 3fx x x co x  Hướng dẫn: Đặt sin costxx Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 4. (5 điểm) Cho dãy hai số và có số hạng tổng quát là: n u n v  523 523 43 nn n u   và     725 725 45 nn n v   ( và ) n  1n  Xét dãy số ( n và ). 23 nn zuv n  1n  a) Tính các giá trị chính xác của . 1234 1234 ,,,; ,,,uuuu vvvv b) Lập các công thức truy hồi tính 2n u  theo 1n u  và n u ; tính 2n v  theo 1n v  và n v . c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính 22 , nn và 2n zuv   theo n ( ). Ghi lại giá trị chính xác của: 11 ,, , nnn uuvv  1, 2, 3, n  358 ,,,zzzz 910 ,z Tóm tắt cách giải: Kết quả: www.vnmath.com Bài 5. (5 điểm) Cho đa thức . 32 () 8 18 6gx x x x  a) Tìm các hệ số ,,abc của hàm số bậc ba 32 () y fxxaxbxc   , biết rằng khi chia đa thức () f x cho đa thức ()gx thì được đa thức dư là 2 () 8 4 5rx x x  . b) Với các giá trị ,,abc vừa tìm được, tính giá trị gần đúng hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số () y fx đi qua điểm B(0; 3). Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 6. (5 điểm) Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. Tóm tắt cách giải: Kết quả: www.vnmath.com Bài 7. (5 điểm) a) Tìm x biết với n P là số hoán vị của n phần tử, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử. 285 20 2 1 3 33479022340 xx xx CA Pxx   b) Tìm hệ số của số hạng chứa 728 ,, 61 x xx trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 30 35 2 1 x x     Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 8. (5 điểm) a) Tìm các số aabb sao cho  11 1aabb a a b b 1   . Nêu quy trình bấm phím để được kết quả. b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 c hữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: n 3 777 777n  . Nêu sơ lược cách giải. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 9. (5 điểm) www.vnmath.com Cho 3 đường thẳng . Hai đường thẳng và cắt nhau tại A; hai đường thẳng và cắt nhau tại B; hai đường thẳng và cắt nhau tại C. 12 3 :3 5 0; :2 3 6 0; :2 3 0dxy d xy d xy    2 ()d 3 ()d 1 ()d 1 ()d 2 ()d 3 ()d a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số). b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC và tọa độ giao điểm D của tia phân giác đó với cạnh BC. c) Tính gần đúng diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 10. (5 điểm) Cho hình chóp ngũ giác đều có cạnh đáy a = 6,74 cm, cạnh bên b = 9,44 cm a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp. b) Tính gần đúng số đo (độ, phút, giây) của góc hợp bởi mỗi mặt bên và mặt đáy của hình chóp. c) Tìm thể tích phần ở giữa hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp hình chóp đều đã cho. Tóm tắt cách giải: Kết quả: HẾT www.vnmath.com Đáp án và biểu điểm Bài 1: 3 2 () 6log 3 x fx x   0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ( 2 ^ ( ( ALPHA A ) )  ( 3 ln ALPHA A  ln 3 + 3 ) Bấm liên tiếp = = = cho đến khi A nhận giá trị 100 thì dừng, đọc kết quả ở biến B: 52.3967S   Sơ lược cách giải hoặc nêu quy trình ấm phím: 2,0 điểm  Tính đúng kết quả: 3,0 điểm Bài 2: Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 2 25 () 34 x fx xx    + Tính đạo hàm cấp để tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số: TXĐ:    2 2 2 32 2 5 '( ) 34 xx fx xx    ; 12 111 111 '( ) 0 ; 22 fx x x      : Hàm số có các điểm cực trị là 1 x và 2 x Dùng chức năng CALC để tính các giá trị cực trị: ( 2 ALPHA X x 2 + 5 )  ( ALPHA X x 2 + 3 ALPHA X + 4 ) CALC nhập giả trị 111 2  = SHIFT STO A cho , CALC nhập tiếp 1 6.557106963y  111 2  = SHIFT STO B cho . 2 0.871464465y  Khoảng cá ch giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  2 21 21 dxx yy 2 . Bấm máy: ( 11 + ( ALPHA B  ALPHA A ) x 2 ) = cho kết quả: 6.5823d  Bài 3: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   2 () 3(sin cos) 23 s2 3 3fx x x co x  Đặt   0 sin cos 2 cos 45 , 2; 2txx x t       ; 2 sin 2 1xt          2 22 () 3(sin cos) 23 s2 3 3 3 231 1 3 3 () f xxxcox t t    gt 42 () 2 3 4 3 3 3 3, 2; 2gt t t t t    3 '( ) 8 3 8 3 3gt t t , 12 3 '( ) 0 1.09445053; 0.2284251259; 0.8660254038gt t t t   123 ,, 2;2ttt    2 3 ALPHA X ^ 4  4 3 ALPHA X x 2 + 3 ALPHA X + 3 + 3 www.vnmath.com CALC nhập vào (-) 2 = ta được   2 0.4894101204g  CALC nhập vào 2 = ta được   2 8.974691495g  Tương tự, ta có: 123 ( ) 1.879839877; ( ) 5.065257315; ( ) 4.082531755gt gt gt   Vậy: ( ) 8.9747; ( ) 1.8798Max f x Min f x 2n Bài 4: 12 3 4 1, 10, 87; 740.uu u u   12 3 4 1, 14, 167, 1932vv v v  . Công thức t ruy hồi của u có dạng: 21nn uaubu    . Ta có hệ phương trình: n+2 321 432 10 87 10; 13 87 10 740 uaubu ab ab uaubu ab            n u n v Do đó: 21 10 13 nn uu   Tương tự: 21 14 29 nn vv   Quy trình bấm phím: 1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D 2SHIFT STO X (Biến đếm) ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E ALPHA = 10 ALPHA B  13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14 ALPHA D  29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F ALPHA : ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F = = = (giá trị của E ứng với u n+2 , của F ứng với v n+2 , của Y ứng với z n+2 ). Ghi lại các giá trị như sau: 35 8 910 675, 79153, =108234392, z 1218810909, z 13788770710 zz z  Bài 5: a) Các nghiệm của đa thức g(x) là: 123 13 ;2; 24 xxx   Theo giả thiết ta có: 2 () .() 8 4 5 f xqgx x x, suy ra: 11 11 1 5 5 22 42 8 (2) (2) 45 4 2 45 8 9 3 25 27 3325 16 4 2 64 442 fr abc fr abc abc fr                              Giải hệ phương trình ta được: 23 33 23 ;; 484 abc Do đó: 32 23 33 23 () 48 fx x x x   4 b) Gọi đồ thị hàm số 32 23 33 23 () 48 yfx x x x  4 là (C). www.vnmath.com Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B(0; 3) là đường thẳng :dy kx 3   có hệ số góc là . k Hệ phươ ng trình cho hoành độ tiếp điểm và hệ số góc của tiếp tuyến của (C) đi qua B là: 32 32 2 2 23 33 23 23 11 3 20 484 44 23 33 23 33 3( '( ) 3 28 28 xxx kx xx kx x kfx x x                  (1) 2) Giải phương trình (1) ta được 3 nghiệm là hoành độ của 3 tiếp điểm ứng với 3 tiếp tuyến của (C) đi qua B(0; 3): 123 2.684151552; 0.817485121; 0.6266366734xxx   Dùng chức năng CALC để tính hệ số góc của 3 tiếp tuyến tương ứng của (C): 123 5.1287; 3.2712; 12.5093kkk   Bài 6: Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất 0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x. Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là: 6 5000000 1.007 1.0115 1.009 5747478.359 ax   Quy trình bấm phím: 5000000  1.007 ^ ALPHA A  1.0115 ^ 6  1.009 ^ ALPHA X  5747478.359 ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên. Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, đến khi nhận được giá trị nguyên của X = 4 khi A = 5. Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng Bài 7: 285 20 2 1 3 33479022340 xx xx CA Pxx   3 3479022340 SHIFT STO A 2 SHIFT STO X ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : 20 nCr ( 2 ALPHA X ) + ( 2 ALPHA X + 1 ) nPr ALPHA X  ( ALPHA X  3 ) SHIFT x!  ALPHA X ^ 8  ALPHA X ^ 5  ALPHA A = = = đến khi biểu thức bằng 0, ứng với . 9X  b)   30 30 55 30 30 30 230 50 35 2 33 30 30 30 2 000 1 k k kk k kk kkk x Cx x Cx Cx x                          11 3 k    Với 11 50 28 6 3 k k . Suy ra hệ số của 28 x là . 6 30 593775C  Với 11 50 17 9 3 k k . Suy ra hệ số của 17 x là . 9 30 14307150C  Với 11 50 6 12 3 k k . Suy ra hệ số của 6 x là . 12  30 86493225C www.vnmath.com Bài 8: a) Số cần tìm là: 3388 Cách giải:   1000 100 10 1100 11 11 100aabb a a b b a b a b    2 11 111111aa bb ab   . Do đó:   1 1 1 1 100 11 1 1  a a b b a b a b      1 aabb Nếu a , điều này không xảy ra. 0101b  Tư ơng tự, nếu b , điều này không xảy ra. 1 100 1 0a  Quy trình bấm máy: 100 ALPHA A + ALPHA X  11 ( ALPHA A + 1 ) ( ALPHA X  1 ) ALPHA = 0 SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 1 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân. SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 2 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân. SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 3 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 = cho kết quả X = 8; tiếp tục quy trình cho đến khi A = 9. Ta chỉ tìm được số: 3388. b) Hàng đơn vị chỉ có 3 327  có chữ số cuối là 7. Với cac số 3 3a chỉ có 53 có 2 chữ số cuối đều là 7. 3 14877 Với các chữ số  chỉ có 753  3 53a 3 có 3 chữ số cuối đều là 7. Ta có: 3 777000 91. x xxx ; 3 7770000 198. x xxx , 35 777 10 426, ;xxx 3367 777 10 919, ; 777 10 1980, x xx xxx  ; 38 777 10 4267, ; x xx Như vậy, để các số lập phương của nó có 3 số đuôi là chữ số 7 phải bắt đầu bởi các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, , 9) Thử các số: 91753 33 3 77243 ; 198753 785129 ; 426753 77719455   Vậy số cần tìm là: n = 426753 và 426753 . 3 77719455348459777 Bài 9: a)  15 3 2 19 3; 4 , ; ; ; 84 55 AB C          b)  11 2 tan 3 tan 3 A      Góc giữa tia phân giác At và Ox là:  11 21 2 tan tan 3 tan 322 3 A             1   Suy ra: Hệ số góc của At là: 11 12 tan tan 3 tan 23 a            Bấm máy: tan ( 0.5 ( SHIFT tan -1 3 + SHIFT tan -1 ( 2 a b/c 3 ) ) ) SHIFT STO A cho kết quả: www.vnmath.com 1.3093a  + Đường thẳng chứa tia phân giác At là đồ thị của hàm số: yaxb   , At đi qua điểm (3; 4)A   nên . 34ba + Tọa độ giao điểm D của At và BC là nghiệm của hệ phương trình: . Giải hệ pt bằng cách bấm máy nhưng nhập hệ số a 23 3 xy ax y a       4 2 dùng ALPHA A và nhập hệ số c 2 dùng () 3 ALPHA A + 4, ta được kết quả: (0,9284; 1,1432)D c) 22 15 3 34 84 AB        Tính và gán cho biến A 22 15 2 19 3 85 54 BC        Tính và gán cho biến B 22 219 3 55 CA        4 Tính và gán cho biến C ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C )  2 SHIFT STO D (Nửa chu vi p) Diện tích của tam giác ABC: ( ( ALPHA D ( ALPHA D  ( ALPHA A ) ( ALPHA D  ( ALPHA B ) ( ALPHA D ) ) SHIFT STO E Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 4 abc R S  : ALPHA A ALPHA B ALPHA C  4  ALPHA E SHIFT STO F Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC: S r p  . Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:  22 22 SR r Rr    SHIFT  ( ALPHA E x 2  ( ALPHA E  ALPHA D ) x 2 = Cho kết quả 2 46,44 ( )Sc m Bài 10: A B C D E S I O M J K a) Tính bán kính đường trong ngoại tiếp đáy và trung đoạn của hình chóp: + 0 5.733386448 2sin36 a ROA  6.74 SHIFT STO A  2  sin 36 SHIFT STO B cho kết quả là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp: 5.733386448R  + Chiều ca o của hình chóp: 22 hS O b R  www.vnmath.com [...]...( 9.44 x2  ALPHA B x2 ) SHIFT STO C cho kết quả h  7.499458636 + Trung đoạn của hình chóp: 2 - Tính OI: OI  a a   Bấm máy:  d  SI  h 2  OI 2  h 2   0 0  2 tan 36  2 tan 36  ( ALPHA C x2 + ( ALPHA A  2  tan 36 ) x2 ) SHIFT STO D cho kết quả trung đoạn hình chóp: d  8.817975958(cm) 1 2 2.5 ALPHA... Phân giác góc SIO cắt SO tại K là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp đều có bán kính r 1 = KO: 1  h  r1  KO  OI tan  sin 1     d  2 ( ALPHA A  2  tan 36 ) tan ( 0.5 SHIFT sin-1 (  ALPHA C  ALPHA D ) SHIFT STO E cho kết quả: r1  KO  2,5851(cm) Trung trực đoạn SA trong mặt phẳng SAO cắt SO tại J Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có tâm J, bán kính SJ SM SO SA2 b 2   r  SJ   SJ SA 2SO . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO ĐỀ SỐ 16 Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền. và ). 23 nn zuv n  1n  a) Tính các giá trị chính xác của . 1234 1234 ,,,; ,,,uuuu vvvv b) Lập các công thức truy hồi tính 2n u  theo 1n u  và n u ; tính 2n v  theo 1n v  và. Bài 10. (5 điểm) Cho hình chóp ngũ giác đều có cạnh đáy a = 6,74 cm, cạnh bên b = 9,44 cm a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp. b) Tính gần đúng số đo (độ, phút, giây) của