đề thi thử thpt quốc gia môn toán trường chuyên khoa học tự nhiên lần 2

Chọn ngẫu nhiên một số trong tập A.. Tính xác suất để số chọn ra có tổng các chữ số là một số chẵn Câu 5.. 1,0 điểm.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.. Hai mặt bên S

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2

x 4x 3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm m để phương trình x4 4x2 3 m có 4 nghiệm phân biệt

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Giải phương trình: cos3x cosx 2sin 2x sin x 1 

1 3log x log x 1

Câu 3 (1,0 điểm)

a) Tính tích phân: 1 2

1

3x 2

dx

x 3x 2





b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

ysin x; trục hoành , x0 và x

4





Câu 4.(1,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

điều kiện:

z i  z 1 1 i 

b) Gọi A là tập hợp số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7

Chọn ngẫu nhiên một số trong tập A Tính xác suất để số chọn ra có tổng các chữ số là một

số chẵn

Câu 5 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt bên

(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Góc giữa đường thẳng SC và mặt

đáy (ABCD) bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường

thẳng BD và SC theo a

Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(-2;0) và

đường thẳng d : 3x 4y 6 0   cắt đoạn thẳng BC Khoảng cách từ B và D tới đường thẳng d

lần lượt là 1 và 3 Đỉnh C thuộc đường thẳng x – y+4=0 và có hoành độ không âm Tìm tọa

độ các đỉnh B, D

Câu 7 (1,0 điểm).Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt

phẳng: P : x y 2z 3   0và hai điểm A 2;1;3 ;   B 6; 7;8   Tìm tọa độ điểm M thuộc

mặt phẳng (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

x 5x y 3y 4

4 x 1 1 x y x y 3





TRƯỜNG ĐẠI HỌC

KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 LẦN II

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2

Câu 9 (1,0 điểm) Với các số thực: 0 a,b,c 2  thỏa mãn a  b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P 1 a  1 b  1 c

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn: Toán (Đáp án gồm 4 trang)

1

(2,0đ)

a)1,0 điểm

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1,0

b)1,0 điểm

Đưa ra được đồ thị hàm số: 4 2

y x 4x 3

Từ đồ thị hàm số phương trình x44x2 3 m có 4 nghiệm phân biệt:

1 m 3

m 0



  



0,5

(1,0đ) a) 0,5 điểm

Phương trình đã cho tương đương với:

2 sin 2x sin x 2 sin 2x sin x 1

sin x 1 sin x 1 2 sin 2x 1 0 1

sin 2 x

2

 







0,25

sin x 1 x k2

2



sin 2x

12



    





   



0,25

a) 0,5 điểm

Điều kiện: x> 0; x1

Phương trình đã cho thương đương với: 3  2

log 2x log x 1

0,25

2x x 1 2x 1 x 1 0 x

2

Vậy nghiệm của phương trình: x 1

2



0,25

3

((1,0đ)

a) 0,5 điểm

Ta có: 2 2 2

4 ln x 2 ln x 1 9 ln 2 5ln 3

1

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4

b) 0,5 điểm

Ta có: 4 2 4

1 cos 2x

2

0





0,25

4

(1,0đ)

a) 0,5 điểm

Ta có: z i z 1 1 i     z i 2 z 1 1    

Đặt: z x yi;x;y R   Thay vào (1) ta có:

x yi  i 2 x 1 yi 

0,25

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn

tâm I 2; 1   ; bán kính R = 2

0,25

b) 0,5 điểm

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã có 4 chữ số lẻ là: 4! 24

(số)

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho mà có 2 chữ số chẵn, 2 chữ

số lẻ là: C C 4!24 23 432 (số).Vậy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ

số đã cho mà tổng các chữ số là chẵn là: 432 24 456(số)

0,25

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho là:

4

7

A 840 (số) Vậy xác suất cần tìm là: P 456 19

840 35

0,25

5

A

D

M Vì: SAB  ABCD ; SAD    ABCD

0,25

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5

Ta có   2

dt ABCD a ;ACa 2

S.ABCD

SA a 2 V SA.dt ABCD

0,25

Lấy M đối xứng với A qua B ta có BD//MC

d BD;SC d BD; SCM  d B; SCM 

0,25

Ta có: SC 2a;MC a 2;MS a 6  

3

2 SMBC S.ABCD

Do đó:     3V SBMC  a

dt BD;SC d B; SMC

dt SMC 2

0,25

6

(1,0đ)

B

C E

F

Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D, C trên d, F là hình chiếu

vuông góc của C trên DK

Ta có: ABH CDF ch gn  DFBHCEKF2

0,25

Vì C thuộc đường thẳng x y 4 0   nên C t;t 4

Ta có: d C;d  2 3t 4 t 4 6 t t 10 10

5

t 0

C 0;4

t 20 loai





0,25

Ta có: AC 2;4 Gọi I là trung điểm AC  I 1;2 Suy ra phương trình

đường thẳng BD là: x 2y 3   0 B 3 2t;t  

Vì d B;d 1 nên 3 3 2t  4t 6 t 1



0,25

- Với t 1 B 1;1 ;D  3;3

- Với t = 2 B1;2 (loại vì khi đó B, C nằm cùng phía đối với d)

Vậy: B 1;1 ;D  3;3

0,25

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6

7

(1.0đ)

Ta có: 2 1 2.3 3 6 7 2.8 3        0 nên A, B nằm cùng một phía đối với (P)

Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) là:

y 1 t

z 3 2t

 



  



  



0,25

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) H 2 t;1 t;3 2t    

Vì H P     2 t 1 t 2 3 2t      3 0 t 1 H 1;0;1 

0,25

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P) A 0; 1; 11    Phương trình đường

thẳng A1B là :

x 2s

y 1 2s





  



   



Gọi M1 là giao điểm của A1B và (P)

Suy ra : M 2; 3;21  

0,25

Ta có : MA MB MA1MBA B1

Do đó : MA MB min A B1 MM1 Vậy M 2; 3;2  

0,25

8

(1.0đ) Điều kiện :

x y 0

x 1 0

 



  



Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :

x y 4 x y 1 0

x y 1 0

  





0,25

x y 4 0 y 4 x

       thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :

8 x 1 1 7 x ;y TMDK

64 64



0,25

x y 1 0 y x 1

       thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :

4 2x 1 x 1 1  2 x 1 *

x 1 u; 2x 1 v v0;u0 2 x 1 3v 4u 1 Thay vào phương trình  * ta có:

4v u 1 3v 4u  1 2u 3v 1 2u v 1     0 2u v 1 0  

0,25

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm :   289 33  

x;y ; ; 5;4

64 64



0,25

9

(1,0đ)

Ta chứng minh : 1 a  1 b  1 1 a b *  Thật vậy :

 *     1 a 1 b 2 1 a 1 b       1 1 a b 2 1 a b

1 a 1 b  1 a b ab 0

        (luôn đúng)

0,25

Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử : a b c  0,25

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7

Suy ra: 1 c 2 Theo (*) ta có: P 1 1 a  b 1 c  1 4 c  1 c

Xét hàm: f c  1 4 c  1 c;1 c  2

Ta có: /  1 1 /  3

2

0,25

Ta có:     3

f 1 f 2 1 2 3;f 1 10

2

 

  Vậy: P 1 2 3

Với a0;b 1;c 2 thì P 1 2 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 1 2 3

0,25