Hai số tự nhiờn x và 2x đều cú tổng cỏc chữ số bằng y.. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đú C chuyển đi làm việc khỏc, A cựng làm với B tiếp tục hoàn thành cụng việc cho đến xo
Trang 1phòng Giáo dục & Đào tạo
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 điểm ) Tỡm x thỏa món một trong cỏc điều kiện sau:
1 x+30%x= −1,3
− −
≤
≤
−
⋅
4
3 2
1 3
1 3
2 2
1 6
1
3
1
4 x (x∈z)
3 | x | + x = 0
Cõu 2 ( 5 điểm )
1 Tỡm a, b là số tự nhiờn biết:
15
2 2
5 − =
b
a
(a,b ≠0)
2 Hai số tự nhiờn x và 2x đều cú tổng cỏc chữ số bằng y
Chứng minh rằng: x chia hết cho 9.
3 Chứng minh rằng :
2
1 10000
1 196
1 144
1 100
1 64
1 36
1 16
1 4
1
<
+
⋅⋅
⋅ + + + + + + + Cõu 3 ( 3 điểm )
Cựng một cụng việc nếu mỗi người làm riờng thỡ 3 người A, B, C hoàn thành cụng việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đú C chuyển đi làm việc khỏc, A cựng làm với B tiếp tục hoàn thành cụng việc cho đến xong Hỏi A làm trong mấy giờ?
Cõu 4 ( 5 điểm )
Cho: xoy = 1200, xoz = 500 Tớnh xom biết rằng om là tia phõn của gúc yoz Cõu 5 ( 1 điểm )
Tỡm số tự nhiờn x biết tổng cỏc chữ số của x bằng y, tổng cỏc chữ số của y bằng z và x + y + z = 60.
Đề chính thức
Trang 2(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 điểm )
1 Tỡm x thỏa món một trong cỏc điều kiện sau :
a, ( )
121
9 3
2x+ 2 =
b, , | x – 5 | = 5- x
2 Chứng minh đa thức x2 + 2x + 2 khụng cú nghiệm.
Cõu 2 ( 4 điểm )
Cho:
d
c b
a
= ( a , b , c , d ≠ o , a ≠ ± b , c ≠ ± d ) Chứng minh:
a,
d c
c b
a
a
+
=
c b a
a
−
=
( ) cd
ab d
c
b
−
− 2 2
Cõu 3 ( 4 điểm )
1 Chứng minh rằng với mọi a,b ∈ Q ta cú : | a + b | ≤ | a | + | b |
2 So sỏnh 12723 và 51318
Cõu 4 ( 5 điểm )
Cho tam giỏc ABC vuụng ở C, đường cao CD Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc ACD và DCB cắt cạnh huyền AB theo thứ tự ở K và M.
a, Chứng minh: ∆ ACM cõn.
b, Chứng minh điểm cỏch đều 3 đỉnh của ∆KCM thỡ cũng cỏch đều ba cạnh của ∆ABC.
Cõu 5 ( 1 điểm )
Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c, d, e, f biết :
f
e d
c b
a
>
> và af – be = 1 Chứng minh : d ≥ b + f
Trang 3
phòng Giáo dục & Đào tạo
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 điểm )
1 Giải phương trỡnh:
a, | 2x - 3 | = - x + 21
b, 9x2 + 6x – 8 = 0
2 Chứng minh bất đẳng thức 1
1
1 2
2
<
−
−
+
−
x x
x x
Cõu 2 ( 5 điểm )
1 Tỡm cỏc hằng số a, b để :
x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho x2 – x – 2 với mọi x є Q.
2 Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn
x2 +2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0
Cõu 3 ( 2 điểm )
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của :
A= a3 + b3 + c3 biết a, b, c lớn hơn -1 và a2 + b2 + c2 = 12
Cõu 4 ( 7 điểm )
Cho tam giỏc ABC Gọi P là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong của tam giỏc đú Đường thẳng qua P và vuụng gúc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và
N Chứng minh rằng:
a, ∆ AMP ~ ∆ APB
b, 22
BP
AP BN
AM =
c, BC AP2 + CA BP2 + AB CP2 = AB BC CA
Đề chính thức
Trang 4Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(6 điểm) 1 1 10030 = −1013
+
x
10
13 10
13 = −
x -> x = -1
2
12
11 3
2 3
1 3
13⋅− ≤ x≤ ⋅−
18
11 9
13≤ ≤ −
−
x -> x= - 1
3 / x / = -x -> x ≤ 0
1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 2,0đ
Câu 2
(5 điểm) 1 15
2 2
5−b =
a
15
2 3 15
2 5
2 = a− = a−
b
-> b( 3a - 2 ) = 30
-> 3a – 2 ∈ Ư(30)
Do 3a – 2 chia 3 dư 1 -> 3a – 2 = 1 hoặc 10
-> (a, b) = ( 4, 3); (1, 30)
2 Do 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9
Do đó hiệu của chúng chia hết cho 9
Ta có 2x – y 9 và x – y x
=> ( 2x – y ) – ( x – y) 9
-> x 9
3 S =
10000
1 196
1 144
1 100
1 64
1 36
1 16
1 4
= 2 2 2 2
100
1 6
1 4
1 2
1
+
⋅⋅
⋅ + + +
+ + + + + + +⋅ ⋅⋅+
2 2
2 2 2 2
1 7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2
1 1 4 1
Do
2500
1 2499
1 4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1 50
1 3
1 2
1
2 2
2 + +⋅ ⋅⋅+ < − + − + − +⋅ ⋅⋅+ − = 1
2500
1
1− <
-> S <
2
1 ) 1 1 ( 4
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3
(3 điểm) Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được 6( )
1
CV , ( )
8
1
CV , )
( 12
1
CV , B và C làm được ( )
24
5 12
1 8
1
CV
=
Trang 52 giờ B và C làm được ( )
12
5 2 24
5
CV
=
⋅
A và B làm được ( )
12
7 12
5
1 giờ A và B cùng làm được: ( )
24
7 8
1 6
1
CV
= + Thời gian A cùng làm với B là: 2
24
7 : 12
7 = giờ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Câu 4
(5 điểm)
2 trường hợp :
a, Trường hợp 1 : 2 tia oy, oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ ox
xoz = 500 < 1200 = xoy -> oz nằm giữa
ox và oy
yoz = xoy – xoz = 1200 – 500 = 700 zom = yoz2 = 350
xom = xoz + zom =500+ 350 = 850
b, Trường hợp 2 : 2 tia oy và oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ ox
Từ đầu bài -> 0x nằm giữa 2 tia oy và oz
yoz = 1200 + 500 = 1700 zom = =
2
170
850
xom = 850 – 500 = 300
0,5đ 1,0đ
1,0đ
0,5đ 1,0đ
1,0đ Câu 5
(1 điểm) Từ đầu bài ta có x là số có 2 chữ số Đặt x = x = 10a + b -> y = a + b, z có 2 trường hợp :ab
* Nếu y = a + b ≤ 9 -> z = a + b ta có : ( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20
b 4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9)
* Nếu y = a + b ≥ 10 -> z = a + b – 9
Ta có : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60 -> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7
-> ab = 44, 47, 50
0,5đ
0,5đ
Trang 6Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(6 điểm) 1 a, ( 2x + 3)2 =
2
11
3 121
9
±
=
=> x =
11
15
− hoặc x=
11
18
−
b, | x – 5| = 5 – x = - ( x – 5 )
<-> x – 5 ≤ 0 <-> x ≤ 5
2 x2 + 2x + 2 = x2 + x + x +1 + 1
= (x + 1)2 + 1 > 0 -> đpcm
1,0đ 1,0đ
1,0đ 1,0đ
1,0đ 1,0đ
Câu 2
(4 điểm) Chứng minh câu a, câu b mỗi câu cho 1 điểm
c,
d
c b
a
= ->
d c
b a d
b c
a
−
−
=
=
2
d c
b a d c
b a d c
b a d
b c
a cd
ab
−
−
=
−
−
⋅
−
−
=
⋅
=
2,0đ 1,0đ 1,0đ
Câu 3
(4 điểm)
1 a, Nếu a +b ≥ 0 -> | a + b| = a + b
Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q )
-> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1)
b, Nếu a + b < 0 -> | a+b | = - a – b
mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b |
-> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | (2)
Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ra ab ≥ 0
2 12723 < 12823 = (27)23 = 2161
51318 > 51218 = (29)18 = 2162 -> 51318 > 12723
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
1,0đ 1,0đ
Câu 4
(5 điểm)
1, AMC = B ˆ C+ ˆ2 , ACM = ACD + Cˆ1
Do Cˆ1 = Cˆ2, Bˆ = ACD -> ACM = AMC
Trang 72 CM tương tự ta có BC = 8K.
Vậy đường thẳng chứa tia phân giác của góc A cũng là đường trung
trực của CM
Và đường thẳng chứa tia phân giác của góc B cũng là trung trực của
CK
=> Giao điểm 3 đường trung trực của ∆KCM trùng với giao điểm 3
Câu 5
(1 điểm) d = d( af – be ) = adf – bed
= ( adf – bcf ) + ( bcf – bed )
= f( ad – bc ) + b ( cd – ed )
≥ f.1 + b.1 = f + b
0,5đ 0,5đ
Trang 8Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(6 điểm) 1 a, | 2x -3 | = - x + 21 x = 8 , x = - 18
b, 9x2 + 6x – 8 = 9x2 – 6x + 12x – 8
= ( 3x – 2)( 3x + 4) = 0
-> x =
3
2 , x =
3
4
−
2 Xét hiệu :
1
2 1
2 1
1
1
2 2
3
2
+
−
−
=
−
−
=
−
−
−
+
−
x x x
x x
x
x x
Do x2 - x + 1 > 0 -> 0
1
2
2 <
+
−
−
x
x -> đpcm
2,0đ
1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ
Câu 2
(5 điểm) 1 x
4 – 9x3 + 21x2 + ax + b = ( x2 – x – 2) Q(x) ∀(x) = ( x + 1)(x – 2 ) Qx
Với x = -1 có: -a + b = -31
x = 2 có: 2a + b = - 28
-> a = 1, b= -30
2 Pt <-> ( x + y)( x + 2y – 1) = -3 = 1.(-3) = 3 ( -1)
Xét 4 trường hợp ta có :
(x ; y) = ( -8 ; 5), ( -6 ;5), (6 ;-3), (4 ;-3)
1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,5đ 1,0đ
Câu 3
(2 điểm)
( a3 +1) - 3(a2 – 1) = (a + 1)( a2 – a + 1) – 3( a - 1)( a +1)
= = ( a + 1)( a – 2)2 ≥ 0 ( do a > - 1 ) -> a3 – 3a2 ≥ - 4 , tương tự b3 – 3b2 ≥ - 4, c3 – 3c2 ≥ - 4 -> ( a3 + b3 + c3 ) – 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ - 12
-> B – 36 ≥ -12 -> B ≥ 24 ->GTNN B = 24 <-> a = b = c= 2
1,0đ 0,5đ
0,5đ
Câu 4
(7 điểm)
a, AMP = 900 +
2
C
APB = 900 +
2
C
BNP = 900 +
2
C
A1 = A2
-> ∆ AMP ~ ∆ APB
1,0đ 1,0đ
1,0đ
Trang 9b, CM tương tự : ∆ APB ~ ∆PNB
=> ∆AMP ~ ∆ APB ~ ∆PNB
=>
NB
PN PB
AP MP
AM = = => 22
PB
AP NB
PN MP
AM ⋅ = => 22
BP
AP NB
AM = ( do MP = NP )
c, Do ∆AMP ~ ∆PNB =>
NB
PN MP
AM = => AM.NB = MP.PN = MP2
=> AM.NP = CM2 – CP2 = ( CA–AM )(CB–BN ) – CP2
= CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2
=> AM.CB + BN.CA+ CP2 = CA.CB
=> AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2.AB = AB.BC.CA (1)
Từ câu (b) có :
AB
AP AP
AM = -> AM.AB = AP2 (2)
AB
BP
BP
BN = -> BN.AB = BP2 (3)
Từ (1), (2), (3) ->đpcm
0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ
0,5đ
0,5đ