bất biến GAUGE và hình thức luật BRSTE

1 bộ giáo dục và đào tạo trờng Đại học s phạm hà nội 2 đinh xuân cấp bất biến gauge và hình thức luận brst Luận văn thạc sĩ vật lý hà nội, 2010 2 bộ giáo dục và đào tạo trờng Đại học s phạm hà nội 2 đinh xuân cấp bất biến gauge và hình thức luận brst Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số : 60 44 01 Luận văn thạc sĩ vật lý Ngời hớng dẫn khoa học : PGS - TS. Nguyễn Thị Hà Loan hà nội, 2010 3 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS - TS Nguyễn Thị Hà Loan về sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của cô trong suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện và hoàn thành luận văn này. Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm, các thầy cô, trong khoa Vật Lý Trờng Đại Học S Phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, tận tình giảng dạy, chỉ bảo trong quá trình thực hiện luận văn này và cả quá trình học tập, nghiên cứu của chúng em trong suốt hai năm qua. Tôi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Đinh Xuân Cấp 4 Lời Cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực và cha từng đợc công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Đinh Xuân Cấp 5 Mục Lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục 3 Mở Đầu 5 Nội Dung 6 Chơng 1 : Dây BOSON 6 1.1 Tác dụng dây trên lá thế 6 1.2 Phơng trình chuyển động. Khai triển mode 9 1.3 Bất biến Poincaré D - chiều 11 1.4 Lợng tử hoá dây boson 14 1.5 Đại số Virasoro 17 1.6 Các trạng thái kích thích 21 Chơng 2 : Lý thuyết trờng Gauge 25 2.1 Bất biến Gauge 25 2.1.1 Đạo hàm hiệp biến 26 2.1.2 Tơng tác giữa trờng vật chất i và trờng Gauge 28 2.2 Phá vỡ bất biến tự phát 29 2.3 Cơ chế Higgs 36 Chơng 3 : Hình thức luận BRST 43 3.1 Tải BRST cho nhóm đối xứng Gauge 43 3.1.1 Nhóm đối xứng Gauge 43 3.1.2 Tải BRST cho nhóm đối xứng Gauge 45 3.2 Tải BRST cho đại số lợng tử SU(2) 48 3.2.1 Đại số SU(2) 48 3.2.2 Tải BRST cho đại số lợng tử SU(2) 52 3.3 Tải BRST cho đại số lợng tử SU (2) q 57 6 3.3.1 §¹i sè biÕn d¹ng mét th«ng sè SU (2) q 57 3.3.2 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU (2) q 60 3.4 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU(2) pq 70 3.4.1 §¹i sè biÕn d¹ng hai th«ng sè SU(2) pq 70 3.4.2 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU(2) pq 73 3.5 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU(2) {q} 74 3.5.1 §¹i sè SU(2) {q} tæng qu¸t. 74 3.5.2 T¶i BRST cho ®¹i sè lîng tö SU(2) {q} 77 KÕt luËn 78 Tµi liÖu tham kh¶o 79 7 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong vũ trụ các hạt vi mô tác động lẫn nhau qua bốn loại tơng tác cơ bản : manh, yếu, điện, từ và hấp dẫn. Xây dựng đợc một lý thuyết thống nhất các tơng tác cho phép ta hiểu sâu hơn về bản chất của các hiện tợng, các mối quan hệ động lực từ đó tiên đoán đợc hàng loạt các hệ quả vật lý mới. Một phơng hớng hiện nay đợc xem là có triển vọng nhất để xây dựng lý thuyết thống nhất là lý thuyết dây. Lý thuyết dây đã đợc nhiều nhà vật lý trong nớc và quốc tế quan tâm nghiên cứu và đã có những bớc phát triển quan trọng. Có thể nghiên cứu lý thuyết tơng tác của các dây lợng tử dựa trên hình thức luận BRST ( Becchi - Rollet - Stora - Tiutin ). Chính vì thế ở đề tài này chúng tôi nghiên cứu và xây dựng hình thức luận BRTS cho các nhóm đối xứng lợng tử. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng hình thức luận BRTS cho nhóm đối xứng lợng tử SU(2) 3. Nhiệm vụ nghiên cứu * Nghiên cứu tổng quan về nhóm đối xứng lợng tử * Nghiên cứu lý thuyết dây * Nghiên cứu tổng quan về đại số lợng tử * Tìm hiểu tổng quan về bất biến Gauge * Nghiên cứu hình thức luận BRST cho đại số lợng tử 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hình thức luận BRST cho nhóm đối xứng SU(2) biến dạng 5. Phơng pháp nghiên cứu - Dùng các phơng pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết. - Dùng các phơng pháp của nhóm đối xứng lợng tử. 8 Nội dung Chơng 1 : Dây BOSON 1.1. Tác dụng dây trên lá thế Lý thuyết trờng lợng tử tơng ứng với quan niệm hạt là đối tợng không kích thớc - điểm theo nghĩa toán học. Để giúp hiểu sâu hơn về khái niệm hạt dây, ta hãy nhắc sơ qua về hạt điểm. Khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt điểm vạch nên một đờng gọi là đờng thế (xem hình vẽ) đờng thế 2 1 x () Vị trí của hạt có thể mô tả bởi hàm vector x () phụ thuộc vào thông số nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, là chỉ số Lorentz khái quát trong không - thời gian D chiều, = 0, 1, 2, , D - 1 Chuyển động của hạt điểm trong không - thời gian Minkowski với metric. = diag(1,-1,,-1) đợc mô tả bởi tác dụng S = xxed .)( 1 (1.1.1) Trong đó e() là một hàm nào đó, đóng vai trò nh metric dọc theo quỹ đạo, d d Tác dụng (1.1.1) bất biến đối với phép biến đổi tổng quát. -> = f () 9 e() -> e () = ' d d . e () Thật vậy, ta có: S = xxed '' '1 .)'(' = 2 1 ' ' )(' d d xx d d ed = xx d d ed . ' )(' 1 = Sxxed .)( 1 Tính bất biến này có thể sử dụng để đặt e () = 1. Lúc này ta nói rằng đã dùng conformal gauge, và viết lại (1.1.1) thành: S = xxd . (1.1.2) Phơng trình Euler - Lagrange áp dụng với x , 0 )( x L x L dẫn tới phơng trình 0 2 2 d xd có nghiệm tơng ứng với đờng thẳng trong không - thời gian Minkowski. Khi xem hạt là đối tợng có kích thớc một chiều - dây, thì cách tiếp cận cũng tơng tự. Khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt dây sẽ quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình vẽ). 2 1 lá thế X (, ) 10 Vị trí của dây trong không - thời gian đợc xác định bởi hàm X (, ) phụ thuộc hai thông số và , có thể hiểu nh thời gian riêng của dây, -<<+, có thể hiểu nh độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, với các giá trị đợc chọn trong khoảng 0 . Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết: = (,), 0 = , 1 = Đa vào các metric tensor trên lá thế h và h với các tính chất. h = h , h = h , h , h = và biến đổi theo quy luật h () -> h (' ) = '' . . h () (1.1.3) h () -> h (' ) = ' . . h () dới tác dụng của phép biến đổi tổng quát = = f () (1.1.4) Chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác dụng . 2 1 2 hhdS (1.1.5) trong đó: ,h h det 2 011100 hhh Tác dụng (1.1.5) không những chỉ bất biến đối với phép biến đổi tổng quát, mà còn bất biến đối với phép biến đổi Weyl định xứ metric, h () -> () . h () (1.1.6) vì lúc này hhhhh .)(.))((.h- 12 [...]... L0( ) bất biến với điều kiện buộc đơn giản Nếu x tính bất biến của L0( ) không tồn tại nữa i e ig b x M b i i i' e ig a x M a i ig b x M b e iga x M a i Số hạng động năng không bất biến Để bất biến đưa vào n trường Gauge Aa (a=1, ,n) (đối với nhóm n thông số) và định nghĩa đạo hàm hiệp biến D igAa M a D i i igAa ( M a ) i Đòi hỏi các trường Gauge biến đổi thế... 2 Để L0( ) bất viến đối với phép biến đổi Gauge ta làm như trên thay D i D i i ig A i i D i i ig A i Kết quả L0( ) L ( , A ) = L0( ) + Lint ( , A ) Trong đó Lint ( , A ) = ig A A g 2 A A Từ lý thuyết bất biến Gauge tương tác của trường Gauge với các trường khác một cách đơn giá 2.2 Phá vỡ bất biến tự phát Về hình thức thì bất biến trong chân... thế nào để D biến đổi tương tự dưới tác dụng của nhóm biến đổi G D D i e iga x M a D ' i Nếu Aa biến đổi theo quy luật ' Aa i S x S 1 x S x A x S 1 x g 29 SS 1 S S 1 A Aa x M a S x e ig a x M a Thì số hạng động năng sẽ bất biến G U 1, M a 1 A A x ' Lúc đó A x A x x Công thức quen thuộc trong QED biến đổi điện tích chẳng qua là phép biến đổi U(1) Xét biến đổi VCB... p 2 1.3 Bất biến Poincaré D - chiều Xét các phép biến đổi Poincaré trong không - thời gian D chiều: X -> X = AvXv + a (1.3.1) Đối với lá thế thì phép biến đổi này có tính toàn cục (các thông số Av và a không phụ thuộc ), và tính bất biến Poincaré gắn liền với các dòng Noether trên lá thế Phương thức xây dựng các dòng này cũng thực hiện theo sơ đồ tổng quát, có thể tóm tắt như sau: Xét phép biến đổi... các tachyon về mặt lý thuyết là một trong những vấn đề trọng tâm được nhiều người quan tâm 27 Chương 2 : Lý thuyết trường Gauge 2.1 Bất biến Gauge Mọi lý thuyết tương tác dựa trên bất biến Gauge Giả sử có một nhóm đối xứng G có n thông số, các vi trở Ta (a = 1, , n) Thỏa mãn hệ thức giao hoán [Ta, Tb] = ifabc Tc (2.1.1) fabc : hằng số cấu trúc của nhóm Giả sử ta có một p đa tuyến các hạt (hoặc trường... nhất thức Jacobi của fabc 28 ' a a e ig M a b b e igb M b M b a M b ac c ac c Nếu x : phép biến đổi global x : phép biến đổi Local 2.1.1 Đạo hàm hiệp biến L0( ) : là Lagrangian tự do của một trường nào đó Trong đó nó có chứa số hạng động năng chứa đạo hàm theo không gian và thời gian của trường Nếu chỉ xét phép biến đổi ' D A A S S 1 SA S 1 SD S 1 Global L0( ) bất. .. cho nên với bất kỳ toán tử F nào ta đều có: : m nv :, F m nv , F và do đó có thể viết: Ln , Lm 1 k ,nk , v1 v ,m1 4 (1.5.5) k ,l áp dụng đồng nhất thức dạng [AB, CD] = [A, C]DB + C[A, D]B + A[B,C]D + AC[B,D] (1.5.6) vào vế phải của (1.5.5) và sử dụng hệ thức (1.4.6) ta tính được Ln , Lm (n m) 1 k ,nmk 2 k (1.5.7) Lại chú ý rằng ta cần phân biệt tích normal và tích bình... vỡ bất biến tự phát Về hình thức thì bất biến trong chân không thì không bất biến Xét nhóm G = U(1) và giả sử xét bất biến Global Xét trường vô hướng với Lagrangian có dạng : 32 Lagrangian của hạt vô hướng với khối lượng 2 2 và với tương tác -> L = 2 2 ở đây chưa buộc gì cho số hạng 2 ( có thể phức) Phép biến đổi U(1) ' e iQe iQ e iq Q : vi tử của U(1) q : một số nào đấy... 2 Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.2.8) và (1.2.9) ta tính được: 1 L n Ln k ,n k 2 k (1.5.2) với dây mở, và ~ L n Ln Ln (1.5.3) ~ 1 ~ ~ Ln k ,nk 2 k với dây đóng Từ định nghĩa (1.5.1) cũng như từ các biểu thức (1.5.2), (1.5.3) ta nhận thấy rằng: 20 ~ ~ Ln Ln L Ln , n ~ ~ Bây giờ hãy xem n , n với n > 0 như các toán tử huỷ, n , n như ~ các toán tử sinh, và định nghĩa... D SD S ' 1 ' A S S 1 SA S 1 Xét biến đổi a x bé Fa Fa const 2.1.2 Tương tác giữa trường vật chất i và trường Gauge 2.1.2.1 Trường i SPINOR (vật chất) i=1,p Lagrangian của trường Spinor không tương tác i 2 L0( ) = m L0( ) không bất biến đối với phép biến đổi Gauge Để khắc phục ta phải thay D , D D ( D ) Thay , D bằng , D tương ứng D i i igAa M a i . hiểu tổng quan về bất biến Gauge * Nghiên cứu hình thức luận BRST cho đại số lợng tử 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hình thức luận BRST cho nhóm đối xứng SU(2) biến dạng 5. Phơng. 2 bộ giáo dục và đào tạo trờng Đại học s phạm hà nội 2 đinh xuân cấp bất biến gauge và hình thức luận brst Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số. 25 2.1.1 Đạo hàm hiệp biến 26 2.1.2 Tơng tác giữa trờng vật chất i và trờng Gauge 28 2.2 Phá vỡ bất biến tự phát 29 2.3 Cơ chế Higgs 36 Chơng 3 : Hình thức luận BRST 43 3.1