Tán xạ hạt dirac trên thế ngoài và hình thức luận hai thành phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGOÀI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGOÀI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số : 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, Tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuyết, toàn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hoàn thành Bản luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô Khoa Vật lý hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành Bản luận văn Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2015 Học viên Vũ Thị Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………………………… CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH CHO HẠT Ở TRƢỜNG NGOÀI TRONG GẦN PHI TƢƠNG ĐỐI TÍNH 1.1 Phương trình Klein – Gordon hạt trường gần phi tương đối tính……………………………………………………………………… 1.2 Phương trình Dirac hạt trường gần phi tương đối tính CHƢƠNG 2: BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI NHẴN 2.1 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trường dựa vào phương trình Klein- Gordon 2.2 Biễu diễn Glauber cho biên độ tán xạ trường dựa vào phương trình Dirac 12 CHƢƠNG 3: TÁN XẠ TRÊN CÁC THẾ CỤ THỂ YKAWAVÀ THẾ GAUSS 18 3.1 Tán xạ Ykawa 18 3.2 Tán xạ Gauss 20 KẾT LUẬN……………………………………………………………………….……………………26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 PHỤ LỤC A 28 PHỤ LỤC B 32 PHỤ LỤC C 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ nhận học lượng tử [7], sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm tán xạ hạt với lượng cao xung lượng truyền nhỏ Việc mở rộng cách tiếp cận ( gần eikonal) để thu biểu diễn tương tự cho học lượng tử tương đối tính hay lý thuyết trường lượng tử [11-15] thiết thời Một số cố gắng [8.9] việc nghiên cứu tán xạ lượng cao dựa vào phương trình chuẩn Logunov Tavkhelidze cho biên độ tán xạ lí thuyết trường lượng tử [10] Cách tiếp cận dựa giả thiết chuẩn nhẵn V ( E, r ) mô tả tương tác của hardon mức lượng cao hàm toạ độ tương đối tính hạt r Tán xạ xem trình chuẩn cổ điển trình tán xạ góc nhỏ [8,9]và tán xạ góc lớn [5] Đặc biệt theo [8] có biểu diễn tích phân gần với biểu diễn Glauber biên độ tán xạ hạt tương đối tính tán xạ nuclei phép gần eikonal [8,9] có giá trị biên độ tán xạ hai hạt lượng cao spin với góc tán xạ nhỏ chuẩn nhẵn Để làm rõ vai trò quan trọng chuẩn nhẵn [19-24] Trong Luận văn giới thiệu phương pháp giải phương trình Schrodinger với chuẩn trường nhẵn, điều kiện Unita với đóng góp tán xạ không đàn hồi, tìm tiệm cận biên độ tán xạ đàn hồi mức lượng cao Sự phân tích bán tượng luận kết biên độ tán xạ ảnh hưởng phân cực tán xạ pion-nucleon cho ta kết phù hợp Thực nghiệm máy gia tốc RHIC – EPJC 28(2006)83-89 [26-29] đòi hỏi phải khái quát hóa phép gần eikonal cho toán tán xạ lượng cao với hạt tán xạ với spin Bài toán mô tả hạt tán xạ có spin ½ thảo luận hình thức luận hai thành phần Lưu ý biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hạt Dirac chuyển động tương đối tính trường Culomb tính [17] [18].Tuy nhiên phương pháp kể áp dụng cách tổng quát, chẳng hạn trường vô hướng trường giả vô hướng, cụ thể nghiên cứu tương tác hardon vùng lượng cao Phương pháp trình bầy luận văn tổng quát hơn, áp dụng cho tuỳ ý Lý xem xét hình thức luận hai thành phần gần phi tương đối tính hai thành phần cho hai trường hợp phương trình KleinGordon phương trình Dirac trường Mục đích Luận văn Thạc sỹ nghiên cứu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt có spin ½ nhẵn dựa sở phương trình tương đối tính cho hạt trường ngoai, cụ thể phương trình Klein- Gordon phương trình Dirac trường Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chương Phương trình cho hat trường gần phi tương đối tính Chương dành cho việc thực gần phi tương đối tính cho phương trình tương đối tính Klein- Gordon Dirac cho toán tán xạ hạt nhanh trường Việc tách phần không phụ thuộc vào thời gian khỏi phương trình tương đối tích, giúp ta tách đại lượng lượng E dạng tường minh.Khi lượng hạt lớn việc so sánh đại lượng khác toán dễ dàng gần phi tương đối tính hình thức luận hai thành phần.Trong mục 1.1 ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Klein – Gordon Một cách hoàn toàn tương tự ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Dirac mục 1.2 Chương Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ nhẵn Với giả thiết trường hàm nhẵn rút biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt nhanh với góc tán xạ nhỏ Trong mục 2.1 ta xét toán tán xạ trường mà bao gồm hai số hạng: trường trường tương tác spin – quỹ đạo dựa vào phương trình Klein – Gordon Mục 2.2 dành cho việc xem xét toán tương tự Khác với toán tán xạ hạt spin, biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt có spin ½ , có xuất thêm thành phần mô tả phép quay spin trình tán xạ Chương Tán xạ cụ thể Yukawa Gauss Chương dành cho việc nghiên cứu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ, thu chương , trường thể Yukawa Gauss tính tiết diện tán xạ vi phân cho tương ứng Trong mục 3.1 ta xét trường thể Yukawa, trường Gauss nghiên cứu mục 3.2 Phần kết luận hệ thống lại kết thu luận văn, thảo luận dự kiến nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử giả Euclide (metric Feynman)   c  1và metric tất bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn thực  A  A0 , A gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số    0,1, 2,3 ,và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ 4-chiều ký hiệu thành phần với số    A  A0 , A  A0 , A1 , A2 , A3  def (0.1)  A Các véctơ phản biến tọa độ: x    x0  t , x1  x, x  y, x3  z    t , x  , (0.2) Thì véctơ tọa độ hiệp biến : x  g  x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  (0.3) Véctơ xung lượng: p    E , px , p y , pz    E , p  (0.4) Tích vô hướng hai véc tơ xác định: AB  g  A B  A B   A0 B0  AB (0.5) Tensor metric có dạng: g    g  1 0    1 0     0 1     0 1 (0.6) Chú ý, tensor metric tensor đối xứng g   g g  g  Thành phần véc tơ hiệp biến xác định cách sau: A  g  A , A0  A0 , Ak   Ak (0.7) Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH CHO HẠT Ở TRƢỜNG NGOÀI TRONG GẦN PHI TƢƠNG ĐỐI TÍNH Hầu hết việc đo hiệu ứng lượng tử tiến hành nhờ thiết bị cổ điển, nên đòi hỏi quan trọng thiết lập tương ứng kểt học cổ điển lượng tử Vấn đề giải dễ dàng lượng tử phi tương đối tính, ví dụ phương pháp WKB1, song học lượng tử tương đối tính toán phức tạp So sánh kết học lượng tử tương đối tinh học cổ điển toán vô phức tạp Phương trình Dirac phương trình bậc dạng đạo hàm riêng, song khác cách với phương trình học cổ điển học lượng tử phi tương đối tính Ngay hạt chuyển động tự do, nảy sinh vấn đề xây dựng toán tử, mà chúng tương ứng với đại lượng học cổ điển quan sát Chính vậy, toán thiết lập giới hạn cổ điển phương trình tương đối tính (Dirac, Klein- Gordon ,…) trường thời gian dài chưa có lời giải Nếu không kể việc sinh cặp hay hiệu ứng lượng tử khác, tình tán xạ lý thuyết trường lượng tử mô tả học lương tử tương đối tính trạng thái hạt Sự mô tả tương tác hạt với trường gần hạt, cách rút phương trình học lượng tử phương trình chuẩn cổ điển xác định động lực học xung lượng spin, vô quan trọng cho nhiều ứng dụng thực tế thực tế thí nghiệm công nghệ đại 1.1 Phƣơng trình Klein – Gordon hạt trƣờng gần phi tƣơng đối tính Tán xạ đàn hồi tán xạ mà trạng thái bên thành phần hạt va chạm không thay đổi Giai đoạn đầu cuối trình tán xạ chuyển động gặp tách hạt xa vô Khi chúng lại gần tương WKB (Wentzel-Kramers-Brilluin) –khi độ dài lượng tử hạt    k  ; ( k  độ lớn độ dài véc tơ sóng) nhỏ độ dài đặc trưng toán cụ thể nghiên cứu , tính chất hệ gần với hệ cổ điển ta sử dụng phép gần chuẩn cổ điển, cụ thể sử dụng phép khai triển theo số Planck tác chúng ( ví dụ, hai hạt với hay hạt với tâm tán xạ) làm thay đổi trạng thái chúng sau Thông thường để thuận tiện , thay cho toán phụ thuộc thời gian người ta khảo sát toán dừng tương đương Khi hạt xa tâm tán xạ khoảng cách lớn , chuyển động hạt chuyển động tự do, lượng dương không bị lượng tử hóa Như vậy, toán tán xạ , có phổ liên tục Trong học lượng tử, toán tán xạ hạt có khối lượng m lượng E dương trường V  r  miêu tả phương trình Schrodinger dừng Lưu ý, V  r  khác không miền hạn chế r , phần không gian gọi miền tác dụng lực Tương tự với phương trình Schrodinger dừng, học lượng tử tương đối tính ta có cách mô tả tương ứng Xuất phát từ phương trình Klein – Gordon cho hạt tự mà có dạng:   m2    r , t   hay:  t    m2    r , t   (1.1) Khi có mặt trường không phụ thuộc vào thời gian U  r  , tương tự phương trình Schrodinger học lượng tử ta có:    U  r      m    r , t    t  (1.2) Biến đổi phương trình (1.2), ta thu được: t2  2U  r  t  U  r   2  m2    r , t   (1.3) Để tìm phương trình dừng tương ứng ta tìm nghiệm phương trình (1.3) dạng:   r , t   eiEt  r  (1.4) Thay (1.4) vào (1.3), ta thu phương trình Klein- Gordon dừng trường :  E  2iEU  U  2  m2  eiEt  r   (1.5) E  p  m2 , ta viết lại (1.5) sau: TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Mậu Chung, Hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội 2015 Nguyễn Ngọc Giao (1999), Hạt ĐHKH Tự Nhiên TP HCM Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh Alliluyev S.P., Gerrshtein S.S and Logunov A.A (1965), Phys Lett 18, 195 Davydov A S (1963) Quantum Mechanics, Fizmatgiz Glauber R.J (1959),Lectures in Theorical Physics, New York, 315p Garsevanishvili V.R., Matveev V.A Slepchenko L.A and Tavkhelidze A.N (1969) Phys Lett 29B, p 191 Garsevanishvili V.R., Goloskokov S.V., Matveev V.A Slepchenko L.A and Tavkhelidze A.N, (1971), Allowance for Corrections to the Eikonal Approximation in the Quasipotential Approach, Journal of Theor And Math.Phys.V.6, N1, pp 36-41 10 Logunov A A and Tavkhelidze A.N (1963), “Quasipotential approachin quantum field theory”, Nuovo Cimento29 (2) pp 380-399 11 Nguyen Xuan Han, Nesterenko V.V (1975), ”High Energy Scattering of the Composite Particle in the Functional Approach”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.24 (2) pp.768-775 12 Nguyen Xuan Han, Nesterenko V.V (1976), ”Bramsstrahlung Approximation for Inclusive Processes”, Journal of Theor And Math.Phys Vol.29, pp.1003-1011 25 13 Nguyen Xuan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.29(2), pp.1003-1011 14 Nguyen Xuan Han, Eap Ponna (1997), “Straight-Line Path Aprroximation for the Studying Planckian- Energy Scattering in Quantum Gravity”, ICTP, IC/IR/96/36, Trieste, pp.1-15; IL Nuovo Cimento A, Vol 110A(5), pp 459473 15 Nguyen Xuan Han (2000), “Straight-Line Paths Approximation for the High-Energy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity”, European Physical Journal C, vol.16(3), pp 547-553 Proceedings of the 4th International Workshop on Graviton and Astrophysics heid in Beijing, from October 10-15, 1999 at the Beijing Normal University, China.; Ed by Liao Liu, Jun Luo, Xin-Zhou Li, Jong-Ping Hsu, World Scientific , Singapore (2000), pp.319-333 16 Nguyen Xuan Han, Nguyen Nhu Xuan, Le Hai Yen (2012) High Energy Scattering in the Quasipotential Approach, Int J of Mod Phys A, vol 27, N1, 1250004 (19 pages) 17 Schiff L.I (1956) Phys Rev (1956) 103, p.443 18 Saxon D.S and Schiff L.I (1957), “Theory of high-energy potential scattering”,Nuovo Cimento, pp.614 – 627 19 Savrin V.I , Tuyrin N.E Khrustalev O.A (1970) Amplitude characteristic of forward scattering at high energies , Journal of Theor And Math.Phys, 3,pp 338-342 20 Savrin V.I , Tuyrin N.E Khrustalev O.A (1970) Second Born approximation for the phase of scattering by smooth potentials Journal of Theor.And Math.Phys, 4:3, pp 322–327 21 Tuyrin N.E Khrustalev O.A (1974) Amplitude characteristic of forward scattering at high energies , Journal of Theor And Math.Phys, 20,pp 3-17 26 22 Savrin V I., Khruststalev, (1968), Soviet J Nuc Phys 8, p 1016 23 Savrin V I.Tyurin N.E., Khrustalev O.A Scattering of fast particles by Coulomb and short-range potentials,Journal of Theor And Math.Phys, 5:1 (1970), 47–56 24 Savrin V I.Tyurin N.E., Khrustalev O.A (1970), Amplitude characteristic of forward scattering at high energies Journal of Theor And Math.Phys, 2:3 pp 338–342 25 Pervushin V.N (1970), “Method of Functional Integration and Eikonal Approximation for Potential Scatterring Amplitudes”, Journal of Theor and Math Phys 4, pp 2-32 26 Predazzi E and Selyugin O V (2002) Behavior of the Hadron Potential at Large Distances and Properties of the Hadron Spin-Flip Amplitude , The European Physical Journal A 13, pp.471-475 27 Trueman T.L (1996), CNI Polarimetry and the Hadron Spin Dependence of pp Scattering / hep-th/9610429 28 Kopeliovich B.Z (1998) High Energy Polarimetry at RHIC , hep – th/9801414 29 Selyugin (2002) Properties of the Spin- Flip Amplitude of Hadron Elastic Scattering and Possible Polarization Effects at RHIC , hep-ph/0210418 v1 27 PHụ LụC A Cách mô tả eikonal cho tán xạ góc nhỏ Xấp xỉ eikonal biên độ tán xạ thu học lượng tử phi tương đối tính [7], dựa tranh chuẩn cổ điển tán xạ lượng cao, độ dài sóng hạt tán xạ nhỏ nhiều kích thước hiệu dụng vùng tương tác Chúng ta thấy đặc trưng cổ điển tán xạ hadron với góc nhỏ liên quan đến không kỳ dị, hay nhẵn dáng điệu chuẩn hàm số tọa độ tương đối hai hạt Nghiên cứu trường hợp đơn giản tán xạ hai hạt không spin với khối lượng Phương trình chuẩn hàm sóng biểu diễn tọa độ có dạng [10] T(p,k,E)=V[(p-k)2 ;E] +  V[(p-q)2 ;E]T(q,k,E) , 2 m2  q q  m  E  i dq (A.1) E- lượng, p, k q xung lượng tương đối hệ khối tâm trạng thái đầu cuối trạng thái trung gian Trước tiên ta đưa vào hàm sóng  ( p) liên hệ với T công thức  ( p)  p  m2  3 ( p  k )  T(p,k,E) , p  m2  E  i (A.2) mà p  k  E  m2 nên từ (A 2) ta có ( p2  m2  E  i ) ( p)  T(p,k,E) (A.3) 28 Mặt khác vế phải (A.1) viết lại sau VP(1)     T(q,k,E) V[(p-q) ;E]  m  q  (q  k )   2 q  m  E  i  m2  q    dq dq V[(p-q)2 ;E] (q ) m2  q (A.4) , nên từ (A.3) (A.4) ta có phương trình hàm sóng biểu diễn xung lượng ( p  E  m2 ) ( p)   dq V[(p-q)2 ;E] (q ) m2  q (A.5) Ta tìm phương trình tương ứng hàm sóng biểu diễn tọa độ Do biểu diễn tọa độ, toán tử xung lượng pˆ  i với mối liên hệ đại lượng biểu diễn tọa độ  ( p)  V ( p, q, E )  xung lượng sau  (r ) eipr dr ; 3/  (2 ) V (r ; E ) ei ( p q ) r dr  (2 ) ( A.6) nên thay vào (A 5) ta phương trình vi phân không định xứ (2  p ) p (r )  m  2 V (r ; E ) p (r ), 29 hay (2  p ) p (r )  1 m  2 V (r ; E ) p (r ) (A.7) Phương trình (A.7) dạng tương ứng (A 6) biểu diễn tọa độ.Sự tồn toán tử m2  2 làm cho phương trình (A.7) không định xứ Với điều kiện không kỳ dị , hay dáng điệu chuẩn V (r ; E ) hàm nhẵn, giới hạn lượng cao phương trình (A.7) có dạng định xứ hiệu dụng Thật , tìm nghiệm phương trình (A.7) dạng  p (r )  eipz p (r )  p (r ) với  p (r ) z   (A.8) 2 hàm số biến đổi chậm E  p  m Dễ dàng thấy vùng lượng cao p   eipz (  p )eipz  2ip  z    ( z  ip)   2  p , eipz m2  2 eipz   i z   O( )  , 1  E p p  (A.9) kết hợp với (A.8) thay vào (A.7) ta nhận phương trình vi phân định xứ cho hàm số  p (r ) (với độ xác tới 1/p) 2ip   r   V  E, r    r  z p (A.10) 30 Phương trình (A.10) trùng với phương trình tương ứng mà suy từ phương trình Klein - Gordon với hiệu dụng V  E, r  Kết nhận p biểu diễn eikonal /8,9/  T ( ; E )  i  V(  , z ') dz ' pE i    d  e ( e  1) (2 )3   (A.11)    p  k thay đổi mặt phẳng vuông góc với véc tơ   p  k Như vậy, không cần thiết phải xem biểu diễn eikonal hay Glauber cho biên độ tán xạ nguyên lý động lực học (ví dụ Arnold R.C Phys Rev 153, (1967) 1523 ) Nó hệ giả thiết đặc trưng không kỳ dị tương tác hadron vùng lượng cao 31 PHụ LụC B Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hạt Dirac Xét phương trình Dirac với V (r ) (c  p   mc2  E ) (r )   V(r) (r) (B.1) Nhân trái (B.1) với ( c  p   mc2  E) nhận phương trình toàn phương Dirac (E2  m2c4  c2 22 ) (r)  (c  p   mc2  E ) V(r) (r) (B.2) Đưa vào ký hiệu k  p2  E  m2c , v(r)  V(r) mc E ,  , ò c c Bây phương trình (B.2) có dạng (k  2 ) (r)  ( i     ò) V(r) (r) Nhờ phương trình Green toán tử k  2 , G0 (r)   (B.3) eikr , chuyển từ 4 r phương trinh vi phân thành phương trình tích phân  (r)  U (k) eikr  4 ik r  r ' e  r r ' (B.4) U (k) nghiệm phương trình Dirac (c  k   mc2 ) U(k)  EU(k), E   c2 2k  m2c4 Hàm sóng  (r) theo phương trình (B.4) có tiệm cận sau r   :  (r)r   U (k) eikr  eikr ( k '   ò). e k ' r 'v(r') (r ')dr ' r 4 Từ suy biên độ tán xạ trường hợp xác định biểu thức f     ( k '   ò)  dr ' eik ' r v(r) (r) 4 32 (B.5) Biên độ (B.5) spinơ thành phần Để nhận yếu tố ma trận rời chuyển M, cần phải nhân f   vế trái vào spinơ U  (k') , mà mô tả hạt tự sau tán xạ M  U  (k') f     ò  U (k')  dreik ' r v( r) (r) 2 (B.6) cần phải tính spinơ U  (k') thỏa mãn phương trình U  (k')( k '  )  òU  (k') ;  (r)  eikr i (r) U (r) (B.7) Eikonal  (r) trường hợp ma trấn hàng tác dụng lên spinơ tự U (k) Thay (B.7) vào (B.3) nhận phương trình xác cho  i (r)  ( (r))2  2k  (r)  ( k   (r)    ò) v( r) (B.8) Tương từ trừơng hợp phương trình Schrodinger, giả thiết  (r) – hàm nhẵn tọa độ, vậytrong (B.8) ta bỏ số hang i (r) ( (r))2 : (2 k   ) (r)  ( k    ò) v(r) (B.9) Khi tán xạ lượng cao vế trái (B.9) bỏ qua thành phần  so với 2k  Tiếp theo lưu ý công thức (B.7)  tác dụng lên spinơ Dirac U (k) má thỏa mãn phương trình (B.4a) Chính biểu thức ( k   ) vế phải (B.9) thay ò Kết cuối cùng,  (r) ta thu phương trình sau 2k  (r)  2òv(r) Trong hệ tọa độ , trục z hướng theo k , phương trình có dạng (B.10) Nghiệm phương trình (B.10) thỏa mãn điều kiện biên  (x, y, z  )  biểu thức  (r)  z E  V (x, y, z') dz' (B.11) (c )2 k  Thay (B.11) (B.7) vào (B.6), ta thu 33 M  U  (k') U(k) z E E drei (k k') rV (r) exp( i V (x, y, z') dz') (B.12)  2 (c ) (c )2 k  Nếu góc tán xạ nhỏ, cho thay đổi xung lượng k ' k vuông góc với trục z, tích phấn theo dz (B.12) thực Kết yếu tố ma trận cho phép dời chuyển nhận dang eikonal:      k E i (k k') M  U (k') U(k) d be b  exp  i V (b, z)dz   1      2 i  (c ) k     (B.13)  Pha eikonal (B.13) thực tế trùng với pha phi tương đối tính (3.8) vùng lượng vận tốc hạt bị tán xạ v gần tốc độ ánh sáng c, cho đặt E ~ c k Sự khác công thức (B.13) với biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ phi tương đối tính tích spinơ U  (k') U(k) Thừa số gần eikonal tính đến hiệu ứng spin tương đối tính Trong trường hợp tán xạ hat spinơ không phân cực tiết diện tán xạ vi phân tìm biểu thức  d  d 1   M     U   (k') U (k)   d   , '  , '  d   Hep  v 2    d    d   1  sin    cos     d   Hep  d   Hep  c  k  d  d 2bei (k k') b  ei (b)  1  2  bdb ei (b )       d   Hep 2 i 34 PHỤ LỤC C PHƢƠNG TRÌNH DIRAC  Phương trình Dirac: Là phương trình cho hạt tự chuyển động tương đối tính có spin 1/2 Nghiệm tổng quát phương trinh có dạng: ur (p), vr (p) spinor kép sở mà thỏa mãn phương trình: Ta sử dụng chuẩn hóa: Các hệ số cr (p), dr (p) (4.B) xác định nhờ điều kiện biên Phương trình (4.A) viết lại dạng sau: đây: Được gọi Hamiltonian Dirac  Với phép biến đổi Lorentz 35 Spinor Dirac  ( x) biến đổi theo: S () Là ma trận biến đổi Lorentz biểu diễn Spinor, thỏa mãn phương trình:  Phương trình cho hạt electron điện tích –e trường điện từ có dạng:  Với phép chẵn lẻ, spiinor thay đổi theo:  Phép đảo thời gian toán tử phản unita: Ma trận T thỏa mãn: Nghiệm điều kiện là: Trong biểu diễn Dirac ma trận gamma Dễ dàng nhận thấy rằng:  Với phép liên hợp điện tích, spinor ( x) thay đổi theo: 36 Ma trận C thỏa mãn hệ thức: Trong biểu diễn Dirac, ma trận C có dạng: Phƣơng trình Dirac cho hạt tự sóng phẳng       eip x  (C.1) Là nghiệm riêng phương trình Dirac (i    m)( x)  (C.2) Chuyển sang dạng phương trình Schrodinger ta có:  (i   m)( x)  Bằng cách thay (4.1) vào (4.2) thu E m   σ.p  σ.p       (C.3)  E  m    Ở E p lượng xung lượng hạt Nghiệm không tầm thường hệ đồng (4.3) tồn định thức không Từ đưa mối quan hệ lượng xung lượng: E   p2  m2   E p , theo thu nghiêm dương nghiệm âm lượng mong đợi Đối với nghiệm lượng dương, E = Ep, theo (4.3) biểu diễn sau: (E p  m)  (σ.p )  0, (σ.p )  ( E p  m)  (C.4) Mối liên hệ có nghĩa 37  σ.p Ep  m , (C.5)        Hoặc u ( E p , p)      σ.p ,     E  m   p  Với (C.6) hàm tùy ý Đối với nghiệm lượng âm, E = -Ep , (4.3) biểu diễn p        u ( E p , p)      E p  m        (C.7) Nếu kí hiệu v(p) = u(-Ep,-p) u(p) = u(Ep,p), nghiệm độc lập tuyến tính phương trình 4.2 với p cố định : p  = (Ep,p) Chú ý thay đổi dấu nghiệm lượng âm Năng lượng xung lượng phương trình u(p)e-ip.x Ep p, với v(p)eip.x, chúng –Ep –p để tìm bậc tự bổ sung, nhớ lại toán tử helicity , với p  p , giao hoán với Hamilton – Dirac Từ phương trình đặc trưng | p| σ.p    , (và tương tự cho  ) thu 1   2(1  p ) p3 1 p1 i p ,   2(1  p )  p1 i p p3 1  (C.8) (và tương tự cho r , r  1, ) Nếu đặt p = pez, vecto sở trở thành 1     ,    1  (C.9) 38 Vì vậy, bispinor sở là:   1   0          0  1     u1 ( p)  N p  , u ( p )  N p  σ.p    σ.p 1        E  m     E  m 1    p   p   σ.p     σ.p 1         E p  m 1   Ep  m      v1 ( p)  N p   , v ( p)  N p     0                      (C.10) Với N p  Ep  m 2m yếu tố chuẩn hóa Đừng quên p = pez nghĩa là: p.σ  p 3 Trong trường hợp này, bispinor (4.10) có dạng helicity sở Cho xung lượng p tùy ý, muốn xây dựng helicity cở sở thay sử dụng công thức(4.8) sử dụng (4.9) Mặc dù, trường hợp vecto sở helicity u v spinor chuẩn hóa theo (4.D) Nghiệm tổng quát (4.2) đưa phương trình:  (2)3/2 d r 1 p m (ur ( p)cr ( p)eip x  vr ( p)d r ( p)eip x ) Ep (4.11) Spinor (bispinor) Dirac  chứa spinor SL(2,C), điều thật dễ nhận thấy biểu diễn bất khả quy Spinor Dirac biến đổi theo: Biểu diễn tối giản nhóm Lorentz 39 ... eikonal cho toán tán xạ lượng cao với hạt tán xạ với spin Bài toán mô tả hạt tán xạ có spin ½ thảo luận hình thức luận hai thành phần Lưu ý biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hạt Dirac chuyển động... NHIÊN VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGOÀI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số : 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng... 16     23 (3.32) Kết luận Trong luận văn xem xét tán xạ hạt nhanh có spin ½ nhẵn hình thức luận hai thành phần Với giả thiết hàm nhẵn vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ, thu kết sau: Chúng ta