Ảnh phổ tổng quát và biến đổi T- WIGNER (LV00310)

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn bộ Công thương, trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh, khoa Khoa học cơ bản và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt v Mở đầu viii 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 1 1.1 Không gian hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian hàm suy rộng D  (Ω) . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm . . . . . 4 1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược . . . . 4 1.2.2 Biến đổi Fourier và đạo hàm . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Hàm Gauss và định lý Plancherel . . . . . . . . . 9 1.3 Giải tích thời gian - tần số và nguyên lý không chắc chắn 13 1.3.1 Giải tích thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Ảnh phổ và phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 iii iv 2 Biểu diễn thời gian - tần số kiểu τ-Wigner 35 2.1 Biểu diễn τ-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Các định lý và tính chất của biểu diễn τ-Wigner . 36 2.2 Tích phân của biểu diễn τ-Wigner . . . . . . . . . . . . . 46 3 Mở rộng lớp ảnh phổ tổng quát 52 3.1 Ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Mở rộng lớp ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1 Hai tham số hóa ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Các tính chất của hai tham số hóa ảnh phổ . . . 67 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Bảng kí hiệu và viết tắt Z n + : Tập hợp các số nguyên dương. R : Tập hợp các số thực. R n : Không gian Ơclit n chiều. C : Tập hợp các số phức. Rez : Phần thực của số phức z. Imz : Phần ảo của số phức z. z : Số phức liên hợp của số phức z. |z| : Mô đun của số phức z. C ∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn. f L p : Chuẩn trong không gian L p (Ω), f L p =    Ω |f(x)| p dx   1 p , Ω ⊂ R n . L p : Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn L p hữu hạn. |α| : Bậc của α, |α| = n  i=1 α i , α = (α 1 , , α n ) ∈ Z n + . D α f : Đạo hàm cấp α của f. suppf : Giá của hàm f ∈ L p (Ω). v vi C k (Ω) : Là tập hợp các hàm liên tục khả vi k lần trong Ω. C k 0 (Ω) : Tập các hàm trong C k (Ω) có giá compact. C ∞ 0 (Ω) : = ∞ ∩ k=0 C k o (Ω). X [a,b] : Hàm đặc trưng trên [a, b]. D (Ω) : Không gian các hàm cơ bản. D  (Ω) : Không gian hàm suy rộng. S (R n ) : Không gian các hàm giảm nhanh. S  (R n ) : Không gian các hàm suy rộng tăng chậm.  f, F (f) : Biến đổi Fourier của hàm f với  f (ω) =  R n f (x) e −2πixω dx. F −1 (f) : Biến đổi Fourier ngược của hàm f. F 2 , F t→ω : Biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai của hàm f trên R 2n với F 2 = F t→ω =  R n f (x, t) e −2πitω dt. F t→x ξ→ω : Biến đổi Fourier theo biến thứ nhất và thứ hai của hàm f trên R 2n . T x f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f và T x f (t) = f (t −x). T [t] x f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f với biến dịch chuyển là t và T [t] x f = f (t −x). M ω f : Sự điều biến theo ω của hàm f và M ω f (t) = e 2πiωt f (t). vii M [t] ω f : Sự điều biến theo ω của hàm f với t là biến biến điệu. ϕ a (x) : Là hàm Gauss với ϕ a (x) = e − πx 2 a . T a : Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với T a f (x, t) = f (t, t −x). T s : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với T s f (x, t) = f  x + t 2 , x − t 2  . V g f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g, V g f (x, ω) =  R n f (t) g (t − x)e −2πitω dt. f ⊗ g : Tích ten sơ của hàm f và g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t). f ∗ g : Tích chập của hàm f và g. W ig (f) : Phân bố Wigner của hàm f. W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g. Q σ f : Lớp phân bố Cohen. W ig τ (f) : Phân bố τ-Wigner của hàm f. W ig τ (f, g) : Phân bố τ -Wigner chéo của hàm f và g. R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g. R ∗ (f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g. Q (f, g) : Tích phân của biểu diễn τ-Wigner. SP EC g f, Sp g f : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g. Sp φ,ψ (f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f, g đối với hàm cửa sổ φ, ψ. Sp (τ 1 ,τ 2 ) φ,ψ (f, g) : Hai tham số hóa ảnh phổ. Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Giải tích thời gian - tần số bắt đầu phát triển từ rất sớm vào khoảng năm 1930, trong cơ học lượng tử do H. Weyl, E. Wigner và J. von Neumann với mục đích tìm kiếm các phân phối xác suất đồng thời của các biến vị trí và xung lượng. Đến năm 1946, D. Gabor đã phát triển lý thuyết nền tảng của lý thuyết thông tin và giải tích tín hiệu thông qua các bài báo của ông về lý thuyết của sự truyền tin, khi đó giải tích thời gian - tần số được xem như là một lĩnh vực khoa học phụ thuộc vào toán học. Giải tích thời gian - tần số trở thành một lĩnh vực toán học độc lập vào khoảng năm 1980 bởi công của Guido Janssen, những nghiên cứu của ông đã bao trùm mọi khía cạnh của giải tích thời gian - tần số. Từ 1990, sự phát triển của giải tích thời gian - tần số được tăng lên nhờ sự xuất hiện của lý thuyết sóng nhỏ, từ đó cả hai lý thuyết này phát triển song song. Ngày nay, giải tích thời gian - tần số có rất nhiều ứng dụng, một mặt nó giải quyết những vấn đề trong giải tích tín hiệu, lý thuyết truyền tin và xử lí hình ảnh, trong vật lí, nhiều khía cạnh của giải tích thời gian - tần số xuất hiện dưới tên giải tích không gian pha hoặc lý thuyết trạng thái thống nhất (coherent states). Mặt khác, giải tích thời gian - tần số liên quan đến nhiều ngành toán học ứng dụng như: giải tích Fourier, giải tích phức, giải tích hàm điều hòa trên nhóm Heisenberg, lý viii ix thuyết biểu diễn, lý thuyết phương trình vi phân và toán tử giả vi phân, lý thuyết của đại số toán tử, giải tích số. Các biểu diễn thời gian - tần số đã trở thành một công cụ thiết yếu trong giải tích tín hiệu và đặc biệt phân bố Wigner đã được tin tưởng là công cụ toán học lý tưởng của giải tích thời gian - tần số. Sự hiểu biết về phân bố Wigner là thiết yếu đối với việc phân tích các toán tử giả vi phân và để tìm hiểu sự phát triển vượt bậc gần đây của các thuật toán số trong lý thuyết sóng nhỏ và trong giải tích thời gian - tần số. Theo các kết quả đã nghiên cứu, biểu diễn Wigner cho ta thấy hình ảnh một tần số giả ở giữa bất kì hai tần số thực, các tần số này được gọi là tần số ảo hoặc tần số giao thoa, điều này xuất hiện những khó khăn trong việc giải thích ý nghĩa vật lí của phân bố Wigner. Từ đó, người ta mở rộng nghiên cứu phân bố τ-Wigner phụ thuộc tham số τ ∈ [0, 1], do có sự xuất hiện của tham số τ, các tần số ảo tách ra và dịch chuyển phụ thuộc vào τ, còn các tần số thực xuất hiện ở một vị trí với mọi giá trị của τ. Lợi dụng điều này, người ta đưa ra một biểu diễn mới dạng Q là tích phân của biểu diễn τ-Wigner theo τ trên [0, 1], hiệu quả là biên độ của các tần số ảo giảm đáng kể so với biên độ của các tần số thực, do đó hình ảnh thu được sẽ gần hơn với thực tế vật lí. Hai trong số các biểu diễn thời gian - tần số thường được sử dụng là phân bố Wigner và ảnh phổ. Các vấn đề về lý thuyết liên quan đến phân bố Wigner và ảnh phổ đã được giới thiệu và nghiên cứu trong rất nhiều bài báo của nhiều tác giả khác nhau. Với mong muốn xây dựng một cách nhìn tổng quát về vấn đề này từ trước đến nay và tạo ra nền tảng cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo, tôi đã chọn đề tài: "Ảnh phổ tổng quát và biến đổi τ-Wigner " x 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu biểu diễn kiểu Wigner W ig τ phụ thuộc vào một tham số τ ∈ [0, 1]. Nghiên cứu một lớp "các biểu diễn toàn phương" Sp τ dựa vào biểu diễn τ-Wigner như là một sự mở rộng của ảnh phổ tổng quát. Nghiên cứu các tính chất cơ bản của ảnh phổ phụ thuộc hai tham số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: + Nghiên cứu biểu diễn thời gian tần số kiểu τ-Wigner và các tính chất của nó. + Nghiên cứu mối liên hệ giữa hai tham số hoá ảnh phổ và biểu diễn τ-Wigner. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Ảnh phổ tổng quát và biến đổi τ-Wigner. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Phương pháp phân tích, tổng hợp. 6. Dự kiến đóng góp mới Giới thiệu tổng quan về giải tích thời gian - tần số và các dạng biểu diễn thời gian - tần số. [...]...xi Đi sâu nghiên cứu biểu diễn thời gian - tần số kiểu τ -Wigner, đưa ra một dạng biểu diễn mới Q là tích phân của biểu diễn τ -Wigner Nghiên cứu về ảnh phổ tổng quát, mở rộng nghiên cứu các tính chất của ảnh phổ tổng quát phụ thuộc hai tham số được gọi là hai tham số hóa ảnh phổ 1 Chương 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian hàm suy rộng Không gian hàm cơ bản... suppf ⊆ T và suppf ⊆ Ω thì |T | |Ω| ≥ 1 Chứng minh Lấy εT = εΩ = 0 trong Định lý 1.3.2 và nhận xét rằng f là 0-tập trung trên T khi và chỉ khi suppf = T 21 1.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn Để thu được các thông tin về các tính chất địa phương của tín hiệu f , chúng ta thu hẹp f vào một đoạn và lấy biến đổi Fourier của thu hẹp này, ta được một biểu diễn thời gian - tần số gọi là biến đổi Fourier... f (x, ·) là biến đổi Fourier của f trên một đoạn với tâm là x Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x đến những vị trí khác nhau Do đó biến đổi Fourier thời gian ngắn được gọi là " Biến đổi cửa sổ trượt" Với một vài ứng dụng, Vg f (x, ω) có thể coi như là công cụ đo biên độ của dải tần số gần ω tại thời điểm x Theo nghĩa này Vg f (x, ·) là phép đo phổ tần số tức thời tại x mà biến đổi Fourier... chất giá và tính chất thỏa mãn điều kiện phân phối biên Nhiều biểu diễn khác nhau đã được định nghĩa trong các tài liệu với mục đích tiếp cận gần với một biểu diễn lí tưởng có thể Một phạm vi tổng quát cho nghiên cứu của các biểu diễn này được đưa ra bởi lớp Cohen Ba trong số những biểu diễn nổi tiếng nhất là ảnh phổ, biểu diễn Rihazek và biểu diễn Wigner Với những những gì liên quan tới ảnh phổ, ý tưởng... lim fk = f , k→∞ nếu i) Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho | fk , ϕ | ≤ C sup 1 + |x|2 x∈Rn m ∞ |Dα ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ C0 (Rn ) , k = 1, 2, |α|≤m ii) Dãy {fk }∞ là hội tụ trong D (Rn ) đến f k=1 Định lí 1.1.6 Không gian S (Rn ) là đầy đủ 1.2 1.2.1 Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược n xi ωi , ∀x, ω ∈ Rn là tích vô hướng trên Rn và i=1 √ 2 viết tắt x = x.x, ∀x ∈ Rn , chuẩn... f (x) = Rn nghĩa là F −1 và F là các toán tử ngược của nhau (1.8) 8 Định nghĩa 1.2.4 Cho f ∈ S (Rn ) Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f , kí hiệu là Ff là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S (Rn ) và biến đổi Fourier ngược của hàm f , kí hiệu là F −1 f là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S (Rn ) 1.2.2 Biến đổi Fourier và đạo hàm Cho một đa chỉ... 1.2.1 Biến đổi Fourier của hàm f ∈ L1 (Rn ), kí hiệu là f hoặc F(f ), là một hàm được xác định bởi f (x) e−2πixω dx , ω ∈ Rn f (ω) = (1.1) Rn Nhận xét 1.2.1 1 Từ (1.1) ta suy ra f ∞ ≤ f 1 2 Ta dùng kí hiệu F(f ) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L1 (Rn ) 3 Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier như trên ta còn có thể định nghĩa biến đổi. .. tưởng ban đầu do D Gabor, là tập trung biến đổi Fourier trên các đoạn thời gian nhỏ và phân tích các tần số xuất hiện trong các đoạn thời gian này Điều này được thực hiện bằng cách nhân tín hiệu f (t) với một hàm cửa sổ ϕ (t) có thể được tịnh tiến theo một tham số x dọc theo trục thời gian, trước khi biến đổi Fourier Bằng cách này chúng ta đi đến định nghĩa biến đổi Fourier thời gian ngắn Trước khi nghiên... trên T ⊆ Rn và f là εΩ tập trung trên Ω ⊆ Rn Khi đó |T | |Ω| ≥ (1 − εT − εΩ )2 Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng T và Ω có độ đo hữu hạn 19 Đặt PT f = XT f và QΩ f (x) = F −1 XΩ f (x) = f (ω) e2πixω dω Ω Cả hai toán tử là các phép chiếu trực giao trên L2 (Rn ) Miền giá trị của PT là L2 (T, dx), và miền giá trị của QΩ bao gồm tất cả các hàm trong L2 (Rn ) với phổ trong Ω,... Khi biến đổi Fourier f (ω) cho các tần số chứa trong tín hiệu, thì |f (ω) |2 biểu diễn mật độ năng lượng đối với biến tần số ω và đẳng thức f L2 = f L2 được phát biểu bởi Định lí Plancherel, đã được giải thích như một khẳng định tự nhiên rằng tổng năng lượng không thay đổi nếu chúng ta chuyển từ các biểu diễn thời gian f (x) để biểu diễn tần số f (ω) Trên thực tế câu " tín hiệu f (x)" được sử dụng phổ . hoá ảnh phổ và biểu diễn τ -Wigner. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Ảnh phổ tổng quát và biến đổi τ -Wigner. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Phương pháp phân tích, tổng. diễn τ -Wigner. Nghiên cứu về ảnh phổ tổng quát, mở rộng nghiên cứu các tính chất của ảnh phổ tổng quát phụ thuộc hai tham số được gọi là hai tham số hóa ảnh phổ. Chương 1 Một số khái niệm và kết. 35 2.1.2 Các định lý và tính chất của biểu diễn τ -Wigner . 36 2.2 Tích phân của biểu diễn τ -Wigner . . . . . . . . . . . . . 46 3 Mở rộng lớp ảnh phổ tổng quát 52 3.1 Ảnh phổ tổng quát . . . . . .