Ảnh phổ tổng quát và biến đổi T- WIGNER

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viờn khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cỏm n bđ Cụng thng, trũng hoc Cụng nghiắp Quáng Ninh, khoa Khoa hoc bán đong nghi¾p tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng Trong q trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Mnc lnc Báng kí hi¾u viet v tat Mỏ au viii Mđt so khỏi niắm v ket q chuan b% 1.1 Khơng gian hàm suy r®ng 1.1.1 Không gian hàm bán 1.1.2 Khơng gian hàm suy r®ng Dt(Ω) 1.1.3 Không gian hàm giám nhanh S (Rn) 1.1.4 Khơng gian hàm suy r®ng tăng ch¾m Bien đoi Fourier 1.2.1 Bien đoi Fourier bien đoi Fourier ngưoc 1.2.2 Bien đoi Fourier đao hàm 1.2.3 Hàm Gauss đ%nh lý Plancherel Giái tích thòi gian - tan so nguyên lý không chac chan 13 1.3.1 Giái tích thòi gian - tan so 13 1.3.2 Nguyên lý không chac chan 15 1.4 Bien đoi Fourier thòi gian ngan 21 1.5 Ánh phân bo Wigner 26 1.5.1 Ánh 26 1.5.2 Phân bo Wigner 27 Lóp phân bo Cohen 32 1.2 1.3 1.6 Bieu dien thài gian - tan so kieu τ -Wigner 2.1 2.2 35 Bieu dien τ -Wigner 35 2.1.1 Các đ%nh nghĩa 35 2.1.2 Các đ%nh lý tính chat cna bieu dien τ -Wigner 36 Tích phân cna bieu dien τ -Wigner 46 Má r®ng láp ánh tong quát 52 3.1 Ánh tong quát 52 3.2 Mó r®ng lóp ánh tong quát 64 3.2.1 Hai tham so hóa ánh 64 3.2.2 Các tính chat cna hai tham so hóa ánh 67 Ket lu¾n 74 Tài li¾u tham kháo 75 Báng kí hi¾u viet tat Z+ : T¾p hop so nguyên dương n R : T¾p hop so thnc Rn : Khơng gian Ơclit n chieu C : T¾p hop so phúc Rez : Phan thnc cna so phúc z Imz : Phan áo cna so phúc z z : So phúc liên hop cna so phúc z |z| : Mô đun cna so phúc z C ∞ : Không gian hàm vi vô han p "f"Lp : Chuan khơng gian L (Ω), p  n ¸ |f (x)| dx , Ω ⊂ R "f" p =  p L Ω Lp : Không gian hàm đo đưoc Lebesgue, có chuan Lp huu han n |α| : B¾c cna α, |α| = αi, α = (α1, , αn) ∈+ Zn i=1 Dαf : Đao hàm cap α cna f suppf : Giá cna hàm f ∈ Lp(Ω) Ck(Ω) : Là t¾p hop hàm liên tuc vi k lan Ω (Ω) : T¾p hàm CC k C ∞ (Ω) : k (Ω) có giá compact ∞ ∩ Ck(Ω) k = =0 o X[a,b] : Hàm đ¾c trưng [a, b] D (Ω) : Khơng gian hàm bán Dt (Ω) : Không gian hàm suy r®ng S (Rn) : Khơng gian hàm giám nhanh S t (Rn) : Không gian hàm suy rđng tng chắm f (x) e2ixdx f, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f vói fˆ(ω) = Rn F −1 (f ) : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f F2, Ft→ω : Bien đoi Fourier riêng theo bien thú hai ¸ 2n cna hàm f R vói F2 = →ω = f (x, t) −2πitω dt Rn e Ft F t→x : Bien đoi Fourier theo bien thú nhat thú ξ→ω hai cna hàm f R2n Txf : Phép t%nh tien theo x cna hàm f Txf (t) = f (t − x) Tx f : Phép t%nh tien theo x cna hàm f vói bien d%ch chuyen [t]t T x f = f (t − x) [t] Mωf : Sn đieu bien theo ω cna hàm f Mωf (t) = e2πiωtf (t) vii t bien bien đi¾u M ω f : Sn đieu bien theo ω cna hàm f vói [t] πx ϕa (x) : Là hàm Gauss vói ϕa (x) = e− a Ta : Phép bien đoi toa đ® khơng đoi xúng vói Taf (x, t) = f (t, t − x) Ts : Phép bien đoi toa đ® đoi xúng t t x + , x vói Tsf (x, t) − 2 =f Vgf : Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói ¸ hàm cúa so g, Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πitω dt Rn f ⊗ g : Tích ten sơ cna hàm f g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) f ∗ g : Tích ch¾p cna hàm f g W ig (f ) : Phân bo Wigner cna hàm f W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f g Qσf : Lóp phân bo Cohen W igτ (f ) : Phân bo τ -Wigner cna hàm f W igτ (f, g) : Phân bo τ -Wigner chéo cna hàm f g R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g R∗ (f, g) :Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f , g Q (f, g) : Tích phân cna bieu dien τ -Wigner SP ECg f, Sp gf : Ánh cna hàm f đoi vói hàm cúa so g Spφ,ψ (f, g) : Ánh tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ, ψ (τ ,τ ) Spφ,ψ (f, g) : Hai tham so hóa ánh Má đau Lí chon đe tài Giái tích thòi gian - tan so bat đau phát trien tù rat sóm vào khống năm 1930, hoc lưong tú H Weyl, E Wigner J von Neumann vói muc đích tìm kiem phân phoi xác suat đong thòi cna bien v% trí xung lưong Đen năm 1946, D Gabor phát trien lý thuyet nen táng cna lý thuyet thông tin giái tích tín hi¾u thơng qua báo cna ông ve lý thuyet cna sn truyen tin, giái tích thòi gian - tan so đưoc xem m®t lĩnh vnc khoa hoc phu thu®c vào tốn hoc Giái tích thòi gian - tan so tró thnh mđt lnh vnc toỏn hoc đc lắp vo khoỏng năm 1980 bói cơng cna Guido Janssen, nhung nghiên cúu cna ơng bao trùm moi khía canh cna giái tích thòi gian - tan so Tù 1990, sn phát trien cna giái tích thòi gian - tan so đưoc tăng lên nhò sn xuat hi¾n cna lý thuyet sóng nhó, tù cá hai lý thuyet phát trien song song Ngày nay, giái tích thòi gian - tan so cú rat nhieu ỳng dung, mđt mắt nú giỏi quyet nhung van đe giái tích tín hi¾u, lý thuyet truyen tin xú lí hình ánh, v¾t lí, nhieu khía canh cna giái tích thòi gian - tan so xuat hi¾n dưói tên giái tích khơng gian pha ho¾c lý thuyet trang thái thong nhat (coherent states) M¾t khác, giái tích thòi gian - tan so liên quan đen nhieu ngành toán hoc úng dung như: giái tích Fourier, giái tích phúc, giái tích hàm đieu hòa nhóm Heisenberg, lý thuyet bieu dien, lý thuyet phương trình vi phân tốn tú giá vi phân, lý thuyet cna đai so tốn tú, giái tích so Các bieu dien thòi gian - tan so tró thành mđt cụng cu thiet yeu giỏi tớch tớn hiắu đ¾c bi¾t phân bo Wigner đưoc tin tưóng cơng cu tốn hoc lý tưóng cna giái tích thòi gian - tan so Sn hieu biet ve phân bo Wigner thiet yeu đoi vói vi¾c phân tích tốn tú giá vi phân đe tìm hieu sn phát trien vưot b¾c gan cna thu¾t tốn so lý thuyet sóng nhó giái tích thòi gian - tan so Theo ket q nghiên cúu, bieu dien Wigner cho ta thay hình ánh m®t tan so giá ó giua bat kì hai tan so thnc, tan so đưoc goi tan so áo ho¾c tan so giao thoa, đieu xuat hi¾n nhung khó khăn vi¾c giái thích ý nghĩa v¾t lí cna phân bo Wigner Tù đó, ngưòi ta mó r®ng nghiên cúu phân bo τ -Wigner phu thu®c tham so τ ∈ [0, 1], có sn xuat hi¾n cna tham so τ , tan so áo tách d%ch chuyen phu thu®c vào τ , cũn cỏc tan so thnc xuat hiắn ú mđt v% trí vói moi giá tr% cna τ Loi dung đieu này, ngưòi ta đưa m®t bieu dien mói dang Q tích phân cna bieu dien τ -Wigner theo τ [0, 1], hi¾u biên đ® cna tan so áo giám đáng ke so vói biên đ® cna tan so thnc, hình ánh thu đưoc se gan vói thnc te v¾t lí Hai so bieu dien thòi gian - tan so thưòng đưoc sú dung phân bo Wigner ánh Các van đe ve lý thuyet liên quan đen phân bo Wigner ánh đưoc giói thi¾u nghiên cúu rat nhieu báo cna nhieu tác giá khác Vói mong muon xây dnng m®t cách nhìn tong qt ve van đe tù trưóc đen tao nen táng só cho nhung nghiên cúu tiep theo, tơi chon đe tài: "Ánh tong quát bien đoi τ -Wigner " Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu bieu dien kieu Wigner W igτ phu thu®c vào m®t tham so τ ∈ [0, 1] Nghiên cúu m®t lóp "các bieu dien tồn phương" Spτ dna vào bieu dien τ -Wigner m®t sn mó r®ng cna ánh tong quát Nghiên cúu tính chat bán cna ánh phu thu®c hai tham so Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích nêu ó trên, nhung nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là: + Nghiên cúu bieu dien thòi gian tan so kieu τ -Wigner tính chat cna + Nghiên cúu moi liên h¾ giua hai tham so hố ánh bieu dien τ -Wigner Đoi tưang pham vi nghiên cNu Ánh tong quát bien đoi τ -Wigner Phương pháp nghiên cNu Phương pháp nghiên cúu lý thuyet Phương pháp phân tích, tong hop DN kien đóng góp mái Giói thi¾u tong quan ve giái tích thòi gian - tan so dang bieu dien thòi gian - tan so Hình 3.2: Hai tham so hóa ánh vói giá tr% khác cna τ1 τ2 3.2.2 Các tính chat cúa hai tham so hóa ánh Trong phan phân tích m®t vài tính chat cna bieu dien Sp (τ1 ,τ2 ) φ,ψ (f, g) vói τ1, τ2 ∈ [0, 1] Cu the xem xét tính dương, tính b% ch¾n tính chat giá cna hai tham so hóa ánh Cuoi cùng, đưa ket lu¾n bang cách chúng tó rang hai tham so hóa ánh khơng thu®c lóp Cohen Chúng ta kí hi¾u )Sp (τ (τ,τ ) φ (f ) (x, ω) = Spφ,φ (f, f ) (x, ω) = 4− n f, (x, ω) ≥ φ˜ W igτ Do có tính chat sau Đ%nh lí 3.2.2 Vói τ1 = τ2, f = g φ = ψ hai tham so hóa ánh m®t bieu dien thòi gian - tan so dương Các dáng đi¾u Lp cna hai tham so hóa ánh đưoc chí rõ đ%nh lý sau Đ%nh lí 3.2.3 Giá sú q ≥ 1, qj ≥ 2, pj ≥ (j = 1, 2) thóa mãn đieu ki¾n sau + = ; ≤ pj ≤ qj (j = 1, 2) ó = Khi qr + q1 q2 q j qj r qj r (τ1,τ2) : L × L × Lp2 × LP2 → Lq liên i, Hai tham so hóa ánh Sp tnc (0 < τ1, τ2 < ), đ¾c bi¾t (τ1,τ2) Spφ,ψ (f, g) ≤ c"f" Lq ó c = c1c2 vói cj = |1−τ| ( L p r "ψ"Lp2 (3.20) , j = 1, pj qj ) ( n 1− − 1 (1,0) p1 "φ"Lp1 "g" |τ | ) ii, Khi τ1 = 1, τ2 = Sp tnc, r p L1 pj − qj n r p1 r r q1 q1 : L × L × Lq2 × Lq2 → Lq liên đ¾c bi¾t (1,0) Spφ,ψ (f, g) Lq iii, Khi τ1 = 0, τ2 = Sp tnc, ≤ "f"Lq1 "φ" q L1 r "g" L2 q r "ψ"Lq2 r (0,1) (3.21) r q1 q1 q2 : L × L × L × Lq2 → Lq liên đ¾c bi¾t (0,1) Spφ,ψ (f, g) Lq iv, Khi τ1 = τ2 = Sp tnc, ≤ "f" q L1 r "φ"Lq1 "g"Lq2 "ψ" 2L r (1,1) q1 q r (3.22) r q1 :L ×L ×L q2 × Lq2 → Lq liên đ¾c bi¾t (1,1) Spφ,ψ (f, g) Lq v, Khi τ1 = τ2 = Sp tnc, ≤ "f"Lq1 "φ" (0,0) r : L q L1 r "g"Lq2 "ψ" 2L q r (3.23) r q1 ×L q1 × Lq2 × Lq2 → Lq liên đ¾c bi¾t (0,0) Spφ,ψ (f, g) Lq ≤ "f" q L1 r "φ"Lq1 "g" L q r "ψ"Lq2 (3.24) Chúng minh Đ%nh lí đưoc de dàng suy tù Đ%nh lí 2.1.7 bat ang thỳc Hăolder tong quỏt sau "fg"Lq "f"Lq1 "g"Lq2 vói q1 = + q2 q , q1 ≥ q Bây giò nhó lai mđt so kớ hiắu Chỳng ta ó cú H (suppf ) bao loi cna giá cna f Πx, Πω phép chieu trnc giao h¾ so thú nhat thú hai Rn × tương úng n R x ω Bo đe 3.2.1 Cho W igτ (f, g) bieu dien τ -Wigner đưoc đ%nh nghĩa bói (2.1), Πx (suppW igτ (f, g)) ⊂ H (suppf + suppg) suppf + Πω (suppW igτ (f, g)) ⊂ suppg ˆ H (3.25) (3.26) ˆ Chúng minh Giá sú rang W igτ (f, g) (x, ω) ƒ= 0, ó ton tai t ∈ Rn cho f (y1) ƒ= g (y2) ƒ= vói y1 = x + τ t, y2 = x − (1 − τ ) t M¾t khác, x = λy1 + µy2 vói λ = − τ, µ = τ túc x có the đưoc bieu th% to hop tuyen tính loi cna y1 y2 Do mà có x ∈ [y1, y2] de dàng suy (3.25) Đe chúng minh (3.26) nhó lai rang W igτ (f, g) (x, ω) = W igτ ˆ fˆ, g (ω, −x) l¾p lai lí lu¾n ó vói x đưoc thay bói ω Tù (3.25) (3.26) thúc supp (fg) = suppf ∩ suppg, đưoc tính chat giá cna hai tham so hóa ánh Đ%nh lí 3.2.4 Giá cúa hai tham so hóa ánh thóa mãn tính chat sau 1,τ2) Πx suppSp (τ (f, g) ⊂ φ,ψ Πω suppSp H H suppf + suppφ˜ ∩ suppg + suppψ˜ (τ1,τ2) φ, ψ H (3.27) (f, g) ⊂ ˆ suppfˆ + suppφ ˜ ˆ˜ suppˆ g+ suppψ (3.28) ∩H Nh¾n xét 3.2.5 Ý nghĩa cna Đ%nh lí 3.2.4 tró nên rõ ràng hơn, cá xột trũng hop f = g l mđt dau hiắu giá sú rang m®t cúa so đưoc đ%a phương hóa tot thòi gian m®t cúa so khác đưoc đ%a phương hóa tot tan so Giá sú ví du rang suppφ ⊂ Bδ suppψˆ ⊂ B δ (τvói B δ hình cau bán kính δ > 0, Đ%nh lí 3.2.4 ) ,τ kéo theo suppSp (f, f ) ⊂ H suppf + B δ × H suppfˆ + B δ Nghĩa φ, ψ có đ%a phương tot cá thòi gian tan so, giám sn lan truyen lưong đen m®t hình cau bán kính δ vói sn liên quan tói moi bien Cuoi cùng, chúng minh rang hai tham so hóa ánh khơng thu®c lóp Cohen Chúng ta xem xét trưòng hop đơn gián τ1 = τ2 = τtrong Đ%nh nghĩa 3.2.1, vói τ ƒ= )(Thnc te vói τ = , bieu dien Sp (2 ,1 φ,ψ 2 thu®c ve lóp Cohen, trùng vói Spφ,ψ (f, g) ) (τ ) Chúng ta kí hi¾u ngan gon Sp φ, (f, g) = Sp ψ %nh (τ,τ ) (f, g), có đ φ, ψ lí sau Đ%nh lí 3.2.6 Vói τ ƒ= khơng ton tai m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m σ = στ,φ,ψ ∈ S t R2n cho S p τ φ, ψ = σ ∗ W ig (3.29) nghĩa Spτφ, (f, g) = σ ∗ W ig (f, g) vói moi f, g ∈ S (Rn) ψ Chúng minh Tù Đ%nh nghĩa 3.2.1 phép đoi bien đơn gián, có S p τ φ, ψ (f, g) = ¸ ω x x = 4−n ¸ ω e−2πit f + τ t φ˜ − (1 − τ ) t dt x x e2πit g + τ t ψ˜ − (1 − τ ) t 2 ¸ = e−2πisωf (2τ s) φ (1 τ)s − 2τ ¸ x 2πisω − − − − dt x ds e− g ( 2τs)ψ (1 τ ) s 2τ ds Chúng ta có the viet bien đoi Fourier ngưoc cna Spτφ, (f, g) (x, ω) ψ bang cách sau −1 F x→t ω→ξ S p −1 x→t (f, g) (x, ω) = τφ, ψ f (2τ ξ) φ (1− τ ) ξ− = ∗ x2τ F−1 x g (−2τ ξ)ψ −2 (1 − τ ) ξ − Fx→t 2n τ φˆ (2τ t) ∗ e−2πi(4τ (1−τ ))tξ g = (2τ ) e2πi(4τ (1−τ ))tξ f (2τ ξ) (−2τ ξ)ψˆ (2τ t) ó tích ch¾p đưoc thnc hi¾n cá hai bien (t, ξ) Cuoi cùng, viet rõ ràng tích ch¾p đưoc −1 (f, g) (x, ω) = τ S x→t F ω→ξ φ, p ψ ¸ 2n = (2τ ) e2πi(4τ (1−τ ))tξ − x)) g e−2πi(4τ (1−τ ))txf (− 2τ x)dx (2τ (ξ ¸ ˆ e−2πi(4τ (1−τ ))ξs φ (2τ (t − s)) ψˆ (2τ s) ds (3.30) Chúng ta nh¾n xét rang, tù đ%nh nghĩa cna bien đoi Wigner, F −1 x→t ω→ξ (W ig (f, g)) = F −1 s Fs→ω f x x→t ω→ξ + ¸ 2πixt f ξ x+ = e g g x s − dx ξ (3.31) x− Bây giò giá sú rang ton tai hàm suy r®ng δ cho (3.29) xáy ra, bang cách lay bien đoi Fourier ngưoc sú dung (3.30) (3.31), ket sau se đưoc chúng minh vói moi f, g ∈ S (Rn): ¸ ¸ − x)) g ( 2n 2πi(4τ (1−τ ))tξ e−2πi(4τ (1−τ ))txf (2τ ) e (2τ (ξ −2τ x)dx ˆ e−2πi(4τ (1−τ ))ξs φ (2τ (t − s)) ψˆ (2τ s) ds ¸ =F ξ) −1 σ (t, e 2πixt f ξ x+ g ξ dx, (3.32) x− ó F−1 σ (t, ξ) bien đoi Fourier ngưoc cna σ Đ¾c bi¾t (3.32) có the xáy vói f g ó dang sau: f (s) = e−πλs2 ; g (s) = e−πµs2 vói moi λ, µ > Trong trưòng hop có the tính tốn rõ ràng tích phân liên quan đen f g (3.32) cú 2 e2i(4 (1 ))txe(22x) eà(2x) dx = 1/2 2i(4 (1 2(+à) x ξ 2 − e 4π ξ (λ+µ)1/2 = e− +à dx ))tx e 2(1 ) , 1/2 (λ+µ) ty −πy2 −4π 2 −2πi −2π 4τ λ+µ = 2τ λ + µ.−ne λ+µ e e dy e τ λµ ξ (τ−1)tξ , = −2πi 2τ λ + µ −ne λ i λµ 2 −π e +à Tng tn, 2ixt e f x + g x = , 4(1−τ )2 e − ξ λ + t 4τ (τ−1)tξ −4π λ+µ τ ξ dx λ+µ (3.33) = e−π µλ+µ e−π λ ξ −2πi λ+µ µ.−ne λ tξ λ+µ t (3.34) Thay (3.33) (3.34) vào (3.32) có bieu thúc sau F −1 λ n 2πi(4τ (1−τ ))tξ−πitξ−2πi λ+µ (4τ (1−τ ) σ (t, ξ) = (2τ ) e −1)tξ e−π e−π 4(1−τ )2−1 4à +à +à t ˆ e−2πi(4τ (1−τ )−1)ξs φ (2τ (t − s)) ψˆ (2τ s) ds (3.35) Vói τ ƒ=2 rút gon (3.35) F−1 σ (t, ξ) chac chan phu thuđc vo hai tham so v à, đieu khơng the đưoc σ (3.29) đc lắp vúi f v g Nhắn xột 3.2.7 Trũng hop τ = moi nhân tú (3.35) đeu liên quan đen tham so λ µ giỏn úc, tao đc lắp vúi , xác nh¾n mong đoi rang trưòng hop bieu dien ó lóp Cohen Ket lu¾n chương N®i dung cna chương trình bày nhung van đe sau: • Đưa đ%nh nghĩa ánh tong quát, nghiên cúu moi quan h¾ giua ánh tong quát phân bo Wigner, moi quan h¾ giua ánh tong quát phân bo τ -Wigner, moi quan h¾ giua ánh tong quát bieu dien Q Chỳng minh ỏnh tong quỏt thuđc lúp Cohen Mó r®ng lóp ánh tong qt phu thu®c hai tham so τ1, τ2 ∈ [0, 1] goi hai tham so hóa ánh • Nghiên cúu tính chat cna hai tham so hóa ánh pho: tính dương, tính b% ch¾n, tính chat giá đưa ket luắn hai tham so húa ỏnh khụng thuđc lúp Cohen Ket luắn Nđi dung chớnh cna luắn trình bày tong quan ket q ve: • Giái tích thòi gian - tan so bieu dien thòi gian - tan so • Bieu dien thòi gian - tan so kieu τ -Wigner tính chat cna bieu dien τ -Wigner Nghiên cúu tích phân cna bieu dien τ -Wigner theo tham so τ đoan [0, 1] tao m®t bieu dien mói Q nghiên cúu tính chat cna bieu dien Q tính chat giá, tính chat thóa mãn đieu ki¾n phân phoi biên, chúng minh bieu dien Q thu®c lóp Cohen • Đưa đ%nh nghĩa ánh pho, ánh tong quát, nghiên cúu moi quan h¾ giua phân bo Wigner, bieu dien τ -Wigner, bieu dien Q ánh tong qt Chúng minh ánh tong qt thu®c lóp Cohen Mú rđng lúp ỏnh tong quỏt phu thu®c hai tham so τ1, τ2 ∈ [0, 1] goi hai tham so hóa ánh Nghiên cúu tính chat cna hai tham so hóa ánh pho: tính dương, tính b% ch¾n, tính chat giá đưa ket luắn hai tham so húa ỏnh khụng thuđc lóp Cohen Vói lnc han che thòi gian có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Kính mong q thay ban hoc góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Minh Chương (chn biên), Hà Tien Ngoan, Nguyen Minh Trí, Lê Quang Trung (2002), Phương trình đao hàm riêng, NXB Giáo duc, Hà N®i [2] Nguyen Manh Hùng (2006), Phương trình đao hàm riêng, Phan 2, NXB Đai hoc Sư pham, Hà N®i [3] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc v Ky thuắt, H Nđi [4] Hong Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [5] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro (2009), "Generalized Spectrograms and τ -Wigner Transforms", Proceeding of Vaxio University, Sweden [6] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2008), "Time-Frequency representation of Wigner type and pseudo-differential operators", Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy [7] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2007), "Uncertainty principle, positivity and Lp-boundedness for generalized spectrograms", Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy [8] L Cohen (1995), Time-Frequency Alalysis, Preprint hall PTR, New Jansen, USA [9] H G Feichtinger and T Strohmer (editors) (1988), Gabor Alalysis and Algorithms: Theory and Applications, Birkhaăuser Boston, USA [10] G B Folland (1989), Harmonic Alalysis in Phase Space, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA [11] Karlheinz Grăochenig (2001), Foundation of Time-Frequency Alal- ysis, Birkhauser Boston, USA ... tong quát bien đoi τ -Wigner " Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu bieu dien kieu Wigner W igτ phu thu®c vào m®t tham so τ ∈ [0, 1] Nghiên cúu m®t lóp "các bieu dien tồn phương" Spτ dna vào... ig (f ) : Phân bo Wigner cna hàm f W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f g Qσf : Lóp phân bo Cohen W igτ (f ) : Phân bo τ -Wigner cna hàm f W igτ (f, g) : Phân bo τ -Wigner chéo cna hàm... tan so kieu τ -Wigner 2.1 2.2 35 Bieu dien τ -Wigner 35 2.1.1 Các đ%nh nghĩa 35 2.1.2 Các đ%nh lý tính chat cna bieu dien τ -Wigner 36 Tích phân cna bieu dien τ -Wigner 46