Tìm hiểu mô hình lạm phát trong vũ trụ học

Viễn cảnh lạmphát trong vũ trụ giải quyết các khó khăn trên của mô hình vũtrụ chuẩn học đã được nghiên cứu rất kỹ trong các tài liệu [7, 8].Viễn cảnh lạm phát trong vũ trụ dựa trên ý tưở

bộ giáo dục và đào tạotrường đại học sư phạm hà nội 2

Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

nguyễn thị hồng khuyên

Tìm hiểu mô hình lạm phát của vũ trụ học

luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

Hà Nội - 2013

bộ giáo dục và đào tạotrường đại học sư phạm hà nội 2

nguyễn thị hồng khuyên

Tìm hiểu mô hình lạm phát của vũ trụ học

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số: 60.44.01.03Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Thị Hương

Hà Nội - 2013

Tìm hiểu mô hình lạm phát của vũ trụ học

Ngày 28 tháng 12 năm 2013

Mục lục

0.1 Lí do chọn đề tài 5

0.2 Mục đích nghiên cứu 7

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 8

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 8

0.5 Phương pháp nghiên cứu 8

0.6 Giả thiết khoa học 8

1 Mô hình vũ trụ học chuẩn 9 1.1 Lý thuyết tương đối 9

1.1.1 Phép biến đổi tọa độ tổng quát 9

1.1.2 Dịch chuyển song song và đạo hàm hiệp biến 10

1.2 Tensor độ cong và độ cong vô hướng 11

1.2.1 Phương trình Einstein 13

1.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học 17

1.3.1 Các nguyên lý cơ bản của vũ trụ 17

1.3.2 Metric Robertson Walker 17

1.3.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học 21

2 Mô hình lạm phát 412.1 Lich sử phát triển của các mô hình lạm phát 412.2 Cơ sở động học của quá trình lạm phát 422.3 Cơ sở thực nghiệm 432.4 Mối liên hệ giữa tham số thực nghiệm và lý thuyết 442.5 Vũ trụ sẽ giãn nở theo quy luật hàm mũ với thế

năng của trường vô hướng thỏa mãn điều kiện cuộn

chậm 472.6 Mô hình lạm phát cải tiến 50

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư Phạm

Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thànhkhóa học của mình Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới toànthể các thầy cô trong nhà trường đã giảng dạy, chỉ bảo tận tìnhtrong quá trình tôi học tập tại trường

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Tổ Vật

lí lí thuyết khoa Vật lí Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đãtạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn củamình Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới côgiáo TS Đỗ Thị Hương, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫntôi tận tình trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng tôi xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, các đồngnghiệp, những người đã luôn ở bên để giúp đỡ và chia sẻ nhữngkhó khăn với tôi trong suốt thời gian học tập hoàn thành luậnvăn của mình

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Khuyên

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trongluận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn và sự giúp

đỡ trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Khuyên

Mở đầu

0.1 Lí do chọn đề tài

Thuyết tương đối rộng (GR) [1, 2]đã được chấp nhận rộngrãi như môt lý thuyết cơ bản được mô tả bởi tính chất hình họccủa không thời gian Mô hình vũ trụ chuẩn học dựa trên cơ sởcủa lý thuyết tương đối rộng và giả thiết không gian vũ trụ làđồng nhất và đẳng hướng Mô hình vũ trụ chuẩn đã xác nhận

vũ trụ chúng ta đang sống đã trải qua 15 nghìn tỉ năm kể từ khimới sinh ra Thời điểm ban đầu khi mời hình thành, vũ trụ tồntại trong một nền nhiệt độ và mật độ vật chất là vô hạn Cùngvới sự giãn nở nhanh của vũ trụ đã làm cho mật độ vật chất vànhiệt độ nền của vũ trụ giảm rất nhanh Lý thuyết mô tả môhình vũ trụ chuẩn học thực sự có ý nghĩa và được sự quan tâmrộng rãi khi các tiên đoán về bức xạ nền của vũ trụ tại thời điểmhiện tại là hoàn toàn phù hợp với khám phá thực nghiệm [5] Tuynhiên,đến cuối những năm 70, khi vật lý hạt cơ bản phát triển,

lý thuyết mô tả vũ trụ lại gặp những khó khăn khi so sách với lýthuyết của vật lý hạt cơ bản về các vấn đề như phân cực từ, vấn

đề hấp dẫn Hơn nữa, mô hình vũ trụ chuẩn học còn gặp nhữngkhó khăn cơ bản khi giải thích các vấn đề về vũ trụ phẳng, vấn

đề đường chân trời Tuy nhiên tất cả các vấn đề này đều có thểgiải quyết trên viễn cảnh lạm phát trong vũ trụ Viễn cảnh lạmphát trong vũ trụ giải quyết các khó khăn trên của mô hình vũtrụ chuẩn học đã được nghiên cứu rất kỹ trong các tài liệu [7, 8].Viễn cảnh lạm phát trong vũ trụ dựa trên ý tưởng vũ trụ tại thời

kỳ đầu, nó giãn nở rất nhanh với hệ số giãn nở phụ thuộc vàothời gian theo hàm số mũ với hệ số dương Sự giãn nở nhanh đãtạo ra vũ trụ là phẳng, đồng nhất, đẳng hướng như hiện tại Hơn

nữa sự mở rộng nhanh trong vũ trụ đã tạo ra mật độ đơn cực từ,mật độ hấp dẫn giảm nhanh và tạo ra một mật độ vô cùng nhỏ

để trốn thoát khỏi thực nghiệm của chúng ta

Để xây dựng lời giải của vũ trụ lạm phát chúng ta có thể xâydựng dựa trên các quan điểm sau đây

• Cách đơn giản nhất để có lời giải vũ trụ giãn nở theo hàm

số mũ là chúng ta cần có một dạng vật chất mới trong vũtrụ thỏa mãn điều kiện P = ωρ với ω < 0 Điều kiện này cónghĩa là vũ trụ có thể bị thống trị bởi năng lượng tạo nênhằng số vũ trụ, ω = −1 Trong trường hợp này, lời giải củaphương trình Einstein tạo ra vũ trụ giãn nở theo hàm số mũ.Tuy nhiên, nếu chúng ta giả thiết thời kỳ đầu, năng lượng vũtrụ đã bị chiếm đóng bởi dạng năng lượng có nguồn gốc từhằng số vũ trụ thì chúng ta sẽ không chỉ ra được thời điểmnào mà lạm phát vũ trụ kết thúc.Tuy nhiên, sự tăng tốc của

Vũ trụ ở giai đoạn cần thiết phải kết thúc và nối tiếp bởi giaiđoạn bức xạ thống trị Vũ trụ Chính vì vậy, hằng số Vũ trụ

là không phù hợp cho giai đoạn đầu tăng tốc Vũ trụ Chúng

ta cần xây dựng các cơ chế cho quá trình lạm phát sao chophù hợp với thực nghiệm

• Chúng ta mở rộng lý thuyết tương đối rộng dựa trên việc mởrộng Lagrangian mô tả hấp dẫn của Einstein Lagrangian mô

tả hấp dẫn có thể là hàm phi tuyến của tensor độ cong R.Tức là, Lagrangian mô tả trường hấp dẫn có dạng L = f (R).Công việc này được thực hiện đầu tiên bởi Starobinsky Tuynhiên, khi làm việc với lý thuyết f (R) thì lý thuyết hấp dẫntrở lên phức tạp

• Chúng ta có thể xây dựng ý tưởng lạm phát dựa trên quanđiểm của vật lý hạt cơ bản Cụ thể, chúng ta giả thiết thời kỳđầu, năng lượng của vũ trụ được mô tả thông qua thế năngcủa vô hướng Năng lượng chân không của thể vô hướng sẽđảm bảo lời giải vũ trụ được tăng tốc Kết hợp với điều kiệncuộn chậm của thế, chúng ta có thể đưa ra hệ quả: Quá trìnhlạm phát Vũ trụ kết thúc Cụ thể là: Sau khi lạm phát, thìmật độ năng lượng của trường vô hướng sẽ chuyển thành

nhiệt năng và làm nóng lại vũ trụ và vũ trụ sẽ tiến triển tiếptheo như sự tiên đoán trong mô hình vũ trụ chuẩn hoc.Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung vào tìm hiểu cơ chếlạm phát của vũ trụ dựa trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản.

Cụ thể, nội dung của luận văn sẽ được bố cục như sau:

• Trong chương 1, tôi sẽ trình bày về hình thức luận của lýthuyết RG Dựa trên lý thuyết RG, tôi sẽ tìm kiếm metricthỏa mãn điều kiện Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng vàđang giãn nở sẽ được nghiên cứu Các lời giải của về sự giãn

nở của Vũ trụ trong mô hình Vũ trụ chuẩn học sẽ được trìnhbày

• Trong chương 2, chúng tôi sẽ nghiên cứu về cơ chế xây dựngviễn cảnh lạm phát dựa trên quan điểm vật lý hạt cơ bản Cụthể chúng tôi sẽ khảo sát mô hình lạm phát đơn giản nhất,

mô hình này chúng ta chỉ cần đưa vào một trường vô hướngvới các điều kiện cực tiểu thế Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽđánh giá ưu điểm và nhược điểm của mô hình này

• Chương 3, chúng tôi sẽ trình bầy về mô hình lạm phát Trong

mô hình lạm phát cải tiến, chúng tôi sẽ sử dụng hai trường

vô hướng để mô tả Từ các điều kiện đưa vào, chúng tôi sẽchỉ ra các ưu điểm và nhược điểm của mô hình này

• Trong chương 4 , chúng tôi sẽ tổng kết lại các kết quả đãtrình bày trong luận văn

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hiểu mô hình vũ trụ chuẩn học và mô hình lạm phát Trên cơ sở

đó ta so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giai đoạn đầu của vũ trụ (sát sau 10-43 giây kể từ vụ nổ BicBang)

0.5 Phương pháp nghiên cứu

+Lý thuyết tương đối tổng quát

+Lý thuyết trường lượng tử

0.6 Giả thiết khoa học

Tiếp cận với các mô hình về lạm phát Trên cơ sở đó, ta hiểuđược cách tiếp cận giữa mô hình lý thuyết và thực nghiệm

Chương 1

Mô hình vũ trụ học chuẩn

1.1 Lý thuyết tương đối

Trong phần này, chúng tôi sẽ tổng quát các kiến thức cơ bản củathuyết tương đối và vũ trụ học dựa trên bài giảng [10] Cụ thểphần kiến thức cơ bản được liệt kê như dưới đây

1.1.1 Phép biến đổi tọa độ tổng quát

Ta khảo sát phép biến đổi tổng quát từ hệ tọa độ cũ xµ sang hệtọa độ mới x0µ:

Quy luật biến đổi của toán tử vi phân như sau

• Đối tượng (object) bốn chiều Aµ là vectơ phản biến d biếnđổi toạ độ tổng quát nếu nó biến đổi theo

1.1.2 Dịch chuyển song song và đạo hàm hiệp biến

Như ta biết khi tính đạo hàm của một vectơ thì chúng ta phảiquy về cùng một tọa độ không gian Tuy nhiên trong không gianphẳng khi chúng ta dịch chuyển song song vectơ về cùng mộtđiểm thì vectơ không bị thay đổi nhưng trong không gian congkhi chúng ta thực hiện song song một vectơ từ điểm này sang

điểm kia thì vectơ sau khi dich chuyển sẽ bị thay đổi Đây chính

là lý do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song

Có rất nhiều cách tiếp cận để đưa ra biểu thức của dịch chuyểnsong song [10], tuy nhiên trong luận văn này, tôi không đi sâuvào các cách tiếp cận đó mà tôi công nhận kết quả và từ đó tìmhiểu ý nghĩa của hình học và hấp dẫn Cụ thể, khi dịch chuyểnsong song vectơ dọc theo đường cong ta có sự khác biệt giữa vectơtrước khi dịch chuyển và sau khi dịch chuyển khác biệt như sau:

Do đó, để lấy đạo hàm của trường vectơ, ta phải dịch chuyểnsong song Aµ(x) từ x tới x + dx trước khi thực hiện phép trừ Khi

Đây chính là đạo hàm hiệp biến

1.2 Tensor độ cong và độ cong vô hướng

Chúng ta dịch chuyển vectơ từ vị trí x đến vị trị x+dx có thể theonhiều con đường khác và kết quả đạo hàm hiệp biến lấy theo haihướng khác nhau là hoàn toàn khác nhau Cụ thể, chúng ta khảo

sát sự khác nhau của đạo hàm hiệp biến lấy theo hai hướng khácnhau Xét hệ thức giao hoán của đạo hàm hiệp biến [Dµ, Dν]:

[Dµ, Dν]Aβ = Aβ;µ;ν − Aβ;ν;µSau khi thay các định nghĩa đạo hàm hiệp biến vào hệ thức trên,chúng ta biến đổi theo quy luật tensor, chúng ta thu được kếtquả

[Dµ, Dν]Aβ = RαµνβAα, (1.15)trong đó

Rαβµν = −Γαβµ,ν + Γαβν,µ+ ΓσβνΓασµ − ΓσβµΓασν (1.16)Đại lượng được định nghĩa trong phương trình (1.16) được gọi làtensor Riemann Đại lượng này đặc trưng cho độ cong của khônggian

Chúng tôi muốn nhấn mạnh, xét khoảng không gian vô cùngnhỏ thì không gian được coi như gần phẳng (không gian như vậygọi là không gian thuần chủng Riemann), khi đó tensor metrickhông thay đổi, nên đạo hàm hiệp biến của nó bằng không Do

• Tính phản xứng:

Rσλνµ = −Rσλµν

• Tính chất đối xứng và phản đối xứng của Rρλνµ

Co chỉ số đầu và chỉ số cuối của tensor Riemann, ta được tensorRicci Rβµ, ta dễ dàng chứng minh được Rβµ đối xứng theo β vàµ

Ngoài ra ta có độ cong vô hướng được định nghĩa :

R = gβµRβµ

Từ các tensor Riemann và phương trình Einstein, ta tính đượccác thành phần của metric gµν, từ đó suy ra bán kính độ conga(t) mô tả trạng thái và dự đoán tương lai của vũ trụ

Trạng thái và tương lai của vũ trụ phụ thuộc hoàn toàn gµν,

và gµν có thể được tính qua các chỉ số liên kết không thời gian vàngược lại, đồng thời tensor metric thỏa mãn điều kiện gµν;α = 0,hình học thỏa mãn điều này gọi là hình học Riemann

Như vậy, tensor metric gµν quyết định tính chất hình học củakhông thời gian Tuy nhiên yếu tố nào gây nên sự cong của khônggian? Điều này sẽ được trình bày trong phần tiếp theo

δS =

Z

d4x[δ(√

−g).R +√−g.δR] + δSMvới:

δ√

−g = −δg

2√

−gTínhδg

Ta có

1detgµνδ(detgµν) = g

δR = δ(gµν.Rµν)

= δgµν.Rµν + gµν.δRµν (1.21)Tính δRµν

Ta có:

δRµν = δRµνσσ

= δ(∂νΓσσµ − ∂σΓσνµ)

= ∂ν(δΓσσµ) − ∂σ(δΓανµ) (1.22)Mặt khác:

Tức là δΓλµν , hay δRν có các thành phần là một đạo hàm hiệpbiến.

2gµνR − Rµν = 0 (1.27)Đây là phương trình Einstein trong chân không

Nếu kể đến trường hấp dẫn thì:

)

− ∂α(√

−g δLMδ(∂αgµν))δg

µν

(1.28)Đặt:

là tensor năng xung lượng của trường hấp dẫn, thì:

−1

2gµνR + Rµν + 8πGTµν = 01

2gµνR − Rµν = 8πGTµν (1.32)Đây chính là phương trình Einsteinn cho trường hấp dẫn Phươngtrình này mô tả mối tương quan giữa hình học và vật chất Vếtrái của phương trình là sự mô tả hình học và vế phải của phươngtrình là mô tả vật chất

1.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học

1.3.1 Các nguyên lý cơ bản của vũ trụ

Để mô tả thế giới thực ta phải chấp nhận tiên đề sau: Vũ trụ

có không gian đồng nhất (homogeneous), đẳng hướng (isotopic)nhưng nở ra theo thời gian Bỏ qua sự khác biệt ở khoảng cáchnhỏ, ta coi vũ trụ ở khoảng cách lớn như là chất lỏng với mậtđộkhông đổi ở mọi nơi

1.3.2 Metric Robertson Walker

Để tìm không gian mô tả vũ trụ, tức là ta cần tìm metric gµν Vìvây, trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ tìm dạng của metric gµν

mô tả không gian vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng và chúnggiãn nở đồng đều Trong phần này, tài liêu tham khảo được dựatrên tài liệu [10], [11]

Ta nói về hệ toạ độ mà ta sẽ sử dụng - toạ độ đồng chuyểnđộng (comoving coordinates) Toạ độ không gian chia sẻ chuyểnđộng nở đồng dạng của vật chất trong vũ trụ Nếu bỏ qua nhữngđiểm khác biệt nhỏ trong chuyển động của các thiên hà (galaxy)(sự dịch chuyển địa phương so với sự nở đồng dạng), ta có thểnói mỗi thiên hà có toạ độ không gian của mình Các điểm toạ

độ chuyển động với thiên hà khi thiên hà rơi tự do trong trườnghấp dẫn của vũ trụ Khoảng tọa độ (coordinate interal) giữa haithiên hà bất kỳ luôn luôn không đổi và sự nở vũ trụ là kết quảkhông phải từ sự thay đổi vị trí toạ độ của thiên hà mà là từ sựthay đổi của metric của không thời gian

Với toạ độ thời gian x0, ta sẽ sử dụng thời gian riêng đo bởiđồng hồ gắn với thiên hà Ta còn giả thiết rằng các đồng hồ nàychạy như nhau và đồng bộ Nghĩa là người quan sát A gửi tin tạithời điểm t0 thì người quan sát B cũng gửi tin tại t0 Tin A đến

B khi đồng hồ ở đây chỉ tB Tin B đến A khi đồng hồ ở đây chỉ

tA Đồng hồ là đồng bộ (synchronized) nếu tA = tB Tất cả ngườiquan sát đặt đồng hồ ở zero tại Vụ Nổ lớn (Big Bang) Ta minhhoạ toạ độ đồng thời gian bằng hình vẽ

Hình 1.1: Tọa độ đồng thời gian

Ta có thể chỉ ra rằng, với việc chọn toạ độ như trên

Như vậy toạ độ đồng chuyển động là trực giao thời gian Điều kiện(1.33) suy ra từ giả thiết rằng các đồng hồ đo x0 đứng yên trong hệđồng chuyển động Với các đồng hồ như vậy dx1 = dx2 = dx3 = 0,

và vì vậy

ds2 = g00(dx0)2 (1.35)Điều kiện (1.34) suy ra từ thực tế, các yếu tố không chéo g0k chỉkhác không khi đồng hồ không đồng bộ tại các vị trí khác nhau[11] Từ (1.33) và (1.34), metric không thời gian có dạng

ds2 = dt2 − gijdxidxj (1.36)hay

Khoảng không gian có dạng

dl2 =(3) gijdxidxj (1.38)

Từ sự đồng nhất và đẳng hướng của hình học ba chiều, thìtensơ Riemann trong không gian ba chiều (3)Rmnsk phải có dạng

(3)Rmnsk = k[(3)gms (3)gnk −(3) gmk (3)gns] (1.40)trong đó k là hằng số Ta có thể chứng minh (1.40) như sau: Tạiđiểm cho trước, đưa vào toạ độ trắc địa và như vậy metric trởthành (3)gmk0 = δmk Từ điều kiện không phân biệt các hướng khácnhau của độ cong của chúng, thì tensor cong phải không thay đổitheo phép quay của toạ độ trắc địa Vì chỉ có tensor đơn vị δkm

là không thay đổi với phép quay, nên tensơ cong phải là hàm củacác tổ hợp của tensor đơn vị

(3)Rmnsk = kδms δnk + K1δkmδns + K2δmnδks (1.41)Điều kiện phản đối xứng (3)Rmnsk = −(3)Rmnks cho K1 = −k và

K2 = 0 Do vậy

(3)

Rmnsk = k(δms δnk − δmkδsn) (1.42)Chuyển phương trình này từ toạ độ trắc địa sang toạ độ thường

ta có phương trình (1.40) Từ điều kiện đồng nhất, ta có k làhằng số

Ta có thể chứng minh

(3)Rmn = −2k (3)gmn, (3)R = −6k  (1.43)

Vì (3)Rmnsk có thể biểu diễn qua (3)gnk và đạo hàm bậc một

và hai của metric này, nên (1.40) có thể xem như phương trình viphân cho (3)gnk Như vậy vũ trụ có thể tách ra các thớ (slice)dạng không gian, mỗi thớ ba chiều là đối xứng cực đại Do vậy

ta coi không thời gian của chúng ta là R × Σ, trong đó R biểuthị hướng thời gian và Σ là đa tạp ba chiều đối xứng cực đại Dovậy metric không thời gian có dạng [13]

ds2 = dt2 − R(t)dl2 (1.44)trong đó t là toạ độ kiểu thời gian, R(t) là hàm được biết như là

hệ số kích thước (scale factor) Hệ số kích thước cho ta biết độ lớncủa thớ dạng không gian Σ tại thời điểm t Người quan sát đứng

ở xi không đổi cũng gọi là “đồng chuyển động” Chỉ có người quansát đồng chuyển động mới nghĩ rằng vũ trụ là đẳng hướng Thực

tế ta ở trên Trái đất, ta không là đồng chuyển động Kết quả là

ta thấy có sự bất đẳng hướng lưỡng cực (dipole anisotropy) trongnền sóng micro vũ trụ (CMB) như là hiệu ứng Doppler thôngthường

Nêu không gian đối xứng cực đại, thì nó là đối xứng cầu Ta

đã biết về không gian đối xứng cầu khi xét lời giải Schwarzschild.Metric được viết trong dạng

dl2 = gijdxidxj = e2β(r)dr2 + r2dΩ2, L(r) ∼ 2β(r) (1.45)Metric trong hình cầu hai chiều dΩ2 = dθ2 + sin2θdφ2 Do vậyđối với không thời gian tĩnh, đối xứng cầu, ta có tensơ Ricci [13]

Tóm lại, metric mô tả vũ trụ giãn nở đồng đều và đồng nhất

và đẳng hướng như đã trình bầy đươc tìm ra Robertson Walkernên metric đó được gọi là metric Robertson Walker Mô hình vũtrụ chuẩn sẽ dựa trên yếu tố metric đó

1.3.3 Mô hình vũ trụ chuẩn học.

Phương trình động học mô tả sự tịnh tiến của hệ số a(t) đượcrút ra từ phương trình Einstein với yếu tố metric được mô tả bởiRobertson - Walker metrix:

Rµν − 1

2gµνR = 8πGNTµν (1.49)Với k được chọn là k = 1, 0, - 1

k = 1 tương ứng với metric mô tả không gian với độ cong dương

k = -1 tương ứng với metric mô tả không gian với độ cong âm

k = 0 tương ứng với metric mô tả không gian phẳng

Để đánh giá về phương trình Einstein của lí thuyết tương đối tổngquát được viết dưới dạng:

Rµν − 1

2gµνR = 8πGTµν (1.50)Khi áp dụng phương trình Einstein vào mô hình vũ trụ học thỏamãn điều kiện vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng kết quả thuđược là vũ trụ luôn giãn nở hoặc co lại → Einstein không thể thuđược kết quả là vũ trụ của chúng ta là tĩnh (Einstein nghĩ rằng

vũ trụ là tĩnh tại thời điểm đó)

Chính vì vậy Einstein đó cố gắng thay đổi phương trình của mình

để tìm lời giải cho rằng vũ trụ là tĩnh Ông đã không tìm thấymột điều gì để cấm số hạng gµν trong phương trình, chính vì vậy,phương trình Einstein đầy đủ có dạng:

Rµν − 1

2gµνR = 8πGTµν (1.51)Các nhận xét về tensor Tµν

+ Ta thấy với metric là chéo hóa thì vế phải của phương trìnhEinstein cũng có dạng chéo Để phù hợp với đối xứng của phươngtrình thì cũng phải có dạng chéo

+ Do không gian là đồng nhất và đẳng hướng nên các yếu tốkhông gian của tensor phải bằng nhau.

+ Dạng đơn giản nhất của tensor có dạng:

- Sự thay đổi của tổng của năng lượng trong toàn bộ thể tích

V ∼ a3 bằng áp suất x độ thay đổi thể tích đó

Kết quả của sự phụ thuộc mật độ vật chất ρ vào áp suất P = f (ρ)hay ρ = g(P ) phương trình → trạng thái (state equation)

Một trong những kết quả đơn giản nhất: P = ωρ

• Thời kì bức xạ: ω = 1/3

• Thời kì vật chất: ω = 0

• Thời kì năng lượng chân không: ω = −1

Chúng ta sẽ chứng minh rằng, tại thời kì đầu, vũ trụ là thời kìbức xạ chiếm ưu thế Sau đó là thời kì vật chất chiếm ưu thế, vũtrụ sẽ tiếp tục ở thời kì vật chất chiếm ưu thế sau đó đến thời kìInflation (tại thời kì rất sớm) và sau đó năng lượng chân không

Rµν − 1

2gµνR = 8πGTµν (1.53)Chúng ta thu được phương trình:

Phương trình này gọi là Fiedmann equation

Nếu khảo sát thành phần i - i thì phương trình Einstein đưara:

Phương trình gia tốc của vũ trụ (accelerated equation)

Chú ý: Ngày nay ¨a >= 0 nếu trong quá khứ ρ + 3p > 0 thì ¨a < 0

phải tồn tại 1 thời điểm mà tại đó a = 0 tồn tại một cực trị →không thể xảy ra

Tóm lại, chúng ta có hệ thống các phương trình mô tả vũ trụ:

Phương trình trạng thái P = ωρ và phương trình chất lỏng

↔

Z dρ

ρ = −3(1 + ω)

Z daa

• Với thời bức xạ chiếm ưu thế (ω = 0) trong vũ trụ

E = hf = hc

λMặt khác từ quy luật Hubble:

dv = Hdr = ˙a

adrQuy luật Dopler cho sự thay đổi bước sáng giữa bước sóng nhận

và phát là:

dλ = λr− λedλ

da

drcdt ∼

daa

↔ λ ∼ a

Vậy, năng lượng bức xạ:

E ∼ hc

λ ∼ 1aTìm sự phụ thuộc của a(t) vào thời gian

Với ρ(t) = ρ0a−3(1+ω)(t) thay vào phương trình Fried mann, ta có:

˙a2(t) = q2t2(q−1) (1.61)Đồng nhất bậc của t ở hai phía của phương trình (1.59), ta có:

H = ˙a

a =

23t

→ Chứng tỏ vũ trụ của chúng ta sẽ trở lên vô hạn với tốc

độ rất chậm Trong thời kì vật chất, vũ trụ không co lại màgiãn ra mãi mãi

3 Thời kỳ năng lượng chân không chiếm ưu thế: ω = −1

Khi đó, Friedmann equation có thể viết dưới dạng:

(˙a

a)

2

= 8πGΛ3

- Năng lượng chân không

Đối với 3 thành phần (vật chất, bức xạ, năng lượng chânkhông) chúng ta có 3 phương trình trạng thái tương ứng :