Lý thuyết trò chơi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN CHUNG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN CHUNG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Nguyễn Văn Chung LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Lý thuyết trò chơi” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Nguyễn Văn Chung Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức cơ bản 7 1.1 Một số không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 15 1.2 Nón và hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Một số định lý về điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Bài toán cân bằng 25 2.1 Bài toán cân bằng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Bài toán cân bằng véctơ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Lý thuyết trò chơi 42 3.1 Trò chơi không hợp tác vô hướng . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Trò chơi không hợp tác véctơ và đa trị . . . . . . . . . . 48 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R đường thẳng thực mở rộng R n không gian Euclid n - chiều d (x, y) khoảng cách giữa x và y x, y tích vô hướng của x và y x chuẩn của x ∂C biên của tập C conv C bao lồi của tập C intC( hay o C ) phần trong của tập C C bao đóng của tập C f −1 hàm ngược của hàm f inf f cận dưới đúng của hàm f sup f cận trên đúng của hàm f min f giá trị nhỏ nhất của hàm f max f giá trị lớn nhất của hàm f rge f ảnh của hàm f Gr f đồ thị của hàm f dom f miền hữu hiệu của hàm f MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết trò chơi là một bộ phận của Toán học ứng dụng, được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth từ năm 1881, Pareto từ năm 1906 và mô hình kinh tế Nash từ nửa sau thế kỷ 20. Ngành này nghiên cứu các tình huống chiến thuật trong đó các đối thủ lựa chọn các hành vi khác nhau để cố gắng làm tối thiểu tổn thất đưa ra. Lý thuyết trò chơi được phát triển mạnh từ khi John Von Neumann hình thức hóa nó trong thời kỳ trước và trong Chiến tranh lạnh, chủ yếu áp dụng nó trong chiến lược quân sự, nổi tiếng nhất là khái niệm phá hủy nhanh các mục tiêu của địch. Bắt đầu từ những năm 1970, lý thuyết trò chơi được áp dụng và nghiên cứu sự sinh tồn của thế giới động vật, sự phát triển của các loài qua chọn lọc tự nhiên. Sau đó, lý thuyết trò chơi được áp dụng trong chính trị học, đạo đức học và triết học. Gần đây, lý thuyết trò chơi đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học máy tính do ứng dụng của nó trong trí tuệ nhân tạo và điều khiển học. Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ tự được đưa ra bởi Cantor năm 1897, Hausdorff năm 1906 và các hàm véctơ trong một không gian có thứ tự thoả mãn những tính chất nhất định. Ta có thể mô tả lý thuyết trò chơi như một bộ hình thức: G =  N, (A i ) i∈N , (f i ) i∈N  trong đó: (i) N là tập các người chơi; (ii) i ∈ N, A i là tập chiến lược chơi của người chơi thứ i, a = 6 (a 1 , , a N ) ∈ N  i=1 A i là chiến lược chơi của cuộc chơi; (iii) f i là hàm từ N  i=1 A i đến R với ∀i ∈ N được gọi là hàm tổn thất của người chơi. Ngày nay, nhiều nhà khoa học trên thế giới vẫn muốn tìm thêm mối quan hệ của bài toán này với các bài toán tối ưu hàm đơn trị hay hàm véctơ, bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân và tựa biến phân, 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề về các bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng véctơ và đa trị, từ đó đưa ra phương pháp tìm điểm cân bằng trong trò chơi không hợp tác vô hướng, trò chơi không hợp tác véctơ và đa trị và các ứng dụng của lý thuyết trò chơi. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Quy việc tìm điểm cân bằng của trò chơi về việc tìm điểm bất động của ánh xạ đa trị. Qua đó, làm nổi bật được vai trò của lý thuyết trò chơi trong lý thuyết kinh tế cũng như trong các ngành khoa học khác. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng véctơ và đa trị, ứng dụng cho bài toán trò chơi không hợp tác vô hướng, không hợp tác véctơ và đa trị. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, sử dụng các tính chất của nón, ánh xạ đa trị và một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng véctơ và đa trị. 6. Những đóng góp mới của đề tài Tổng hợp lý thuyết để chỉ ra sự tồn tại của điểm cân bằng trong bài toán trò chơi không hợp tác vô hướng và không hợp tác véctơ và đa trị. Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong toán học, một bài toán được đặt ra luôn gắn với một không gian và các ánh xạ từ không gian này vào không gian khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu toán học, hay tìm lời giải cho các bài toán cụ thể, trước hết ta phải quan tâm tới không gian của bài toán. Trong chương này, ta nhắc lại những không gian cơ bản hay gặp khi nghiên cứu giải tích hiện đại và các kiến thức liên quan. Phần chi tiết và chứng minh cho các hệ quả có thể tham khảo trong các tài liệu số [1], [3], [4]. 1.1 Một số không gian thường dùng 1.1.1 Không gian Metric Vấn đề cơ bản của không gian là khái niệm khoảng cách, một không gian metric là một tập trong đó có xác định "khoảng cách" giữa cặp phần tử, với những tính chất thông thường của khoảng cách hình học. Để hiểu rõ hơn, ta có các khái niệm sau: Định nghĩa 1.1.1.1. Ta gọi tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ ρ(x, y) : X ×X → R là một không gian metric nếu thoả mãn: (i) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tính đồng nhất); (ii) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) = ρ(y, x), (tính đối xứng); (iii) (∀x, y, z ∈ X) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z)+ρ(z, y), (bất đẳng thức tam giác). Ánh xạ ρ(x, y) được gọi là metric trên X, số thực ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. 8 Không gian metric được ký hiệu là M = (X, ρ). Ví dụ: (i) Tập M bất kỳ của tập số thực R, với khoảng cách d(x, y) = |x −y| (độ dài đoạn nối x với y) là một không gian metric. (ii) Tổng quát hơn, trong không gian n chiều R n , có thể xác định khoảng cách giữa hai điểm x = (x 0 , , x n ) và y = (y 0 , , y n ) là d (x, y) =   n i=1 (x i − y i ) 2 . Ta thấy trên cùng một tập có thể lựa chọn những metric khác nhau để có những không gian metric khác nhau. Chẳng hạn, trên cùng tập R k , ngoài metric Euclide, có thể xác định các metric sau đây: với hai phần tử bất kỳ x = (x 1 , x 2 , , x k ) , y = (y 1 , y 2 , , y k ) thuộc R k , ta đặt ρ 1 (x, y) = k  j=1 |x j − y j |, ρ 2 (x, y) = max 1≤j≤k |x j − y j |. Các hệ thức trên xác định các metric trên R k . Trong không gian có khoảng cách, ta có thể đưa ra khái niệm dãy hội tụ như sau: Định nghĩa 1.1.1.2. Cho không gian metric M = (X, ρ), dãy điểm {x n } của không gian metric M gọi là hội tụ tới điểm x 0 của không gian đó nếu (∀ > 0) (∃n 0 ∈ N ∗ ) (∀n ≥ n 0 ) ρ(x n , x 0 ) < , kí hiệu lim n→∞ x n = x 0 hay x n → x. Điểm x 0 gọi là giới hạn của dãy {x n } trong không gian M. Định nghĩa 1.1.1.3. Cho không gian metric (M, ρ), a ∈ M, số r > 0. Ta gọi: Tập S(a, r) = {x ∈ M : ρ(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính r; Tập S  (a, r) = {x ∈ M : ρ(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.1.1.4. Tập M trong không gian metric X được gọi là bị [...]... Định lý 1.3.5 (Nguyên lý ánh xạ KKM Ky Fan, 1961)(Xem [1] ) Cho A là một tập hợp trong không gian véctơ tôpô tách M , T : A → 2M là một ánh xạ KKM Khi đó, với mọi tập hữu hạn H ⊂ A ta có x∈H T x = φ Nguyên lý ánh xạ KKM đã được sử dụng để chứng minh hai định lý điểm bất động nổi tiểng của Schauder và Tikhonov Về sau, Ky Fan đã đưa ra kết quả tổng quát hơn Định lý Schauder, và thường được gọi là định lý. .. ∈ C nên x là nghiệm của (2.6) x ¯ x ¯ 6 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi Cho I là một tập chỉ số hữu hạn (tập các người chơi) Với i ∈ I, cho trước tập Ki ∈ X là các tập con khác rỗng trong X (tập chiến lược người chơi thứ i) Đặt K = i∈I Ki hàm fi : K → R (hàm tổn thất người chơi thứ i, phụ thuộc vào chiến lược của tất cả người chơi) Với mỗi x = (xi )i∈I ∈ K, ta đặt x−i = (xj )j∈I,j=i Bài toán... Điểm x được gọi là điểm cân bằng lý tưởng trên (hoặc nghiệm lý tưởng trên) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng lý tưởng trên đối với nón C và ký hiệu (UIEP,C) (ii) Tìm x ∈ D để F (x, y) ∩ C = φ với mọi y ∈ D Điểm x được gọi là điểm cân bằng lý tưởng dưới (hoặc nghiệm lý tưởng dưới) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng lý tưởng dưới đối với nón C và... coreD K để g(x, a) + h(x, a) ≤ 0, thì tồn tại x ∈ K sao cho ¯ g(¯, y) + h(¯, y) ≥ 0 với mọi y ∈ D x x Nhận xét: Định lý trên là sự mở rộng của các định lý về điểm cân bằng vô hướng được Browder và Ky Fan chứng minh (trong trường hợp h = 0 ta được Định lý Browder-Minty và g = 0 ta được Định lý Ky Fan) Nếu D là tập compắc thì giả thiết về tính bức trong giả thiết c) luôn 31 được thoả mãn vì khi ấy chỉ việc... điểm bất động Từ hệ quả trên, ta có kết quả sau đây, thường được gọi là Nguyên lý Schauder Định lý 1.3.8 (Nguyên lý Schauder, 1930)(Xem [1] ) Cho M là một không gian Banach, A là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong M , F là một hàm đơn trị liên tục trên A và F (A) là một tập hợp compắc trong A Khi đó, F có điểm bất động Định lý 1.3.9 (Ky Fan, 1952)(Xem [1] ) Cho A là một tập hợp lồi, compact trong một... đóng Khi đó, F có điểm bất động Định lý 1.3.10 (Browder - Fan, 1968)(Xem [1] ) Cho A là một tập hợp 24 lồi, compắc trong một không gian véctơ tôpô tách M , F : A → 2A là hàm véctơ thoả mãn: (i) Với mỗi x ∈ A, tập hợp F x là lồi và khác rỗng; (ii) Với mỗi y ∈ A, tập F −1 y là mở Khi đó, tồn tại x∗ sao cho x∗ ∈ F x∗ Định lý Browder - Fan là một trong những định lý về điểm bất động cho chúng ta nhiều... Với mỗi tập con I ⊂ {0, 1, , n}, ta có conv {ui : i ∈ I} ⊂ Khi đó, n i=0 Pi i∈I Pi (KKM ) = φ Định lý 1.3.3 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer, 1912)(Xem [1] ) Mọi hàm đơn trị liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều có điểm bất động Ta thấy điều kiện hữu hạn chiều là bắt buộc, nên Nguyên lý điểm bất động Brouwer và dạng tương đương của nó là Bổ đề KKM còn hạn chế Định nghĩa 1.3.4 Cho... của Ky Fan và Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên Nguyên lý KKM Trong mục này, chúng ta giới thiệu bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli, các bài toán liên quan, và đưa ra Định lý tồn tại điểm cân bằng Blum-Oettli 2.1 Bài toán cân bằng vô hướng Bài toán điểm cân bằng vô hướng do Blum - Oettli đặt ra, được phát biểu như... × D → R là hàm thoả 26 mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ D Tìm x ∈ D sao cho f (¯, y) ≥ 0 với mọi y ∈ D ¯ x (2.1) trong đó điểm x được gọi là điểm cân bằng ¯ Dưới đây ta chỉ ra rằng, nhiều bài toán trong lý thuyết tối ưu đều có thể đưa được về dạng bài toán cân bằng: 1 Bài toán tối ưu Xét hàm số ϕ : D → R Bài toán: Tìm x ∈ D sao ¯ cho ϕ(¯) ≤ ϕ(x) x với mọi x ∈ D, hay được viết dưới dạng min {ϕ(x) | x ∈... Định nghĩa 1.2.3 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi nón lồi C A là tập con khác rỗng của Y Ta nói rằng: (i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là IM in(A/C) hoặc IM inA; (ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với nón C, nếu không tồn . cân bằng trong trò chơi không hợp tác vô hướng, trò chơi không hợp tác véctơ và đa trị và các ứng dụng của lý thuyết trò chơi. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Quy việc tìm điểm cân bằng của trò chơi về việc. đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Lý thuyết trò chơi 42 3.1 Trò chơi không hợp tác vô hướng . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Trò chơi không hợp tác véctơ và đa trị . . . . . . từ những năm 1970, lý thuyết trò chơi được áp dụng và nghiên cứu sự sinh tồn của thế giới động vật, sự phát triển của các loài qua chọn lọc tự nhiên. Sau đó, lý thuyết trò chơi được áp dụng trong