Định nghĩa 3.2.1. Cho Xi, i ∈ I và Y là các không gian Hausdorff lồi địa phương thực. Một trò chơi không hợp tác véctơ và đa trị được mô tả bởi G = I, Y i∈I Di, (fi)i∈I ! ,
trong đó:
(i) I là tập chỉ số hữu hạn được gọi là tập các người chơi;
(ii) Với mỗi i ∈ I, tập lồi đóng, khác rỗng Di ⊂ Xi được gọi là tập chiến lược chơi của người chơi i;
(iii) Đặt D = Q
i∈I
Di. Với mỗi i ∈ I, ánh xạ đa trị fi : D → Y gọi là hàm lợi ích của người chơi i.
Định lý 3.2.2.NếuX là không gian định chuẩn, D là tập hợp lồi compắc địa phương, C, Y được giả thiết như Định lý 2.2.4, G : D×D →2Y và
H : D ×D → Y là các hàm thỏa mãn điều kiện: (i) 0 ∈ G(x, x) với mọi x ∈ D;
(ii) G là hàm đơn điệu với G(x, y) là compắc với mọi x, y ∈ D; (iii) Với x, y ∈ D cố định, hàm [0,1] →2Y được định nghĩa bởi
g(t) =G(ty+ (1−t)x, y) là (−C)-liên tục trên tại t= 0;
(iv) Với x ∈ D cố định hàm G(x, .) : D →2Y là C-lồi dưới và C-liên tục dưới trên D;
(v) H (x, x) = 0 với mọi x ∈ D;
(vi) Với y cố định hàm H (., y) : D →Y là (−C)-liên tục trên D; (vii) Với x∈ D cố định, hàm H (x, .) là C-lồi;
(viii) Tồn tại a ∈ D sao cho với mọi dãy {xn} ⊂ D mà lim
n→∞kxnk = +∞, và một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) Tồn tại n0 > 0 để G(xn0, a) +H (xn0, a) ⊆ −C; (2) Tồn tại n0 > 0 và y ∈ D với ky −ak < kxn0 −ak để G(xn0, y) +H (xn0, y) ⊆ −C; (3) Tồn tại n0 > 0 và y ∈ D để G(y, xn)−H(xn, y) ⊆ C với mọi n >n0,
thì tồn tại x ∈ D để
G(x, y) +H (x, y) ⊆ −intC với mọi y ∈ D.
Chứng minh. Ta kí hiệu
Dn = {x ∈ D| kx−ak 6 n}
với mỗi n = 1,2, ..., Dn là tập lồi, compắc, khác rỗng trong X. Sử dụng Định lý 2.2.4 và Nhận xét ở trên, ta suy ra tồn tại xn ∈ Dn, với
n= 1,2, ..., sao cho
G(xn, y) +H(xn, y) ⊆ −intC với mọi y ∈ Dn. (3.1) Nếu tồn tại số n mà kxn−ak6 n, thì xn ∈ CoreDDn. Định nghĩa hàm Φ : D →2Y bởi:
Φ (x) = G(xn, x) +H (xn, x) với x ∈ D (3.2) thì Φ là C lồi dưới và
Φ (xn) =G(xn, xn) +H(xn, xn) ⊆ −C.
Hơn nữa, theo (3.1) thì Φ (x) ⊆ −intC với mọi x ∈ Dn. Theo Bổ đề 2.2.7 thì Φ (x) ⊆ −intC với mọi x ∈ D. Điều này có nghĩa là xn
là nghiệm của bài toán (WEP,C). Như vậy, ta chỉ cần xét trường hợp
kxn−ak= n với mọi n > 1.
Trước hết, ta giả sử rằng điều kiện (1) đúng, với dãy {xn} tồn tại
n0 thỏa mãn (1). Ta chỉ ra rằng xn0 là nghiệm của bài toán (WEP,C). Dễ dàng thấy rằng xn0 là nghiệm của bài toán trên Dn0. Lấy x ∈ D\Dn0
bất kỳ. Tồn tại số dương t ∈ (0,1] sao cho
z = ta+ (1−t)x ∈ Dn0.
Ta có
⊆ t(G(xn0, a) +H (xn0, a)) + (1−t)G(xn0, x) +H (xn0, x)−C. Vì G(xn0, a) +H (xn0, a) ⊆ −C, nên G(xn0, ta+ (1−t)x) +H (xn0, ta+ (1−t)x) ⊆ (1−t)G(xn0, x) +H (xn0, x)−C. Nếu G(xn0, x) + H(xn0, x) ⊆ −intC, thì G(xn0, ta+ (1−t)x) + H(xn0, ta+ (1−t)x) ⊆ −intC, hay G(xn0, z) + H(xn0, z) ⊆ −intC.
Điều này trái với giả thiết xn0 là nghiệm của bài toán (WEP,C) trên
Dn0. Vì vậy ta suy ra
G(xn0, x) +H (xn0, x) 6⊆ −intC với mọi x ∈ D\Dn0.
Vậy
G(xn0, x) +H (xn0, x) 6⊆ −intC với mọi x ∈ D.
Tức là xn0 là nghiệm của bài toán (WEP,C) trên D.
Tiếp theo, giả sử điều kiện (2) đúng. Với dãy {xn} tồn tại n0 > 0 và
y ∈ D với ky −ak < kxn0 −ak sao cho
G(xn0, y) +H(xn0, y) ⊆ −C. (3.3) Ta định nghĩa hàm Φ như trong (3.2) . Do ky −ak < n nên y ∈
CoreDDn0 và theo (3.3) thìΦ (y) ⊆ −C. Hơn nữa, theo (3.10) thìΦ (y) 6⊆ −intC với mọi x ∈ Dn0. Từ đó, áp dụng Bổ đề 2.2.7 ta khẳng định
Điều này có nghĩa là
G(xn0, x) +H (xn0, x) 6⊆ −intC vơi mọi x ∈ D.
Như vậy xn0 là nghiệm của bài toán (WEP,C) trên D.
Cuối cùng, giả sử điều kiện (3) đúng. Ta chứng minh điều kiện (2) cũng thỏa mãn. Thật vậy, giả sử tồn tại n0 > 0 và y ∈ D sao cho
G(y, xn) +H (xn, y) ⊆ C, với n> n0.
Do tính đơn điệu của G nên
G(xn, y) +G(y, xn) ⊂ −C.
Từ đó
G(xn, y) +H(xn, y) ⊂ H(xn, y)−G(y, xn)−C ⊂ −C.
Mà với n đủ lớn thì ky−ak < kxn−ak. Điều này có nghĩa là điều kiện (2) cũng thỏa mãn.
Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 3.2.3. Cho X là không gian Banach phản xạ, D ⊂X là tập hợp lồi, đóng, khác rỗng, C, Y được cho như Định lý 2.2.4, G: D×D → 2Y và H : D×D →Y là các hàm thỏa mãn các điều kiện:
(i) 0 ∈ G(x, x) với mọi x ∈ D;
(ii) G là hàm đơn điệu với G(x, y) là compắc với mọi x, y ∈ D; (iii) Với x, y ∈ D cố định hàm g:[0,1] →2Y được định nghĩa bởi
g(t) =G(ty+ (1−t)x, y) là (−C) -liên tục tại t = 0;
(iv) Với x ∈ D cố định hàm G(x, .) : D →2Y là C-lồi dưới và C-liên tục dưới yếu trên D;
(v) H (x, x) = 0 với mọi x ∈ D;
(vii) Với x∈ D cố định, hàm H (x, .) là C-lồi;
(viii) Tồn tại a ∈ D sao cho với mọi dãy {xn} ⊂ D mà lim
n→∞kxnk = +∞ để một trong các điều kiện (1) - (3) của Định lý 2.2.4 được thỏa mãn, khi đó tồn tại x ∈ D để
G(x, y) +H (x, y) 6⊆ −intC với mọi y ∈ D.
Chứng minh. Hệ quả được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.4.
Hệ quả 3.2.4 Cho X là không gian Banach phản xạ, D ⊂X là tập lồi, đóng. Cho Y là không gian Banach và C là nón lồi, đóng, nhọn trong
Y với nón cực C0 là nón đa diện nhọn. Cho G, H là các ánh xạ thỏa mãn các giẩ thiết từ (i) đến (vii) trong Định lý 2.2.4 với tính (−C)-liên tục của H (., y) trong giả thiết (vi) được thay bằng tính (−C)-liên tục yếu. Giả thiết G(x, y)−C là lồi với mọi x, y ∈ D và giả thiết rằng tồn tại a ∈ D sao cho với mọi dãy {xn} mà lim
n→∞kxnk = +∞ một trong các điều kiện (1), (2), (3) của Định lý 2.2.4 được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại
x ∈ D sao cho
G(x, y) +H (x, y) 6⊆ −intC với mọi y ∈ D.
Chứng minh. Với x cố định từ giả thiết (iv) của Định lý 2.2.4 suy ra
G(x, .) là C-lồi dưới và C-liên tục dưới. Suy ra G(x, .) là C-liên tục dưới yếu trong D. Kết hợp các giả thiết trên thì các của Hệ quả 3.2.3 được
thỏa mãn. Vậy hệ quả được chứng minh.
Mệnh đề 3.2.5 Nếu Y là không gian Banach, C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y, nón cực C0 củaC là nón đa diện nhọn và với mọi i ∈ I các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) fi là C-liên tục và (−C)-liên tục;
(ii) Hàm fi xi, . là C-lồi, fi(., yi) là C-lõm và hàm fi(.) là C-lồi; (iii) Tồn tại các tập lồi, khác rỗng, compắc yếu Ki ∈ Di, i ∈ I sao
cho với mọi x ∈ K\CoreDK K = Y i∈I Ki ! , ta có thể tìm được điểm a ∈ CoreDK để X i∈I fi xi, ai−fi(x) ∈ −C,
thì tồn tại cân bằng Nash yếu. Hơn nữa, nếu C thỏa mãn điều kiện (∗), thì tồn tại điểm cân bằng Nash.
Chứng minh. Đặt
X = Y i∈I
Xi.
Ta định nghĩa các hàm G, H : D ×D →Y như sau:
G(x, y) = 0, H (x, y) =X
i∈I
fi xi, yi−fi(x)
với mọi x = (xi)i∈I, y = (yi)i∈I ∈ D. Sử dụng các giả thiết trên ta suy ra H (., y) là (−C)-lõm. Nên H (., y) là (−C)-liên tục yếu trên D. Cho nên, G, H thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.2.4 trong tôpô yếu của
X. Vậy theo định lý tồn tại x = (xi)i∈I sao cho
G(x, y) +H (x, y) ∈ −/ intC (∀y ∈ D),
tức là
X
i∈I
fi x−i, yi−fi(x) ∈ −/ intC ∀y = (yi)i∈I ∈ D,
với mỗi i ∈ I, và yi ∈ Di tùy ý. Thay y = (xi, yi) vào hệ thức trên ta suy ra
Vậy x là điểm cân bằng Nash yếu. Phần còn lại suy ra từ kết quả
tương ứng của Định lý 2.2.4.
Mệnh đề 3.2.6 Cho Xi, i ∈ I và Y là các không gian định chuẩn,
Di ⊆ Xi, i ∈ I là các tập lồi, khác rỗng, compắc địa phương, C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y. Với mỗi i ∈ I, fi : D → Y thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) fi là C-liên tục và (−C)-liên tục; (ii) Các hàm fi xi, . là C-lồi;
(iii) Giả sử tồn tại điểm a = (ai)i∈I ∈ D sao cho với mọi dãy n
xn = x(j,n)j∈I
o
⊂ D mà lim
n→+∞kxnk = +∞,
một trong các điều kiện sau đúng: (1) Tồn tại n0 > 0 sao cho
X i∈I fi xi(j,n 0), ai −fi(xn0) ∈ −C;
(2) Tồn tại n0 > 0 và y = (yi)i∈I ∈ D với ky −ak < kxn0k sao cho X i∈I fi xi(j,n 0), yi −fi(xn0) ∈ −C;
(3) Tồn tại n0 > 0 và y = (yi)i∈I ∈ D sao cho X i∈I fi xi(j,n), yi −fi(xn) ∈ −C.
Khi đó, tồn tại điểm cân bằng Nash yếu. Hơn nữa, nếu C thỏa mãn điều kiện (∗), thì tồn tại điểm cân bằng Nash.
Chứng minh. Đặt X = Q
i∈I
Xi, và định nghĩa các hàm G, H : D×D → Y
như sau
H (x, y) = X i∈I
fi xi, yi−fi(x), với mọi x = (xi)i∈I, y = (yi)i∈I ∈ D.
Từ Định lý 3.3.2 ta có kết luận trên.
Mệnh đề 3.2.7 Cho Xi, i ∈ I là các không gian Banach phản xạ,
Di ⊂ Xi, i ∈ I là các tập lồi, đóng, khác rỗng, Y là không gian Banach và C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y và nón cực C0 của C là nón đa diện nhọn. Giả sử với mọi i ∈ I, hàm fi : D →Y thỏa mãn các giả thiết (i), (ii) của Mệnh đề 3.2.5 và một trong các giả thiết (1), (2), (3) của Mệnh đề 3.2.6. Khi đó, tồn tại điểm cân bằng Nash yếu. Hơn nữa, nếu C thỏa mãn điều kiện (∗) thì tồn tại cân bằng Nash.
Chứng minh. Bằng cách đặt X = Q
i∈I
Xi và định nghĩa các hàm G, H :
D × D → Y như Mệnh đề 3.3.2 ở trên, ta suy ra H (., y) là (−C)-liên tục yếu trên D. Sử dụng Hệ quả 3.2.2 ta suy ra các kết quả trên.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết trò chơi. Cụ thể:
Chương 1: Nhắc lại các không gian thường dùng, các khái niệm và tính chất của nón và hàm véctơ, và một số định lý và điểm bất động.
Chương 2: Trình bày một số khái niệm, tính chất về bài toán cân bằng vô hướng và bài toán cân bằng véctơ đa trị.
Chương 3: Trình bày về trò chơi không hợp tác vô hướng và trò chơi không hợp tác véctơ đa trị .
Măc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng bản thân còn hạn chế, nên luận văn của tôi không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong được thầy cô và các bạn đọc đóng góp ý kiến.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt:
[1] Phạm Quỳnh Anh (2006), Luận văn thạc sỹ, Điểm bất động và ứng dụng, Đại học Thái Nguyên - Đại học Sư phạm.
[2] Đoàn Văn Soạn (2006), Luận văn thạc sỹ, Định lý điểm bất cân bằng Blum - Oettli và một số mở rộng, Đại học Thái Nguyên - Đại học Sư phạm.
[3] Nguyễn Xuân Tấn - Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề trong lý thuyết véctơ đa trị, NXB Giáo dục.
[4] Hoàng Tụy (1979), Giải tích hiện đại, Viện Toán học, Hà Nội. Tiếng Anh:
[5] Bierman, H. S. and L. Fernandez (1998), Game Theory with economic applications, Addison-Wesley.
[6] Blum E. and Oettli W. (1993), From optimization and varia- tional innequalities to equilibrium problems, The Math. Student 64, 1-23.
[7] Blum E. and Oettli W., Variational principles for equilibrium problems, parametric optimization and related topies III (to appear).
[8] Brouwder F. E. (1962), "The fixed point theory of multivalued mappinbs in topological vector spaces", Math. Ann., (117), 283- 301.
[9] Fan K. (1961), "A generalization of Tychonoffs fixed point theorem", Math. Ann., (142), 305-310.
[10] Fan K. (1972), A minimax inequality and application, in Inequalities III, O. Shisha (Ed), Academic Press, New-York, pp. 33.
[11] Minty G-J. (1978), On variational inequalities for monotone operators, I. Avances in Math. 30, 1-7.
[12] Nash, John (1950), Equilibrium points in n-person games, Proceedings of the National Academy of the USA.
[13] Tan N. X. and P. N. Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Numer. Funct. Anal. and Opt., (19), 141-156.