Cho X, Y là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X là tập hợp con lồi, đóng, khác rỗng, C là nón lồi, đóng trong Y. Xét hàm véctơ
F : D ×D → 2Y, F (x, y) 6= φ với mọi x, y ∈ D. Các bài toán cân bằng được đặt ra liên quan tới hàm véctơ F như sau:
(i) Tìm x ∈ D để
F (x, y) ⊆C với mọi y ∈ D.
Điểm x được gọi là điểm cân bằng lý tưởng trên (hoặc nghiệm lý tưởng trên) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng lý tưởng trên đối với nón C và ký hiệu (UIEP,C).
(ii) Tìm x ∈ D để
F (x, y)∩C 6= φ với mọi y ∈ D.
Điểm x được gọi là điểm cân bằng lý tưởng dưới (hoặc nghiệm lý tưởng dưới) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng lý tưởng dưới đối với nón C và ký hiệu (LIEP,C).
(iii) Tìm x ∈ D sao cho
F (x, y) 6⊆ −intC với mọi y ∈ D. (2.8) Điểm x được gọi là điểm cân bằng yếu trên (hoặc nghiệm cân bằng yếu trên) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân
bằng yếu trên đối với nón C và ký hiệu (UWEP,C). (iv) Tìm x ∈ D sao cho
F (x, y)∩ −intC = φ. (2.9) Điểm x được gọi là điểm cân bằng yếu dưới (hoặc nghiệm cân bằng yếu dưới) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng yếu dưới đối với nón C và ký hiệu (LWEP,C).
(v) Tìm x ∈ D sao cho
F (x, y) 6⊆ −(C\ {0}) với mọi y ∈ D. (2.10) Điểm x được gọi là điểm cân bằng Pareto trên (hoặc nghiệm cân bằng Pareto trên) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng Pareto trên đối với nón C và ký hiệu (UPEP,C).
(vi) Tìm x ∈ D sao cho
F (x, y)∩ −(C\ {0}) = φ. (2.11) Điểm x được gọi là điểm cân bằng Pareto dưới (hoặc nghiệm cân bằng Pareto dưới) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng Pareto dưới đối với nón C và ký hiệu (LPEP,C).
Để đơn giản trong luận văn ta chỉ nghiên cứu hai bài toán điểm cân bằng Pareto trên và điểm cân bằng yếu trên, còn các bài toán khác nghiên cứu tương tự. Sau đây, ta nhắc lại khái niệm đơn điệu của hàm véctơ F và một vài tính chất của hàm véctơ, của nón C có liên quan đến phần này.
Định nghĩa 2.2.1. Cho X, Y là hai không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X và C là nón trong Y. Ta nói rằng hàm D ×D → 2Y
là đơn điệu nếu
Trong trường hợp Y = R, C = R+ và F là hàm đơn trị, thì từ định nghĩa trên ta nhận được tính đơn điệu của hàm vô hướng.
Định nghĩa 2.2.2. Nón C được gọi là thỏa mãn điều kiện (∗) nếu tồn tại nón lồi, đóng C với phần trong khác rỗng sao cho
C\ {0} ⊂ intC.
Nếu Y là không gian hữu hạn chiều thì mọi nón C lồi, đóng, nhọn đều có cơ sở lồi, compắc cho nên nó thỏa mãn điều kiện (∗). Với nón C
thỏa mãn điều kiện (∗) trong không gian lồi địa phương Hausdorff Y, lấy A ⊂ Y là tập con khác rỗng ta suy ra: nếu x ∈ WM in A/C thì
x ∈ WM in(A/C), trong đó C là nón thỏa mãn điều kiện (∗).
Mệnh đề 2.2.3. Nếu X, Y, D, C như trong bài toán (2.9) và (2.11) và
F : D → 2D là hàm véctơ C−liên tục dưới trong D, thì tập
A = {x ∈ D|F(x)∩intC = φ}
là tập đóng.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sửintC 6= φ. Lấy x0 ∈ A, ta khẳng định x0 ∈ A. Thật vậy, lấy xn ∈ A và xn → x0. Giả sử ngược lại,x0 ∈/ A. Điều này suy raF(x0)∩intC 6= φ. Như vậy tồ tạiy0 ∈ F (x0)
và lân cận V của 0 trong Y để y0+V ⊂intC. Do F là C− liên tục dưới tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 trong X để
F (x0) ⊆ F (x) + V −C đúng với mọi x ∈ U ∩D
Từ đó, suy ra y0 ∈ F (x) +V −C với mọi x ∈ U ∩ D hay
0 ∈ F (x)− y0 + V −C ⊆ F (x)− intC −C ⊆ F (x)− intC với mọi
x ∈ U ∩D. Điều này chứng tỏ F (x)∩(int)C 6= φ. Điều này trái với giả thiết xn ∈ A. Vậy x0 ∈ A. Mệnh đề được chứng minh.
Trong phần tiếp theo, ta đưa ra điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ trong trường hợp F = G+H, với Glà hàm
véctơ và H là hàm đơn trị. Với các giả thiết về X, Y, C, D như trong bài toán (2.9) và (2.11) ta có định lý sau.
Định lý 2.2.4. Nếu G : D ×D → 2Y và H : D ×D → Y là các hàm thảo mãn những điều kiện:
(i) 0 ∈ G(x, x) với mọi x ∈ D;
(ii) G là hàm đơn điệu và G(x, y) là compắc với mọi x, y ∈ D; (iii) Với x, y ∈ D cố định, hàm g : [0,1] →2Y được định nghĩa bởi
g(t) = G(ty + (1−t)x, y)
là (−C)-liên tục trên tại t = 0;
(iv) Với x ∈ D cố đinh, hàm G(x, .) : D →2Y là C-lồi dưới vàC-liên tục dưới trong D;
(v) H (x, x) = 0 với mọi x ∈ D;
(vi) Với y ∈ D cố định, hàm H (., y) : D → Y là (−C)-liên tục trên
D;
(vii) Với x∈ D cố định, hàm H (x, .) là C- lồi;
(viii) Tồn tại tập con khác rỗng K ⊆ D, K lồi, compắc sao cho với
x ∈ K\CoreDK tồn tại a ∈ CoreDK sao cho
G(x, a) +H (x, a) ⊂ (−C),
thì tồn tại x ∈ K sao cho
G(x, y) +H (x, y) 6⊆ −intC đúng với mọi y ∈ D.
Hơn nữa, nếu C thỏa mãn điều kiện (∗) thì tồn tại x ∈ K sao cho
G(x, y) +H (x, y) 6⊆ −(C\ {0}) với mọi y ∈ D.
Để chứng minh định lý này trước hết ta đi chứng minh các bổ đề sau. Trong các bổ đề này, ta luôn giả thiết rằng, các điều kiện (i)→(viii) của Định lý 2.2.4 được thỏa mãn.
Bổ đề 2.2.5. Tồn tại x ∈ K sao cho
(G(y, x)−H (x, y))∩intC = φ với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Lấy y ∈ K bất kỳ và đặt
S(y) ={x ∈ K|(G(y, x)−H (x, y))∩ intC = φ}.
Từ (ii) và (v) ta suy ra y ∈ S(y) nên S(y) 6= φ với mọi y ∈ D. Theo Mệnh đề 2.2.3 S(y) là tập đóng trong X (vì G(y, .)−H (., y) là C-liên tục dưới trên D). Lấy {yi|i ∈ I} là tập con hữu hạn của K và I ⊂N là tập các chỉ số hữu hạn bất kì của tập số tự nhiên N.
Với z ∈ conv{yi|i ∈ I} ta có z = X i∈I λiyi với λi > 0, i ∈ I,X i∈I λi = 1. Giả sử z /∈ [ i∈I S(yi). Khi đó
(G(yi, z)−H (z, yi))∩ intC 6= φ với mọi i ∈ I.
Do đó
X
i∈I
λi(G(yi, z)−H (z, yi))∩intC 6= φ. (2.12) Từ giả thiết (ii) và (iv) ta suy ra
X i∈I λiG(yi, z) =X i∈I λiG yi,X j∈I λjyj ⊂ X i,j∈I λiλjG(yi, yj)−C = 1 2 X i,j∈I λiλj(G(yi, yj) +G(yj, yi))−C ⊂ (−C)
hay
X
i∈I
λiG(yi, z) ⊂ (−C) (2.13) Hơn nữa, theo giả thiết (v) và (vii)
0 =H (z, z) = H z,X i∈I λiyi ! ∈ X i∈I λiH (z, yi)−C. Từ đó, ta nhận được −X i∈I λiH (z, yi) ∈ (−C). (2.14) Từ (2.13) và (2.14) suy ra X i∈I λi(G(yi, z)−H(z, yi)) ⊂(−C). Kết hợp với (2.12) ta được (−C)∩(intC) 6= φ.
Điều này mâu thuẫn với C là nón nhọn. Vậy
z ∈ [
i∈I
S(yi).
Vì z là bất kỳ thuộc conv{yi|i ∈ I} nên
conv{yi|i ∈ I} ⊆ [ i∈I S(yi). Kết hợp Bổ đề KKM, ta khẳng định \ i∈I S(yi) 6= φ.
Nghĩa là, giao của một họ hữu hạn bất kì của họ {S(y)}y∈K là khác rỗng. Để ý rằng, các tập S(y) là đóng và được chứa trong tập compắc
K. Do đó, ta khẳng định giao của các tập này cũng khác rỗng, tức là \
y∈K
Lấy x ∈ \ y∈K S(y), ta có (G(y, x)−H (x, y))∩intC = φ, với mọi y ∈ D.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.2.6. Nếu có x ∈ K,(G(y, x)−H(x, y)) ∩ intC = φ với mọi
y ∈ K thì có x ∈ K,(G(x, y) +H (x, y)) 6⊆ −intC với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Lấy x ∈ K sao cho
(G(y, x)−H (x, y))∩intC = φ với mọi y ∈ K.
Với y ∈ K cố định ta đặt
xt = ty + (1−t)x với mọi t ∈ [0,1].
Vì xt ∈ K với mọi t ∈ [0,1] nên
(G(xt, x)−H (x, xt)) ∩intC = φ. (2.15) Theo giả thiết (iv)
0 ∈ G(xt, xt) ⊂ (1−t)G(xt, x) +tG(xt, y)−C, hay 0 ∈ (1−t) (G(xt, x)−H (x, xt)) + (1−t)H (x, xt) +tG(xt, y)−C. Mặt khác, do H(x, .) là C- lồi nên H (x, xt) =H (x, ty + (1−t)x) ∈ tH(x, y) + (1−t)H(x, x)−C = tH (x, y)−C.
Từ đó, ta suy ra 0 ∈ (1−t) (G(xt, x)−H (x, xt)) +t(1−t)H(x, y) +tG(xt, y)−C. Nếu t(1−t)H (x, y) +tG(xt, y) ⊆ −intC với t∈ [0,1] nào đó, thì (G(xt, x)−H (x, xt))∩intC 6= φ.
Điều này mâu thuẫn với (2.15). Vậy
t(1−t)H (x, y) +tG(xt, y) 6⊆ −intC.
Từ đó, ta thu được
(1−t)H (x, y) +G(xt, y) 6⊆ −intC với t 6= 0. (2.16) Ta khẳng định rằng (2.16) cũng đúng vớit = 0. Thật vậy, định nghĩa hàm F : [0,1] → 2Y như sau
F (t) = (1−t)H (x, y) +G(xt, y) với t∈ [0,1].
Theo giả thiết (iii) thì F là (−C)- liên tục trên tại t = 0. Giả sử rằng F (0) ⊂ −intC. Vì F (0) = H (x, y) +G(x, y) là tập compắc nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho
F (0) +V ⊂ −intC.
Vì F là (−C)- liên tục trên tại t = 0 nên ta suy ra tồn tại lân cân
(−δ, δ) với δ > 0 của 0 trong R để
F (t) ⊂ F (0) +V −C với mọi t∈ (−δ, δ)∩[0,1].
Do đó
hay
(1−t)H(x, y) +G(xt, y) ⊆ −intC.
Điều này mâu thuẫn với (2.16). Vậy F (0) 6⊆ −intC và ta được
H(x, y) +G(x, y) 6⊆ −intC.
Do y ∈ K là bất kỳ nên chứng tỏ khẳng định (ii) là đúng.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.2.7. Nếu Φ : D →2Y là C- lồi dưới và có các tính chất: (i) Tồn tại x0 ∈ CoreDK sao cho Φ (x0) ⊆ −C;
(ii) Φ (y) ⊆ −intC với mọi y ∈ K, thì
Φ (y) 6⊆ −intC với mọi y ∈ D.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh Φ (y) 6⊆ −intC với mọi y ∈ D\K. Giả sử ngược lại rằng tồn tại y ∈ D\K sao cho Φ (y) ⊆ −intC. Lấy z ∈ (x0, y], z = αx0 + (1−α)y với α ∈ [0,1) thì
Φ (z) = Φ (αx0 + (1−α)y) ⊆ αΦ (x0) + (1−α) Φ (y)−C
⊆ −C −intC −C = −intC.
x0 ∈ CoreDK, ta suy ra tồn tại z0 ∈ (x0, y] ∩ K. Vì z0 ∈ (x0, y] nên
Φ (z0) ⊆ −intC. Mặt khác z0 ∈ K nên Φ (z0) 6⊆ −intC (mâu thuẫn).
Vậy bổ đề được chứng minh.
Chứng minh Định lý 2.2.4.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.5 tồn tại x ∈ K sao cho
(G(y, x)−H (x, y))∩intC = φ với mọi y ∈ K.
Theo Bổ đề 2.2.6 thì
Đặt
Φ (y) = G(x, y) +H (x, y) với mọi y ∈ D.
Từ (iv) và (vii) ta suy ra
Φ : D → 2Y là C-lồi dưới y ∈ K.
(2.17.) chứng tỏ rằng
Φ(y) 6⊆ -intC với mọi y ∈ K.
Nếu x ∈ CoreDK ta lấy x0 = x thì
Φ (x0) = G(x, x) ⊂ −C.
Nếu x /∈ CoreDK ta lấy x0 = a, với a từ giả thiết (viii). Khi đó
Φ (x0) = G(x, a) + H(x, a) ⊂ −C.
Như vậy, luôn tồn tại x0 ∈ CoreDK để Φ (x0) ⊂ −C. Vậy hàm Φ
thỏa mãn các giả thiết của Bổ đề 2.2.7. Cho nên tồn tại x ∈ D sao cho
G(x, y) +H (x, y) ⊆ −intC với mọi y ∈ D.
Hơn nữa, nếu nón C thỏa mãn điều kiện (∗) của Định nghĩa 2.2.2, tức là tồn tại nón C lồi, đóng, nhọn sao cho C\ {0} ⊂ intC. Từ chú ý ở trên, các giả thiết của Định lý 2.2.4 vẫn thỏa mãn khi thay C bởi C. Do đó, theo chứng minh của định lý tồn tại x ∈ K sao cho
G(x, y) +H (x, y) 6⊆ −intC với mọi y ∈ D.
Từ đó
G(x, y) +H (x, y) 6⊆ −(C\ {0}) với mọi y ∈ D.
Nhận xét: (1) Nếu D là compắc, thì giả thiết (viii) được thỏa mãn tức khắc vì với K = D thì K\CoreDK = φ.
(2) Nếu thay giả thiết về tính C-liên tục dưới của ánh xạ G(x, .)
đối với x ∈ D cố định trong (iv) và giả thiết về tính (−C)- liên tục của
H (., y) đối với y ∈ D cố định trong (vi) bằng giả thiết tập
S(y) = {x ∈ K|(G(y, x)−H(x, y))∩intC = φ}
với mọi y ∈ D là tập đóng trong X và các giả thiết khác vẫn giữ nguyên, thì kết luận của định lý vẫn đúng.
(3) Nếu lấy Y = R, C = R+, G và H là các hàm đơn trị từ
D×D → R, thì từ định lý trên ta suy ra định lý về sự tồn tại điểm cân bằng của bài toán cân bằng vô hướng của Blum và Oettli (Xem định lý 2.1.5). Như vậy định lý trên là mở rộng trực tiếp các kết quả của các tác giả này cho trường hợp hàm véctơ.
(4) Nếu lấy G≡ 0(hoặc H ≡0), ta thu được điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơH (hoặc bài toán cân bằng Pareto véctơ G(x, x) 6=⊂ C\ {0} và bài toán cân bằng yếu G(x, x) 6=⊂ intC). Nó là sự mở rộng các kết quả của Ky Fan và Browder.
(5) Nếu G, H là các hàm đơn trị, thì ta thu được điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng đơn trị dạng F = G+ H (Xem định lý 2.1.5).
Lý thuyết trò chơi
Trong ngành lý thuyết trò chơi, các trò chơi được nghiên cứu là các đối tượng toán học được định nghĩa cụ thể. Lý thuyết trò chơi nghiên cứu, đưa ra cách lựa chọn hành vi tối ưu khi chi phí và lợi ích của mỗi người lựa chọn không cố định mà phụ thuộc vào lựa chọn của các người chơi khác.
3.1 Trò chơi không hợp tác vô hướng
Một trò chơi bao gồm một tập các người chơi (đấu thủ), một tập các chiến lược (hoặc nước đi) mà người chơi có thể chọn, và một đặc tả về cơ chế thưởng phạt cho mỗi tổ hợp của các chiến lược. Trước hết, ta đưa ra một số khái niệm cơ bản.
Định nghĩa 3.1.1. Một trò chơi không hợp tác được mô tả bởi
G= N, (Ai)i∈N , (fi)i∈N,
trong đó:
(i) N là một tập khác rỗng được gọi là tập các người chơi;
(ii) Với mỗi i ∈ N, tập Ai khác rỗng được gọi là tập chiến lược chơi của người chơi i;
(iii) Với mỗi i ∈ N, ánh xạ fi : N
Q
i=1
Ai → R gọi là hàm tổn thất của người chơi i.
Ta thấy, mỗi người chơi phải lựa chọn một chiến lược ai ∈ Ai. Sự lựa chọn chiến lược của các người chơi là đồng thời, hoặc ít nhất không
biết về chiến lược của người kia. Ở cuối cuộc chơi, nếu người chơi j chọn
aj ∈ Aj, thì tổn thất của người chơi i là fi(a), với a = (aj)j∈N. Mục tiêu của mỗi người chơi là làm tối thiểu tổn thất của mình.
Ký hiệu: Đặt:
A = Y i∈N
Ai.
Mỗi phần tử a = (ai)i∈N thuộc A gọi là một tổ hợp chiến lược. Lấy người chơi i thuộc N, đặt:
A−i = Y j∈N\{i}
Aj.
Khi đó, với a = (ai)i∈N ∈ A, ta viết a−i = (aj)j∈N\{i} ∈ A−i, thì a−i
là tổ hợp chiến lược của mọi người chơi trừ người chơi i.
Hàm f : A→ RN, a 7→f (a) = (fi(a))i∈N được gọi là hàm véctơ tổn thất của trò chơi.
Định nghĩa 3.1.2. Một trò chơi không hợp tác vô hướng là hữu hạn nếu tập người chơi và tập các chiến lược là hữu hạn.
Định nghĩa 3.1.3. Cho i thuộc N, và hai chiến lược ai, bi của người chơi i trong Ai. Ta định nghĩa:
bi là chiến lược áp đảo ai nếu
∀a−i ∈ A−i, fi(bi, a−i) < fi(ai, a−i). bi là chiến lược áp đảo yếu ai nếu
∀a−i ∈ A−i, fi(bi, a−i) 6 fi(ai, a−i)
∃a−i ∈ A−i, fi(bi, a−i) < fi(ai, a−i)
ai là chiến lược bị áp đảo ngặt (hay yếu) nếu tồn tại một chiến lược
Định nghĩa 3.1.4. Lấy i thuộc N, ai thuộc Ai, và a−i thuộc A−i. Ta nói là ai là một phương án tốt nhất của người chơi i đáp lại a−i nếu:
∀bi ∈ Ai, fi(ai, a−i) 6 fi(bi, a−i).
Cách nói, ai là phương án tốt nhất đáp lại a−i nếu người chơi i sử dụng ai và những người chơi khác sử dụng a−i. Điều này tương đương:
fi(ai, a−i) = min
bi∈Ai
fi(bi, a−i).
Tồn tại phương án tốt nhất của người chơi i đáp lại a−i tức là tồn tại giá trị nhỏ nhất của tập {fi(bi, a−i), bi ∈ Ai}. Khi Ai là hữu hạn thì giá trị nhỏ nhất luôn tồn tại. Nên người chơi i luôn có ít nhất một phương án tốt nhất đáp lại các tổ hợp chiến lược bất kỳ trong A−i. Nếu không tồn tại giá trị nhỏ nhất thì người chơi i không có phương án tốt nhất đáp lại a−i.
Định nghĩa 3.1.5. Lấy i ∈ N, và ai ∈ Ai. Chiến lược ai của người chơi i là áp đảo nếu với mọi tổ hợp chiến lược của các người chơi khác, người chơi i nên dùng chiến lược ai. Tức là:
∀a−i ∈ A−i,∀bi ∈ Ai, fi(ai, a−i) 6 fi(bi, a−i).
Định nghĩa 3.1.6. Một cân bằng trong chiến lược áp đảo của G là một tổ hợp chiến lược a = (ai)i∈N trong A sao cho với mỗi i ∈ N, ai là chiến lược áp đảo của người chơi i.
Định nghĩa 3.1.7. Cân bằng Nash là một tổ hợp chiến lược sao cho mỗi người chơi có phương án tốt nhất đáp lại các chiến lược của những người chơi còn lại. Tức là, vớia = (ai)i∈N là một tổ hợp chiến lược trong
A, a là cân bằng Nash của G khi và chi khi:
Điều này tương đương: với mọi i thuộc N, ai là phương án tốt nhất đáp lại a−i.
Khi a là cân bằng Nash của G, thì véctơ (fi(ai))i∈N ∈ Rn được gọi là tổn thất Nash của G.
Khái niệm cân bằng Nash là yếu hơn cân bằng trong chiến lược áp đảo. Ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.1.8. Cân bằng trong chiến lược áp đảo là một cân bằng Nash.
Chứng minh. Lấy a = (ai)i∈N là một cân bằng trong chiến lược áp đảo củaG và i thuộc N. Do ai là một chiến lược áp đảo của người chơii, nên nó là phương án tốt nhất đáp lại mọi tổ hợp chiến lược của các người chơi khác, suy ra nó là phương án tốt nhất đáp lại a−i. Từ đó, a là một cân bằng Nash của G. Ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề 3.1.9. Nếu a = (ai)i∈N là một cân bằng Nash của G, thì với mọi i thuộc N chiến lược ai không là bị áp đảo ngặt.