tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận

tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG

- -

Đề tài: Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện : Lê Xuân Đại Lớp: Toán-Tin 2-k51

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

khác nhau và ngày càng hoàn thiện

- Ngoài ra với ngôn ngữ lập trình Maple người dùng có thể tập hợp các thao tác lại và soạn thảo thành một chương trình, một modul để giải các bài toán đặt ra

- Khái niệm về trị riêng và vecto riêng của ma trận

- Trị riêng và vecto riêng của các ma trận đồng dạng

- Phương pháp Đanhilepski

- Phương pháp A.N-Cờrưlốp

- Một số ví dụ được giải bằng Maple

- Các gói thủ tục và hàm được sử dụng

Ý nghĩa của bài toán (1) là , với vecto Y ≠ Ø, thì nói chung các vecto AY và Y không có tỷ lệ với nhau.Nhưng nếu có λ để thỏa mãn AX = λ X (X ≠ Ø ) thì AX và X tỷ lệ với nhau theo hệ số tỷ lệ

là λ

Từ (1) ta có :

(A- λE)X = 0 (2)

Để tồn tại X ≠ Ø thỏa mãn (2) thì điều kiện là :

det(A- λE) = | A- λE | =0 (3)

Đa thức P(λ) = | A- λE | gọi là đa thức đặc trưng

Giải (3) ta được các trị riêng λ,ứng với λ giải phương trình (2) ta được các vecto riêng X ≠ Ø tương ứng

Tuy vậy, số lượng các phép tính để tính đa thức đặc trưng

P() = | A-E | là quá lớn khi n lớn

Để giảm số lượng phép tính, ta xét vài phương pháp sẽ trình bày sau đây:

2.Trị riêng và vecto riêng của các ma trận đồng dạng

dạng của ma trận đồng dạng với ma trận A mà đa thức đặc trưng của nó có thể tìm một cách dễ dàng

3.Phương pháp Đanhilepski

Phương pháp này là đưa ma trận A về dạng ma trận đồng dạng với ma trận P nào đó , rồi từ A ~ P ta có thể tìm được đa thức đặc trưng thuận lợi hơn

a- Đa thức đặc trưng của ma trận dạng Phờrôbơniuýt

Ma trận Phờrôbơniuýt có dạng :

Đa thức đặc trưng của ma trận P sẽ là:

(4) Khai triển (4) bằng quy nạp ta được

P(λ) = det(P-λE) =

Như vậy ta tìm cách đưa ma trận A tới ma trận đồng dạng với A có dạng P,thì đa thức đặc trưng của P cũng là đa thức đặc trưng của

A

b-Quá trình biến đổi ma trận A về dạng P

Để cách trình bày được đơn giản ta xét ma trận cấp 4 sau:

Khi đó

Hay

(Được hàng cuối cùng của ma trận P)

Bước 2: Giả thiết

Chọn

=>

=>

Hay

(được hàng cuối cùng của ma trận dạng P)

Bước 3: Giả thiết

nào đó bằng “0” thì có 2 khả năng xảy ra là:

a.Mọi phần tử trong hàng đó đứng trước nó đều bằng “0”.chẳng hạn

Thì đa thức đặc trưng sẽ là :

Nghĩa là ta chỉ cần biến đổi với ma trận cấp ba

b.trường hợp trong hàng đó, các phần tử đứng trước nó có phần

Nếu Y là một vecto riêng ứng với tri riêng λ của ma trận P thì PY=λY,từ(7) ta suy ra

Hay

(9)

Do các vecto riêng khác nhau hằng số nhân, nên trong hệ (9) ta

chọn

a.Nội dung phương pháp

Dựa vào đồng nhất thức Hamintôn-Keli

Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là :

Ta đã biết , nếu (11) là đa thức đặc trưng của ma trận A thì A thỏa mãn phương trình ma trận :

Từ đó ta suy ra hệ (16).Giải hệ (16) được kết quả

Chú ý: nếu hệ (16) có nghiệm duy nhất thì nó là hệ số của ma trận đặc trưng (11) Trong trường hợp không có nghiệm duy nhất thì ta phải chọn lại để hệ (16) có nghiệm duy nhất

c vecto riêng

Theo phương pháp Cờrưlốp ta được đa thức đặc trưng:

Khác nhau dấu cộng hoặc trừ

Để đơn giản, giả thiết phương trình đặc trưng (17) có các nghiệm phân biệt là

(vì các vecto riêng chỉ khác nhau hằng số nhân)

>

>

>

>

>

> with(Student[LinearAlgebra]);P:=Matrix(4, 4, {(1, 1) = 26-lambda, (1, 2) = 164, (1, 3) = -722, (1, 4) = -1, (2, 1)

= 1, (2, 2) = -lambda, (2, 3) = 0, (2, 4) = 0, (3, 1) = 0, (3, 2) = 1, (3, 3) = -lambda, (3, 4) = 0, (4, 1) = 0, (4, 2) = 0, (4, 3) = 1, (4, 4) = -lambda});

>

>

(*)Trong các ví dụ trên có sử dụng các gói thủ tục và hàm của Maple :

- Gói thủ tục LinearAlgebra : cung cấp những thủ tục để xây dựng và thao tác trên các ma trận và vecto ,bao gồm các việc như : tính toán các thao tác tiêu chuẩn, câu hỏi kết quả và giải quyết các vấn đề về đại số tuyến tính.khi bạn nạp bằng lệnh with bạn sẽ thấy tất cả các hàm trong

bộ chương trình đó :

>

>evalm(A - lambda * &*())

- LinearSolve(A,b) : hàm giải phương trình AX=b

>evalm(LinearSolve(A,b));

- Determinant(A): Hàm tính định thức của ma trận

>Determinant(A);

Phần C : Kết luận

Đề tài nói được khái niệm về trị riêng và vecto riêng của ma trận, cách tìm đa thức đặc trưng ,trị riêng ,vecto riêng bằng các phương pháp Đanhilepski và A.N Cờrưlốp

Sử dụng Maple để tìm trị riêng vecto riêng theo hai thuật toán nói trên

Biết được bộ chương trình đại số tuyến tính LinearAlgebra và with với 1 số phép toán trên ma trận và vecto trong Maple

Do khả năng có hạn nên bài làm còn nhiều chỗ thiếu sót rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy để em có thể làm tốt hơn

Tài liệu tham khảo

1.Giáo trình : Giải tích số - Lê Trọng Vinh , NXB khoa học

và kỹ thuật

2.Hướng dẫn sử dụng Maple – Nguyễn Hữu Điển

3.Các tài liệu lấy trên internet

…