lời giải toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: x + y − 31 = 0, hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hồnh độ âm Giải: B ∈ d1 ⇒ B (b;8 − b), D ∈ d ⇒ (2d − 3; d ) uuu r  b + 2d − −b + d +  ; Khi BD = (−b + 2d − 3; b + d − 8) trung điểm BD I  ÷ 2   Theo tính chất hình thoi ta có : uuu uuu r r u AC BD =  BD ⊥ AC −8b + 13d − 13 = b =  ⇔ ⇔ ⇔   I ∈ AC  I ∈ AC −6b + 9d − = d =  Suy B(0;8); D(−1;1)  9 Khi I  − ; ÷; A ∈ AC ⇒ A(−7a + 31; a )  2 S ABCD = 2S 15 AC.BD ⇒ AC = ABCD = 15 ⇒ IA = BD 2 2  a =  A(10;3) (ktm) 63   9 225 9   ⇒  −7 a + ÷ +  a − ÷ = ⇔ a − ÷ = ⇔  ⇒ Suy C (10;3)   2 2    a =  A(−11;6) Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y − = d : x + y − = Giả sử d1 cắt d I Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M (−1;1) cắt d1 d tương ứng A, B cho AB = 3IA Giải: d1 cắt d I (2; 0) Chọn A0 (0; − 2) ∈ d1 , ta có I ∆ A d1 A0 IA0 = 2 B0 M Lấy B0 (2 − 2b; b) ∈ d cho B A0 B0 = 3IA0 = ⇔ (2 − 2b) + (b + 2) = 72 2  B0 (−6; 4) b =  ⇔ 5b − 4b − 64 = ⇔ ⇒ 42 16 b = − 16  B0  ; −      5   Suy đường thẳng ∆ đường thẳng qua M (−1; 1) song song với A0 B0 Suy phương trình ∆ : x + y = ∆ : x + y − = d2 Nguyễn Công Mậu Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC = 2BD Điểm M (0; ) thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hồnh độ dương Giải: Gọi N’ điểm đối xứng N qua I N’ thuộc AB,  xN ' = xI − xN =  y N ' = y I − y N = −5 ta có:  Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – = Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: d = 4.2 + 3.1 − 42 + 32 =2 AC = BD nên AI = BI, đặt BI = x, AI = 2x tam giác vuông ABI có: 1 = + suy x = d x 4x suy BI = hoctoancapba.com Điểm B giao điểm đường thẳng 4x + 3y – = với đường trịn tâm I bán kính  4x + 3y – = Tọa độ B nghiệm hệ:  2 ( x − 2) + ( y − 1) = 5 B có hồnh độ dương nên B( 1; -1) Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : x + y − = hai điểm A(1; 0), B(3; uuu r uuu r 4) Hãy tìm đường thẳng ∆ điểm M cho MA + 3MB nhỏ Giải: Gọi I trung điểm AB, J trung điểm IB Khi I(1 ; -2), J( ; −3 ) uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Ta có : MA + 3MB = (MA + MB ) + 2MB = 2MI + 2MB = 4MJ Vì MA + 3MB nhỏ M hình chiếu vng góc J đường thẳng ∆ Đường thẳng JM qua J vng góc với ∆ có phương trình: 2x – y – = −2  x = x + y − = 19 −2  ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ  Vậy M( ; ) 5 2 x − y − =  y = 19   Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P(−7;8) hai đường thẳng d1 :2 x + y + = ; d :5 x − y − = cắt A Viết phương trình đường thẳng d3 qua P tạo với d1 , d thành tam giác cân A có diện tích 14,5 Nguyễn Cơng Mậu Giải : Ta có A(1; −1) d1 ⊥ d hoctoancapba.com Phương trình đường phân giác góc tạo d1 , d là: ∆1: x + y − = ∆2: 3x − y − 10 = d3 tạo với d1 , d tam giác vuông cân ⇒ d3 vng góc với ∆1 ∆2 ⇒ Phương trình d3 có dạng: x + y + C = hay 3x − y + C ′ = Mặt khác, d3 qua P(−7;8) nên C = 25 ; C′ = 77 Suy : d3 : x + y + 25 = hay d3 :3 x − y + 77 = Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích 29 ⇒ cạnh huyền 58 58 d ( A, d ) = 58 • Với d3 : x + y + 25 = d ( A; d3 ) = ( tm) 87 • Với d3 : x − y + 77 = d ( A; d ) = ( loại ) 58 Suy độ dài đường cao A H = Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B ( −2;1) , điểm A thuộc Oy, · điểm C thuộc Ox ( xC ≥ ), góc BAC = 30o ; bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định toạ độ điểm A C Giải: Gọi C(c;0); A(0;a); ta có: 2 BC = R sin 30o = ⇒ BC = ⇔ ( c + ) + ( − 1) = ⇔ c = , c = −4 (loai ) Suy C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vng góc điểm B Oy ta có tam giác BHA nửa tam giác Nên BA =2 BH HA = ⇒ A(0;1 + 3) A(0;1 − 3) Vậy có A(0;1 − 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) A(0;1 + 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) 2 Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y − x + y + = điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d qua A, gọi B, C giao điểm đường thẳng d với (C) Lập phương trình d cho AB + AC nhỏ Giải: Tâm đường tròn I (3; −1), R = 2; IA = = d ( I , A) > R = nên điểm A nằm ngồi (C) Ta có PA/( C ) = AB.AC = d2- - R2 = 16 ; AB + AC ≥ AB AC = 2.4 = dấu “=”xẩy ⇔ AB a ( x − 1) + b( y − 3) = = AC = Khi d tiếp tuyến (C), d có dạng ⇔ ax + by − a − 3b = Từ ta có d ( I , d ) = ⇔ 3a − b − a − 3a a + b2 b = chọn  4a = 3b = ⇔ 3b = 4ab ⇔  Vậy phương trình d : x = , 3x + y − 15 = b = b = ∨  a = a = Nguyễn Công Mậu Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x + y − x + y − = điểm M (7;7) Chứng minh từ M kẻ đến (T) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B tiếp điểm Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác MAB Giải: (T ) ⇔ ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 13 ⇒ I (1; −2); R = 13 uuu r Ta có: IM (6;9) ⇒ IM = 117 > 13 Suy điểm M nằm (T) Vậy từ M kẻ đến (T) tiếp tuyến Gọi K = MI ∩ AmB Ta có MA = MB, IA = IB ⇒ MI đường trung trực AB ⇒ KA = KB ⇒ ∠KAB = ∠KBA = ∠KAM = ∠KBM ⇒ K tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB  x = + 2t , MI ∩ (T ) K1(3;1) K2(-8;-12)  y = −2 + 3t Ta có AK1 < AK Vậy K ≡ K1 , tức K(3;1) PTTS MI:  Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB = 5, C (−1; −1) , đường thẳng AB có phương trình x + y − = trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A B Giải: uuu r r uu Gọi I ( x; y ) trung điểm đoạn AB G ( xG ; yG ) trọng tâm ∆ABC Do CG = CI 2x −1 y −1 ; yG = Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình: 3 x + y − = x =  ⇔ Vậy I (5; −1)  2x −1 y −1 + −2=0  y = −1  3  nên xG = Ta có IA = IB = AB = 2 5 ⇒ (C ) : ( x − 5) + ( y + 1) = Gọi (C ) đường trịn có tâm I (5; −1) bán kính R = Tọa độ hai điểm A, B nghiệm hệ phương trình: x + y − = x = x =     5⇔ 1∨ 2 ( x − 5) + ( y + 1) = y=− y=−       1  3  Vậy tọa độ hai điểm A, B  4; − ÷,  6; − ÷ 2  2  Bài 10: Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: y = Gọi (C) đường tròn cắt d Nguyễn Công Mậu điểm B, C cho tiếp tuyến (C) B C cắt O Viết phương trình đường trịn (C), biết tam giác OBC Giải: Gọi (C)có tâm I bán kính R OI cắt BC H H trung điểm BC OH vng góc BC =>H(0; )=>OH= Do tam giác OBC nên OH= BC = ⇔ BC = I B H C Trong tam giác vuông IB có HB = HI HO = ⇒ IH = uur uuur u HI = OH = (0; ) ⇒ I (0; ) 3 2 2 Trong tam giác vng IBH có R = IB = IH + HB = Vậy phương trình đường trịn (C): x + ( y − 4 ) = 3 O Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) đường thẳng ∆ : x – y + = Viết phương trình đường trịn qua M cắt ∆ điểm A, B phân biệt cho ∆MAB vng M có diện tích Giải: Đường trịn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình ( x − a ) + ( y − b) = R hoctoancapba.com ∆MAB vng M nên AB đường kính suy ∆ qua I đó: a - b + = (1) Hạ MH ⊥ AB có MH = d ( M ,∆ ) = S ∆MAB = −1+1 = 1 MH AB ⇔ = R ⇔ R = 2 Vì đường trịn qua M nên (2 − a) + (1 − b) = (2) a − b + = Ta có hệ  (1) 2 (2 − a ) + (1 − b) = (2) Giải hệ a = 1; b = Vậy (C) có phương trình ( x − 1) + ( y − 2) = Nguyễn Công Mậu Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, điểm C(3; -3) điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = Gọi M trung điểm BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = Xác định tọa độ điểm A, B, D Giải: A ∈d ⇒ A(t; -3t) Ta có: d(C; DM) = t = d(A; DM) ⇒ | 4t -4 | = ⇔| t - | = ⇔   t = −1 t = ⇒ A(3, -7) (loại A, C phải khác phía đối DM) t = -1 ⇒ A(-1, 5) (thỏa mãn) Giả sử D(m; m-2)  AD ⊥ CD  AD = CD  (m + 1)(m − 3) + (m − 7)(m + 1) = ⇒ 2 2 (m + 1) + (m − 7) = (m − 3) + (m + 1) ⇔ m = ⇒ D(5;3) Gọi I tâm hình vng ⇒ I trung điểm AC ⇒ I (1; 1) Do I trung điểm BD ⇒ B(-3; -1) Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ( 2;0 ) ; C ( −3;5 ) G Là trọng tâm thuộc đường thẳng d có phương trình 2x + y − = diện tích tam giác ABC Hãy xác định tọa độ điểm A ? Giải: uuu r BC = (−5;5) ⇒ BC = 2pt : BC là:x + y - = 5 SVABC = ⇒ SVGBC = SVABC = (G trọng tâm tam giác ABC) G ∈ d : 2x + y − = ⇒ G(x; −2x + 1)3 d (G.BC) = Với G( 2SVGBC BC  x = x − − 2x + 1 1 = ⇔ = ⇔ x +1 = ⇔  3 2 x =   −2 −2 ⇒ G( ; ) 3 −4 −4 11 ⇒ G( ; ) 3 −2 −4 11 ; ) ⇒ A(−1; 2);G( ; ) ⇒ A( −3;6) 3 3 Bài 14: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho ba đường d 1: x – 2y + = 0; d2: 3x – y – = 0; d3: 2x + y + = Tìm điểm M d điểm N d2 cho MN = MN song song với d3 Giải: M thuộc d1, N thuộc d2 nên M(2a - 1; a), N(b; 3b - 2) MN = ⇔ MN = ⇔ (b − 2a + 1) + (3b − a − 2) = (1) Nguyễn Công Mậu uuuu uur r MN / / d3 ⇔ MN nd3 = ⇔ (b − 2a + 1;3b − a − 2).(2;1) = ⇔ a = b thay vào (1) ta a = b = a = b = Vậy có điểm thoả mãn toán là: M(-1; 0), N(0; -2) M(3; 2), N(2; 4) Bài 15: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình:x + y2 – x – 4y – = điểm A(3 ;-5) ; B(7;-3) Tìm điểm M đường tròn (C ) cho P = MA + MB2 nhỏ Giải: -Đường trịn (C) có tâm I ( ; 2), R = -Gọi H trung điểm đoạn AB => H(5; -4) Xét tam giác MAB có MH = MA2 + MB AB AB − ⇔ P = MA2 + MB = 2MH + P nhỏ MH nhỏ hay M giao điểm OH với (C)  x = + 3t , thay vào phương trình đường trịn ta ptrình t + 3t + = t  y = −4 − 4t mà IH :  = -1 t = -2 => với t = -1 M(2; 0), với t = -2 M(-1; 4) -Kiểm tra thấy M(2; 0) điểm cần tìm Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A , biết B C đối xứng qua gốc tọa độ Đường phân giác góc ABC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đường thẳng AC qua điểm K (6;2) Giải: B(5 − 2b; b), C (2b − 5; −b) , O (0;0) ∈ BC Gọi I đối xứng với O qua phân giác góc ABC nên I (2;4) I ∈ AB uu r uuu r Tam giác ABC vuông A nên BI = ( 2b − 3;4 − b ) vng góc với CK = ( 11 − 2b;2 + b ) b = (2b − 3)(11 − 2b) + (4 − b)(2 + b) = ⇔ −5b + 30b − 25 = ⇔  b = Với b = ⇒ B (3;1), C ( −3; −1) ⇒ A(3;1) ≡ B loại  31 17  Với b = ⇒ B(−5;5), C (5; −5) ⇒ A  ; ÷  5  31 17  Vậy A  ; ÷; B( −5;5); C (5; −5)  5 Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) x + y + x − y + = đường thẳng d: x + y − = Tìm đỉnh hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (C) biết đỉnh A thuộc d có hồnh độ dương hoctoan capba.com Nguyễn Cơng Mậu Giải: + Đường trịn ( x + 1) + ( y − 3) = có tâm I (−1;3) bán kính R = 2 + A thuộc d nên A( x; − x) + Ta có IA2 = ⇒ ( x + 1) + (1 + x)2 = ⇒ ( x + 1) = x = ⇔  x = −3 ( L) Vậy A(1;1) ⇒ C ( −3;5) uu r r + Đường thẳng BD qua I (−1;3) vng góc với IA nên nhận IA = (2; −2) // u (1; −1) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: x − y + = + Tọa độ giao điểm B, D thỏa mãn phương trình: x =1 ( x + 1) + ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) = ⇔   x = −3 + x =1⇒ y = + x = −3 ⇒ y = Vậy B(1;5) ⇒ D(-3;1) ngược lại Bài 18: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác tạo trục toạ độ đường thẳng có phương trình 8x + 15y - 120 = Giải: Giả sử d: 8x + 15y – 120 = cắt Ox, Oy A,B Gọi I(a;b) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABO Ta có: * < a,b < * Bán kính r = d(I,Ox) = d(I,Oy) = d(I,d) 8a + 15b − 120  a = b = 3(tm) ⇔ ⇒r =3 17  a = b = 20(l ) ⇒ PT : ( x − 3) + ( y − 3) = ⇔ a =b= Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC 2 3 M(3,2), trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G( , ) I(1,2) Xác định tọa độ đỉnh C Giải: uuu r uuur   IM = (2;4), GM =  ; ÷  r  uuur uuu Gọi A(xA; yA) Có AG = GM ⇒ A(-4; -2) uuu r Đường thẳng BC qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT: 2(x - 3) + 4(y - 2) = ⇔ x + 2y - = Gọi C(x; y) Có C ∈ BC ⇒ x + 2y - = Mặt khác IC = IA ⇔ ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 25 ⇔ ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 25 Nguyễn Công Mậu x − 2y − = Tọa độ C nghiệm hệ phương trình:  2 ( x − 1) + ( y + 2) = 25 x = x = Giải hệ phương trình ta tìm   y = y = Vậy có điểm C thỏa mãn C(5; 1) C(1; 3) Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng ∆ : 3x − y + = Tìm ∆ hai điểm A B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15 Giải: 3a + 16 − 3a ) ⇒ B (4 − a; ) Khi diện tích tam giác ABC 4 S ABC = AB.d (C → ∆) = AB 2 a =  − 3a  Theo giả thiết ta có AB = ⇔ (4 − 2a) +  ÷ = 25 ⇔  a =    Gọi A(a; Vậy hai điểm cần tìm A(0;1) B(4;4) Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm  11  ; ÷và đường  2 cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M  thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A Giải: A 5a a 10 a ; AM = ; MN = ; AM + AN − MN · cosA = = ⇒ MAN = 45o 2 AM AN · (Cách khác :Để tính MAN = 450 ta tính 2− =1 · · tg ( DAM − DAN ) = ) 1 + Ta có : AN = B M D N C Phương trình đường thẳng AM : ax + by − · cos MAN = 2a − b 5(a + b ) 2 = 11 a− b= 2 a ⇔ 3t2 – 8t – = (với t = ) ⇒ t = hay t = − b 2 x − y − = ⇒ A (4; 5) 3 x + y − 17 = 2 x − y − = + Với t = − ⇒ tọa độ A nghiệm hệ :  ⇒ A (1; -1) x − 3y − = Nguyễn Công Mậu + Với t = ⇒ tọa độ A nghiệm hệ :  Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích ∆IAB lớn Giải: (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R = Giả sử ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ∆ABC, ta có S∆ABC = · · IA.IB.sin AIB = sin AIB · Do S∆ABC lớn sin AIB = ⇔ ∆AIB vuông I ⇔ IH = − 4m IA = (thỏa IH < R) ⇔ =1 m2 + ⇔ – 8m + 16m2 = m2 + ⇔ 15m2 – 8m = ⇔ m = hay m = 15 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ x − y − = Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình thoi, biết NQ = 2MP N có tung độ âm Giải: Phương trình MP là: x + y − = x − y −1 = x = I = MP ∩ NQ ⇒ tọa độ I nghiệm hệ phương trình  ⇔ ⇒ I ( 2;1) x + y − = y = I trung điểm MP nên suy P ( 3;0 ) phương trình NQ x − y − = nên tọa độ N, Q có dạng (m; m-1) 2 Do NQ = 2MP ⇒ IN = 4IM ⇔ ( m − ) + ( m − ) = ( 12 + 12 ) m = ⇔ ( m − 2) = ⇔  m = Vì N có tung độ âm nên N(0; -1) ⇒ Q(4; 3) Vậy P ( 3;0 ) , N(0; -1), Q(4; 3) làcác đỉnh cần tìm Bài 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vng ABCD có phương trình: ( x − 2)2 + ( y − 3) = 10 Xác định tọa độ đỉnh hình vng biết đường thẳng chứa cạnh AB qua điểm M (−3; −2) điểm A có hồnh độ dương Giải: 10 Nguyễn Cơng Mậu Phương trình đường thẳng qua M(-3;-2) có dạng ax + by + 3a + 2b = (a + b > 0) Đường trịn (C) có tâm I(2;3) bán kính R = 10 (C) tiếp xúc với AB nên d ( I ; AB ) = R hay A R B I M 2a + 3b + 3a + 2b D a +b C = 10 ⇔ 10(a + b ) = 25(a + b)  a = −3b ⇔ (a + 3b)(3a + b) = ⇔  b = −3a Do phương trình AB x - y - = AB: x - y + = + Nếu AB: x - y + = Gọi A(t;3t+7) A có hồnh độ xA > nên t > t = 2 (loại) IA2 = 2.R = 20 nên ( t − ) + ( 3t + ) = 20 ⇔ 10t + 20t + 20 = 20 ⇒   t = −2 + Nếu AB: x - y - = Gọi A(3t+3;t) A có hồnh độ xA > nên t >-1 IA2 = 2.R = 20 nên ( + 3t ) + ( t − 3) = 20 ⇔ 10t + 10 = 20 ⇒ t = Suy A(6;1) ⇒ C(-2;5) 2 B(0;-1); D(4;7) Vậy điểm cần tìm A(6;1); B(0; −1); C (−2;5); D(4;7) Bài 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, đường thẳng chứa đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình là: x − y − 13 = 13 x − y − = Tìm tọa độ đỉnh B C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I (−5 ; 1) Giải: + Theo giả thiết A(-3 ;-8) + Đường thẳng qua I(-5;1) song song với x-2y-13=0 cắt đường thẳng 13x-6y-9=0 M(3;5) + Đường thẳng qua BC có phương trình là: 2x + y – 11 = nên B(x B; 11-2xB) Mà IA = IB nên B(4; 3) B(2;7) + Vậy B(4; 3) C(2;7) C(4; 3) B(2;7) hai nghiệm cần tìm Bài 26: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d 1: x + y + = d2: x + 2y – = Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải: + Giả sử B( xB ; yB ) ∈ d1 ⇒ xB = − yB − 5; C ( xC ; yC ) ∈ d ⇒ xC = −2 yC +  xB + xC + =  yB + yC + = Vì G trọng tâm nên ta có hệ:  + Từ cácuuu phương trình ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) r uuu r + Ta có BG (3; 4) ⇒ VTPT nBG (4; −3) nên phương trình BG: 4x – 3y – = 11 Nguyễn Công Mậu + Bán kính R = d(C; BG) = 81 ⇒ phương trình đường trịn là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 25 Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: x − y − = hai điểm A(1;2) ; B(4;1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng (d ) qua hai điểm A , B Giải: Phương trình đường trung trực AB x − y − = Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ: 2 x − y =  x = ⇔ ⇒ I ( 1; −3 ) R = IA =  3 x − y =  y = −3 Phương trình đường trịn ( x − 1) + ( y + 3) = 25 2 Bài 28: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1: x – 2y + = 0, d2 : 4x + 3y – = Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I d1, tiếp xúc d2 có bán kính R = Giải:  x = −3 + 2t , I∈ d1 ⇒ I ( −3 + t ; t ) y = t 27 d(I , d2) = ⇔ 11t − 17 = 10 ⇔ t = , t = 11 11 2 27 21   27   21 27   ⇒ I  ;  (C1 ) :  x −  +  y −  = • t= 11 11   11   11 11   d1:  • 19   7  − 19   ;  (C ) :  x +  +  y −  = t = ⇒ I2 11 11   11   11 11   Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – = 0, đường chéo BD: x – 7y + 14 = đường chéo AC qua điểm M(2 ; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Giải: AC: kx – y – 2k + = cos CAB = cos DBA ⇔ • k= = k+2 k +1 ⇔ k − 8k + = ⇔ k = 1; k = k = , AC : x – y – = • , AC : x – 7y + = // BD ( lọai) Ta tìm A(1 ; 0), C(6 ; 5), D(-4 ; 0) Bài 30: Cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: x + y + = phân giác CD: x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC Giải: 12 Nguyễn Cơng Mậu Điểm C ∈ CD : x + y − = ⇒ C ( t ;1 − t )  t +1 − t  ; Suy trung điểm M AC M  ÷    t +1  − t +1 = ÷+   Điểm M ∈ BM : x + y + = ⇒  ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 ) Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − = I (điểm K ∈ BC ) Suy AK : ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + = x + y −1 = ⇒ I ( 0;1) x − y +1 = Tọa độ điểm I thỏa hệ:  Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK ⇒ tọa độ K ( −1;0 ) Bài 31: Cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1; 0), B(0; 2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C D Giải: uuu r Ta có: AB = ( −1; ) ⇒ AB = Phương trình AB là: x + y − = I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t ; t ) I trung điểm AC BD nên ta có: C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − ) Mặt khác: S ABCD = AB.CH = (CH: chiều cao)  5 8 8 2 | 6t − | t = ⇒ C  ; ÷, D  ; ÷ = ⇔     Ngồi ra: d ( C ; AB ) = CH ⇔ 5 t = ⇒ C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 )  ⇒ CH = 5 8 8 2 Vậy tọa độ C D C  ; ÷, D  ; ÷ C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 ) 3 3 3 3 13 Nguyễn Công Mậu ... 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC = 2BD Điểm M (0; ) thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hồnh độ dương Giải: ... = 2 x − y − = + Với t = − ⇒ tọa độ A nghiệm hệ :  ⇒ A (1; -1) x − 3y − = Nguyễn Công Mậu + Với t = ⇒ tọa độ A nghiệm hệ :  Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x... m = 15 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ x − y − = Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình thoi, biết NQ = 2MP N có tung độ âm Giải: Phương trình MP