10 trọng điểm luyện thi đại học cao đẳng môn toán lê hoành phò part 3

Trang 1

10 trọng điểm luuện thi BH-CD mén Toda - é Hodnh Pho

AABC déu > AB= AC © (m-2)?+n?=4n? |

Do đó: 7m? - lóm + 4= 0 ©.m =2 hoặc m = -

Khim=2 thì n=0: loại Khi m= 2 dìn=z SỐ

Vậy toạ độ A, B là: Ộ: 5, Kế?

Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho (P): ỷ = 16x và diện AQ; 4) Hai diém B,C

phân biệt, khi A di động trên (P) sao cho BẤC = 90 Chứng minh đường

thẳng BC luôn di qua một điểm cố định

Giải @¿s)

h 2 " gs Gọi BỊ — BP ce tế thuộc (P), b # c; b, c # 4

Ta có: BÂC ~90 œ oe

2

=(E-; lấ2}*e2 %- -4)=0

16 16 j

Ẩ© 272+4(b +c)+bc=f ` (i)

Phuong trình đường thằng BC: R be 2

are = (2 Sjø-9 16x - (b +Ổy +be=0 l (2) _ cin’ ae 8 _[16x=272 _ [x=17

Ta 0) vš) suy ax vày thời mãn: LŨ of |

VaýBC di qua điểm cố định K(17;-4)

Bài 27 :Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc trục hoành tại Ă2;0)và -

- khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B(6; 4) bằng 5 Giai

Goi tm I(a; b) va ban kinh R thi a=2, R= |b]

IB=5 <> (6-2)? +.(4- b)?=25 > b?- 8b+7=0 Voi b = 1 thi (C): (x-2P +(y-1P=1 Với b=7 thì (C): (x-2)'+ (y-7P = 49

Bai 28 :Trong mat phang Oxy, cho tam giéc ABC cd Ă0; 2), B(-2; -2), C(4;-2) Gi

HH là chân đường cao vẽ từ B và M, N là trung điểm AB, BC Viết phương tình

đường tròn qua H, M, N 1

Trang 2

Cty TNHH MTV DWH Khang Viet

Giai

Phương trinh AC: 4x + dy -8=0c>x+y-2=0 Goi H(x; 8-x) thuéc AC, tacé: BHAG =0

4(x+2)- 4Cx +4) =0 © x =1 nên H(1; 1) - a Goi phương trình đường tròn: x? + y2 + 2ax + 2by +c =0 SS 2a+2b+c=-2 [a=-1/2

Thay toạ độ H(1;1), M(-1; 0), N(1; -2) thi: 2a —c =0 aie 1/2

2a-4b+c=-5_ Ís-2

Vay phương trình : x? + ỷ-x+y-2=0 thoả mãn ả + bš - c>Ø,

ỳ

thang Ai: x - y = 0, Az x - 7y =0 Xac dinh tam K va ban kính của đường tròn

(C¡) tiếp xúc với Ay, Az và tâm K thuộc (C) , Giải

Gọi Kía; b); K € (C) © (a — 2)? + b2 = š OS

3 (C›) tiếp xúc với A0 ae a _ *

© 5(a =b) =a—7b hoặc 5(a—b) = „=827b ©b~ 2a hoặc, a=2b

Với b=~ 2a thế vào (*) thì được Phương trình

=> 25ả — 20a + 16 =0: vô nghiệm

Với a= 2b thế vào (*) thì được pearing trinh

4 8

-25b2— 40b+ 16 = Fi»eeecsl up)

i 30 ; đương, mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + ỷ - 2x - óy +6 = 0 và

điểm M35, 1).Goi Ti, T2 la các tiếp điểm vẽ từ M đến ` (C) Lập phương trình

: cuts thang TIT¿ *

aẹ 8 5 3 ‹ Giải

Ẹ dai 11; 3), R = 2.-Ta “6 MI =24/5 >R nên M ở ngoài đường tròn Gor

; T(x0; yo) la tiép điểm của tiếp tuyến MT thì:

397

Trang 3

-

10 trọng điểm luuện thi ЗCÐ mơn Tốn ~ tê Ioành Pho

lun eee —6yo +6 =0

MT.IT=0 (xo +3){Xo —1)+(yo ~ 1)(yg -3)=0

z3 xổ + yỗ —2xo ~6yog +6=0

xổ + y8 +2xọ — 4yo =0 M

=> 2X9 + Yo —3=0 =

Toa d6 2 tiép diém Ti, Tz déu thoa man 2x + y-3=0

nén phuong trinh TiT2: 2x +y-3=0

Bài 31 :Trong mat phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ss aS ” (x - 1)? + (y +2)? =9 va đường thẳng d: 3x - 4y +m=0 Tìm m để trên d có duy nhất điểm P mà từ đó vẽ 2 tiếp tuyến Pax PB tới (C) sao cho tam giác PAB déụ

Đường tròn (C) tâm I(1; -2), R = 3.Tam giác PAB đều nên IP = 2LA = 2R = 56 Do đó P thuộc đường tròn (C) tâm 1, bán kính R' = 6

Trang 4

Qty TNHH MTV DWH Khang Việt

Hypebol

Phương trình chính tắc:

x2

y b

(H): or =1 với b=cŒ~ ả Tiêu điểm: F:(—c;0), Făc;0) Trục thực 2a, trục ảo 2b Tam sai: e= >1 Bán kính qua tiêu điểm: Nhánh phải: rì = a + ex, ra = =a + ex (x> 0)

Nhánh trái: rì =~a - ex, m= a — ex (x <0)

Gộp chung MF: = |a+ex| và MFz= |a— exÌ

Tiém cin: y= 2 x©bx+ay=0 | Parabol

(_ Phương trình chính tắc: (P):ỷ=2px

Với tham số tiêu p = d(F;A) >0 xế ME

Tiêu điểm E(P ;0).Tâm sai:e= =1 `

êu điểm F( ;0).Tâm sai: e Mũ ft

Đường chuẩn: x = +

Bán kính qua tiêu dig: r= x +B

Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp:

a) Có một tiêu điểm F( V3 ; 0) và đi qua M(1; Ÿì

b) Các cạnh hình chữ nhật cơ sở có phương trình: x = +7; y =42

AC Giải A 2 ỷ Phuong frinh chin te cia (E) la: “+5 =1 ,a>b>0 oN a

2) Theo gia thiét thi: c= V3 > @=a-b?=3= a2=3+b?

(E) qua M nên Ta = Lee Ab? + 3ả = dab?

a

Trang 5

10 trọng điểm luyện thi ĐH~ŒÐ mơn Tn - (ê Hồnh Phò

Do đó: 4b? + 3(3 + b?) = 4(3 + b?) b2 4b‡ + 5b? - 9 = 0 Chon b? =] > a =4 = 2 2

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 7 +i =1

b) Theo giả thiết thì: a = 7, b = 2 nên phương trình chink tắc của (E) là

x2 sờ

——-=

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của ni (E) trong mỗi — hop:

_ a) Di qua hai diém M(4; 2) va N(3; ?) & ye pet ) b) Đi qua m{ zi] va M nhin hai tiêu điểm đưới một góc vuông

- Giải oF” (Beet a OD gee WES Jat 25b2 : Ja = 25

ae ae 2, M4 ọ a’ 25b*

AM ý ví Vậy phương trình clang i a =1

a 16 b) ViM

) Vi Gra) ®) ST

E)m nên —>+—z*=1

Ta có: Fil Fee 90° = OM= tạ ^c

=> > aie a =5=2?2=b+c=b2+5

9, 16 _1 >9b?+16(b2+5)= 5bÄ(b2+ 5) ` B(b* +5) 5b? '©b*t=16œb2=4 Suy ra ả=9

Do đỡ SG 3 12

ˆ Vậy phương trình chính tắc của (E) là: Setẹ

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E)

a) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C): x2 + y = 8 tại bốn điểm tạo thành

- bốn đỉnh của một hình vuông

b) di qua các đỉnh A, B, C; D của hình thoiABCD có ÁC = ả và đường: :

tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x°+ỷ =4, BiếtA H

thuộc Ox

Trang 6

Cty TNHH MIV DWH Khang Viét Giải z - x? y a) Phương trình chính tắc của (E) có dạng: + fg =14a> bd): a Ta có a=4 (E )cat (C ) tại 4 điểm tạo thành hình vuông nên: Ry 44 16 4 ¥

M (2;-2) thuéc (E) 2-2) thude (E) 5 +55 + +-—-=1 b* =— ; = “%y

2 2

4 cgi oes

Vay (E): 16 ` Tế để cục 3

b) Dat AC =2a, BD=ạ

Ban kính đường tròn nội tiếp hình thoi R =2 PS a

5 Tú iu La = =ả =20 >a=2V5 =>b= a”

e a fe AG

4 —_

2 2

Vậy phương trình của (E): a 4, + =

Bài 4: Tìm tâm sai của elip trong các trường hợp sau:

a) Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông

b) Độ đài trục lớn bằng k lan độ dài trục bé ( k>1)

€) Khoảng cách từ một định trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé

bằng tiêu cự

” Giải

a) Gia sử B là một đỉnh trên trục bé Nếu F:BE: là tam giác vuông tại B thì

vuông cân nên OB = OF¿ hay b = c

Do đó: ả= b2 + c?<2c? hay a =c⁄2 Vậy tâm sai: e = ta

, a

= 2 k2 —1

ĐVia=kb nên S2 20~ b2 — 2 = (SS }

°) Giá sử hai đình là A =(a; 0), B =(0; b)

+ Khi đó: AB = va2 + bÊ = 2c = ả + b2= 4c? = a2 + a2— c2 = 4c? = 2a2= 5c2

BS ¥ Vaye=£ = /4 ayer c_ f2 ie

Trang 7

10 trọng điểm luuện thi Đ—CÐ môn Toóa ~ (ê Hoènh hò 2 2 Bài 5: Cho elip (E}: sử = = 1 có 2 tiêu điểm F: , Fz Tìm điểm M thuộc (E) sao cho MF: = 2ME: Giải

Gia str M = (x; y) thuộc (E), ta có:

MF) = 2ME: œ a + ex =2(a ~ ex) c 3exeacex= 2 =3 3v2

Thay giá trị x vào phương trình elip, ta được

Me (SẼ 4)

đưới một góc vuông

(E): 9x2 +25y2 = 225 a= oe Xu Ta có: ả= 25, b2=9 =a=5,b=3 Va = a2 —b? = 16 => c= 4 nên (E) có hai tiêu điểm là Ea (~4; 0) „ E: (4; 0)

Goi M(x; y) la digm cẩn tìm, ta có: Me(E Me 9x + 25ỷ = 225

i =90° er -

<SŠ Vậy có bốn điểm M thoả mãn điểu kiện là:

37 %\, (5v7._2.(_sZ,3\,(_5vZ,_® wee 4) 4° 4)" 44 ( 4 4

Băi 7: Một elip có độ dài trục lớn bằng 6, tam sai bing ậ và khoảng cách từ một &

” điểm M của elip đến tiêu điểm F: bằng 7

a) Tìm khoảng cách từ M đến tiêu điểm F:

b) Viết phương trình chính tắc của elip và tìm toạ độ của M

Trang 8

Cty TNHH MTV DWH Khang Viet

Giải a) Theo định nghĩa: MF: + MEa = 2a = 12 Mà MF: =7 = MF2=12-7=5

b) Ta cóa=6 Tâm sai e= £.5 => a=2e= a2=4e2 = 4(ả—b2) => 4b? = 3ả — b2 < 27 -

2 2

Vậy Œ): —+J—=1 WEE Ste 4

Ta có: MFI =7 © a+ex=7 6+ 2x=7 ey Nên x=2= y = +2/6

Vậy có hai điểm: M: = (2;-2V6 ) va Mz =(2;2V6 )

Bài 8: Cho elip (E): x? + 4ỷ = 16 và đường thẳng A đi-qua điểm) a{ 1:4

v

song với đường thẳng d: x +2y ~ 3= 0 Tìm toạ độ các giao điểm A và B của

đường thẳng d và clip (E) Chimg minh MA=MB ©, Giải i Phương trình đ: 1-1)+2(y-3] = Ohay x+2y-2=0

RQ’ 2u 22c

Toạ độ của giao điểm d và (E) là nghiệm của hệ: ( bà agi

Cy x+2y-2 =0

Dođó:(2-2yƑ+4/=16 — , 7 ~- w_ ¡

2

(1-yy +y!=4œ2y1~2ỹ3'=0y= sẻ

Vậy hai giao điểm: aes) vàB= (: -; 7)

Vì eB Ly va ba diém A, B, M thẳng hàng nên M là trung

điểm của AB,

à 2 v2

Bai % Cho elíp (E): = + Ý_ =1 và đường thing A thay đổi có phương trình

tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thoả mãn 25Ả + 9B? = C2, Tính tích khoảng

cách từ hai tiêu điểm F , F: của (E) đến đường thẳng Ạ '

Trang 9

10 trọng điểm luuện thị ĐH~Œ môn Toón - (ê Hoènh Pho

Giải x? ỷ

(E): ais có: a2= 25 „ b?= 9 = c= a2— b? = 16=c=4

Vậy (E) có hai tiêu điểm là F: (-4; 0) và Fz (4; 0) Ta có:

2 Ly

_#A+d lA+d _|C-16Af|

d(Fi , A).d(F2; 4) ror rr a > £

_ |PBẢ +98? ~16Á| 9(Ả + Bổ)” =¬— =9 Ả +B? Ả +B 2 aes x

Bài 10: Cho elip (E) có phương trình > + 7 1 Viết.phương trình tổng quát x

đường thẳng A đi qua M(; 1) và cắt ® tại hai điểm A;'B sao chó M là trung

điểm của Bim thang AB A '

Xi W4

A cSVICP AB = (xs - xa; yay) a

1(; 1) là trung điểm đoạn AB: xa +xs =2; a

yatyp=2 OS 3 x

Nén x4, =(2-x5) ‘ ya =(2-yp)"

Vì A,B (E) hi, th 2 -O-al Goh ee

2 9 4

Suy ra xe + 9yo= 13, tương tự: 4xA + 9yA = 13 Vậy ph tình cu ml áẹ xay tố

sẽ v2

Bài 1U 'Cho chip (E): HH (a>b>0) Goi F;, Fa la cac tiêu điểm và Ai, Á2

Trang 10

Cty TNHH MTV DWH Khang Viet

Ta cé MF: MF2 + OM? = (a + ex)(a — ex) + x? + ỷ = 2 = ả— @2x2 + x2 + y2= a2 + y2 + x? (:-$] a =ả+v2+ y b Xã z=a +y +bfj1 tr =aˆ+b 2 2 asd) ¥ ca s2 a “đc a £ va (MF: — MF2)? = 4e2x2

4(OM? ~ b2) = 4(x? + y2 — b2) = 4]? +(e

r

_ Từ đó suy ra (MF - M2)? = 4(OM? - b2)

F b) Ta có HM?= ỷ và

2 2 2 A 2

-°-HA; HA; wa ta x)(a —x) = “rat —x?)=b? - x2

ả ả ả ì a

bˆ —— =b? ~ (b?~ ỷ) = ỷ He ~ -E HAVẠ

a2 2 2

- Bài 12: Cho elip (E) X‹merse

k a) Gọi A là giao điểm của đường thẳng có phương trình œx + By = O với (E) Tinh OA theo a, b, , &: Goi B là điểm trén (E) sao cho OA L OB Chứng

minh rằng tổng

one

a có giá trị không đốị

, b) Ching miah rang đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Ề y Giải : a) Toạ độ điểm A la nghiệm của hệ:

a a2b2p2 gps

"AC = xà HT ; eT x si - 1 a a‘at + bp? Y = a*a* +b bp a2b2p2 27 S227?

: a Sà: =x +Yà = b*B a“b“œ a a“b“(œ“ +B“)

=F xá ảœ2 + bp? * vỏ +b°Bˆ a2œ2+b2B?

Trang 11

10 teng diém luygn thi BH-CB mén Todn - lé Hoanh Pho

Do OA vuông góc với OB nên phương trình đường thằng OB là Bx —œy =0

B là giao điểm của (E) với đường thắng Bx * (—œy) = 0 nên áp dụng câu pe te ee k

ảb? [p? +(-a 2)Ì a2b?(œ? +p2) KX

ap? + b2(-a)* 2p? a beả XÔ

2.2 2 nổi 259 „22 ‘

sử : ae <= “eS h “a os E không Sế b) Kẻ OH L AB

Trong tam giác vuông AOB, ta có:

OB? = Do đó

1

=——+——-

1 1 a2+b? OB? ảbp?

Vậy đường thằng AB luôn tiếp xúc với đường t tròn cố định tâm O, bán kính ab

2 2

R=

vả xá

3 ~1.Tìm tọa độ các

Bai 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): % :

điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có điện tích lớn nhất “7 A! Giai

Do xa, xs > 0 va AOAB can tại O nên A, B đối xứng nhau qua Ox va xa = xp > 0, ys=<ŸA N2 Ta có A e (E) nên “Â XÃ ath =1

1

SaOAB = 3 ABăO,An) = >2lyal-xal= |xAyaAl

a” 2 2 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 = “Ạ >2 2yà =|xayal=Soas

4 7 5 4 XA en xa = V2

<.S lén nhat khi va chi khi:} 4 2 <> v2

:

YA=2

fant Wao

2

Trang 12

Cty TNH MTV DWH Khong Việt

Cách khác:

Gọi OH là đường cao ta có OH = xạ, xạ >0; AH=|ya|' 2Saoag = Xa-|yA| 1 4y +4~4yÄ ' =SaoAs =22lyAls4~4yà ANA at

va ar

= Ăv2; a, B(v2; 6-2 hose B(V2; a), AC

Bài 14: Lập phương trình chính tắc của hypebol i%

a) Có tiêu điểm (5;0) và độ dài trục thực bằng 8 © v2 B-%),

b) Có tiêu cự bằng 2/3 và một tiệm cận là y=~2 x,

Giải

d3) g2

Phương trình chính tắc hypebol (H); ni @Š a) Theo giả thiết thì c = 5 => ả + b?= 25 s i - r #4

2a=8= a4 =b'=25~z'=9 Vậy (H): S-2 a1 b) Ta có2c=23 =ả+b2=3 _

b 2 2a vê, Tù ừ giả thiết BC No thiết ta có: —=— =— ĐÔ ey WW

2 s

Do đó: a 2S genẻ meee w.2

9 BB ¥ ¿ v2

Vậy phương trình chính tắc của hypcbol là: Šc 77 -1~I

13 13

Bài 15: Lập phương trình chính tắc hypebol:

a) (H) đi qua hai điểm P(6; ~1) và Q(-8; 22)

Trang 13

10 trọng điểm luuện thí ĐH—CŒÐ môn Toón - (ê Hoènh Phò 2 x2 a ‘ Phi ương trình trinh chinh ta chính tắc của (H): — H 2.8 “=1

` Sw b) Elip (E): srg! ta có a2 = 35; b?= 10; @= ả b?=35- 10225 >c=5

Hai tiêu diém cia elip (B) la: Fi(-5,0) và Fz(50) — <>

Hypebol (H) nhận F: và F: là hai tiêu điểm nên phương trình có dạng: sẽ a & ar peices oO

" 4 ,32_ 92V Vì điểm M (42; 3) e (H) nên ta có a Re

; i X2 Mặt khác: C?= Ả + B?=> 25=Ả+B? 0

Từ đó ta suy ra Ả = 16 va B’=9 &

x ỷ

Vậy phương trình chính tắc của pho (Œ—) à: a = =1

Bài 16: Tìm các điểm trên hypebol (tỳ: 4x2 - ỷ- 4= 0 nhìn hai tiêu điểm dưới góc 120° ‘ SS

: Giải

' BA : 2.2

Viết lại phương tr ủa (Họ T = ˆ 1

he

a@=1>a= Bird b= 2;c2=a2+b2=5=c= ⁄5;e= <= V5 - (H) có cáciêu điểm: F,(-J5 ; 0), Fat j5 ; 5 ; 0)

Goi N(x y)la digin cfin tim

Ne @)S |NFH~ NE¿| = =2a=2 Trong tam giác EiNE, tac: RE = RN? +EN2~ ~2.RN.EN.cosF.ÑP; “.— `

=4+3FIN.EN=4+3.|a+ex].Ìãex| =4+3|a*- ex|

Nên 4c2=4+3|1~5s2| 45=4+3|1~5#]

ex oBesxes/® Tha ay x = +f vio gi trình của (H) ta tinh

được y= +f ve có bốn điểm cần tìm là caf, +A)

Trang 14

e Cty TNHH MTV DWH Khang Việt

8 xế

Bài 17: Cho hypebol (H) ea =1 Gọi A là đường thẳng đi qua gốc toạ độ

fr, O và có hệ số góc k, Á là đường thẳng đi qua O và vuông góc với Ạ

a) Tìm điểu kiện của k để cả A và Á đều cắt (H)

b) Tứ giác với bốn đỉnh là bôn giao điểm của A và Á với (J) là hình gì? Tịnh diện tích của tứ giác này theo k Xác định k để diện tích tứ giác có giá trị nhỏ nhất gS F Giải

›) Từ giả thiết suy ra A: y = kx, Á: ya-ix

- độ giao điểm của A và (H) là nghiệm của phương t tình

~ #k?x2 = 36 œ (9 = 4k2)x? = 36 A 3 3 Ss

A cit (H) khi 9~4k?>0 e=Š <k< Ÿ _- °

Tung độ giao điểm của Á và (H) là nghiệm của phương trình

9k2ỷ — 4ỷ= 36 © (9k? - 4)ỷ = 36

k>= <

Á cắt (H) khi 9k?— 4 >0 ©

- ke 2 ^

k<-Ê hay kế

yb) Goi A và C là cáế gìao điểm của A và

(H) (xa > 9); B vã-D là các giao điểm của

Á và (H), ys <0) Do (H) nhận gốc O làm tâm đối xứng nên OA = C, OB = OD do

đó ABCD là hình bình hành Mà AC

vuông Øóc với BD nên ABCD là hình thoị

ủ Giai hệ các phương trình cua A va (H):

Ƒ e#ược A| TẾ » rd

V9-4k? © Jo-4k?

Trang 15

10 trong diém luyện thí DH-@ mén Toén - tê Hoành Phò x _Y 7

Giải hệ các phương trình của Á và (HỊ: + i ya-bx SS SO” 6k 6 &

ta được of ; |

Vow? —4 Vok? —4 ; Ta cé Savcy = 4Sox8 = 20A-OB ae 36(k? +1) 6vi+k2 aa

OẢ= x, AtYA=“O_ aỷ +y4 =O OA = ba ae ey &”

k? +1) 6V1 +k? .Y OP2- xể + yŸ = St 9k?~4 =OGB= dat?-4 ^> SS

TỶ ) Vậy Sascp = 7201k) aS

Yo ~4k2)(9k2 —4)

a

AY

>

Ap dụng bất đẳng Côsi: \J(9~ 4k? or -Ý = & Sa +k?) Nên Sao = 144 Vay Sum nh tat 229 ~4ke=9kê—~4 k=#1

Vay dién tich hinh thoíABCD nhó nhất khi các đường thẳng A và Á là các

đường phân giác của góc phẩn tư thứ nhất và thứ haị Qe x2 2 Bài 18: Cho hypebol: ey: y = nig =1 Chứng mình rằng tích các khoảng cách ố 5 | ảb2 a2+b2ˆ từ một HẠ y y trén (H) dén hai đường tiệm cận bằng Giải

(Hy có hai tiệm cận là Ai: y = 2 x hay bx - ay =0 ny 2—=xhay bx +ay =0

x2 ỷ

Xét M(x: y) € (H) thi _- a> hay b2x2 ~ a2ỷ = ảb?.Khi đó

|px-a |bx +a) b?x? -ả ỷ| 24?

d(M;A1).d(M;A2) = 22+b2 va — a+b? a eens 7t=4-5 a+b

Trang 16

Cty TNHH MTV DWH Khang Việt

_ Bai 19: Lap phuong trinh chính tắc của parabol:

a) có đường chuẩn A: x =~5 b) có tham số tiêu p =>

Giải

Phương trình chính tắc của parabol (P): ỷ = 2px, p>0

9 Ax=5 =F =-5=>p=10 Vay (P): y2=20x

p= i nén (P): yn iẹ

Bài 20: Cho parabol (P): y2 = 12x có tiêu điểm F Tìm 2 diém A, B trén (P) sao

cho tam giác OAB có trực tâm là F \ xy Giải | ws Ta có: FCG: 0) nén tam giác OAB nhận là trục tâm thì A, B đối xứng nhau qua Ox Goi Ăm, n) thi B(m =n), m #0

_ fae)

Ta có: tonne

n? =12m m(m -15)=

° 2 7 ).2 m(m-3)-n*=0 [n° =12m

Chọn m= 15 nên nˆ=180n=+6/5 :

Vay: Ă15; 6 V5 ) va B(15; -6 V5)

M21: Cho parabol (P) ỷ =2px Với mỗi điểm M thuộc (P) và khác gốc O, gọi Mĩ

d Rhình chiéu M len Oy va 11 trung điểm của đoạn OM Chứng minh đường

SAC ea RIN HAA RE

Trang 17

10 trong diém luyén thi BH-CB mén Toén - lé Hodah Phé

we

; 2%, _

ỷ=2px , Nhi Xo xà 7

Sigs 9? 2v ey Xe Yo

:

ỷ = 2p| —= “ào

(” ye"

25 ¥ Ma x, =2 nên Yo =2p| Jet Bley MS z0 Vì phương trình có nghiệm kép = đpcm Ha MH 1 Ạ Ta ching minh HF L MI :

Vì tam giác HMF có MH = MF nên cân tai M đo đó dung cao MI cing i

phân giác của góc M' MF, ` a

Bai 22: Cho day cung AB di qua teu dim F cua ‘parabol (P) Ching minh

khoang cach tir trung diém I cua AB đến đường chuẩn A bằng“ me ni 3 đường tròn đường kính PB tiếp, Xúc với đường chuẩn

‹ Giải

Hạ AA, BBY, I vuông we với đường

chuẩnA '

Hình thang vuông 'ABBAÁ có H là

đường ang binh nén d(LA) = 1- 2IAA +BB)

: ẳ ắ : 3 4

4

Ma AB thudc parabol nén:

AF= AÁ và BF =BB'

Dođó AÁ+ BB = AF +BF- AB

Vay d (I, 4) = AB, suy ra đường tròn

„/ đường kính ke tiếp xúc với đường

`“ chuẩn

Bài 23: Cho parabol (Œ): y=~ 2x Hai điểm lưu động M,N thuộc P, khác gốc03

Ạ

sao cho OM vuông góc SẼ Chứng minh đường thẳng MN luôn di qual

điểm cố định ‘

Giai

Goi M(x1; y1), N(x; y2) thude (P) nên xì =2y12, xa = 2y:2

Điều kiện OM 1 ON: xne + yiy2=0 l

Trang 18

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

¬ » ‘ Ễ xua 5.40 20M8

> 4ỷ.y3 +y1¥2 =0> yiy2 KH (vì M,N khác gốc ©)

Phương trình đường thẳng qua M, N phân biệt: Š—XL -.Ÿ ~YL

2= J2 7

© (y2~ y1)x~ (xz—xI)y + yrx2 — xry2 = 0 © (y2— yi)[x — (yi + yay + 2yry2] =0

©x~-2(yt+ yz)y +^2ytyz © 0 = x — Ăyi+ y2)y nh =0

Với x= $¿ y =0 thì luôn thoả mãn phương trình

-_ Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I G: 0) &S ,

'Bùi 24: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình chính tắc lip có tâm sai bằng

a và hình chữ nhật cơ sở có chu vi 20

Giải

; ` fe i Goi phương trình chính tắc (E): “5 +#5 = 19H > b>0

sỉ RE: c_v5_ c2 ả-bˆ Y5 › « Theo giả thiết: == ae oes và 2(2a + 2b) = 20 — a + b =5, po Giai ra được a = 3, b= 2 F

5 x2 2 - Vậy phương trình chính tắc ey —+ s'” =1 V~ gai 2

Bai 25: Trong mat phang oxy, Rise điểm C(2; 0) và elip (E): — TT” 1 Tìm A,

Trang 19

10 trong diém luyen thị ĐHÍ~CÐ mơn Tn - (6 Hoanh Fao

Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho (P): ỷ = 16x và điểm Ă1; 4) Hai điểm B, c¡ ị

phân biệt, khi A di động trên (P} sao cho BAC = 90° Ching minh age:

thang BC luôn đi qua một điểm cố định —t Giai tiaki-bei,iif

j ị ị j 3 coin{ #0] bic cÍS zc} thude (7, bec b cz4 &N , 2 2 F

Ta có: BÂC = 909 => AB.AC =0<> yt

16

° -1Ì+@œ-€+4)=0

16 =) i

i © 272 +4(b +c) +be =0 @) _ i Phương trình đường thẳng BC: Cs 4 2 be 2 & 5 i

(b-c) (‹-&)-[fE-&jg-9>1-®+e#2 c=0 (2) 4

- ị

Từ (1) và (2) s uy rax y và y thỏa mã y an: tư {yaa y=-4 ẵ ị

Vậy BC di qua điểm cố định K(17; a

2 v2

Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy, cho eli (E): = + ŠŸ—=1 Xét hai điểm M và N: P P 3 ỗ

chuyển động trên tia Ox và Oy sao cho a tiếp xúc © Xác định toạ độM,:

N để đoạn MN nhỏ nhật, tính đoạn MN đó

Giải

ry Va

Goi M(m; 0), N(0;‘n) véi m, n> 0 Phuong trinh MN : = + z =1

m

28

Trang 20

Cty TNHH MIV DWH Khang Vigt 2 [len as m=z Dấu = khi nro

n=V21

m? +n? =49

Vậy M(2-/7 ; 0), N(0; V21) và đoạn MN =7

2 2

Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy, cho diém Ă2;V3) va elip (E) > + Š =1 Gọi

Fi, Fz là các tiêu điểm của elip, F: có hoành độ âm, M là giao điểm có tung ‹ ỳ,

độ dương của AF: với (E), N là điểm đổi xứng của Fz qua M Viết phương " trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF¿ è

Giải 2 “

x? 2

@ Sys! thio a = sẽ lì >jn

c=)

._ Do đó Fi(-10), F:(0)

-_ Đường thẳng AF: có phương trình

xi “5 nén giao diém M cé tung độ

ị Suy raMA = == MB v$

ị Den in nga ba MA MF2 = MN, do dé tam gide

ANF vung tai A

: Bệngtôkr rung tếp tam giấc ANE: là đường tràn đường kính NF:

: nén có tâm là M(1; 28, bánkính R= ME: = ca

|_ Yậy phương trình (T): baả ayy -*Bp Pas

Trang 21

10 trong diéim luyén thi BH-CB mén Todn - tê Hoènh hò

Trong diéu & TOA PO KHONG GIAN

Bai toán 1 _ XáC ĐỊNH ĐIỂM Vả GÓC - KHOẢNG CÁCH -ˆ `

Điểm và vectơ Hai diém Ăx, y1, 21) va B(xa, y2, Z2) thi: AB = (x2 — x1; y2- y1, Z2 — Z1)

AB = (xq —¥q)? +(¥2 ~ ya)? + (22-21)

Hai vectơ: u =(xy,2) và v =(x,y„z)th: „7 ị

ưV=(X‡x';y+y;z+z) ; ku = (©¿ kỹ, kz)

ư.V =er+yý+zZ; | u | = jx? +ý2+z2

I551= |, | ` + i 3 ý zƑ b zƑ ky

—— xx+y,y* zz'

x2+y2+z24\x'2+ý2+z2 - 2vecto a, b cùng phương: [a, b ]= 6 - Bvecto a, b, ¢ đổngphẳng: [a, b ].€=0 — 3vecto a, b, ¢ khơng đồng phẳng: [3,B].e z0 Diện tích và san

)

Diện tích tam gide ABC: $= 5 |\[AB; AC]|

Thich in ABCD: V= 2 I[AB,AC }-AD |

Thélich hình hộp ABCD.ÁB'CD:: V=|[AB, ÄB].AÃ' |

“Thich in ing trụ ABCABC: ves |[AB, AB].Ấ Ì

Trang 22

Cty TNHH MTV DYVH Khang Viét

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 2 d

: dcó VTCP u và (P) có VTPT n a

sin(d, (P)) = |cos( u, ñ )Ì

| Khoảng cách từ Mo(xo, yo, zo) đến mặt phẳng: - (Oxy) 1a |zol - (Oyz) 1a | xo| ~ (Ozx) 1a fyol

- (P): Ax+By+Cz+D=Ola: t Axo +Byo + Czọo + DỊ du, P)= ~ oe ay

Khoảng cách từ một điện đến 1 đường _~

nên: d(Mo, d)= ———————

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo "nhau:

Đường thang di qua Mi va co VTCP u di

Đường thẳng dz qua Mz va cé VTCP u2

[ay a2 | Man”

d(d;,d) = ea

yu )

Bài 1: Cho tam giác ABC với Ă2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Tim chân đường

Trang 23

10 trong điểm lun thi ĐH—~CÐ mơn Tốn — tê Hoanh Phé

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.ÁEBC'D' có các điểm Ă1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1) và C4; 5; =5) Tìm các điểm còn lạị Giải: Ta có ABCD là hình bình hành nên: xc-2=0 xc=2

BC =AD = {yc -1=-1 © 4yc =0.Do đó: C(2; 0; 2)

Zc—2=0 zc =2

Va AA‘ = BB' = Đ’ =CC = (2; 5;-7) Nên Á; 5; =6), B'(4; 6; 5), D'(3; 4; 6) Bài 3 Trên mặt phẳng (Oxz) đm điểm M cich dé ba din AQ: 1; 1), B(-1; 1; 0),

C3; 1; —1)

Ỹ Giải ‘ M thuộc (Oxz) trên M(x; 0; z) Ta có: MA = MB =Mc

ven i 1)? +14(z- -17 = (841)? +142? — c© AM =CMÊ `” |(x—1)2 +1+(z~1)Š=(x—3)2 +1+(z+1)2 Xã cÑŸ 4x—2z=1 mir 2/5 7

ta vaym(3:0;-2)

6 aX*

Bài 4: Cho tam giác ABC có.Á(-2; 1; 0), B(0; 3; —1), C(~1; 0; 2)

a) Chứng minh tam giác ABC có góc B nhọn

b) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu cha A trên cạnh BC

Ry” Giải

a) Ta có BA = (~5:~2; 1), BC = (-1; -3; 3)

BẠBC 11

Nên ore Bale sis" => géc B nhon

Trang 24

Cty TWH MTV OWH, vigt

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có: Ă2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) va D thuộc trục

Oỵ Biết VAsco =5 Tìm toạ độ đỉnh D

Gọi D(0; y; 0) thuộc trục Oỵ Ta cd: ae * A” AB = (1;~1;2), AD =(-2; y-1; 1), AC =(0;-2;4) QQ > (AB, AC} =(0;-4;-2) =[ÄB, AC |ÃD =~4(y - 1)~2=-4y +2 Theo giả thiết Vasco = 5 <2 2 |[AB, ACJAD | =5 © |~4y+2| =30 y=-7;y=8

Vậy có 2 điểm D trên trục Oy: (0; -7; 0) và (0; 8; 0)

Bài & Trong không gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có Ă1; 2; 1), B(; -1; 3)

C(-4; 7; 5) gi

.a) Tính độ dài đường cao ha của tam giác vẽ tirdinh Ac

b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác về từ đỉnh B

Giải Sy

4 aTa có ÄB =(1;-3; 4), AC =(-5;5; 6), BC = (-6;8;2)

| =>[AB, AC]=(-38;-26; -10) Ay”

Trang 25

10 trong diém luyén thi BH-CB mén Todn - lé Hodnh Pho

Bài 7: Cho bốn điểm có tọa độ Ă2; 5; -4), B(; 6; 3), C(-4; - 1;.12), Pi 2 ¬3,-2)

a) Ching minh ABCD là một hình thang :

b) Tính diện tích hình thang ABCD ỳ

Giải 4 =8

a) AB = (-1; 1; 7), AC = (~6; =6; 16), hai vectơ này không cùng phương vì toạ

độ không ti lệ suy ra A, B, C không

nae hàng và có :

DC =(-2;2;14)=2AB=>AB//CD p .” Cc

2 ABCD 1a hinh thang cà”

b) Sanco = Sac + Sc= 7 |[AB, AC}| +} liền, AC]| = 31046

Bài 8: Cho hai điểm Ă; 0; =1), B(0; -;3ý`

a) Tìm top độ điển C œ Oy để qua iác ABC có điện tích bằng vĩ VIT và thỏ j mãn OC <1 b) Tìm toạ độ điểm D e (Oz6#Ascbh hình thang có xử đáy AB ‘ Giải

a) Gọi C(0; y;0)=> AB = a2 2Ä AG =(-2:y; 1) Ta có: Sasc = v11

4 lIRB, ACI EVE Lar i

¿2070 ree hoặc y =~Š (loại)

Vay C(0;=1;0)

b) Goi Dis 0;2) € (Oxz) => DE =(-x;-1;-2)

ABCD là hình thang khi và chỉ khi AB, DC cùng hướng

a Pee 1,z=-2,

_- Vay D(1; 0;-2)

«Bai 9: Cho tứ diện ABCD có: Ẵ1; 2; 0), BOO; 0; 1), C(0; 3; 0), D(2; 1; 0)

a) Tinh diện tích tam giác ABC và thể tích tứ dién ABCD

b) Tìm hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC) Giải

a) Tacé AB =(1;-1; 1), AC =(1;1;0), AD =(3;-1;0)

nên [AB, AC] ^ (1; 1; 2= 8ac= > IAB, aeI|-Š

Trang 26

% ty TNWHH MTV OVW Khang viet Va[AB, AC].AD =-4>V b) Goi H(x; y; z) la hình chiếu D trên mặt phang (ABC) thi:

-1xB.ACLAD|=2 ~s I[AB.AC].AD | ==

AH =(x+1;y—2;z), BH =(x~2; y — 1;z) Ta có: 3

mm x ` [BH AB =o ee 11

DH.A€ -0 ©x+y=3 = vẽ [BẸ^C].AH =n x-y-3z=-3 12 ˆ 18 15 =) Vậy HỊ —;—~;—“ | li & 11 31

Bài 10: Cho tam giác ABC có Ă0; 4; 1), B(1; 0; 1), C(3; tâm đường tròn ngoại tiếp của tám giác ABC Giải:

Ta có AC = (3; -3; -3), BC

(ABC): 3x + y +2z— 6=0 Gọi H(x; y; Z) là trực tâm tam giác ABC => AH = (x; y-4; z-1), BH = Gary: z-1), ta cd:

~2) Tìm toạ độ trực tâm,

=2; L; -3) neat lập được phương trình mặt phẳng

ì 25 _ Tờ x=—

AH.BC = 2x+ỹ3/—1=0 19 BH.AC =0 ©4x-y-z=0 oH: y=

He (ABC) 3x +y4+2z-6=0 14 ỳ z“z IA =IB Goi I(x; y; z) là đường tròn ngoại tiếp: 4 LA = IC

cv 1e(ABC)

4.29,37

Từ 4ó giải lược tâm i(- 13:13 : 2)

Bai Me Ti inh chiéu đài đường cao hạ từ định D(4;

“AG; 1; 1), B(~2; 0; 2), C(0; 1; -3)

Giải

J

~-1; 0) của tứ diện ABCD biết

Chiểu dài đường cao DH của tứ điện ABCD là khoảng cách từ D đến mặt

phẳng (ABC) Ta có:

Trang 27

10 trong diém luyén thi BH-CB mén Todn — Lé Hoanh Pho

AB =(-3; —1; 1) và AC =(-1;0;~4) nên n =[AB, AC ] là VTPT của (ABC)

Mặt phẳng (ABC) có phương trình: 4x — 13y - z + 10 =0 : :

[4.4-13.(-1) -0 +10] _ AS

DH = d(D; (AB ane = _—- J16+169+1 „ “Te ^ ©$

Bài 12: Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm A2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y +z~—17=0

b) M cach déu hai mat phẳng x+ y—z + 1=0vàx—y +z+5=0 Giải Ta có M e Oz nên M(0; 0; c) < aaa f “o2 -_|€-17| S

a) MA =d(M; (P)) = /4+9+(4-c) Vana & 2 AY >13+(4—c)?= cn © 182 + 14(4 ~ c)? = (c~ 17)?

Từ đó giải ra c= 3 Vậy M(0; 0; 3)

b) Điểm M cách đều hai mặt phẳng đã cho £ên peal “I > |-c+1] = Je+5ler-c+1 c+ Shofe—<+1=-c-5eoe=-2

Vay M(0; 0; -2)

Bài 13: Cho Ă1; 0; 0), B(0; 1; 2) Tí C e Oz để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (œ): 2x ~2y - z+5= =0 nhột góc bằng 60 ; Giai

Gọi C(0; 0; m) e Oz Ta có: AB =(-1; 1;2), AC=(-1;0;m)

=>u= [ AB, AC] Ẹ (mzm-2; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Mặt phẳng (œ) có vectơ pháp tuyến n = (2; -2; -1) Mp(ABC) và (œ) hợp nhau góc 60 nền: ~ ˆ

cos607 =[cos(,m)|= eed atema — * 3ym? +14(m—2)" +l+{m-2)2 2

Vậy 25 hai diém C(0; 0; 2+ v2 ), C(O; 0; ee %

- BấI 14: Cho tam giác ABC có os 2; 3), đường cao AH nằm trên đường thẳng

3 (di): a đường phân giác trong BM của góc B nằm trên

dung thing (dz): X=! TS “Tim đình A và B

Trang 28

Cty TNHH MTV DWH Hhong Vigt Giai

Mặt phẳng Œ) qua C, (di) là: ¢

1.(x~ 3} + 1.(y ~ 2) - 2.(z - 3) =0 (di) âx+y-2z+1=0 I @)ơd)=B(1;4;3) * (dz) Mặt phẳng (Q) qua C, (de) là: Ăx -3)-2.(y -2)+1.(z-3)=0 ©x-2y+z-2=0 AB

(Q)^ (d®›) = 1(2; 2; 4)

K đối xứng với C qua (d›) thì K nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, vi Ta

Ki điểm của CK nên K(1; 2; 5)

x=1

Đường thang (A) di qua KB 1a: jy =2+2t

: z=5-2t

Do dé: (A) ct (ds) tai Ă1; 2; 5)

Bit 15:Cho dug thing da giao tuyéh cia 2 mit phing (P: x~z sina +cosa= 0,

(Q); y — z.cosơ — sina = 0 Sụ MU ởNg: <2 152098228664 góc không đổị

Giải - |

t (P) có VTPT n =(1;0; -sina) (Q) có VTPT m =(0; 1; -cosa) `

Do dé dcé VICP u =[n, m] =(Sina; co; 1) Trục Oz có VTCP K =(0;0;1) ˆ ˆ

Ta có cos(d; Oz) = | cos( iu Kyi = +

Vay đường thẳng d hợp Ox góc 45° không đổị

Trang 29

10 trong diém luygn thi BH-C mén Todn ~ lé Hoénh Pho

Do đó giao tuyến d di qua Mo(>;~3 ; 0) va e6 VICP

u =[np , nọ ] = (6; —4; 2) hay (4; =2; 1) Do đó dia, ae ee af & Ầ :

Bài 17: Tìm khoảng kẻ giữa hai đường thẳng sau: <

x=l+t , x=Z-ät' d:sy=-1-t, đ: yez2+3t'

Giải “ˆ

Đường thẳng d đi qua điểm M:(1; -1;1y có vecto chỉ phương u =(1;-1; 0)

Đường thẳng d' đi qua điểm M:(2;=2; 3) có vectơ chỉ phương uạ = (-1; 1; 0) Vi uy và u; cùng phương nhưng

u¡, uạ không cing ph

1; 2 8 phuong

với MỊM; =(1;-1; 2) nên hai đường thang

8

đó song song M,M2,u

Vậy d(4,đ)=d0M, &) = [S42 =2 « Giải d qua M(0; 4; ~1) có VTCP u =(-1; 1;-2) dĩ qua M(O; 2; 0) có VTCP ä' = (-1; 3; 3) „Ta có [ñ, ñ']=(9;5;~2), MM'= (0; ~2; 1) “Nên [ũ, ú].MM'=-12 + 0 do đó d, d’ chéo nhaụ

u,v MM' Es we

Vậy d(d,d) = Lm a Ị ee =

Bài 19: Trong không gian với hệ toa đ Oxyz, cho điểm Ă5; 5; 0) và đường

thắn ng d: —— xl ET Tim toạ độ các điểm B, C thuộc đ sao cho tam

2 3

Trang 30

Cty TNHH MTV DVVH Khang Viet

Giai

Vì C thuộc d và AC L d nên C là hình chiếu của A lên d 5

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương wu = (2; 3; —4) Mặt phẳng (P) đi quạ A >

vuông góc với d nhận u làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: : 2(x - 5) + 3(y — 5) - 4 — 0) =0 © 2x + 3y ~ 4z — 25 = 0 Đo đó C là giao điểm của d và (P) nên có toạ độ xác định bởi hệ: x+1 y+l z-7 x=3 2 3 4 ©œ=4y=5 2x+3y -4z—25 =0 z=-1 Vậy C(3; 5; —1) Ta có B e d nên B(-1 + 2t; —1 + 3t; 7 — 4t)

BC= V29 © (2t — 4)? + (3t — 6)2 + (8 — 4t)? =29

©P-4t+3=0<>t= 1 hoặc t= 3 Vậy B(1; 2; 3) hoặc B(5; 8; —5)

; Bài 20: Trong, không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm Ă1; O; —1), B(2; 3; =1),

C(; 3; 1) và đường thẳng d là øiao tuyến của hai mặt phẳng có phương

trình: x—y +1=0,x+y+z—4“0 Tìm toạ độ điểm D thuộc đường thắng d

sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 1

* Giải

RS x=t Phương trình của đường thẳng d là: jy =1+t

Na z=3-2t

Vì D e d nên Dí(t;1 +t; 3— 2t) = AB = (t~ 1; t+ 1; ~2t + 4) Tacó AB =@;3; 0), AC =(0;3;2) nén [AB, AC ]=(1;1;-2) Vanco 2 |IAB, AC } AD |

= š † |6(t~ 1)~2(t +1) +3(-2t + 4) Ì = eo

‘Do dé Vasco = 1 <> el =1€©t=~1 hoặc t=5

Vậy có hai điểm D thoả mãn bài toán là D(-1; 0; 5) và D@; 6; =7)

Trang 31

10 trọno điểm luuện thi ĐH—CÐ môn Toón ~ tê Hoành Phò

Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ OxyZ, cho mặt phẳng

(P):x— 2y +2z~ 1 =0 và hai đường thẳng Ai: ` «<

d S

A2: ae 2 Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thing 4 Ái sế) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Az và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhaụ sẻ

Giải à Az qua Ă1; 3; —1) và có vectơ chỉ phương 1 = (2; 1; m3 `: MeA› = MC1 + tt;— 9+6) “5”

MA = (2-t; 3-t; 8-6t), [MA, u] = (8t - 14; 2054 t-4)

=> |[MA, u]| = 3V29t? -s8t+68 Khoang cach tir A dén Az: eel a: 88t+68

fu Khoang cach tir M dén (P):

|J-1+t-2t+12t-18= =a _ [tit -20] d(M, (P)) = Đề Vỉ + (29? 2? 3 Ta có d(M, A2) = d(M, Pye V29 —88t+ 68 - ht c 350 ~ Bột + 53 <0 €9 t=1 hoặc t= =

ỳ

Vớit=1— Mi; - 1< ams) 35 3535 45

Bai 22: Trong không gian hé toa d6 Oxyz, cho đường thing A = |

va mat phẳng (P):x+y+z—3=0 Gọi I là giao điểm của A và (P) Tìm tọa ; _độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với A và MI = 414

AC Giải

cắt (P): x+y +z~— 3 =0 tại I (1; 1; 1);

oe yl

an

Ss

Điểm M e (P) =M (x; y;3—x— y)= MI =(1-x;1-y;-2+x+y)

Vectơ chỉ phương của A là a= (1; ~2;—1)

Trang 32

Cty TNHH M7V DWH Khang Viét

, [Mla=0 y=2x-1

Ta có: © 2 2 2

MỈ =16.14 —— [(1-x)*+(1-y)? +(-2+x+y)* =16.14

x =-3 hay x=5 '

Với x =~3 thì y =~7, ta có điểm M (-3; ~7; 13) Với x =5 thì y = 9, ta có điểm M (5; 9; ~11)

Vay M (~3;-7; 13) hay M (5; 9;-11)

-_ Bầi28:Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, Ỷ x2 yas

; va hai diém A (-2; 1; 1); B (-3; -1; 2) Tin oa ii M he sng

A sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3/5 Giải x

Ta cóM e A: M2 Yt 2 =M(-2+t;1+ât;~ ~20 `

AB =(-1;-2;1); AM =(t;3t;-6-2t); Do dé [AB, AM] =(t +12;-t - 6;-t) t

Ta có Sa = 3V5 = T|AB,AMI|=3/5 ® 2(t+122+(Ct~6Ÿ +Ẻ =3V5 5 3130 =0©t=0 hay t=~12 Vay M (-2; 1;~5) hay M (—14; ~35; 19)

| Bài 24: Trong không gian với hệ tọa es Oxyz, cho đường thẳng d:

¬ = a =< va hai diém A (1;-1;2),B (2;-1; 0) Xée dink toa 46 dim M

thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M

Gọi M (t+ 1; -1~ tt) thuộc (4)

AAMB vuông tại M

Trang 33

10 trọng điểm luuện thi ĐH-ŒÐ môn Tốn - tê Hồnh Phị

Bài toán 9: LẬP PHUONG TRINH MAT PHANG VA DUONG THANG

Phương trình tổng quát của mặt phẳng: sờ 3

Mặt phẳng qua Mu(xo,yo) và vectơ pháp tuyến n= MP a

Ax+ By + Cz +D =0, Ả+B‡ +C?z#0 ‘

_ hay Ăx - xo) + Bly — yo) + C(z - Z0) = 0

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

sư tế khi cắt 3 te On, Oy Qx i3 điển Mác gốc O là Ăa;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

Phương trình của đường thắng: đi -_ vie y0,Z0) va có vectơ chỉ phương:

u =(a,b,c), a+b? +c # 0 sv

x= % at Phương trình tham số: d: ‡ y < yụ + bt, teR Z=Zo +ct

Phương trình chính tắc kh a,b, # oe : c ae ~_ Đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau:

Nếu d=œ 5 thì chọn VTCP n =[ nạ, nạ] W Ho: a hê [Ax+By+Cz+D=0 ie a 2 {Á<+By+CzsD's0 ¥ tuong ứng toạ độ của 2 điểm thuộc giao tuyến ta chọn ra 2 bộ nghiệm (x;yz)

[= Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng dị qua Mì và có VTCP tì Đường thẳng đ› qua M: và có VTCP u:

#2 Cách 1: Đường vuông góc chung đ có vice u= In

Lập phương trình mặt phẳng ® chứa dva da,

Tim giao điểm A của dì và (P) thì d đi qua A và có VTCP ụ

Trang 34

Cty TNHH MTV OVVH Hhang Viet

đì |

A di &

‡

i ¡# Cách 2: Gọi đoạn vuông góc chung là AB, A e dì và B e dz dạng sam |

số theo t và t Tìm t và t’ bang hé diéu kién: “SÁNG {

AB.u; =0

ABU; =0

Duong vudng géc chung d 1a dwong thang ABS > | vy ERY

Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm HQ; 1; 1) vắ cắt các trục toạ độ

tại các điểm A, B, € sao cho Fĩ là trực tâm của tam giác ABC

Giải <<

Nếu mặt phẳng đi qua H(2; 1; 1) và cắt các trục: 108 Hộ tại A, B, C thì tứ điện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một KH - gc, do d6 H la truc tam của

tam giac ABC thi OH | mp(ABC)

Vay mp(ABC) di qua H va cé vecto Pháp tuyén OH = (2; 1; 1) nên có

phương trình:

2(x~ 2) + (y — 1) +(z—1)= ` oe ~6=0

Bài 2: Cho tứ diện ABCD với AG: 1; 3) BCL; 6; 2), C(S; 0: 4), D(4; 0; 6) Viết

_—s trinh mat phang di qua A, B và song song với CD ko Giải

Tacé AB =(-4;5;-), ae 1; 0; 2)

Mặt phẳng đi qua A, B song song với CD có vectơ pháp tuyến là: n =[AB , CD}= (10; 9; 5) Vậy phương t trình của nó là:

10(xT— ~5) +9 - 1) + 5(z~— 3) =0 hay 10x + 9y + 5z ~74 = 0

VìC không thuộc mp nên đó là mặt phẳng cẩn fm

Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng

Trang 35

10 trong diém luyén thi BH-CD mén Todn — lé Hodah Pho 3

x+z=4 3 11

Cho y =0 y 0m thì vị” ail => M| -570;>} ( 2 0 s) 2 ) 3

2 _ eae se a b»

Cho c<odu pega 9S ws H =N[-Š;~; 9) HH & AY

2 và F(2; 1; —1), ta lập được phương trình: 15x - 7y + 7z 16“ 0

Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm MQ@; “1; '—5) đồng thời vuông

góc với hai mặt phẳng 3x —2y + 2z + 7 = Ova Sx ape =0 Giải

Mặt phẳng 3x — 2y + 2z +7 =0 có VTPT nì aga 2) Mặt phẳng 5x — 4y + 3z + 1 =0 có VTPT q3 =(ð; —4; 3)

Mặt phẳng cần tìm có VTPT n vuông Cộc với nì, nz nên chọn: n =[n1, n2] = (2; 1; -2) : Phuong trinh mat phẳng: 2x + y — 2z+D= 0, mặt phẳng qua M3; -1; -5) - : nên D =—15 Vậy phương trình mặt phẳngc cẩn tìm: 2x + y ~ 2z— 15 =0

Bài 5: Viết phương trình của mat phẳng qua diém M(5; 4; 3) và cắt ba trực toạ

độ ở ba điểm cách đểu gốc toạ độ ị

Do đó mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm M[-Š: O; a), n(-3 ys 0)

Giai

Mat phang can tim cé dang doan chan: ae =1, la| = |b| = le z0

Điểm MG/ %3) thuộc mặt phẳng nên: 244.3 =1 x : (1)

Véib=a, cma, (I) © 5,443 =1 =a=12

a a a

Trang 36

Cty TNH MTV DV Khang Viet

Do đó bốn mặt phẳng cẩn tìm là: xg —+-T+-“C=l@œxry+ -12=0

ong are

chế" 1 âx*+y-z~6=0 th 1âđx~y*+z~4=0 x Y Z ^—†+“+—=lC`-Xxt+tV+z-2= +*+ ©-xt+y+z-2=0 ° LÁẹ phương tình ng quất ca mit ping đi que các điển M0), N(3; "Ít nát phơng Oy pe =

Giai

} Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là ñ =(1; a; b) Ta có MN = =G% 21)

Vì n.MNÑ =3.1+0—b = 0 nên b=3 Do đó ñ =(1;a;3).- 3

Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến K = (0; 0; 1)

JRR Tacó: cos aah ess a= = V6 â 3 JP[R[? ƠF +10 PT mặt phẳng (P) là: 1.(x— -0) +26 (ỹ -0+30° 1)= 0

ext J26.y+3z-3-0, toy

Trang 37

10 treng diém luyén thi BH-CD mén Toán - tê Hoènh Phò

Bai 8: Trong khong gian voi hé toa d6 Oxyz, cho tt dién ABCD 6 cacdinh

Ă1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và D(0; 3, 1) Viết phương trình mặt phẳng

(P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (f) bằng khoảng cách từ D

đến (P) S

Giai ›

Mặt phẳng (P) thoả mãn yêu cẩu bài toán trong hai trưởng = sau:

Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD

- Vectơ pháp tuyến của (P): n =[AB, CB] Ta có: ” AB = (-3;-1;2), CĐ = (-2; 4; 0)= n = (-8; ~4; =14)

Phương trình (P): 4x +2y+7z-15=0 Q

Trường hợp 2:(P)qua A, B và cắt CD Suy săP) cắt CD tại rung điểm IciaCD :

11;1;1)= AI =(0;~1; 0), vecto pháp tuyến của (P): n =[AB, AT]=(;0;)

Phương trình (P):2x+3z—5=0 “_ ”

Vậy (P): 4x +2y +7z— 15 = 0 hoặc (P): 2x+3z—5 =0

Bài 9: Cho tứ diện ABCD với AG 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(; 3; =3) tị

phương trình mặt phẳng cach đều 4 đỉnh của tứ diện đó

: Giải :

Một mặt phẳng cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm củ j

MN hoặc nó Song "song với MN Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách đều bái đỉnh A, B, C, Deia hình tứ diện thì:

i it a A a rs

'— Hoặc mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ‡ một đỉnh của tứ điện Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một:

cạnh và song song với một mặt,

~_ Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình của tứ diện Có ba mặt

phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đổi

chưng mút Từ đó tìm được bảy mặt phẳng thoả mãn yêu cầu đầu bài là:

-z-6=0;x+y-10=0;x+2y-z-8=0;2x+y-z-14=0

x-y-Z-2=0;2x+y +z~16=0;5x+ỹ2z—28=0

Trang 38

Cty TNHH MTV DWH Khang viet

Bài 10: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm M:(1; 0; 1), M2(2; —1; 0) va Ms(0; 0; 1)

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua Ms mà khoảng cách từ Mì và M¿ <

đến (P) đều bằng 2 :

Giải a

Mặt phẳng (P) đi qua M(0; O; 1) nên có phương trình YY

Ăx - 0) + B(y - 0) + C(z~ 1) =0

hay Ax + By + Cz_— C =0 (Ả + B2 + C? > 0)

Khoảng cách từ Mù, M› đến (P) bằng 2 nén a” |A+C-C| |Jð¿A-B-C| =—

ws VA2 +B24+C2 — A2+B2+C2 2 ‘

Dodé | Al = !2A-B-C| hay +A =2A-B-C >

Suy ra C= A — B hoặc C =3A - B é

A

tn

5

2Ả = Ả + B2+(A—B)? <> 2B(B— A) =.”

Nếu B = 0 thì C =A, ta lay A=1 thi(P) cé phuong trinh: x +z-1=0

Néu A-B thi C-0 Ta lấy A =4 thì (P) có phương trình: x + y =0

«Ồ VớiC=A—B thì từ

2Ả= Ả+ B2 + (3A — B2? 8Ả —6AB + 2B? = 0 x 2 © 4A2—3AB+B?=0: (2A- = By+ =0

Do đó 2A — 8+0 và B0, tức là A =0, B=0 và đo đó C =0: loại

| Bai 11: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(I1; 2; 3) Viết phương trình mặt

Trang 39

a

10 trọng điểm luuện thi DH- mén Ton - lé Hodah Phd

Vì Mnằm trên (P) nên ++ 2+ Š =1 A

abe SS

Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: RY

isis 2,3 2axf7 2 3 apf 6 sie = 227

Dau ”: =" xay ra khi L= sels > hay a=3;b=6;c=9 abc 3

Thé tich ti dién OABC Ia V == OẠOB.OC = „ >2

tích nhỏ nhất là 27 Khi đó phương trình mặt phẳng (P) la: Vay thé xị

xứ c1,

3 6 9

Bài 12: Lập phương trình tham số và chính See của đường thẳng d 1a giao ne mặt phẳng: (P) : 2x— ~y+z xÙ ; (ŒP):2x—z+3=0 Giải <- y

(P) (P) có VTPT ñ = (2;-1; 1), ñ'= (2;0;-1) Gọi VTCP của giao tuyến d là ñ tủ u L n„n” Chọn ứ=[n,n']= ÍÌ› +h Le 5 7 sÌ)zts2 `"

Các điểm thuộc giao tuyến d\ có toạ độ thoả mãn hệ: = y+z+5=0 `

Tenet wll Cubed 0 thìy= 8, z=3

Do đó d qua M(O; 8: 3), cé VICP u= (1; 4; 2) nên có phương trình tham số và chính tắc là ‹

= 2x+5 of? z+2x+ ẩ =2x+3 x=t Đặt x= t thì y = 8 + át, z = 3 + 2t nên phương trình tham số là: 4y =8+ 4t - z=3+2t

Ngoài cách tìm một điểm và VTCP, cách tạo tham số, ta có thể tìm 2 điểm

trên giao tuyến

Trang 40

Cty TNHH MTV DVVH Khang Viet

Bài 13: Viết phương trình của đường thang d di qua điểm M(0; 1; -1) vuông

x=1-4t -

góc và cắt đường thẳng A: 4y =t

z=-l+4t Giải Đường thẳng A có VTCP tư = (-4; 1; 4) Gọi H là hình chiếú của Miễn it H(i - 4t; t; -1 + 4t) d Ta có MH = (1-át; t-1; 4t) nên MH L A

© ụ MH =0 ©~—4(1 - 41) + lít~ 1) + 4(4t) =0 ©38t=5 œ t= - Dođ a; cu 2) 33 33 33° 33

13 -28 20 A D ường than; gd co VICP MH =} —; —; VTCP (2 = 2) —|h Áo a =1 Z+1

Vậy phương trình chinh the cia d la %=2= =e cchad he ay 247

Bài 14: Viết phương trình hình chiếu _ 'góc của đường thẳng d: x=5+t £ y=3-2t trên mỗi mặt phẳng toạ độ x z=4+t

Giải

Điểm Mí y; z) thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) là M(0; y; z) thuộc d, đ