40 trọng điểm luyện thi ĐH~ŒÐ mơn Tốn - tê Hoành Phỏ nib 2/6 D+E=> Í = =f 1 a¢tan(x +2) Z 9 sin(x +—) ft 2 9 tan(x+—) Tt 6 6 ! x6 T Fin cu = Finjan(x+ 8) =—ln3 6}, 4 va D-3E= [isinx - v3 cosx)dx = 1-3 &Y Lộ ¢ Bing tas a nén D = —In3+—— Bai 19: AS
a) Dat I= [sin"xdx, n e NT, Tính In theo In2 va n2 3 ° b) Đặt In= ftan"xdx, n€ N° Tinh Io theo In, n 23 Giải a)Vớin>3: - x⁄” I= Jsin”'x.sinxdx =- jEin"'xd(cos) = ~Sin""'x.cosx +(n-1) |sin®*x.cos’xdx , ˆ`YE _sinm"'x.cosx + (n — 1) jsin"2xq ~sỉn ?x)dx =~sin"“'x.cosx + (n~— 1)In2 = (n— 1)Ïn sia n= Do đó la = sin" ‘x.cosx + os n n b) Vớin>3:
1> fian™*x tanˆxdx = Ítan"?x(tan? x+1-I)dx
Trang 2z, Cty TNHH MTV DVVH Khang Viet wi2
Bai 20: atin foos"xdx,neN’
Trang 310 trọng điểm luuện thí ĐH—CŒÐ môn Toón - Lê Hoònh hè
Giải
x : ps S
Trang 4; Cty TNHH MTV DVVH Khang Vigt Bai toán 5: Ham vo Ti ¡ Công thức nguyên hàm: xt" ut?!
Với a#-1 thi: [x*.dx = a+) futudx = a+l ——+¢
Trang 1310 trọng điểm luyện thi ĐF-Œ môn Toón - (ê Hoènh Phỏ Bài toán 4: HäM Mũ Và LƠG8RIT | Cơng thức ngun hàm: `
fetdx =e% +c fer wu'dx =e 4 ¢
Trang 14Cty TNHH MTV DWH Khang Viét Giải
4) [A1 + tanx)®e®*dx = ÍU + tan?x + 2tanx)e°*dx
f(tanx.e” )' dx = tanx.et* + C AY
b) Xét f(x) = (ax* + bx3 + cx? + dx + m)e* thi AS
Trang 16Cty TNHH MTV DH Khang Việt -
Bat ux Ing + VFX? ); dv= dx khi đódu= mh oes
B= xirlx+VI+x” L lam x+V1+x” | ine +C +x? Bai 7: Tinh: a)I= [indnx)4x _ bys fer (cosx + 2xsinx)d Giải _ v
a) Dat u = Inx thi x =e" nén dx =e"du
A= fsinue'du = sin ud(e") = sinu.e" - Joosu e*sdu
RY
=sinu.e’ ~ feosu d(e*) = sinu.e! — cosu.e" — fain we"du 7 Từ đó suy ra A = \ x(sin(Inx) - cos(Inx)) +C
b) Đặt u = e°”, dự = cosx Khi đó đu =2xe”` dx, ý = sinx
2 a, lu *“
fet cosxdx =e* sinx — xe Sin xdX
Trang 1710 trọng điểm luuện thị ĐH~ŒÐ món Toán - tê Hloành Zhò Bài 9: Tính: l SA [ Ly { ' x 1 a)A= dx = f = xửx= Í-= dx - %{ =e đl*+x!' 9 +x) girx 1+ xy > gies 2 b) Đặtt= ve* ' -I>e =t _" : a dt B= vài Đặt t= tanu thì B it Bai 10: Tinh: i 2> hie \ a)I= fe cosxdx b)J= ke" +cosx)cosxdx x2 0 `4 Giải cà)
a) Đặt u = cosx, dy = e*; đu =~sinx, V = e*,
Trang 18Cty TNHH MTV DWH Khong Việt 122 ị ° gÁ= (e ide GHI 1 xe =xe * vI- x", x+ f 1-x? ce pee PNG t Ditxe-tent [OSs axe f ta Dat x = sint thi B= — Ƒ Bài 12: Tinh: ; a)C= fx’e* sin xdx dx Zz * +]
E a) Dat u = x*sinx, dv = e*dx thiv
C= e*x’sin x, - fee sinx + x? cosx)dx
=esini— 2 fe’ sin xdx — fre cos xdx
Trang 20đụ TNHH MIV DYVH Khong Việt Bai 15: Tinh: Giải : 3 $ ws | 3+lnx dx S = fos ax =} x+] “HH 3 3 a _3tin3 | 3 29 (ope f See E Ft dx i 95) = Sử 16 4 2" 1x jx+l 4
lụ patu=in(e + ve “lone thi:
Š mưa Lhelfs ifs fice 2In3-J3
Bai 17: Dat In= frrevex, n@N’ Tinh I theo In-1 véin 22 Suy ra ls,
Giải
be fetd(e*) zxSe'~n X""le'dk =x*e'~nlei
Trang 2110 trọng điểm luuện thi ĐH-ŒÐ môn Toón - (ê Hoành Phò Bài 18: 1 a) Cho n= Jr'e'ax Tính In theo li 0 RY b) Cho Ja= fanxytex Chứng mình Jx < Ja— —< ` 1Í n+1- Giải 1 i I a" a)h= fxtd(e*) =(x"e*) =n {x"e"dx =e=nl,,, 3 ; 0 0 b) Jn= x(Inx)"[ -n fom” ‘een, Š ; AY
Voil< xse>0s Inx<1=JsašJ:
Do dé Jn=e-=nJn-i Se- nj = (N41)Jn Se=> Apem,
Bài 19: Tính tích phân / = diner +D Giải
Trang 22Ctụ TNHH M1TV DVVHI Hhono Việt 3 3 1 dx I= ~Z [+n] + ew 1 3 "2 Lo &s } = -Lpsine +] +In——| = Ý+—“In2+ln3 x h x+II 3 3 ~
Bài toán 5: TÍNH DIỆN TÍCH Vữ THỂ TÍCH gS’
: [Dien tich hinh thang cong:
Cho hình thang cong giới hạn bởi đổ
thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai
đường thẳng x = a, x = b (a < b) Giả
sử f là hàm số liên tục và nhận giá trị đương trên đoạn [a; b] Diện tích S của hình thang cong đó là: S = F(b) —
F(a)
Diện tích hình phẳng r
Tir dinh nghia tich phan, véi y = f(x)
2 0 va lién tuc trén doan [a,b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị y = fC©, trục hoành vi? đường
thẳng x = a, x =b là: S= [renee
Tương tự, diện tích tần thang cong giới hạn bởi đổ thị x = ø(y), trục
tung và2 đường King y=cy=dla: Sy= Jzow :
_ Mở rộng cho y = f(x) bất kỳ liên tục trên doan [a,b] thì điện tích giới hạn
là: S= ] f(x) [de
Đổi 4 với 2 đổ thị y = Í(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì điện tích
.¬giới hạn bởi 2 đổ thị đó và 2 đường thẳng x = a, x=b la: S =
fife) -atafac
Trang 23
“ < Bài 1: Tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số:
~ a) y = {x + 2)e, truc hoành và 2 đường thẳng x= 0, x= 3
10 trọng điểm luuện thi ĐH—CÐ mơn Tn - (ê Hồnh: hị
Chit ý:
— Xác định theo định nghĩa gồm 1 hàm y =f(x) và trục Ox „ nếu chưa có hai ||-
biên thì phải tìm hoành độ giao điểm om
— Xác định theo đổ thị thì phải đánh đấu miển diện tích giới hạn các "biến
Phá dâu giá trị tuyệt đối thì xét dấu, chia miển so sánh hoặc a đổ thị
trên đưới
—_ Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chia ra nhiều phần diện tích để tính, |
lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư hoặc đổi vai trò x và vị dưa vào tính đối xứng để tính gọn oF j Thể tích khối tròn xoay ' * Thể tích vật thể tổng quát V= ÍS(x)dx
Thể tích khối tròn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y =0 (trục hoành) và x = a, x =b quanh trục hoành: V= Z by dx
*
Tương tự, nếu quay - quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi | x~ 80), x=O vay “ely Athi eth tc: Ve= fe dy
Chú ý: RS
— Xác định thes cong thirc hinh gidi han boi 1 ham y = f(x) va truc Ox khi,
quay quanh trục ©Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm
— Xác định hình theo đổ thị thì phải đánh dấu miển diện tích giới hạn các biên
I ỉ
‡¡— Ngoài Xách tính trực tiếp thì ta có thể chia ra nhiều phẩn thể tích để tính
tổng, thể tích khối tròn xoay, lấy thể tích lớn trừ bót phẩn dư, dựa vào tính
đối xứng để tính gọn if
Trang 24
Ì +2 Tin diện tích các hình vu ð0ả08, .8) Đồ thị các hàm số y =4~ x3, y =—x +2 b) Đổ thị các hàm số y = |x2~1 và y =5 +.| x Giải y - J)PTHĐGĐ:4~x2=-x+2 ee 3 âx?-x-2=0âx=-1,x=2 ma, Vội-1<x<2:4-x22-x42 Cy đx-x-2>0: ỳng 2 a) Sy’ = |(4-x? +x-2)dx == (avai) § } Xˆ+x~-2)dx 2 t) ayy b) Do tính đổi xứng nên S= :|Ệ +||~|k” -lÌx 1 ws -đlsex-tnoik‹ [+x +a 4 WS i # ? y 3 = {pe ae +4x (-4e oh +6x ate, HN: ae 2 ¡| 3
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
3)x=4~ 4y? vàx=1-y! b) y?=2px, x2 =2py (p > 0)
Trang 25| 10 trọng điểm luuện thi ĐH-ŒÐ môn Toón - lé Hoanh Phd Giải a) Do tính đối xứng nên $=2(Si- Sz 4- : i -:Í sx}, dx - -jn- x)4 dx 3\ 4 (dvdt) went oe “3 3 15 mm 2 (a-y")-( ~y*)hay + ) b) Hoành độ giảo điểm: eS 2\7 i i Iš) K2 60% <7 i : 2p "3 ky = {Jame -š}« = Ap? (avat) 8 pj 3
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị: Ay 2
Trang 26
Cụ TNHH MTV OVVH hong Việt
- Bài 5: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị:
a) y = x3 - 1 và tiếp tuyên tại điểm A(-1; ~2)
b) y = x?~ 2x và 2 tiếp tuyến qua B(2; -9) Giải ` a)y'=3x? nên tiếp tuyến tại A là y = 3x + 1 PTHDGD: x*- 1 =3x+1 ©x°-3x—-2=0<>x=-—1 hoặc x =2 z S= fox +1—x° +Ddx (dvdt) 4 2 = ƒGx+2—x`)& = = -
b) Hai tiếp tuyến qua B là:
Ö_ y==4x—1 có tiếp điểm E(-1; 3)
y=8x—25 có tiếp điểm F(5; 15)
2 5 gee
S=Si+S2= ffx? -2x-(-4x-1)fix + fx? -2x-@x-25)ix=18
=f a
Bai 6: Cho (P): y = x? và đường thẳng đ qua AQ; 3) có hệ số góc k Tìm k để
Trang 2710 trọng điểm luuện thi ĐH—ŒÐ môn Toén — tê Hoènh hò
Trang 28Qy TNHH MTV DWH Hang Vit “Bai 9: Tinh thé tich khdi tron xoay sinh ra khi quay hinh phang quanh truc Oy:
: 4) Giới hạn bởi: y = (2x + l} ,x=0,y =3
b) Giới hạn bời: y = Inx, y = 0, x =e ' iy
_ Giai a
y-l
VeVi-V2= nfle -e" ly
Bii 10: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phiêu quay quanh Oy:
Trang 2910 trọng điểm luuện thí ĐH—ŒÐ món Toón - tê Hoành hò | Bài 11: Cho dé ti (): y= x a) Tinh điện ích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C), trục % oy các đường thang x = 2, x= 4 b) Tinh thé tích khối tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quit truc Ox Giải 4 4 4 a) $= fj fax JH Hi ¿x-1 ex = fa+— ax § “xe = (x+In|x-1))) =2+In3 (dvdt) = Z(x+Inl~x) +s we, 24103 (dvtt) lox ;; 3
Bài 12: Đường thẳng d quả y = kx +1 ~k cắt Ox, Oy tai M, N, Tim k <0 dé thé tick khổi tròn xoay tạo ra khi quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé nhất “oer GIẢI — ~ J 1 =kx+1~Ek<0œx= “+1—-—- y nà * at k k Thể tích khối nón tạo thành: AY kẻ 1 xe -Ìl¬-j» 0 Lập BBT thi minV(k) = V(-2) = = (dvtt)
Bài 13: Tính diện tích của hình cứ giới hạn bởi các đường sau:
Trang 30Ctụ 7NHH MTV DVVH ñhong Việt , > Giải a)PTHĐGĐ: l x?-4x +3 | = x+3 có 2 nghiệm x=0,x=5 và | x? -4x +3 | < x+3 với mọi x thuộc {0;5] nên S= Jxssnẽ ~4x +8 I)dx -Jk‹+8- (x? ane [foxes ce ~ 4x +3))dx i oF | ý | aC wee ~ 4x +8))dx : ` | : | | | Ẳ ø (2 + 5x)dx+ {2 ~ 26) d+ f(-a? + 58) dx 0 i ae G = (- x? +22) 2° No (3 eo 32, ex) «(2x3 oa) NWA 3B" 2 I, 138 ee ie đt) 26 22 109
b) Phương trình hoành độ giao điển ÿ tòa 2 đường:
Trang 3170 trọng điểm luuện thi ĐH—CÐ môn Toón - Lê Hoành Phò
Bài 14: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox „
x
a) Gidi han boi cac đường y = Xe? , y =0, x= 0 và x= 1 &
Trang 32Coy TNHH MIV OWH Khang Vigt
Tnọng điểu 5 HÌNH KHƠNG GIAN
Bàitốn!: — KHÓILẮNGTRỢ Về KHOI HOP
Hình lăng trụ: Có 2 day song song bằng nhau và các cạnh bên song song | „/“ ˆ
| bằng nhau Ta thường phân loại theo đa giác đáy: lăng trụ tam giác, tứ |_ giác - Lăng trụ đứng khi cạnh bên vuông góc với đáy - Lăng trụ đều là lăng trụ đứng và có đáy là đa đều - Thể tích khối lăng trụ: V=B.h
Hình hộp: Là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành
Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành, 4 đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp
~_ Hình hộp chữ nhật hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật
Gọi a, b, c là 3 kích thước thì có đường khéo: d = va” + b + cˆ ,diện tích
toàn phẩn: S = 2(ab + bc + ca) và thể tích Khôi hộp chữ nhật: V = abc
- Hnhiập —— hình hộp chữ nạo kích thước _— nhau
Chú ý: để tìm giá ng) nhất, nhỏ nhất ta có thế dùng bất đẳng thức Côni
hoặc dùng đạo hàm i
Bùi 1: Cho khôi lãng trụ tứ giác đều ABCD.A:B:C¡D: có khoảng cách giữa hai h
đường thẳng AB và A:D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5 i
a) Ha AKL AiD (K € AiD) Chứng minh rằng: AK =2 |
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A:B:C¡D: i
Trang 3310 trọng điểm luuận thi ĐH~CÐ môn Toán - tê Hoỏnh hò 4 Giải - — a) AB // AiBi = AB // (AiB:D) fi => d(A, (ArBID)) = d(AB, A:D) "4 Ta có AiB: 1 (AA¡iD¡D) = AB L AK
Mặt khác: AD LAK => AK 1 (AiBiD) & Vậy AK = d(A, (AiBiD)) = d(AB, AiD) =2 V2 N
b) Xét tam giác vuông AiÄD, ta có: AK?= AiK.KD & ; D Dat AiK=x = 4=x(5-x) => x?-5x+4= 0, =x= =1 hoặc x =4 Véix=1, AD= JAK? + KD? =2¥5, Kaila AD? = V5 Khi 46 Vasep.aye;cy, = 20V5 ig ;
Với x=4, tương tự ta có : YAgcD Ất8,C¡Dị =10/5 ị
Bài 2: Cho hình hộp ABCD, ABC Di có thể tích V Hãy tính thể tích của tứ dién ACB'D' € Giải A D Các tứ diện BACB/ CBCD, DDAC, B A'ABD đều có thể tích bằng ° if lư io Do dé: vw: rele : , “.g B Cc Bai 3: Cho tình hộp ABCD.A'BCD' có tất cả các cạnh đểu bing d và ba góc của định A đều bằng 60°
a} Tinh độ dài các đường chéo và thể tích V của hình hộp
Trang 34Cty TNHH MTV DWH Khang Việt Tacó: B2 =(a~B+c)2=a2+b?+e?-2a.b-2B.£ +2c.a =2d2 Suy ra BD' = d2 Tương tự DB =CA'=d V2 nên ta có AA'BD là hình tứ điện đều cạnh d, nên $ 43/2 d3 /2 AY
Vaan) = „do đó V = 6Vaaso = >
b) Gọi h là khoảng cách giữa hai mặt phang (ABCD) va (A'B'C'D’) thiy
2 y
V =Sasco h = 8 3= = ae
He
Vậy khoảng cách giữa hai mặt song song nào cũng bang — g
Bài 4: Cho khối hộp ABCD.A:B:C¡D: có tất cả các can bing nhau va bang
a, AAB=BAD= A\AD = a (0° <a < 90%) Hay tinh the tích của khối hộp Giải v7 Hạ AIH L AC (H e AC) ` Tam giác A:BD cân (do A:B = A:iD) suy ra BD L A:O Mặt khác BD L AC đ => BD 1 (A:AO) py => BD 1 AiH hey Dodé AIH 1 (ABCD) _ Dat A\AD = 9 CS Ha AK 1 AD > HK 1 AK Ta co:
cosy cos ta ES BK AK oso nén cose = So8&
2 & AH AA, cost”
Trang 3510 trọno điểm luuện thi ĐH—CÐ môn Ioón - Lê Hoònh “hò
Bài 5: Cho khối hộp ABCD.A'BCTY có đáy là hình chữ nhật với AB= V3, AD= v7
Hai mặt bên (ABB'A) và (ADD'A) lần lượt tạo với đáy những góc 45° va~
60° Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1 &y Giai B — Hạ A'H 1 (ABCD), HM 1 AD, HK 1 AB Ta có: AD L AM, AB L A'K = A'MH = 60", A’KH =45 Đặt A'H = x Khi đó: AM=x:sin + v43 AM= VAA?-A'M?= 3-4x 3 ‘ ~ 2 Ta mà HK = xeot45"= x nên x= 2 vẽ =x-Š Vậy Vanco.xøcp = AD AB x= v7 v3 =3 2 Á y ~HK &
Bai 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'BC có mặt đáy là tam giác ABC vuông
tại B và AB = a, BC =2a, AA' = 3a:Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc
với CA' lần lượt cắt các đoạn, thẳng CC' và BE' tại M và N
a) Tinh thé tich khéi chop c A’ ‘AB
b) Chứng minh rằng AN LAB va tinh dién tich tam giac AMN
Giai :
a) VC.AAs = VA:.sc = š td = 2 a.2a.3a = a3
b) Ta có: CB L AB, CB L AA'
(do AA’ 1 (ABC)), suy ra CB + (A'AB)
Mặt khác AN 1L CA' suy ra AN L A®
Ta cớ: VÀAwx = 5 Sans A1
Trang 36Gly TNH MTV DWH Khang Việt
Bài 7: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'BC có tất cả các cạnh đều bằng d Hãy tính: ' a) Khoảng cách từ điểm A tới đường thắng B'C và góc hợp bởi hai đường thăng AT và BC b) Thể tích tứ diện A'BB'C và khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và BC Giải 4) Tam giác AB'C là tam giác cân BC=BA =d2, AC =d,
gọi B1 và AH là các đường cao
Ta có AH BC= AC.BI1= AH.dV2 =d.B1 BI VB'C2-IC? es A ell pat at „ Số 4E v2 2.2 4
Dit AA'=a, AB=b , AC=< thi b.c=|b| cose ==
Tacé: A'B.B'C = (b ~a)
Do đó cos(Ä"B, B'€ ) =
Gọi ọ là góc giữa 2 đường thẳng ÁP và ĐC thì cosạ= |eos(A'ö, ð'€)| “1
b) Xem tứ dién A'BB'C 1a hình chớp có đình A' và đáy là tam giác BB'C thì điện
2 :
tích đáy là = con tê cao chính là khoảng cách từ A' tói mp(BCCB)
ì 2 4
nên bằng sẽ Vậy: VAssc = i can có
Trang 3710 trọng điểm luuện thi ĐH-CÐ môn Toón - Lê Hoẻnh Phò
Bai 8: Cho lang tru ABC.A'B'C Hay tinh: | ‘
a) Tisd _VACA'B = :
VApCA'BC- ‘
b) Tinh thé pat tứ điện ACAT' biết tam giác ABC là tam 'giác đều sử
bang a, AA'=b va AA' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 60" i Giải a) Ta có: VAcAn= Vư.cAc = Vø.caC = VC.wC = ; Vaucaty pods Yaga so : AY ; VABC.A'BC' 3 Á
b) Gọi H là chân đường cao đi qua A của lặng tu
Khi đó góc (AA, A'BC)) = góc (AA„ AI H) ii 5 R = ó0,
AH=b—:5ApC "7" “ Wy
Do đó Vancawc = AH.Sanc -Ÿeb
Vậy Vacat = š ab,
Bài 9: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'BC' có tất cả các cạnh đáy déu bang a, goc
tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy là 60* và hình chiếu H của đỉnh A lên
mp(ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy và góc giùa hai đường thang BC va AC, b) HH ne giữa mp(ABBA)) và mặt đáy và tính thể tích của khối lăng trụ
Giải A c
a) Ta Óó, AH là khoảng cách giữa hai mặt 2
_phing day |
Vi A'H là hình chiếu vuông góc của
Trang 38ˆ Cty TNHH MTV DWH Khang Việt
) Từ H hạ HK L A'B' Ta có HK là hình chiếu của AK trên mặt phẳng (A'BC)
- Suy ra AK L A'B
Vậy góc giữa mặt phẳng (ABB'A') và mặt phẳng (A'8C) là AKH
Gọi [ là trung điểm của A'B, ta có C1 L A'B, suy ra CI // HK
Vì H là trung điểm của B'C' nên HK là đường trung bình của tam giác E B 0 CI_ a/3 suy ra HK = — = : 2 4 AH _3a av3 a Trong ng tam gi: ta ác vu ong AKH cé: tan có: tan AKH = <==": Pa 3 es 8 Ta có thể tích khối lăng trụ là: : a
VeSane AH= -BC.AH.AH= 3a 1 av3_ 33a), 22° 2° 8,
Bài 10: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy đà 'tam giác đều cạnh a,
-_ điểm A' cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA*: tạy với mặt phẳng đáy một
góc 60° `
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó
b) Tính diện tích xung quanh của hình lăng iy:
fo A c
a Giải a
2) Goi O Bà tâm của tam giác đều ABC ˆ `
Vì A'A = AB = A'C nên A'O.L nự(ABC) Do đó A'ÂO = 60 Ta có: aX A‘O= AOtan60° vy A =AOV3 = 28 #5447 c Vay thé tich can alii 0 Ỷ 7 : - a? V3 | _ a3 4.“ 4
Vi BC L AO: fen BC 1 AA’ hay BC 1 BB‘ nén BB'C'C là hình chữ nhật
Goi H _ trung điểm của AB Ta có:
a2
Sa= 1 2A'H.AB+BB.BC= 28 +2)
Bài: 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AIBIC: có đáy ABC là tam giác vuông
5 cân với cạnh huyén AB bằng v2 Mặt phẳng (AA:B) vuông góc với mặt
ˆ phẳng (ABC), AA¡ = v3, góc A:ÂB nhọn và mặt phẳng (AiAC) tạo một góc
ị 60 với mặt phẳng (ABC) Hãy tìm thể tích khối lăng trụ
Trang 3910 trọng điển luuện thi ĐH—CÐ môn Toóớn - tê Hoành hò Giải Ha AiK 1 AB (K e AB) K thuộc đoạn AB vì A:ÂB nhọn Hạ KM L AC=— AM 1 AC (định lí ba đường vuông góc) Ta có A›K L (ABC) vì (AA:B) L (ABC) => A,MK =60° Dat AiK =x, tacé: AK = JA,A? —A,K? = /3-x? MK = AKsinKAM = V3-x? sin45e = V3 - x? Bo 2 y ae coer Mat khac, MK = AiK.cot60° = Xã => “eo x= ; 1 CY — 3VŠ
Vậy VApcC,ABic; =SAsc-A¡K = 1ACcbA,k = Ca h
Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.ATBC' có BB' = a, góc giữa BB' và mp(ABC)
bằng 6Œ; tam giác ABC vuông tai C va BAC = 60° Hình chiếu vuông góc của lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tarn giác ABC Tính thể tích tứ ciện A'ABC `
_ ` yy Giải B a
Gọi G là trọng tam tam giác ABC va D
Trang 40Cty TNHH MIV.DVVH Khang Vigt
Bài 13: Cho hình lập phương cạnh a, hãy tính thể tích của tứ điện đều có 2 đình nằm trên một đường chéo của hình lập phương và 2 đình còn lại nằm trên 1
đường chéo của 1 mặt bên
5 Giải
Trong một tứ diện đều, đoạn nối hai
trung điểm của hai cạnh đổi là đoạn
vuông góc chung của hai cạnh đó
Giả sử tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên đường chéo AC' và hai đình còn lại
nằm trên đường chéo BD' của mặt bên
nên đoạn vuông góc chung của hai cạnh đối diện của tử diện chính là đoạn
vuông góc chung của AC' và BD 4
Gọi O là giao điểm của A'C và BĐ;, I là giao điểm của AC với CO thi OF la
đường vuông góc chung của AC' và BD' é
Villa = tâm của tam giác đều CBD' cạnh a⁄2 neni 3
0= sCO« wi 2.88
1
Vì đoạn vuông góc chung của hai cạnh số ø đối =2 điện đều cạnh b bằng —^ bề nên PV2 „ AVố _„„ aV3 cŸ
2 6 3
108
Bai 14: Cho hinh lang tru dimg- ABC A'BC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB =a, AA’ = 2a, A'C =3a Gọi M là trung điểm của đoán AC, Ilà giao
điểm của AM và AC Tink theo a thể tích khối tử diện LABC và khoảng
cách từ điểm A đến matt phẳng Nợ M
^' ic
a)HaTH 1 AC HeAO => IH £ (ABC)