10 trọng điểm luyện thi đại học cao đẳng môn toán - lê hoành phò part 1

Trang 1

ThS- Nha giao w tu: LE HOANH PHO Gin vin chuyến kiện t đã hụt

‘CAO DANG

; On tap và nàng tai Ki nâng bm bà ©

“Se Bln sogn theo noi dung va cau true thi ca 80 69 & BT ©

Trang 2

LỚI NĨI ĐẦU

Với mục đích: ơn luyện bám sát cấu trúc của đê tuyển sinh Đại học mơn Tốn, nhà sách KHANG VIỆT giới thiệu cùng các bạn thí sinh cuốn sách quan Írọng 10

trọng điểm luyện thi Đại học — Cao đẳng mơn Tốn nhà giáo tru tứ, thạc sĩ Lê Hồnh Phị

Nội dung sách gồm tĩm gọn lý thuuết căn bản va cic chit ý bĩ thong các bài

tốn theo nhĩm ưới mức độ nâng cao dẩn:

Trọng điểm 1: Khảo sát hàm số CA

Trong diém 2: Phương trình lượng giác `

Trọng điểm 3: Phương trình, hệ phương trình < `”

Trọng điểm 4: Nguyên hàm, tích phân k

Trọng điểm 5: Hình khơng gian ?

Trọng điểm 6: Bất đăng thức, giá trị lớn 2hất nhỏ nhất

Trọng điểm 7: Tọa độ phẳng R

Trọng điểm 8: Tọa độ khơng gian -`

Trọng điểm 9: Tổ hợp, xác suất, why thitc Newton

Trọng ‹ điểm 10: Số phức ;

Phẩn cuối sách là 5 dé thi tổng hợp theo cấu trúc mới của Bộ giáo dục uà đào tạo

để các thí sinh tham khảo ồ thử sức mình

Xin chân thành cảm ơn ồ đĩn nhận các khiếm khuuêt sai sĩt để lẩn in sau tốt

đẳng mơn Tốn trước ngày thị

Tác giả

Nhà sách khang Việt xin trân trọng giới thiệu tới Quý độc giả 0à xiu lắng nghe moi ¥ kién đớng gĩp, để cuốn sách ngàu càng ha hơn, bổ ích hơn

Thư xin gửi we?

Cty TNHH Một Thành Viên - Dịch Vụ Văn Hĩa Khang Việt

71, Đinh Tiên Hồng, P Dakao Quận 1, TP.HCM

~) Tel: (08) 39115694 ~ 39111969 ~ 39111968 - 39105797 — Fax: (08) 39110880

Trang 3

Cy TR IV DAR rong Ih Việt

họng điểu 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ ` ` ”” Bài tốn + KHẢO SAT VE DO THI HAM SỐ Và YẾU TỔ ĐỐI XứNG

~ Tập xác định D = R ~ Xét tính chan, lẻ nếu cĩ

Bước 2: Chiểu biến thiên

~ Tính các giới hạn Tìm tiệm can cua ham hitu ti ~ Tính đạo hàm cấp một, xét dấu ~ Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực

Z Bước 3: Vẽ đổ thị &

— Tính đạo hàm cấp hai, xét đấu để chỉ ra điểm uốn: của hàm đa thức

~ Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai HỆ 4 đị

~ Ve đúng đồ thị | Yếu tố đối xứng; Sử dụng định nghĩa về tam đối x xứng, trục đối xứng ~ Hàm số y = f(x) chan: Vx e D = -x e ÐYà f(_x)= f(x) Đồ thị hàm số chẵn đổi xứng nhau qua trục tung - Hàmsốy=f@&)lẻ: Vx e D =x € Dva f(-x) =-£(x)

Đổ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O

— Cơng thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OĨ :

=X+%g

(Oxy) > to với lọ, y\: i e¥+yo

- Điểu kiện (Q): y= os) nhận I(xo, yo) 1a tam đối xứng

yo= fia Aint) Vxo - x, xo+x € D, hoặc chuyển trục bằng phép

tinh tiến đến gốc I nĩi trên là hàm số lẻ

- Điểu kiện (C): y =f(x) nhận d: x =a làm trục đối xứng;

f(a ~ x) = f(a + x), Va~x, a + x e D, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến

Trang 4

———————-=- 10 trọng điểm luuện thị ĐH~ŒÐ mơn Toĩn ~ (ê Hoỏnh Phị

- Hàm bậc ba cĩ lâm đối xứng là điểm uốn

- Ec hu 1/1, 2/1 ten dt xing la giao điền 2 io cn C6 2 trục đối xứng khơng song với Oy là 2 phân giác của gĩc hợp bởi 2 tiệm cận

~_ Điểm A đối xứng B qua I khi 1]à trung điểm đoạn AB,

- Điểm A đối xứng B qua đường thẳng d khi d là trung trực của đoạn AB

- Ta cĩ thể dự doin yf yếu tố đối xứng qua tập xác định, bảng biến thiên, dạng đổ thỷ, nhĩm số hạng S&S Cac phép suy dé thi: SS Từ đồ thị (C):y = (9) suy ra đồ thị ha hàm số: - Ham sdy =— f(x): bằng cách lấy đối xứng qua trục hồnh =_ `" :ẽ ` - Hàm sốy If] = {ere ta ra) cọ: Đẳng cách giữ nguyên phần đồ

thị phía trên trục hồnh, cịn phần phía dưới trục hồnh thì lấy đối xứng qua trục hồnh

~_ Hàm số y =f(Ìx): bằng cách lấy đối xứng qua trục tung

- Hàm số rfp bằng cách giữ nguyên phần đổ thị bên phải trục tung, và lấy đối phần đĩ qua trục tung (do ham sé chin)

- Hàmsố = — (-x) bing cach lay déi xứng qua gốc

- Ham sBy = fx) +b, y=f(x +a), y =f(x + a) + b bằng các phép tịnh tiến |

song song với các trục tọa độ _

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình:

= Phương trình dang ø(x,m) =0

| 3” Dua phương hình về dạng fx) =.h(m) trong đĩ vế trái là hàm số đang

[_ xét, đã vẽ đổ thi (C): y = f(x) hay suy đồ thị

~ Số nghiệm là số giao điểm của đổ thị (C) với đường thẳng y = h(m) Dựa vào

Trang 5

Cty TNHH MTV DV Khong Viét

a) Khảo sát và vẽ đổ thị (C)

Giai

s Tập xác định D =R s Sự biến thiên lim y =-œ và lim y=+œ

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (—; -1) và (3; +); nghịch biến trên khoảng (-1;3) ““”

ay”

3

« Đồ thể y*= 2x ~2, y" =0 © x= 1 nên đổ thị cĩ điểm uốn l(1~ )

Chex =0 = y=~Š,y~0=x~~1 hoặc x =8

Trang 6

10 trọng điểm luyén thi BH-C mén Toda — lé Hoénh Pho

3 (5< -s~-3) khi x<5 3S 3 nguyên phần đổ thị (C) khi x >5 và lấy đối xứng phần x < 5 của (C) qua Ox fx? x2 -3x— 41 = vin là số giao

Số nghiệm dương của phương trình

điểm cĩ hồnh độ đương Của hai đổ thị: x-k» —x? -3x-3; y=vm

Nếu m <0 thì khơng cĩ nghiệm dương

Nếu m=0 hoặc 3> = thì cĩ 1 nghiệm dương

-32

Nếu 0< mí< = hoặc m= “” thì cĩ 2 nghiệm đương

Nếu Š < m< 2 thì cĩ 3 nghiệm đương

Bài 2: Cho hàm số y = x2 — 3x2 — 9x

4.2) Khao sat va vé dé thi ham sé

Trang 7

“Giải

s Sự biến thiên y' = 3x? - 6x - 9, y' =0 © x =~1 hoặc x = 3 Đồ thị cĩ cực đại A(-1; 5), cực tiểu B(3; -27) | Path

thì y=0 ee iy

' Ẳ = iY

b) Dat f(x) = x° - 3x2- 9x thi phương trình:'f(x) = f(m)

Ta cĩ y =5 © x=~1 hoặc x = 5; y==27 khi x =~3 hoặc x = 3

Dựa vào đổ thị, ta cĩ: QS”

Khi m<~3 hoặc m > ð thì PT cĩ 1 nghiệm

Trang 8

SS on

TT « Tập xác định D = R Hàm số chẵn

ÿ&~=slá~ x9, y =0 xe Ohobe nad vu Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên (~es; -2), (0; 2) và ¡ch biến trên (—2; 0), (2; +e)

TRA CECH HEE 5) va CT tai (0; nề p

b) Số nghiệm của phương trình: 1+2x2— x =m bằng số giao điểm của đường

thẳng y = m.và đường cong (C) Dựa vào đồ thị trên ta cĩ:

Nếu m =5 hoặc m < 1 thì phương trình cĩ 2 nghiệm Nếu m= 1 thì phương trình cĩ 3 nghiệm

Nếu 1<m <5 thì phương trình cĩ 4 nghiệm

Nếu m>5 thì phương trình vơ nghiệm

Baia: Cho hàm số y =2x*— 4x2,

`>_ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số

Trang 9

Cự 7V MTV DWH Khong Viet Hàm số nghịch biến trên (=, -l) và (0; 1), đổng biến trên (1; 0) và (1; +) Hàm số đạt cực tiểu tại x = +1, ycr = —2; đạt cực đại tại x= 0, yoo = 0 A lim y= lim y=+0 = xo x.—.+-^

Bảng biến thiên

25 5 2) cho y= 0<=x= 0 hoặcx=+2 b) Ta cĩ x2 | x2~ 2|= =m ` 4x2} =2m

Phuong trinh co*dung 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y =2m cắt đổ thị (C) của hàm số y = |2x+~ 4x2| tại 6 điểm phân biệt

` 2x°“—4x? khi |x|> v2

~(2x* ~ 4x?) khi |x|< V2

suy từ đề thị (C) bằng cách giữ nguyên phẩn đổ thị ở phía trên Ox, cịn

phẩn phía dưới Ox của (C) thì lấy đối xứng qua Ox

Ê Đưa vào đổ thị, yêu cẩu bài tốn được thoả mãn khí và chỉ khi:

0<2m<2©©0<m<1

Trang 10

10 trọng điểm luuện thị Đ/4~ŒÐ mơn Tốn ~ tê Hồnh Phé

2x-1

x-1

Bai 5: Cho ham sé y =

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm các điểm trên (C) cĩ toạ độ là số nguyên

Giải

« Sự biến thiên: lim y=—, lim y =+œ nên tiệm cận đường

~ =P

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (se; 1) và (1; +2c) © Đồ thị Cho x=0— y= 1; y=0x= 3

Đổ thị nhận giao điểm 1Q; 2) của hai

Trang 11

_ tụ TNHH,MTV DVVH Hhong Việt ” 0, vx E1 nên Kê sẽ đống biến bên muối

Tiệm cận đứng x=~1; Tiệm cận ngang y = 1

+ Chiều biến thiên: y' =

sĐÐƠth: Sets ee Sete ä 2 -2m+1

k ‘a là số giao điểm của đổ thị (C) của hàm

X-2 _Jx+1

màn waived

Suy ra đổ thị (C) giữ nguyên phần đổ thị (C) nằm bên phải đường thẳng

x= -1 và lấy đổi xứng phẩn bên tới đường thẳng x « -T qua trục hồnh Dựa vào đồ thị ta cĩ: )

Nếu 2m + 1 <~1 c>in<—1 tủ phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt

Trang 12

| § 10 trọng điểm luuện thi ĐH-ŒÐ mơn Toĩn - (ê Hồnh Phị

ø Sự biến thiên : lim y=+© và lim y =—= nên TCĐ: x#2: ` “`

8

QO

y<i+ a >0 với mọi x #2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

(—; 2) và (2; +)

Điểm M(x; y) e (C) cĩ toạ độ nguyên khi

x-2làước š của của 3 nên x~2 = 31, ‡3 Đo để (C cĩ 4 điểm cĩ toạ độ nguyên:(1; củ 0), (- 1; 0) va (5; 4)

b) Giao điểm 2 tiệm cận I(2; 2) chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ

KẾT nha Enene xt BBC Ye? 0= cơng 9 V91-

& vive FOXX 2 làhàm số lẻ nên đổ thị(C) nhận gốc T0,2) làm tâm đổi xứng

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phương trình sau cĩ hai nghiệm dương phân biệt:

x?+2x +5 = (m? +2m + 5)(x + 1)

Bài 8: Cho hàn số y =

Trang 13

Cty TNHH MTV DWH hong Việt 2 x" +2x4+5 4 = = Pe ee, ay x+i = x+1 s Tập xác định D = R \ {-1) 2 a © Syrbién thiên: y'= 1— 4 x" +.2x—3

(x41? @œ+1? „ y=“0©x=1,x=-3

Hàm số đồng biến trên (—o; -3), (1; +), nghịch biến trên (~3; —1), (—1; 1)

nén TCX: y=x+1 KY

Chox=0=y=5 ¬

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I(~1; 0)

b) Vì x = -1 khơng lš nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:

2 SV

xs = mê + 2m + 5.Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm

Trang 14

10 trọng điểm luuện thi ÐJ—CÐ mơn Toĩn - Lê /foènh Pho Giải a)y'=x—1,y'=0 © x =1 Đồ thị cĩ điểm cực trị là I(1; -2), Chuyển hệ tÉac

bằng phép tịnh tiến theo vecto OL: ay

y=Y 2

cY= + 2 Vi Y = F(X) = 3% là hàm số chẵn nên đổ thị đối xửng nhau qua trục tung TY cĩ phương trình: x = 1 yy b) y" = 4x2 + 12x? + 8x = 4x(x? + 3x +2) ‘<

y'` =0©©x =-2 hoặc x = -1 hoặc x = 0

Xét điểm I(—1; 1) Chuyển hệ trục bằng phép tính tiến theo vecto OF:

x=X-1

— Thế vào hàm số:Y +1 = ~(ŒX~ 1y! + 4Q(~ 1 *4QX—1Ƒ

©>Y =X*— 2X? là ham sé'chin => dpem >

Bài 10: Xác định tâm đổi xứng của đổ tHị mỗi hàm số sau đây:

3x—-2 SS 3x? —5x—5 = 3 \ oy x+1 ` )y x-2 ‹- Giải a) DG thi cé6 TCD: x = -1, TCN: y= 3 nên cĩ giao điểm I(~1; 3) Chuyển hệ trục 5 Tờ =X-1 bằng phép tịnh tiến An : a

'3(X~1)~2 +5

The

ế vào àm số: Y+ g

œ- 9+1 = x

Trang 16

TT

Điểu kiện A =|(b + 3) - 8(2 + b) = b? - 2b — 7 > 0 Hồnh độ giab điểm 1 của d và đ:

| XA+Xg 2

a SE ot -3_ d43 2 we 48) ofa a <= b=9 (chon) a1, +34 | pa+^14, s_xŠ~ ? 2 2 GŸ Bài nee eg y=-x~4 cắt đổ thị hàm số y = Khu Am

tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x | "Giải

Same BEM «c4 ontc(ntione00

pe ft yeas: = m#~2

A=(m a: 8(4-m)>0 ° jm <-11-Vi04 hay m>-11+ 104

Gọi xs, xe ja hồnh độ hai giao điểm, ta cĩ x¡, x2 1a nghiệm của (1) theo

dinh Viet xịe = TT”

Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vuơng gĩc với đường

"ru R 4 nên tung độ của hai giao điểm lần lượt là x2, xi Do đĩ

#a=-xi= ~4@ xi+xz=—4œm+7=8œm= 1 (thoả mãn)

Bài 15: Cho hàm số y = x3- 3x? +mx (1)

Kx Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu va

các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng (d): x 42y~5=0

Điểu kiện| để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu Mi(:; y1), MaQo; y2) là y` = 0 cĩ

hai nghiệm phân biệt : A'=9 — âm >0 œ m <3

Trang 17

Cty TNHH MTV DWH Hong Việt

Đường thẳng (4): x— 2y -5 =0 cĩ VTCP Vˆ = (2; 1)

pm SO Rye ; => 2

=lqm-2)

=© Yo =501+Y2)=m-2 RS Do Mi, M¿ đối xứng nhau qua (d) nên: —y Te(d) “la 2(m—2)—5=0 , MGMgV =0~ [2x2 -x + y2- Yn =0

Bài tốn 9: TÍNH ĐƠN ĐIÊU Vả CựC TRỊ HAM SO

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số cĩ đạo hàm: trên khoảng (a; b) khi đĩ: } — Néu ham sé f động biến trên (a; b) thi f (x) => 0O với mọi

x € (a; b)

— Néu ham số £ `nghịch biến trên (a; b) thì f 'xỳ < 0O với mọi

x € (a;b) :

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

~_ Giả sử hàm số £ cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b)

Nếu £'€) >0 với mọi x e (a; b) thì hàm số f đồng biến trên (a; b) Néit f(x) <0 với mọi x € (a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b)

Nếu f 1x) =0 với mọi x (a; b) thì hàm số f khơng đổi trên (a; b) ¬ Giả sử hàm số £ cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b)

ˆ` Nếu £ '{x) >0 (hoặc f '(x) < 0) voi moi x € (a; b) và f '(x) = 0 chỉ tại một số

hữu hạn điểm của (a; b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

khoảng (a; b)

Trang 18

10 trọng điểm luuện thí ĐC mơn Toĩn - tê Hồnh Pho

} — Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) và liên tục

trên nửa khoảng (a;b], [a;b) hay đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến those

nghịch biến) trên nửa khoảng (a;b}, [a;b) hay đoạn [a;b] .€

Điều kiện cần để hàm số cĩ cực trị KY’

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xe Khi đĩ, nếu f cĩ đạo hàm tạ xo th

f'(xe)=0 4

Điều kiện đủ để hàm số cĩ cực trị

Cĩ hai dấu hiệu: ỳ

— Cho y = Í(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa xơ cĩ, dao ham trén cac

khoang (a;xo) va (xo;b): Ke

Néu f ‘(x) déi dau tix 4m sang duong thi f đạt cựctều tại xo

Nếu f “(x) đổi đấu từ đương sang âm thì f đạt cực đại tại xo

~_ Cho y =f(x) cĩ đạo hàm cấp hai trên khoảng (a/b) chứa xo

Nếu £”(xo) = O và £ ”(xo) > 0 thì £ đạt cực tiểu tại xo

Nếu f '(xo) = 0 va f "(xo) < 0 thì f đạt cực Sai tại xo

Chú Ú: Tung độ cực trị y = f(x) tai x = xo cĩ 3 hướng tính:

Hàm số bất kỳ: dùng phép thế yo= (xo)

Hàm đa thức: chúa đạo hàm y 4©) a + r(x) => yo = r(xo)

Hàm hữu tỉ: đạo hàm riêng tử, riêng mẫu

= ued | ~ U(X) _ u'(xo)

~ £09 Fey OY img) Vix)

Đặc biệt: Với hàm bậc 3 cĩ CĐ, CT và nếu y = q(x) y' ia

|L_ đường thang quae 'CÐ, CT là y =r()

Trang 19

y'= "Be a T

~ o2-62-6

khoang (-3;-V6 ), (V6 ; 3)

2)D=R \ [_m) Ta cĩ: ` ay px (3m-1)m- fuse? +m) _ 4m2 ~2m (x+m}? _ (x+mj} ì Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định es4n#'~2m >0 com<Ohofem> 2 S ỳ

b) Ta cĩ y'=1~ „ với mọi xz 1, (x-1? * Nếu m <0 thì y' >0 với mọi xé Do đĩ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

x2~2x+1—~m , (x>1)? y'=0x2~2x+1<m=0«x=1#Vm Bảng biến thiên +, [7 Nếu m >0 thì y=

Hồm số nghịch biến trên mỗi khoảng : (1 ~ /m; 1) và (;1+ Vm}:laạ:

Vậy hàm số đổng biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ khi và chỉ khi m <0

Trang 20

| 10 trong điểm luyén thi ĐH—CÐ mĩa Toĩn — (ê Hoènh Phd

Bài 3: Tìm a để hàm số:

a) Ấx) = x?— ax2|+ x + 7 nghịch biến trên khoảng (1; 2)

b) f(x) = sen ea + 2cosa)x? + 2xcosa +1, a e (0; 2x) đổng È oe tran khoang

(1; +) |

| Giải

meas ee hà

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) khi và < ` chỉ khi y' <0 vội mọi x (1:2) wate

& ae | 4-2as0 13 ° S4

f(2)<0 “ÏÌ13-4a<0 ie

b) y'=x-(1 ee Ta cĩ 0<4<2z

y =O@x=1hodex=2cosa, -

Vì y'> 0 ở ngồi khoảng nghiệm riên hàm số đồng biến với mọi

chi Khi 2cosa <1 ¢> cosa s digs Tu

Bài 4: Tìm tham số m để hàm số

a) y = (m~3)xL (2m #1)coex nghịch biến trên R

b) y =x? + 3x? + mx +m chỉ nghịch biến trên một đoạn cĩ độ đài bằng 3

te Giải a) y'=m.~ 3+ (2m— 1)sÌnx Hàm 2 (Bong là hàm hằng nên y nghịch biến trên R: y' <0, Vx © m-3+ (2m-1)sinx < 0, Vx Đặt t=sinx, -1 <t <1 thi _“ m=3* (2m - 1)sinx = m ~3 + (2m - 1) = f()

CS f-0)<o | -m-4<0 © Meas P am-250 2 S35

Xét A' <0 thì y >0, Vx : Hàm luơn đổng biến (loại) XétA'>0 ©m <3 thì y' = 0 cĩ 2 nghiệm xị, x¿ nên :

m

| XI +X2z“~2, XIX2= —

3

|

Trang 21

Cty TWHH MTV OVVH Khang Vigt

Bảng biến thiên:

Theo để bai: xz — x: = 3 © (xz — xì)2= 9 © xƒ +xã —2xạxạ =9 a

<> (xz + xi)? — 4xixz =9 > 4-2m=9© m= ~ thoả)

Bai 5: Tim cực trị của hàm số:

3 © a) y= 2 b) y=3-— 2cosx — cos2x:

- a) Tập xác định D = (<0;-V6 ) U (V6 ; +) »

Vậy hàm số đạt ove dat tai x=-3va yoo=~9J3, dat cuc tiéu taix =3 và

y"=2cosx *4cos2x

Ta cévy"(kx) = 2coskn + 4cos2kn = 2coskn + 4 >0, véi moi k e Z, nên ham

số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm x = km, ycr =2~ 2coskm bằng 0 khi k chẵn

và bằng 4 khi k lẻ

„_ Ta cĩ y "(42% + 2kn) =2 cos = + 4cos5™ = 6cos sane ~3 <0 nên hàm số

Trang 22

10 trọng điểm luuện thị ĐH—CÐ mơn Tốn ~ tê Hodnh Pho

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số luơn luơn cĩ cực đại và cực tiểu:

bigs x? +(m+2)x+m? +2 ay x+m Pi = Giải Ss"

ws = F1@by + (bP + (oay]>Oveiacb<c ^”

Do đĩ y' =0 cĩ 2 nghiệm phân biệt và đổi đấu, Ziän khí qua 2 nghiệm nên

luơn luơn cĩ một cực đại và một cực tiểu A àỳ x2 +2mx +2m —2.,* =

b) D=R \ {-m} Ta cd: y'= at Xét han s6 g(x) =x?+2mx+2m-2 4 Ta cĩ A' = m?—2m +2>0, ¥m va g(-m) = -m? + 2m -2 # 0, Vm nén y'= Oluén

cĩ hai nghiệm phân biệt khác —m, y' d6i dau hai lần khi qua 2 nghiệm, vậy hàm

số luơn luơn cĩ cực đại và cực tiểu ›

Bài 7: Tìm các tham số để đổ thị hàm số:

ty

a) y= f(x) = a+ bat Gat cực đại bằng 4 khi x =2

Trang 23

Cự TNHH MTV DVV Khang Việt

Nếu q >0 thì phương trình: f '(x) = REY 0 cĩ hai nghiệm phân biétx1=-1- fq vax=-1+ Jq

Ham sé dat cuc dai tai diém (-2;-2)khivachikhi | ey

f(-2) =-2 p=1 p=1 xs Bài 8: Tìm m để hàm số: X

b)y= đạt cực tiểu tại x = 0 Giải a)D=R Ta cĩ y' =~8(m + 5m)x? + 12mx +6 Nếu hàm số đạt cực đại tại x =1 thì y(1) =0

Ta cĩ y" =~6(mê +5m)x + 12m eye }

Với m =1 thì y" ~-8á: +12 nên y (1) -24 <0, hàm số đại cực đại tại x = 1 Với m=-2 thì y"=36x— 24 nên y"(1)= 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 (loại)

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 l

2

=—m?+m+2= '03m=~1 hoặc m =2 |

Véima ty SP axese Li sy'et-a a

Dodiy'= 2 = = y"(0)=-2<0 => x=01a diém cực đại của hàm số: loại

^ x2 -x-2 4 4

Trang 24

10 trọng điểm lúện thị ĐH-Œ mơn Toĩn - (ê Hồnh Phị

Do đĩ y"= tra Y (0)=1> 0 nên x~0 là điểm cực tiểu của hàm số: Vậy

gid tri can tìm m =2 Sy

Bài 9: Tìm arene y= ome đạt cực trị tại 3 điểm thuộc khoảng (0, ^) Giải TH cŸ arsinx

acos* x ys

fone

V6i sinx = poet “= + 0, đo đĩ hàm số đạt cực trị tại 3 điểm thuộc khoảng (0; *) © sinx=a063 nghiém thudc khoang (0; =) \

eahyes |

Bài 10: Tìm m ham sé:

a)y= 3 3B 1-3 jy nl hal pa char

byy= BGA Ame

Ames O51 62 cuc tr vi hai gi trị cực tr trái đấu

ẳ Giải

- a

a) Digu kign x#m Ta o6 y'= X_~2 x1 =1 F (x-m)

BS i cha tact 62 pinche erecting y= bib hina see! xe <0 me-1<0e-1<m<1

mx? - 2mx-3

| (x-1?

EEE EO A ESLER ea Sử

b) Diéu kién: x #1 Ta cĩ y` = , d&t g(x) =mx? - 2mx ~ 3

Ta CĨ XI +»3=2, xua = -= nên yco yer <0

Trang 25

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét <> (2mxi + 2 — 4m)(2mx2 + 2 — 4m) <0 © 4m2x1xz + 2m(2 — 4mn)(x› + x2) + (2— 4m)? < 0 <S>~12m + 4m(2 — 4m) + (2 —- 4m}? < 0 © 4—20m <0 mm > z

Bài 11: Tìm các tham số m để hàm số :

a)y= TY

b)y= 2 49 — me - 23m? - yx + 2 cĩ hai điểm cực trị x: và xz sao cho:

Giai

a)D=R \(1).T : aii ee se q-x# EE ay nS y'=0<x2~2x~m~1=0,x #1 (A'=2 + m), 0

b) y’ = 2x2 — 2mx — 2(3m? - 1) y €6 2 cuc tri <> A’ = m? + 4(3m2 = 1) >0 © 13m2 ~ 4> 0

S4 vn FB

<> m=0 (loai) hay m= : (nhan)

Bài 12: Từm các tham số m để hàm số y = se a tri va

hồnh độ 2 điểm cực trị của hàm số đĩ thoả mãn “1+

“2 >7

: Giải

“Vi ' là hàm số bậc hai nên hàm số cĩ 2 cực trị khi và chỉ khi y'(x) = 0 cĩ hai

_ nghiệm phân biệt © A > 0 © m2 ~ 4> 0 cm < =2 hoặc m > 2

Goi x) va x2 Ja hai nghiệm của y'(x) = 0 thì S = x: + xz=—m, P = xi2 = 1

Trang 26

70 trọng điểm luuện thí ĐH—CÐ mơn Tốn - (ê Hodnh Phd ở 2 s“ s Ý Ta cĩ: + + h>7 ©|*L+X2z| -2570| 2°! 29

3Đ?

Chọn giá trị m<= ⁄5 hoặc m> V5

s)y =—ˆ x** 3 me cĩ 3 cực bị 1hð đinh của tam giéc Gh

bỳ y=xŸ ~2(m +1)x2 +m2 (1) cĩ ba điểm cục trị tạo hành ba đình của một

Trang 27

; j Cty TNHH MTV DVVH Khong Viet 5 | : © Ï=(m+1)Ým+1 = (m+1)? (dom>-1)

Bài 14: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đổ thị: a) y =x? + 3mue + 3(m2~ 1)x + mề—~ 3m x2 ~2mx + 5m -4—~m? |

AY b)y=

Do dé: y1 = ya) = (Fe +z) y'(e0) ~ 2G +m) =-2(es +m}

va y:=Vy(@x)= ( XQ + : =) y'(x) — 2(xz + m) = -20e+ m) nên đường thang qua CD, CT la y =-2(x +m)

(x-2)? (x-2)?

Gọi x, xz là hồnh độ CĐ, CT thì xr <2 < xe Ta cĩ

='eÈ2(m~1)+a~2)= 2x¡~2m b) ĐK: x #2 Ta cĩ y =x~2(m~ n+

J ti 46 suy ra điều kiện cĩ CÐ và

yoo) =x1-2(m~1)+ 2

(x1 ~2), _m2y

xạc

Vậy phương trình đường thẳng qua CÐ và CT là y =x - 2m

nama cĩ hai điểm cực trị A

Trang 28

ee

Điểu kiện cĩ 2 cực trị là A' > 0 và g(1) z 0 © 3—-2m >0 và 3~2m #0œm< 5 Taos Atl Về ~2m ;2-2m-2V3-2m) B(I + V3-2m ;2-2m +2/3~2m )

§ 8x l2 ủng tiên &k= Y(Xa)- Y(xị) es 2m

Hệ số gĩc của đường thăng AB là ae moray = Doin Ta cĩ 2x — y ¬ 10= 0 y =2x — 10 nên TƯ Gan

Bài tốn 31 TIEP TUYEN V@ TIEP XUC Tiép tuyển in 46 lộ x S

Cho đồ thi (C) y =fo) ‘

Tiếp tuyến tại điểm My): ys 2yo= f "(xo) (x - ‘a,

Phuong trinh nay © 3 yi tB eo, yo va he 56 g6c: f 3)” k= tan(0x,t)

- Tiép tuyển đi qua Alta, yayy

Lập phương trình tiếp tuyến tổng quát tại xo với ẩn xa Cho tiếp tuyến này qua điểm A thi tinh được xo

Cách khác: Lập phường trình đường thẳng qua A cĩ hệ số gĩc k: y—ya = k(x - xA) © y = g(x)

Tìm hệ số gĩc k ie cách giải hệ phương trình cho tiếp điểm:

lO lo “g0)

“_ f@)=g@)

Tiếp ác của hai đồ thị

,Eho3 đổthìy f0) vày= g(x)

ea g(x)

+ Điều kien tiếp xúc là hệ phương trình: fe b)=g0) cĩ nghiệm

var

Chú ý: Với hai đường thẳng :y = =ax +b, d': y = a'x + b' thì cĩ:

d= sở! khi a= a,b=b'; đ// d' khi a= a, b# b; d L d' khi a a' = -1

Trang 29

Cty TNHH MTV DVVH Khang Viet

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị hàm số:

—x+2 ai ^* - “ = 1

= „ biết tiếp tu d:y=—x-8

ayy ai ết tiếp tuyến vuơng gĩc với d : y > x

b)y= ie — 3x, biét tiép tuyén song song với d: y = 6x

Giải 4

a) Điều kiện x # -2, y HE

Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng y = Ỹ x — 8 nên hệ số gĩc k =~2

Hồnh độ tiếp điểm thoả mãn phương trình:

aig xy =-2+ v2

z=-2=

(x+2) xạ =-2-v2 Pa:

Với xì =—2 + x/2, ta cĩ tiép tuyén y =-2x-5 +ÂˆxXÊY

V6i x2 =-2 - ^/2, ta cĩ tiếp tuyến y =~2x + 5 ~4v/2 -

b) Tiếp tuyến song song với d: y = 6x nên cĩ hệ sĩ gĩc k =6

Ta cĩ f '(x) = Š xã ~ 3 nên cĩ Ÿx2~3=6 xã = 12 ~» xe = +2 V8

Khi xe=-2+/3 thì tiếp tuyến y = 6x +12/3

Khi xe=2-/3 thì tiếp tuyến y = 6x~ 12⁄3

Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến, với đồ thị:

a) y = 2x3 — 6x? + 3 và cĩ hệ số gĩc bé nhất -

b) y = /2— x„ biết tiếp tuyễn cắt ©y tại B(3; 0)

SS Giai

a) Ta cĩ hệ số gĩc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đĩ

y' = 6x? - 12x = -6 + 6(x — 1)? 2-4, đấu = xảy ra khi xo= 1 nên

min y'=-6, do dé tiếp tuyến tại A(1; —1) là y = =6x + 5

b) Với 2~x >Ư < x<2 thì y'= oe

Wt eee gp ws ge oy we 2 -

Ra Rey aye i meme allie ie x

„ “Cho tiếp tuyến qua B(3; 0): 0 = x6 “in

J

F : : cẩn và 1

©3—xe—2(2 — xc) = 0 <> xo = 1 (chon) Vay tiếp tuyến cẩn tìm: y = “5 (x —3)

Trang 30

10 trọng điểm luuện thi ĐH—CŒÐ mơn Toĩn - tê Hồnh lị Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thi (C):

= X _*X**, đi qua M(_1; 0) b)y PS qua M(-1; 0) Giải gS a) Ta cĩ: y'=3x?— 10x Phương trình tiếp EE < y =£ Œe) (X~ Xo) + Yo 4

Ta cé yo= x3 —5x2 +2, f (xo) =3x2 -10xonén phương sinh tiếp tuyént

M(xe; yo) bat ky 1a: y = (3x2 ~ 10xe)(x — xe) + ( xổ -5Xx6 +2)

Cho tiếp tuyến qua A(0; 2): 2 = (3x2 — 10xo)(0 — xeÐ(xŠ—5 x3 +2)

œ 2x3 —5x2 = 0 o> x2 (2x0 — 5) =0 œ xe= 0 Hoặc xe= =

Với xo = 0 thì cĩ tiếp tuyến y = 2

Với xe= š thì cĩ tiếp tuyến y = - x32 b) Đường thẳng d qua M(-1; 0) cĩ hế số gĩc k: y = k(x + 1) Điều kiện d tiếp xúc với (C) là hệ sau phải cĩ nghiệm: x?°+x+1 fs)=gG) _ _ =k(x+1) f'(x)=g'(x) ` |x?+Zx

T =k

2 a2

Vay PT tiếp tuyến qua M là y = -&*0,

tuyển đĩ cắt truc hồnh, truc tung In luot tai hai diém phan biét A Bt

tam gidc OAB can tại gốc toạ độ O

WO Giải

Tam giác OAB vuơng cân tại O, suy ra hệ số gĩc tiếp tryến bằng +1 G

(2xo +3}

Trang 31

tự THEM MTV DH Hoong Việt

Với xe = =L, ye = 1 thì phương trình tiếp tuyến y = ¬x (oại) vì A, B trùng

nhau tại O ‘

Với xe =~2, ye = 0 thì phương trình tiép tuyéh y = -x — 2 (thoả mãn) Vậy,

tiếp tuyến cẩn tìm: y==x—~2 ˆ

Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến chung của2 đồ thị

Giai & Ta c6 f (x) =-2x -2, g'(x) =2x-2 aos Duong thingy ax blip th chung cia i MEH) vaN g6} a=f'(c)=g'(d) - [8-4

ad +b =g{d) f(c)— cf(c)= d)~d.g (4)

~c?~2c+1+2c(c+1)=d°~2d+3~2d(d-1) ; 4ˆ

nn (ee

c2+đ2=2 “ |e=-Ld=1

Từ đĩ cĩ 2 tiếp tuyến chung: y =2 và y=~4x+2.'

Bài 6: Chứng minh tiếp tuyến tại A(-1; 0) của đồ thị (C): y = -x* + 2x? + x cũng

là tiếp tuyến của đổ thị này tại một điểm B khác A nữa Giải “ˆ Ta cĩ y'=—4x3 + Áx + 1 ee

Để tiếp tuyên tại A cũng là tiệp tuyến tại B khác A thì hệ sau cĩ nghiệm x: z:-1 : i g(x) “(ox +x=x+1

Chon nghiệm xe= 1 2-1 nén BO; 2): đpcm

Trang 32

10 trọng điểm luuên thị ĐHI-ŒÐ mơn Toĩn - tê Hồnh Phị

nã ele x°-3x+3 đo n

Bài 7: Cho hàm số y = mẽ Chứng minh rằng qua điểm M3; -1) vẽ

được hai tiếp tuyến với đổ thi va hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau ] Giải ^ > đường thắng qua M(3; ~1) mbes lac 4

đường thẳng là tiếp tuyến với đổ thị khi hệ sau cớ nghiệm: ' [x-3x+3

f@)=g6) _ | xe 1 Ơ f(x)=gœ)"” lê ~2x a”

Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được XẾ>x- 1=0

Phương trình cĩ 2 — thoả mãn: Xi+xXe=1, XiXe=-—1

Ta cĩ: rayon on ote (xy = 1)? (xp - 1°

(xpx) =xị~x¿+1)Ÿ

(-1-1+1) Phương trì (2) Vậy 2 tiếp tuyến qua vuơng gĩc với nhau Bài 8: Chứng mình trên (C): a)y=x*~ =2x†+ 2 +9 khơng cĩ hai điểm nào mà hai tiếp tuyến tại hai điểm

by -X6t2xt2 khơng cĩ tiếp tuyến nào đi qua giao điểm của 2 tiệm cận

/ Giải

ˆ Gọi xụ x2 a hồnh độ hai điểm bất kì trên (C) thì hệ số gĩc hai tiếp tuyến

ˆ với (C) tại hai điểm trên là £ '(x:) va f '@e) Ta cĩ: f '(x1), f '¿¿) > Ư nên f '(x)) f

'(xz) # —1 Vig hai tiếp tuyến này khơng thể vuơng gĩc với nhau

b) Ta cĩy=x+1+ xe nên cĩ TCD: x =-1, TCX: y = x +1, giao điểm 2 tiệm cận I(—1; 0)

Phương trình đường thẳng (d) qua I với hệ số gĩc k là y = k(x +1)

Giả sử d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau cĩ nghiệm

Trang 33

(Cty TNHH MTV DYVH Khang Viét

1 = @+nf1-— z)=x+1- `

(x+1)*

Vậy khơng một tiếp tuyên nào của (C) đi qua I Bài 9: Cĩ bao nhiêu tiếp tuyến của đổ thị (C):

*a)y= th Gi qua A(-1; 0) — e x+1 Sg

,a) Đường thẳng d đi qua A(-1; 0), hệ số gĩc k cĩ phương trình y = kí + 1)

Để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C), điểu kiện cẩn và đủ là hệ phương trình sau cĩ nghiệm: ey

x2 +3x+3 14) xo=-3 cố

2 ert iy a

(x +1)? +

Vậy từ A vẽ được một tiếp tuyến đến (C): y = ‡x + :

b) Phương trình đường thằng qua điểm B hệ số gĩc k cĩ dang d: y = k(x +1) +7

(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm:

l x+=k(x+1)+7 “đụ „2 eB, me

ire OS k? + 18k +45=0 =5, Km

Vậy từ B Về được2 tiếp tuyến đến (C): y==—3x + 4, y =—15xT— 8

Bài 10: Cho hàm số y = s a Tìm các điểm trên đường thing d:x=3 ma tu

xã vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đổ thị (C)

: Giải

` Gọi tin b) € d Phương trình tiếp tuyến qua M hệ số gĩc k:

=k(x —3) +b Ta tim điều kiện hệ sau cĩ nghiệm x:

Trang 34

10 trọng điểm luyén thi BHD mén Toda — lé Hoonh Pho 2x+l

=k(x-3)+b SS [e-so i (x —3)+ acy"

(x -2)° Dođĩ 2k1 c7 ~(x—3) + b> (b-2)x2- —2Ợb +1 + 4 +17= =0,x #2 x-2 (x-2) ỳ

Xét b z2 thì điều kiện A'>0, y(2)#0e=b<7 -

Vậy các điểm cẩn tìm M3; b) với b < 7 SE

Bài 11: Cho hàm số y = —x3 + 3x? — 2 cĩ đổ thị (om Tìm tất cả những điểm tí

đường thẳng y = 2 mà từ đĩ cĩ thể kẻ ae ‘3tiép tuyén dén (C)

Giải

Lay M(a; 2) thuộc đường thắng yé<2⁄ — thắng qua M cĩ hệ số gĩc

cĩ đạng y = k(x ~ a) + 2 Goi Ales ye) là tiếp điểm của đường thẳng và ( thì xe là nghiệm của hệ

ete te en @, (0-2) [2x2 - (Ga - Dx, +2] = 0 @)

k=-32 +6x, (2)

Điểu kiện cĩ 3 tiếp sun với (C) vẽ từ M là (3) cĩ 3 nghiệm phân bi

tương ứng 3 nghiệm phân biệt của (2):

Trang 35

, ay TNHH MTV DWH Khang Vigt

Ta cĩ (1) ae

—

x=p

2 x+2 | / AY

Suy ra hệ phương trình cĩ một nghiệm duy nhat x = 0 Vậy hai đường —

|

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là y = ax y Bài 13: Chứng minh hai đổ thị sau tiếp xúc nhau: 7 a) y= f(x) = 8 - 4x2 vA y = g(x) =x2- 8x +4 dy =f) =— at + x4 2 vay = BG) x?-x+1,

sea ~ x? — 4x? = x? 8x44 f '(x) = g'(x) 8x? — 8x = 2x — 8 ta bên x6 3x? ~10x + 8 =0

Vậy 2 đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm À/ -8)

b) Hai đổ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi Hệ sau cĩ nghiện:

nix exe te ve ett () 1 2x” TH ; (2)

a)y=x®~1-~ Kx^1) tiếp xúc với trực hồnh

b) y = x4 ~ 8x? +7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx =9

A S } Giải

Trang 36

: | 10 trọao điểm luuệi thi ĐH~CŒÐ mơn Toĩn - (ê Hồnh Phị = 0 œÍ|£ˆ°z1-kœ-D=0 “l3 y'=0 [3x?-k =0 ke )

b) Đường thẳng y|= mx — 9 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khí hệ phương trình sau

43° ~16x =m (2)

8247 = (bộ~ 16)x~9 3x! ~ Bể = l6= =0 x12 Thay x=+2 vào (2) tì m=0là giá trị cẩn tìm: “- Bài 15: Tìm tham số để đồ thị hàm SỐ: a) P):y = 2 bx + tiếp xúc với (HEY = : tại điểm MIS: 2)

b) y = xt~2mÈ + m?— m? tig xile với trục hồnh tại hai điểm phân biệt | Fàz-

se GIẾT sa

vài b+92c=8 9

Vay Vy Đệ + E

"sa Để đồ thị Bếp xúc với trục hồnh tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cẩn

"8Ä đủ là phưưng tình y =0 cĩ ha nghiệm phân biệt khác 0

Nếu m < 0 thì x? = SORES pee eye IES

tại hai điểm phân biệt

Nếu m >0 thầy" "=0 khi x= 0,x= nade

<=m*{m ~2) =0 œ m “2 (đo m> 0)

Trang 37

Cau 7H MTV DV Khang Việt

Bài tốn 4: TƯƠNG GIÁO Vũ KHOẢNG CáCH

Ï Tương giao 2 đồ thị

Cho 2 đồ thị của hàm số: y = f(x), y = g(x) SS

~ Phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) <> f(x) — g(x) = 04a mot

phương trình đại số, tuỳ theo số nghiệm mà cĩ quan hệ tương giao: vơ

nghiệm: khơng cĩ điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 kép:

tiếp xúc, 2 nghiệm: 2 giao điểm,

Chú ú:

J— Nghiệm phương trình bậc3: ax3 + bx?+ cx+ d=0, a 20 Nếu cĩ nghiệm x = xo thì ta phân tích thành tích s

(x — xo) (Ax? + Bx + C) =0

Nếu đặt hàm số f(x) = ax? + bx? + cx +d thi ands hiện: cĩ 1 nghiệm: đổ thị

khơng cĩ cực trị hoặc ycp ycr > 0, cĩ 2 nh yee yet = 0, cĩ 3 nghiệm

phân biệt: ycp ycr < 0 i

¬ Phương trình trùng phương ax* + bxê #è = 0, az0Q

Đặt t = x?, t > 0 thì cĩ PT trung gian: at? + bt + c=0,az0

Phương trình trùng phương cĩ 4 nghiệm phân biệt khi A >0, S>0 và P>0

Phương trình trùng phương cĩ4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi:

0<ty<t, ta=9u

— Ta cĩ thể chuyển phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) cé tham

số m thành dang h(x)=.m dé danh gia sé luong nghiém qua bang biến

thiên y = h(x) với y.=m <<

Gĩc ea { ~ Géc gitta2 vector cos(a, ¥ )= a Pew cketee — ae coy, ‘ — AA +BB

- Eeogfll Tường fhẾogroogtrel costi ae Ih Va? +B? JA 248? Ee - Nar hệ số gĩc của 2 đường thang 1a k, k’ thi: tan(D,D’) = Fes ke

=e

3 'Khoảng cách

<;-]— Khoảng cách giữa 2 điểm: AB~= (xg - x4)? + (vp -¥a)?

- Khoang cach tit Mo(xo, yo) dén truc hoanh: d= lyo! {

Trang 38

10 treng diém luyén thi DH-CD mén Toga - lé Hodénh Pho

— Khoảng cách từ Mo(o yo) dén truc tung: d = | x9!

— Khoảng cách từ Mo(xo, yo) dén duong thang y =b: d=| yo —bi

— Khodang cach tir Mo(xo, yo) đến đường thẳng x = a: d = |xạ — al Ss

— Khoang cach tir Mo(xo, xo) đến durong thang (A): Ax+ By +C=0: <>

lAxo +Byo +CI| A es

Va? +B? ` or

— Diện tích tam giác ABC:

= 5 AB.ACsinA = 5 BC.AH = > BCA(ABC)

PT aR” ZS

Bài 1: Tìm m để đổ thị hàm số sau cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt: a) y = x` + (2m + 1)x2 + (3m +2)x+m +2 < ˆ

D6 thi cua ham sé ý đã “cho cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) cĩ hãi nghiệm phân biệt khác — 1 A'>0 mã CỒn — ø > ư

b) D=R Ta cĩ y*= 3x? - 3m, y'= 0 œ x? =m Điểu kiện-đổ thi cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt là m > 0 và ycp.vcr < 0 =f-Jm) (Vm) <0 ©(m+1-2m /m Xm+1+2m vĩm )<0>(m +1Ƒ#—4mÊ<0

,1' (vì A=9~— 16<0 nên 4m2 + 3m +1 >0, Vm)

_ “Bài 2: Với các giá trị nào của m, đường thẳng :

ˆa)y=m +3x cắt đổ thị y = x*~ 2x? + 3x — 3 tại bốn điểm phân biệt b) y = 3mx — 3m cắt đổ thị y = x*- 3x? + 3x + 1 tại một điểm

Trang 39

| a)Phuong trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng và diving cong’

x'~2x? + 3x ~ 3 =m + 3x € x'~2x2~m ~3= 0 q@ °

| ĐặtX=x,X>0, ta được: X?-2X~m~3=0' `: | (2) Ss | Duong thing cit dudng cong di cho’tai bon diém phan biệt khi phương < *

trình (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt, điều này tương đương với phương bồn!

S>0 2>0 4 4 b) Phương trình hồnh độ giao điển tia đường thẳng và đường cong: x*-3#+3x+1 =3mx~ãm €> x*~3⁄Z +3( ~m)x +|1 +âm =0

D=R Ta cĩ y' =3x?~6x + 3(1 ~m), A'= 9m Sw

Nếu m <0 thì y' 20, ¥x nên (Cn) cắt trục hồnh đúng 1 đểm: thoả mãn

Nếu m >0 thì y'=0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x:, xz và 5= 2, P= 1 m

ĐK (Ca) cắt Ox đúng 1 điểm là ycp.ycr > 0 :

Ta cĩy= AG ~1)y +2(-mx#1 + m) = yi=2(-mx, +1 + m)|nén digu kign la: 4(-mx; +1 +m)(-mx; +1 +m)>0 en +m)(x;}+x) + (1++m)2>0 « mã(1 ~m)~2m(1 + m) + (1 +m)°>0esm°<1e+m<1 _| Vậy giá trị cần tìm là m <1 Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số: : a) y =x+~ 3m + 5)» + (m + 1}! cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng `

b)y= x*-2x? ng $m cắtOx tại 3 điểm phân biệt cĩ|hồnh độ xị, xi, xã

thỏa điều kiện xy $x; +x‡ <4

_— Giải

a) Cho y= =0eskt) 2 (3m + 5)x? + (m + 1= 0 (1)

Đặt t= x?/ tà 0 thì PT: t?~ (3m + 5)t + (m + 1)*=0 (2)

A Ÿ(ăm + 5) ~ A(m + 1)* = (6m +7)(m +3) |

Điều kiện (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng la (2) cĩ 2 nghiệm

Trang 40

rig csi a Todn ~ tê Hồnh Phị

Vix, =-Jft,, x, =-k, Xy “VU, X, = Jt, vaxe=3x0

Ta cĩ tị; =g8m +82 ( ðm + 7)(m + 8)) nên điều kiện:

19m? —70m - 125 = 0

=5hoicm=-22,

b) Phương trình hồnh độ giao điểm - ˆ ˆ

Do đĩ am kiện cắt Ox tai 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ xì, xụ x3 thỏa

xP ex? +x2 <4ia phưng trình 'X?~x = me 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt khá 1 và xj +xŸ <3 F

»

Bài 4: Tìm các giá trị của m để đường thẳng d cắt đường cong (C) tại hai điểm: 3 :