ThS- Nha giao w tu: LE HOANH PHO Gin vin chuyến kiện t đã hụt
‘CAO DANG
; On tap và nàng tai Ki nâng bm bà ©
“Se Bln sogn theo noi dung va cau true thi ca 80 69 & BT ©
Trang 2LỚI NĨI ĐẦU
Với mục đích: ơn luyện bám sát cấu trúc của đê tuyển sinh Đại học mơn Tốn, nhà sách KHANG VIỆT giới thiệu cùng các bạn thí sinh cuốn sách quan Írọng 10
trọng điểm luyện thi Đại học — Cao đẳng mơn Tốn nhà giáo tru tứ, thạc sĩ Lê Hồnh Phị
Nội dung sách gồm tĩm gọn lý thuuết căn bản va cic chit ý bĩ thong các bài
tốn theo nhĩm ưới mức độ nâng cao dẩn:
Trọng điểm 1: Khảo sát hàm số CA
Trong diém 2: Phương trình lượng giác `
Trọng điểm 3: Phương trình, hệ phương trình < `”
Trọng điểm 4: Nguyên hàm, tích phân k
Trọng điểm 5: Hình khơng gian ?
Trọng điểm 6: Bất đăng thức, giá trị lớn 2hất nhỏ nhất
Trọng điểm 7: Tọa độ phẳng R
Trọng điểm 8: Tọa độ khơng gian -`
Trọng điểm 9: Tổ hợp, xác suất, why thitc Newton
Trọng ‹ điểm 10: Số phức ;
Phẩn cuối sách là 5 dé thi tổng hợp theo cấu trúc mới của Bộ giáo dục uà đào tạo
để các thí sinh tham khảo ồ thử sức mình
Xin chân thành cảm ơn ồ đĩn nhận các khiếm khuuêt sai sĩt để lẩn in sau tốt hơn Chúc các bạn thí sinh ung ồng 10 trọng điểm luyện thì Đại học — Cao
đẳng mơn Tốn trước ngày thị
Tác giả
Nhà sách khang Việt xin trân trọng giới thiệu tới Quý độc giả 0à xiu lắng nghe moi ¥ kién đớng gĩp, để cuốn sách ngàu càng ha hơn, bổ ích hơn
Thư xin gửi we?
Cty TNHH Một Thành Viên - Dịch Vụ Văn Hĩa Khang Việt
71, Đinh Tiên Hồng, P Dakao Quận 1, TP.HCM
~) Tel: (08) 39115694 ~ 39111969 ~ 39111968 - 39105797 — Fax: (08) 39110880
Trang 3Cy TR IV DAR rong Ih Việt họng điểu 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ ` ` ”” Bài tốn + KHẢO SAT VE DO THI HAM SỐ Và YẾU TỔ ĐỐI XứNG Bước: Tập xác định ~ Tập xác định D = R ~ Xét tính chan, lẻ nếu cĩ
Bước 2: Chiểu biến thiên
~ Tính các giới hạn Tìm tiệm can cua ham hitu ti ~ Tính đạo hàm cấp một, xét dấu ~ Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực 7 đại, cực tiểu Z Bước 3: Vẽ đổ thị &
— Tính đạo hàm cấp hai, xét đấu để chỉ ra điểm uốn: của hàm đa thức
~ Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai HỆ 4 đị ~ Ve đúng đồ thị | Yếu tố đối xứng; Sử dụng định nghĩa về tam đối x xứng, trục đối xứng ~ Hàm số y = f(x) chan: Vx e D = -x e ÐYà f(_x)= f(x) Đồ thị hàm số chẵn đổi xứng nhau qua trục tung - Hàmsốy=f@&)lẻ: Vx e D =x € Dva f(-x) =-£(x)
Đổ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O
— Cơng thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OĨ :
=X+%g
(Oxy) > to với lọ, y\: i e¥+yo
- Điểu kiện (Q): y= os) nhận I(xo, yo) 1a tam đối xứng
yo= fia Aint) Vxo - x, xo+x € D, hoặc chuyển trục bằng phép
tinh tiến đến gốc I nĩi trên là hàm số lẻ
- Điểu kiện (C): y =f(x) nhận d: x =a làm trục đối xứng;
f(a ~ x) = f(a + x), Va~x, a + x e D, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến S(a,0) là hàm số chẵn
Trang 4
———————-=- 10 trọng điểm luuện thị ĐH~ŒÐ mơn Toĩn ~ (ê Hoỏnh Phị Chú ý: | - Ei Ia i Rm với Ocx=~.DÌ 2a ì ae RY
- Hàm bậc ba cĩ lâm đối xứng là điểm uốn
- Ec hu 1/1, 2/1 ten dt xing la giao điền 2 io cn C6 2 trục đối xứng khơng song với Oy là 2 phân giác của gĩc hợp bởi 2 tiệm cận
~_ Điểm A đối xứng B qua I khi 1]à trung điểm đoạn AB,
- Điểm A đối xứng B qua đường thẳng d khi d là trung trực của đoạn AB
- Ta cĩ thể dự doin yf yếu tố đối xứng qua tập xác định, bảng biến thiên, dạng đổ thỷ, nhĩm số hạng S&S Cac phép suy dé thi: SS Từ đồ thị (C):y = (9) suy ra đồ thị ha hàm số: - Ham sdy =— f(x): bằng cách lấy đối xứng qua trục hồnh =_ `" :ẽ ` - Hàm sốy If] = {ere ta ra) cọ: Đẳng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hồnh, cịn phần phía dưới trục hồnh thì lấy đối xứng qua trục hồnh
~_ Hàm số y =f(Ìx): bằng cách lấy đối xứng qua trục tung
- Hàm số rfp bằng cách giữ nguyên phần đổ thị bên phải trục tung, và lấy đối phần đĩ qua trục tung (do ham sé chin)
- Hàmsố = — (-x) bing cach lay déi xứng qua gốc
- Ham sBy = fx) +b, y=f(x +a), y =f(x + a) + b bằng các phép tịnh tiến |
song song với các trục tọa độ _
Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình:
= Phương trình dang ø(x,m) =0
| 3” Dua phương hình về dạng fx) =.h(m) trong đĩ vế trái là hàm số đang
[_ xét, đã vẽ đổ thi (C): y = f(x) hay suy đồ thị
~ Số nghiệm là số giao điểm của đổ thị (C) với đường thẳng y = h(m) Dựa vào
Trang 5Cty TNHH MTV DV Khong Viét Bài 1: Cho đổ thị (C): y = xtTx 3x lu a) Khảo sát và vẽ đổ thị (C) b) Biện luận số nghiệm dương của phương trình Bx _x2 -3x-3|= Vm theo m Giai a) y= 2x9 -xê~ 3x —Š 4 ey s Tập xác định D =R s Sự biến thiên lim y =-œ và lim y=+œ xo x—>+00 y =x? -2x-3, y'=0<x=-1 hoacx =3 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên các khoảng (—; -1) và (3; +); nghịch biến trên khoảng (-1;3) ““” Hàm số dat cuc dai tai x = -1; yoo = O va dat cuc tiéu tai ay” x=3; ycr= —— 3 ve
« Đồ thể y*= 2x ~2, y" =0 © x= 1 nên đổ thị cĩ điểm uốn l(1~ )
Chex =0 = y=~Š,y~0=x~~1 hoặc x =8
Trang 610 trọng điểm luyén thi BH-C mén Toda — lé Hoénh Pho 143 42 -3x-2 khi x>5 x? — x? ~ax-3}- ° 1 S 5 3 (5< -s~-3) khi x<5 3S 3 nguyên phần đổ thị (C) khi x >5 và lấy đối xứng phần x < 5 của (C) qua Ox fx? x2 -3x— 41 = vin là số giao b) Ta cĩ y = nên đổ thị (C) git Số nghiệm dương của phương trình
điểm cĩ hồnh độ đương Của hai đổ thị: x-k» —x? -3x-3; y=vm
Nếu m <0 thì khơng cĩ nghiệm dương
Nếu m=0 hoặc 3> = thì cĩ 1 nghiệm dương
-32
Nếu 0< mí< = hoặc m= “” thì cĩ 2 nghiệm đương
Nếu Š < m< 2 thì cĩ 3 nghiệm đương
Bài 2: Cho hàm số y = x2 — 3x2 — 9x
4.2) Khao sat va vé dé thi ham sé
Trang 7“Giải a) s Tập xác định D=R s Sự biến thiên y' = 3x? - 6x - 9, y' =0 © x =~1 hoặc x = 3 Đồ thị cĩ cực đại A(-1; 5), cực tiểu B(3; -27) | Path
© D6 thi: y" =6x-6, y"=0@x=1nén đồ thị cĩ điểm uấn 1A -11) Cho x0
thì y=0 ee iy
' Ẳ = iY
b) Dat f(x) = x° - 3x2- 9x thi phương trình:'f(x) = f(m)
Ta cĩ y =5 © x=~1 hoặc x = 5; y==27 khi x =~3 hoặc x = 3
Dựa vào đổ thị, ta cĩ: QS”
Khi m<~3 hoặc m > ð thì PT cĩ 1 nghiệm
Trang 8SS on 10 trọng điểm luyện thi ĐH—ŒÐ mơn Toén - (9 Hồnh Pha TT « Tập xác định D = R Hàm số chẵn « Sự biến thiên: lim y =— _ x*+= ne 7 ÿ&~=slá~ x9, y =0 xe Ohobe nad vu Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên (~es; -2), (0; 2) và ¡ch biến trên (—2; 0), (2; +e)
TRA CECH HEE 5) va CT tai (0; nề p
© D6 thi y" =4} r3”, y"=0 é
b) Số nghiệm của phương trình: 1+2x2— x =m bằng số giao điểm của đường
thẳng y = m.và đường cong (C) Dựa vào đồ thị trên ta cĩ:
Nếu m =5 hoặc m < 1 thì phương trình cĩ 2 nghiệm Nếu m= 1 thì phương trình cĩ 3 nghiệm
Nếu 1<m <5 thì phương trình cĩ 4 nghiệm
Nếu m>5 thì phương trình vơ nghiệm
Baia: Cho hàm số y =2x*— 4x2,
`>_ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số
Trang 9Cự 7V MTV DWH Khong Viet Hàm số nghịch biến trên (=, -l) và (0; 1), đổng biến trên (1; 0) và (1; +) Hàm số đạt cực tiểu tại x = +1, ycr = —2; đạt cực đại tại x= 0, yoo = 0 A lim y= lim y=+0 = xo x.—.+-^ Bảng biến thiên © D6 thị: y" = 24x? - 8, y"= 0 x= ta nên đổ thí cĩ hai điểm uốn 25 5 2) cho y= 0<=x= 0 hoặcx=+2 b) Ta cĩ x2 | x2~ 2|= =m ` 4x2} =2m
Phuong trinh co*dung 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y =2m cắt đổ thị (C) của hàm số y = |2x+~ 4x2| tại 6 điểm phân biệt
` 2x°“—4x? khi |x|> v2
~(2x* ~ 4x?) khi |x|< V2
suy từ đề thị (C) bằng cách giữ nguyên phẩn đổ thị ở phía trên Ox, cịn phẩn phía dưới Ox của (C) thì lấy đối xứng qua Ox
Ê Đưa vào đổ thị, yêu cẩu bài tốn được thoả mãn khí và chỉ khi:
0<2m<2©©0<m<1
Trang 1010 trọng điểm luuện thị Đ/4~ŒÐ mơn Tốn ~ tê Hồnh Phé
2x-1
x-1
Bai 5: Cho ham sé y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm các điểm trên (C) cĩ toạ độ là số nguyên Giải a) e Tập xác định D = R « Sự biến thiên: lim y=—, lim y =+œ nên tiệm cận đường xT xo? x=1.Tacĩ lim y =2 nên tiệm cận ngang: y =2 x—>‡+= ~ =P Bang bién thién <0, Vx # 1 Hàm số khơng cĩ cực trị =" Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (se; 1) và (1; +2c) © Đồ thị Cho x=0— y= 1; y=0x= 3
Đổ thị nhận giao điểm 1Q; 2) của hai
Trang 11_ tụ TNHH,MTV DVVH Hhong Việt ” 0, vx E1 nên Kê sẽ đống biến bên muối x+ \ oF khoảng (—; =1) và (~1; +e)
Tiệm cận đứng x=~1; Tiệm cận ngang y = 1
+ Chiều biến thiên: y' = sĐÐƠth: Sets ee Sete ä 2 -2m+1 k ‘a là số giao điểm của đổ thị (C) của hàm " ~ ái x-2 ne ` 2 sO y = el với đường thăng y=2m +1 x-2 X-2 _Jx+1 Ta cĩ y= màn waived x+1
Suy ra đổ thị (C) giữ nguyên phần đổ thị (C) nằm bên phải đường thẳng
x= -1 và lấy đổi xứng phẩn bên tới đường thẳng x « -T qua trục hồnh Dựa vào đồ thị ta cĩ: )
Nếu 2m + 1 <~1 c>in<—1 tủ phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt
Trang 12| § 10 trọng điểm luuện thi ĐH-ŒÐ mơn Toĩn - (ê Hồnh Phị » Tập xác định D =R \ {2} 4 ø Sự biến thiên : lim y=+© và lim y =—= nên TCĐ: x#2: ` “` xe 8 x2 ay QO i -x)=llim ——— =0 nên TCX: y = x ; ee „ x90 x-2 — TY &Y y<i+ a >0 với mọi x #2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng x= % (—; 2) và (2; +)
Điểm M(x; y) e (C) cĩ toạ độ nguyên khi
x-2làước š của của 3 nên x~2 = 31, ‡3 Đo để (C cĩ 4 điểm cĩ toạ độ nguyên:(1; củ 0), (- 1; 0) va (5; 4) b) Giao điểm 2 tiệm cận I(2; 2) chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ ^ x<X+ =Y+2 KẾT nha Enene xt BBC Ye? 0= cơng 9 V91- ¥ & vive FOXX 2 làhàm số lẻ nên đổ thị(C) nhận gốc T0,2) làm tâm đổi xứng x2 42x45 x+1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số
b) Tìm m để phương trình sau cĩ hai nghiệm dương phân biệt:
x?+2x +5 = (m? +2m + 5)(x + 1)
Bài 8: Cho hàn số y =
Trang 13Cty TNHH MTV DWH hong Việt 2 x" +2x4+5 4 = = Pe ee, ay x+i = x+1 s Tập xác định D = R \ {-1) 2 a © Syrbién thiên: y'= 1— 4 x" +.2x—3 (x41? @œ+1? „ y=“0©x=1,x=-3 Hàm số đồng biến trên (—o; -3), (1; +), nghịch biến trên (~3; —1), (—1; 1) Ham sé dat CD (-3; —4), CT(1; 4) Taco lim y=-«, lim y=+0 x—>(-1)~ x—(~U* nên TCP: x = —1 4 3 4 eo C nén TCX: y=x+1 KY 5s Đổ thị: Sy Chox=0=y=5 ¬
Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I(~1; 0)
b) Vì x = -1 khơng lš nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:
2 SV
xs = mê + 2m + 5.Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm
Trang 1410 trọng điểm luuện thi ÐJ—CÐ mơn Toĩn - Lê /foènh Pho Giải a)y'=x—1,y'=0 © x =1 Đồ thị cĩ điểm cực trị là I(1; -2), Chuyển hệ tÉac ) bằng phép tịnh tiến theo vecto OL: ay là y=Y 2 x=X+1 Pie Thế vào ham s&:¥- 2~ 5 (XK+ 1)? - (X+1)-3 2 cY= + 2 Vi Y = F(X) = 3% là hàm số chẵn nên đổ thị đối xửng nhau qua trục tung TY cĩ phương trình: x = 1 yy b) y" = 4x2 + 12x? + 8x = 4x(x? + 3x +2) ‘<
y'` =0©©x =-2 hoặc x = -1 hoặc x = 0
Xét điểm I(—1; 1) Chuyển hệ trục bằng phép tính tiến theo vecto OF:
x=X-1
— Thế vào hàm số:Y +1 = ~(ŒX~ 1y! + 4Q(~ 1 *4QX—1Ƒ
©>Y =X*— 2X? là ham sé'chin => dpem >
Bài 10: Xác định tâm đổi xứng của đổ tHị mỗi hàm số sau đây: ỳ 3x—-2 SS 3x? —5x—5 = 3 \ oy x+1 ` )y x-2 ‹- Giải a) DG thi cé6 TCD: x = -1, TCN: y= 3 nên cĩ giao điểm I(~1; 3) Chuyển hệ trục 5 Tờ =X-1 bằng phép tịnh tiến An : a y=Y+3 '3(X~1)~2 +5
The ế vào àm số: Y+ g h =—————cY=—_ œ- 9+1 = x
Trang 16TT 10 trọng điểm luuện thị ĐH—ŒÐ mơn Toĩn - tê Hồnh Phị Điểu kiện A =|(b + 3) - 8(2 + b) = b? - 2b — 7 > 0 Hồnh độ giab điểm 1 của d và đ: x+3=-x+b=x¡= aS | XA+Xg 2 a SE ot -3_ d43 2 we 48) ofa a <= b=9 (chon) a1, +34 | pa+^14, s_xŠ~ ? 2 2 GŸ Bài nee eg y=-x~4 cắt đổ thị hàm số y = Khu Am ALY tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x | "Giải êm phân biệt khác ~1: Diéu kiện PT; Same BEM «c4 ontc(ntione00 x* pe ft yeas: = m#~2
A=(m a: 8(4-m)>0 ° jm <-11-Vi04 hay m>-11+ 104
Gọi xs, xe ja hồnh độ hai giao điểm, ta cĩ x¡, x2 1a nghiệm của (1) theo
dinh Viet xịe = TT”
Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vuơng gĩc với đường "ru R 4 nên tung độ của hai giao điểm lần lượt là x2, xi Do đĩ
#a=-xi= ~4@ xi+xz=—4œm+7=8œm= 1 (thoả mãn)
Bài 15: Cho hàm số y = x3- 3x? +mx (1)
Kx Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu va
các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng (d): x 42y~5=0 | Giải y=x9~8x? + mày ; y' = 352 — 6x + m
Điểu kiện| để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu Mi(:; y1), MaQo; y2) là y` = 0 cĩ
hai nghiệm phân biệt : A'=9 — âm >0 œ m <3
Trang 17Cty TNHH MTV DWH Hong Việt Ta cĩ: f(x) = (2 x~ 3)£'&+(Ÿm~2)x+ Šm Xịạ+xạ=2 ==, nghtmciny 0 | m x2 => yi= fa) =(2 m—2)xr+ Fm, ye fea) =(2 m—2)0+ š m Đường thẳng (4): x— 2y -5 =0 cĩ VTCP Vˆ = (2; 1) Goi K(xo; yo) 1a trung diém cia Mi, Ma pm SO Rye ; => 2 1 =lqm-2) J =© Yo =501+Y2)=m-2 RS Do Mi, M¿ đối xứng nhau qua (d) nên: —y Te(d) “la 2(m—2)—5=0 , MGMgV =0~ [2x2 -x + y2- Yn =0 Từ đĩ giải được m = 0
Bài tốn 9: TÍNH ĐƠN ĐIÊU Vả CựC TRỊ HAM SO
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số cĩ đạo hàm: trên khoảng (a; b) khi đĩ: } — Néu ham sé f động biến trên (a; b) thi f (x) => 0O với mọi
x € (a; b)
— Néu ham số £ `nghịch biến trên (a; b) thì f 'xỳ < 0O với mọi x € (a;b) :
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
~_ Giả sử hàm số £ cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b)
Nếu £'€) >0 với mọi x e (a; b) thì hàm số f đồng biến trên (a; b) Néit f(x) <0 với mọi x € (a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b)
Nếu f 1x) =0 với mọi x (a; b) thì hàm số f khơng đổi trên (a; b) ¬ Giả sử hàm số £ cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b)
ˆ` Nếu £ '{x) >0 (hoặc f '(x) < 0) voi moi x € (a; b) và f '(x) = 0 chỉ tại một số
hữu hạn điểm của (a; b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
khoảng (a; b)
Trang 18
10 trọng điểm luuện thí ĐC mơn Toĩn - tê Hồnh Pho
} — Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) và liên tục
trên nửa khoảng (a;b], [a;b) hay đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến those
nghịch biến) trên nửa khoảng (a;b}, [a;b) hay đoạn [a;b] .€
Điều kiện cần để hàm số cĩ cực trị KY’
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xe Khi đĩ, nếu f cĩ đạo hàm tạ xo th
f'(xe)=0 4
Điều kiện đủ để hàm số cĩ cực trị
Cĩ hai dấu hiệu: ỳ
— Cho y = Í(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa xơ cĩ, dao ham trén cac
khoang (a;xo) va (xo;b): Ke
Néu f ‘(x) déi dau tix 4m sang duong thi f đạt cựctều tại xo
Nếu f “(x) đổi đấu từ đương sang âm thì f đạt cực đại tại xo
~_ Cho y =f(x) cĩ đạo hàm cấp hai trên khoảng (a/b) chứa xo
Nếu £”(xo) = O và £ ”(xo) > 0 thì £ đạt cực tiểu tại xo
Nếu f '(xo) = 0 va f "(xo) < 0 thì f đạt cực Sai tại xo
Chú Ú: Tung độ cực trị y = f(x) tai x = xo cĩ 3 hướng tính:
Hàm số bất kỳ: dùng phép thế yo= (xo)
Hàm đa thức: chúa đạo hàm y 4©) a + r(x) => yo = r(xo)
Hàm hữu tỉ: đạo hàm riêng tử, riêng mẫu
= ued | ~ U(X) _ u'(xo)
~ £09 Fey OY img) Vix)
Đặc biệt: Với hàm bậc 3 cĩ CĐ, CT và nếu y = q(x) y' ia
|L_ đường thang quae 'CÐ, CT là y =r()
Trang 19y'= "Be a T ~ o2-62-6 ,y =0©x=+#2 | Vậy hàm số đồng biển trên các khoảng (—œ; -3), (3; ¬ nghịch biến més các khoang (-3;-V6 ), (V6 ; 3) FORRES ee Re eee (3m~1)x~ ~mÊ +m x+m zS a)y= 2)D=R \ [_m) Ta cĩ: ` ay px (3m-1)m- fuse? +m) _ 4m2 ~2m (x+m}? _ (x+mj} ì Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định es4n#'~2m >0 com<Ohofem> 2 S ỳ vy Cy b) Ta cĩ y'=1~ „ với mọi xz 1, (x-1? * Nếu m <0 thì y' >0 với mọi xé Do đĩ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—; 1) và (1; +) |: x2~2x+1—~m , (x>1)? y'=0x2~2x+1<m=0«x=1#Vm Bảng biến thiên +, [7 Nếu m >0 thì y=
Hồm số nghịch biến trên mỗi khoảng : (1 ~ /m; 1) và (;1+ Vm}:laạ:
Vậy hàm số đổng biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ khi và chỉ khi m <0
Trang 20| 10 trong điểm luyén thi ĐH—CÐ mĩa Toĩn — (ê Hoènh Phd y + Bài 3: Tìm a để hàm số:
a) Ấx) = x?— ax2|+ x + 7 nghịch biến trên khoảng (1; 2)
b) f(x) = sen ea + 2cosa)x? + 2xcosa +1, a e (0; 2x) đổng È oe tran khoang
(1; +) |
| Giải
meas ee hà
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) khi và < ` chỉ khi y' <0 vội mọi x (1:2) wate
& ae | 4-2as0 13 ° S4
f(2)<0 “ÏÌ13-4a<0 ie
b) y'=x-(1 ee Ta cĩ 0<4<2z
y =O@x=1hodex=2cosa, -
Vì y'> 0 ở ngồi khoảng nghiệm riên hàm số đồng biến với mọi x > 1 khi và chi Khi 2cosa <1 ¢> cosa s digs Tu | BY 3 3
Bài 4: Tìm tham số m để hàm số
a) y = (m~3)xL (2m #1)coex nghịch biến trên R
b) y =x? + 3x? + mx +m chỉ nghịch biến trên một đoạn cĩ độ đài bằng 3 te Giải a) y'=m.~ 3+ (2m— 1)sÌnx Hàm 2 (Bong là hàm hằng nên y nghịch biến trên R: y' <0, Vx © m-3+ (2m-1)sinx < 0, Vx Đặt t=sinx, -1 <t <1 thi _“ m=3* (2m - 1)sinx = m ~3 + (2m - 1) = f() '¿ Điểu kiện tương đương: Í() <0, Vt ¢ [-1; 1] CS f-0)<o | -m-4<0 © Meas P am-250 2 S35 b)D=R,y' =3x?+ 6x +m, A' =9 ~3m
Xét A' <0 thì y >0, Vx : Hàm luơn đổng biến (loại) XétA'>0 ©m <3 thì y' = 0 cĩ 2 nghiệm xị, x¿ nên :
m
| XI +X2z“~2, XIX2= — 3
|
Trang 21Cty TWHH MTV OVVH Khang Vigt
Bảng biến thiên:
Theo để bai: xz — x: = 3 © (xz — xì)2= 9 © xƒ +xã —2xạxạ =9 a
<> (xz + xi)? — 4xixz =9 > 4-2m=9© m= ~ thoả)
Bai 5: Tim cực trị của hàm số: 3 © a) y= 2 b) y=3-— 2cosx — cos2x: x" -6 se S) Giải Po - a) Tập xác định D = (<0;-V6 ) U (V6 ; +) » Vậy hàm số đạt ove dat tai x=-3va yoo=~9J3, dat cuc tiéu taix =3 và yor= 9⁄3 QS b) y’ = 2sinx + 2sin2x= 2sinx(1 + 2cosx): sinx =0¥ 2 yO a 1 ©x= kw hoặc x= +“ +2km, k € Z y"=2cosx *4cos2x
Ta cévy"(kx) = 2coskn + 4cos2kn = 2coskn + 4 >0, véi moi k e Z, nên ham
số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm x = km, ycr =2~ 2coskm bằng 0 khi k chẵn
và bằng 4 khi k lẻ
„_ Ta cĩ y "(42% + 2kn) =2 cos = + 4cos5™ = 6cos sane ~3 <0 nên hàm số
Trang 2210 trọng điểm luuện thị ĐH—CÐ mơn Tốn ~ tê Hodnh Pho
Bài 6: Chứng minh rằng hàm số luơn luơn cĩ cực đại và cực tiểu: a) y=(x—a)x—b)(x- c) với a<b<c bigs x? +(m+2)x+m? +2 ay x+m Pi = Giải Ss" a) D=R y' = (x —b){x —c) + (x —a)(x —c) + (x —a)(x - b) Ệ = 3x? ~ 2(a + b + c)x + ab + bc + ca A'=(a+b+c)2— 3(ab + bc + ca) = a2 + b? + c2 — ab — bc—ca_ ˆ ws = F1@by + (bP + (oay]>Oveiacb<c ^”
Do đĩ y' =0 cĩ 2 nghiệm phân biệt và đổi đấu, Ziän khí qua 2 nghiệm nên
luơn luơn cĩ một cực đại và một cực tiểu A àỳ x2 +2mx +2m —2.,* = b) D=R \ {-m} Ta cd: y'= at Xét han s6 g(x) =x?+2mx+2m-2 4 Ta cĩ A' = m?—2m +2>0, ¥m va g(-m) = -m? + 2m -2 # 0, Vm nén y'= Oluén
cĩ hai nghiệm phân biệt khác —m, y' d6i dau hai lần khi qua 2 nghiệm, vậy hàm
số luơn luơn cĩ cực đại và cực tiểu ›
Bài 7: Tìm các tham số để đổ thị hàm số:
ty
a) y= f(x) = a+ bat Gat cực đại bằng 4 khi x =2
Trang 23Cự TNHH MTV DVV Khang Việt Nếu q >0 thì phương trình: f '(x) = REY 0 cĩ hai nghiệm phân biétx1=-1- fq vax=-1+ Jq Ham sé dat cuc dai tai diém (-2;-2)khivachikhi | ey 3= Vq=1 of ai ) f(-2) =-2 p=1 p=1 xs Bài 8: Tìm m để hàm số: X a a ee ay x2 +(1-m)x-2 | x+m b)y= đạt cực tiểu tại x = 0 Giải a)D=R Ta cĩ y' =~8(m + 5m)x? + 12mx +6 Nếu hàm số đạt cực đại tại x =1 thì y(1) =0 ~3mˆ2~ 3m +6=0<>m= 1 hoặc m= rie
Ta cĩ y" =~6(mê +5m)x + 12m eye }
Với m =1 thì y" ~-8á: +12 nên y (1) -24 <0, hàm số đại cực đại tại x = 1 Với m=-2 thì y"=36x— 24 nên y"(1)= 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 (loại)
Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 l 2 b) D=R \ (_m| "Sa Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì y0) =0 =—m?+m+2= '03m=~1 hoặc m =2 | x? +2x-2 I 1
Véima ty SP axese Li sy'et-a a
Dodiy'= 2 = = y"(0)=-2<0 => x=01a diém cực đại của hàm số: loại
^ x2 -x-2 4 4
Trang 24
10 trọng điểm lúện thị ĐH-Œ mơn Toĩn - (ê Hồnh Phị
Do đĩ y"= tra Y (0)=1> 0 nên x~0 là điểm cực tiểu của hàm số: Vậy x+ x
gid tri can tìm m =2 Sy
Bài 9: Tìm arene y= ome đạt cực trị tại 3 điểm thuộc khoảng (0, ^) Giải TH cŸ arsinx Ta cĩ y` = <= nén =Oersine= a acos* x ys -sin? x+2asinx=1 fone
V6i sinx = poet “= + 0, đo đĩ hàm số đạt cực trị tại 3 điểm thuộc khoảng (0; *) © sinx=a063 nghiém thudc khoang (0; =) \
eahyes |
Bài 10: Tìm m ham sé:
a)y= 3 3B 1-3 jy nl hal pa char
byy= BGA Ame 4 = Ames O51 62 cuc tr vi hai gi trị cực tr trái đấu
ẳ Giải
- a
a) Digu kign x#m Ta o6 y'= X_~2 x1 =1 F (x-m)
BS i cha tact 62 pinche erecting y= bib hina see! xe <0 me-1<0e-1<m<1
mx? - 2mx-3
| (x-1?
EEE EO A ESLER ea Sử
b) Diéu kién: x #1 Ta cĩ y` = , d&t g(x) =mx? - 2mx ~ 3
Ta CĨ XI +»3=2, xua = -= nên yco yer <0
Trang 25Cty TNHH MTV DWH Khang Viét <> (2mxi + 2 — 4m)(2mx2 + 2 — 4m) <0 © 4m2x1xz + 2m(2 — 4mn)(x› + x2) + (2— 4m)? < 0 <S>~12m + 4m(2 — 4m) + (2 —- 4m}? < 0 © 4—20m <0 mm > z Bài 11: Tìm các tham số m để hàm số : x? +(m~1)x+2
a)y= TY đạt cực trị tại xì, x2 sao Cho x1x2 = —3
b)y= 2 49 — me - 23m? - yx + 2 cĩ hai điểm cực trị x: và xz sao cho: x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1 Giai 2 ‹ = 2x+m+1 => a)D=R \(1).T : aii ee se q-x# EE ay nS y'=0<x2~2x~m~1=0,x #1 (A'=2 + m), 0 Hàm số đạt cực trị tại xi, xz và xixz=-3 ác 3 => m=2 b) y’ = 2x2 — 2mx — 2(3m? - 1) y €6 2 cuc tri <> A’ = m? + 4(3m2 = 1) >0 © 13m2 ~ 4> 0 Ỷ -2 2 “—h >— S4 vn FB Goi x1, xz là 2 nghiệm của y” : xix2 + 2(x1 + x2) =1 o> —(3m¿ ~ 1) +2m = poste 0
<> m=0 (loai) hay m= : (nhan)
Bài 12: Từm các tham số m để hàm số y = se a tri va ox 2 x2 hồnh độ 2 điểm cực trị của hàm số đĩ thoả mãn “1+ x “2 >7 x2 x : Giải „ Ð*R Ta cĩ y' =x?+mx+1
“Vi ' là hàm số bậc hai nên hàm số cĩ 2 cực trị khi và chỉ khi y'(x) = 0 cĩ hai
_ nghiệm phân biệt © A > 0 © m2 ~ 4> 0 cm < =2 hoặc m > 2
Goi x) va x2 Ja hai nghiệm của y'(x) = 0 thì S = x: + xz=—m, P = xi2 = 1
Trang 2670 trọng điểm luuện thí ĐH—CÐ mơn Tốn - (ê Hodnh Phd ở 2 s“ s Ý Ta cĩ: + + h>7 ©|*L+X2z| -2570| 2°! 29 x$ xi x2 XI %1X2 3Đ? =È == >9 (m2 —2)? >9 œ m2 >5 Chọn giá trị m<= ⁄5 hoặc m> V5 Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số :
s)y =—ˆ x** 3 me cĩ 3 cực bị 1hð đinh của tam giéc Gh
bỳ y=xŸ ~2(m +1)x2 +m2 (1) cĩ ba điểm cục trị tạo hành ba đình của một
Trang 27; j Cty TNHH MTV DVVH Khong Viet 5 | : © Ï=(m+1)Ým+1 = (m+1)? (dom>-1) ©1=(m+1) (do m>~1)©m =0 | Bài 14: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đổ thị: a) y =x? + 3mue + 3(m2~ 1)x + mề—~ 3m x2 ~2mx + 5m -4—~m? | x-~2 | Giải ay'= ax + Gmnx + 3m? 1), A'=9 >0, Vx nên đồ thị luơn luơ co CD va với > hoanh dé x1, x2 x Lấy y(x) chia cho y'(x) ta cĩ: y(x) = (+$)ye- —2(x +m) AY b)y= Do dé: y1 = ya) = (Fe +z) y'(e0) ~ 2G +m) =-2(es +m}
va y:=Vy(@x)= ( XQ + : =) y'(x) — 2(xz + m) = -20e+ m) nên đường thang qua CD, CT la y =-2(x +m) m- m2 x-2 m-m? &- -22~ xử ng m (x-2)? (x-2)? CT làm - m>0<>0<m<1 ¥ v Gọi x, xz là hồnh độ CĐ, CT thì xr <2 < xe Ta cĩ m—m^2 ='eÈ2(m~1)+a~2)= 2x¡~2m b) ĐK: x #2 Ta cĩ y =x~2(m~ n+ 8 nén y'=1- 2v, | J ti 46 suy ra điều kiện cĩ CÐ và yoo) =x1-2(m~1)+ 2 (x1 ~2), _m2y ỳ)=xz~2(m= ne 2 =2-2(m-1) xạc + (e-2)=2e2-2m Vậy phương trình đường thẳng qua CÐ và CT là y =x - 2m
nama cĩ hai điểm cực trị A
Trang 28ee 10 trọng điểm thị ĐH~ŒÐ mơn Toơn ~ Lê Hoỏnh Phị Điểu kiện cĩ 2 cực trị là A' > 0 và g(1) z 0 © 3—-2m >0 và 3~2m #0œm< 5 Taos Atl Về ~2m ;2-2m-2V3-2m) B(I + V3-2m ;2-2m +2/3~2m )
§ 8x l2 ủng tiên &k= Y(Xa)- Y(xị) es 2m
Hệ số gĩc của đường thăng AB là ae moray = Doin Ta cĩ 2x — y ¬ 10= 0 y =2x — 10 nên TƯ Gan Bài tốn 31 TIEP TUYEN V@ TIEP XUC Tiép tuyển in 46 lộ x S
Cho đồ thi (C) y =fo) ‘
Tiếp tuyến tại điểm My): ys 2yo= f "(xo) (x - ‘a,
Phuong trinh nay © 3 yi tB eo, yo va he 56 g6c: f 3)” k= tan(0x,t)
- Tiép tuyển đi qua Alta, yayy
Lập phương trình tiếp tuyến tổng quát tại xo với ẩn xa Cho tiếp tuyến này qua điểm A thi tinh được xo
Cách khác: Lập phường trình đường thẳng qua A cĩ hệ số gĩc k: y—ya = k(x - xA) © y = g(x)
Tìm hệ số gĩc k ie cách giải hệ phương trình cho tiếp điểm:
lO lo “g0)
“_ f@)=g@)
Tiếp ác của hai đồ thị
,Eho3 đổthìy f0) vày= g(x)
ea g(x)
+ Điều kien tiếp xúc là hệ phương trình: fe b)=g0) cĩ nghiệm
var
Chú ý: Với hai đường thẳng :y = =ax +b, d': y = a'x + b' thì cĩ:
d= sở! khi a= a,b=b'; đ// d' khi a= a, b# b; d L d' khi a a' = -1
Trang 29Cty TNHH MTV DVVH Khang Viet
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị hàm số:
—x+2 ai ^* - “ = 1
= „ biết tiếp tu d:y=—x-8
ayy ai ết tiếp tuyến vuơng gĩc với d : y > x b)y= ie — 3x, biét tiép tuyén song song với d: y = 6x
Giải 4
a) Điều kiện x # -2, y HE
Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng y = Ỹ x — 8 nên hệ số gĩc k =~2
Hồnh độ tiếp điểm thoả mãn phương trình:
aig xy =-2+ v2
z=-2=
(x+2) xạ =-2-v2 Pa:
Với xì =—2 + x/2, ta cĩ tiép tuyén y =-2x-5 +ˆxXÊY V6i x2 =-2 - ^/2, ta cĩ tiếp tuyến y =~2x + 5 ~4v/2 -
b) Tiếp tuyến song song với d: y = 6x nên cĩ hệ sĩ gĩc k =6
Ta cĩ f '(x) = Š xã ~ 3 nên cĩ Ÿx2~3=6 xã = 12 ~» xe = +2 V8
Khi xe=-2+/3 thì tiếp tuyến y = 6x +12/3
Khi xe=2-/3 thì tiếp tuyến y = 6x~ 12⁄3
Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến, với đồ thị:
a) y = 2x3 — 6x? + 3 và cĩ hệ số gĩc bé nhất -
b) y = /2— x„ biết tiếp tuyễn cắt ©y tại B(3; 0)
SS Giai
a) Ta cĩ hệ số gĩc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đĩ
y' = 6x? - 12x = -6 + 6(x — 1)? 2-4, đấu = xảy ra khi xo= 1 nên
min y'=-6, do dé tiếp tuyến tại A(1; —1) là y = =6x + 5
b) Với 2~x >Ư < x<2 thì y'= oe
Wt eee gp ws ge oy we 2 -
Ra Rey aye i meme allie ie x
„ “Cho tiếp tuyến qua B(3; 0): 0 = x6 “in
J
F : : cẩn và 1
©3—xe—2(2 — xc) = 0 <> xo = 1 (chon) Vay tiếp tuyến cẩn tìm: y = “5 (x —3)
Trang 3010 trọng điểm luuện thi ĐH—CŒÐ mơn Toĩn - tê Hồnh lị Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thi (C): a) y = x3 — 5x2 + 2, di qua A(0; 2) x2+x+1 = X _*X**, đi qua M(_1; 0) b)y PS qua M(-1; 0) Giải gS a) Ta cĩ: y'=3x?— 10x Phương trình tiếp EE < y =£ Œe) (X~ Xo) + Yo 4
Ta cé yo= x3 —5x2 +2, f (xo) =3x2 -10xonén phương sinh tiếp tuyént
M(xe; yo) bat ky 1a: y = (3x2 ~ 10xe)(x — xe) + ( xổ -5Xx6 +2)
Cho tiếp tuyến qua A(0; 2): 2 = (3x2 — 10xo)(0 — xeÐ(xŠ—5 x3 +2)
œ 2x3 —5x2 = 0 o> x2 (2x0 — 5) =0 œ xe= 0 Hoặc xe= =
Với xo = 0 thì cĩ tiếp tuyến y = 2 Với xe= š thì cĩ tiếp tuyến y = - x32 b) Đường thẳng d qua M(-1; 0) cĩ hế số gĩc k: y = k(x + 1) Điều kiện d tiếp xúc với (C) là hệ sau phải cĩ nghiệm: x?°+x+1 fs)=gG) _ _ =k(x+1) f'(x)=g'(x) ` |x?+Zx T =k Lex 1)? 2 a2 Suy ra <a oe =©xe=1, do đĩk= Ÿ x+1 7 x+1 Vay PT tiếp tuyến qua M là y = -&*0, x+2 cr 2x+3
tuyển đĩ cắt truc hồnh, truc tung In luot tai hai diém phan biét A Bt
tam gidc OAB can tại gốc toạ độ O
WO Giải
Tam giác OAB vuơng cân tại O, suy ra hệ số gĩc tiếp tryến bằng +1 G
toa độ tiếp điểm là (xo; yo), ta cĩ oar = t1 © xe=-~2 hoặc xo =~—1
(2xo +3}
Trang 31
tự THEM MTV DH Hoong Việt Với xe = =L, ye = 1 thì phương trình tiếp tuyến y = ¬x (oại) vì A, B trùng
nhau tại O ‘
Với xe =~2, ye = 0 thì phương trình tiép tuyéh y = -x — 2 (thoả mãn) Vậy,
tiếp tuyến cẩn tìm: y==x—~2 ˆ
Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến chung của2 đồ thị y=(x) =—x?~2x + 1, y = g(x) = x?— 2x + 3 oy Giai & Ta c6 f (x) =-2x -2, g'(x) =2x-2 aos Duong thingy ax blip th chung cia i MEH) vaN g6} a=f'(c)=g'(d) - [8-4 ac+b=f(c) eat ¿ _ ae ad +b =g{d) f(c)— cf(c)= d)~d.g (4) ~2c-2=2d-2 ° ~c?~2c+1+2c(c+1)=d°~2d+3~2d(d-1) ; 4ˆ 2 ì nn (ee c2+đ2=2 “ |e=-Ld=1
Từ đĩ cĩ 2 tiếp tuyến chung: y =2 và y=~4x+2.'
Bài 6: Chứng minh tiếp tuyến tại A(-1; 0) của đồ thị (C): y = -x* + 2x? + x cũng
là tiếp tuyến của đổ thị này tại một điểm B khác A nữa Giải “ˆ Ta cĩ y'=—4x3 + Áx + 1 ee Với xe =—1, yo = Ư thì f '(xe) = 1 nêu tiếp tuyến tại AC1; 0) la y=x+1 Đặt y= Í(x) =-x+ + 2x2 # x; y= øŒx)—x+1 Để tiếp tuyên tại A cũng là tiệp tuyến tại B khác A thì hệ sau cĩ nghiệm x: z:-1 : i g(x) “(ox +x=x+1 f()=gt) ~3x?+4x+1=1 -x'! +2x? — 1=0 all? - =0 ° x= ~ĐÈ +4Ý=0 4x(x? ~1)=0
Chon nghiệm xe= 1 2-1 nén BO; 2): đpcm
Trang 32
10 trọng điểm luuên thị ĐHI-ŒÐ mơn Toĩn - tê Hồnh Phị
nã ele x°-3x+3 đo n
Bài 7: Cho hàm số y = mẽ Chứng minh rằng qua điểm M3; -1) vẽ
được hai tiếp tuyến với đổ thi va hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau ] Giải ^ > đường thắng qua M(3; ~1) mbes lac 4 y =a(x-3)-1, đường thẳng là tiếp tuyến với đổ thị khi hệ sau cớ nghiệm: ' [x-3x+3 —— x ` ˆ*-1 f@)=g6) _ | xe 1 Ơ f(x)=gœ)"” lê ~2x a” (x- WS =
Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được XẾ>x- 1=0
Phương trình cĩ 2 — thoả mãn: Xi+xXe=1, XiXe=-—1
Ta cĩ: rayon on ote (xy = 1)? (xp - 1° (xx) = 3x4X9(%1 +x4)* 4xx; 7 1+2-4 ửi (xpx) =xị~x¿+1)Ÿ it 2 (-1-1+1) Phương trì (2) Vậy 2 tiếp tuyến qua vuơng gĩc với nhau Bài 8: Chứng mình trên (C): a)y=x*~ =2x†+ 2 +9 khơng cĩ hai điểm nào mà hai tiếp tuyến tại hai điểm đĩ vuơng gĩc nhau by -X6t2xt2 khơng cĩ tiếp tuyến nào đi qua giao điểm của 2 tiệm cận x+1 / Giải 2 f'(x)= tế- 4x+2>0,VxeR
ˆ Gọi xụ x2 a hồnh độ hai điểm bất kì trên (C) thì hệ số gĩc hai tiếp tuyến ˆ với (C) tại hai điểm trên là £ '(x:) va f '@e) Ta cĩ: f '(x1), f '¿¿) > Ư nên f '(x)) f
'(xz) # —1 Vig hai tiếp tuyến này khơng thể vuơng gĩc với nhau
b) Ta cĩy=x+1+ xe nên cĩ TCD: x =-1, TCX: y = x +1, giao điểm 2 tiệm cận I(—1; 0)
Phương trình đường thẳng (d) qua I với hệ số gĩc k là y = k(x +1)
Giả sử d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau cĩ nghiệm
Trang 33(Cty TNHH MTV DYVH Khang Viét k(ẹx+1)=x+14+—1—_ 1 = @+nf1-— z)=x+1- ` k=1~- (x+1) x+1 (x+1)* 1 2 A - -1 — =0: vély 4 = x+1 =e re vee
Vậy khơng một tiếp tuyên nào của (C) đi qua I Bài 9: Cĩ bao nhiêu tiếp tuyến của đổ thị (C): *a)y= th Gi qua A(-1; 0) — e x+1 Sg 2 b)y= x = é , di qua B(-1; 7) Giải xấu
,a) Đường thẳng d đi qua A(-1; 0), hệ số gĩc k cĩ phương trình y = kí + 1)
Để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C), điểu kiện cẩn và đủ là hệ phương trình sau cĩ nghiệm: ey x2 +3x+3 14) xo=-3 cố x+1 xs 2 Pipe ° 3 2 ert iy a x +2x _y 2 [ee k 4 (x +1)? +
Vậy từ A vẽ được một tiếp tuyến đến (C): y = ‡x + :
b) Phương trình đường thằng qua điểm B hệ số gĩc k cĩ dang d: y = k(x +1) +7
(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: l x+=k(x+1)+7 “đụ „2 eB, me 4 ¬ & k+7 => 2 1 ire OS k? + 18k +45=0 =5, Km
Vậy từ B Về được2 tiếp tuyến đến (C): y==—3x + 4, y =—15xT— 8
Bài 10: Cho hàm số y = s a Tìm các điểm trên đường thing d:x=3 ma tu
xã vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đổ thị (C)
: Giải
` Gọi tin b) € d Phương trình tiếp tuyến qua M hệ số gĩc k:
=k(x —3) +b Ta tim điều kiện hệ sau cĩ nghiệm x:
Trang 3410 trọng điểm luyén thi BHD mén Toda — lé Hoonh Pho 2x+l =k(x-3)+b SS [e-so i (x —3)+ acy" f'(x)=g'(x) -5 = ~ (x -2)° Dođĩ 2k1 c7 ~(x—3) + b> (b-2)x2- —2Ợb +1 + 4 +17= =0,x #2 x-2 (x-2) ỳ Xét b =2 thì hệ cĩ nghiệm x= 3 (chọn)
Xét b z2 thì điều kiện A'>0, y(2)#0e=b<7 -
Vậy các điểm cẩn tìm M3; b) với b < 7 SE
Bài 11: Cho hàm số y = —x3 + 3x? — 2 cĩ đổ thị (om Tìm tất cả những điểm tí
đường thẳng y = 2 mà từ đĩ cĩ thể kẻ ae ‘3tiép tuyén dén (C)
Giải
Lay M(a; 2) thuộc đường thắng yé<2⁄ — thắng qua M cĩ hệ số gĩc
cĩ đạng y = k(x ~ a) + 2 Goi Ales ye) là tiếp điểm của đường thẳng và ( thì xe là nghiệm của hệ
ete te en @, (0-2) [2x2 - (Ga - Dx, +2] = 0 @)
k=-32 +6x, (2)
Điểu kiện cĩ 3 tiếp sun với (C) vẽ từ M là (3) cĩ 3 nghiệm phân bi
tương ứng 3 nghiệm phân biệt của (2):
Trang 35, ay TNHH MTV DWH Khang Vigt
Ta cĩ (1) ae ‘acd (1) <> x+3 3 o — x” +Bx =0 c vols x=p = : & —
2 x+2 | / AY
Suy ra hệ phương trình cĩ một nghiệm duy nhat x = 0 Vậy hai đường — cong tiếp xúc với nhau tại gốc toa độ O: y(0)= 4 |
|
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là y = ax y Bài 13: Chứng minh hai đổ thị sau tiếp xúc nhau: 7 a) y= f(x) = 8 - 4x2 vA y = g(x) =x2- 8x +4 dy =f) =— at + x4 2 vay = BG) x?-x+1, Giải a) Hai đồ thị (C) và () tiếp xúc khi hệ sau cĩ nghiệm: sea ~ x? — 4x? = x? 8x44 f '(x) = g'(x) 8x? — 8x = 2x — 8 ta bên x6 3x? ~10x + 8 =0
Vậy 2 đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm À/ -8)
b) Hai đổ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi Hệ sau cĩ nghiện:
nix exe te ve ett () 1 2x” TH ; (2) 2 2 x?¬x+1 Thế (1) vào (2): (x — 1)(xÈ~ 5x ~ 6) =0 © x= #1 hoặc x =6 Chọn x = 1 là nghiệm của hệ đpcm : | Bài 14: Tìm tham số để đồ thị hàm số :
a)y=x®~1-~ Kx^1) tiếp xúc với trực hồnh
b) y = x4 ~ 8x? +7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx =9
A S } Giải
Trang 36: | 10 trọao điểm luuệi thi ĐH~CŒÐ mơn Toĩn - (ê Hồnh Phị = 0 œÍ|£ˆ°z1-kœ-D=0 “l3 y'=0 [3x?-k =0 ke ) £ ON é b) Đường thẳng y|= mx — 9 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khí hệ phương trình sau 4 A cổ nghiện x? - 8x? +7 = mx-9 @) 43° ~16x =m (2) Thay (2) vao a) ta được: 8247 = (bộ~ 16)x~9 3x! ~ Bể = l6= =0 x12 Thay x=+2 vào (2) tì m=0là giá trị cẩn tìm: “- Bài 15: Tìm tham số để đồ thị hàm SỐ: a) P):y = 2 bx + tiếp xúc với (HEY = : tại điểm MIS: 2) b) y = xt~2mÈ + m?— m? tig xile với trục hồnh tại hai điểm phân biệt | Fàz- a) Ta cĩ: Œỳy=2ể +bk+c=y'Sx+b=y(2)=b+2 M e (P) nên b+2c= 3: se GIẾT sa Gry + a¥ery =V(0)=-4 vài b+92c=8 9 () tếp xúc với) ai điển Mi vàchỉ khi Tan ob=-6 css “ vị Vay Vy Đệ + E b) y`+6#~ 4mx= 4x(x? - m) ‘ :
"sa Để đồ thị Bếp xúc với trục hồnh tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cẩn
"8Ä đủ là phưưng tình y =0 cĩ ha nghiệm phân biệt khác 0
Nếu m < 0 thì x? = SORES pee eye IES
tại hai điểm phân biệt
Nếu m >0 thầy" "=0 khi x= 0,x= nade
f(a )=0 ©lmÊ—2mÊ + mơ mê =0
<=m*{m ~2) =0 œ m “2 (đo m> 0)
Trang 37Cau 7H MTV DV Khang Việt
Bài tốn 4: TƯƠNG GIÁO Vũ KHOẢNG CáCH
Ï Tương giao 2 đồ thị
Cho 2 đồ thị của hàm số: y = f(x), y = g(x) SS
~ Phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) <> f(x) — g(x) = 04a mot
phương trình đại số, tuỳ theo số nghiệm mà cĩ quan hệ tương giao: vơ
nghiệm: khơng cĩ điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 kép: tiếp xúc, 2 nghiệm: 2 giao điểm,
Chú ú:
J— Nghiệm phương trình bậc3: ax3 + bx?+ cx+ d=0, a 20 Nếu cĩ nghiệm x = xo thì ta phân tích thành tích s
(x — xo) (Ax? + Bx + C) =0
Nếu đặt hàm số f(x) = ax? + bx? + cx +d thi ands hiện: cĩ 1 nghiệm: đổ thị
khơng cĩ cực trị hoặc ycp ycr > 0, cĩ 2 nh yee yet = 0, cĩ 3 nghiệm
phân biệt: ycp ycr < 0 i
¬ Phương trình trùng phương ax* + bxê #è = 0, az0Q
Đặt t = x?, t > 0 thì cĩ PT trung gian: at? + bt + c=0,az0
Phương trình trùng phương cĩ 4 nghiệm phân biệt khi A >0, S>0 và P>0
Phương trình trùng phương cĩ4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi:
0<ty<t, ta=9u
— Ta cĩ thể chuyển phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) cé tham số m thành dang h(x)=.m dé danh gia sé luong nghiém qua bang biến
thiên y = h(x) với y.=m << Gĩc ea { ~ Géc gitta2 vector cos(a, ¥ )= a Pew cketee — ae coy, ‘ — AA +BB
- Eeogfll Tường fhẾogroogtrel costi ae Ih Va? +B? JA 248? Ee - Nar hệ số gĩc của 2 đường thang 1a k, k’ thi: tan(D,D’) = Fes ke =e
3 'Khoảng cách
<;-]— Khoảng cách giữa 2 điểm: AB~= (xg - x4)? + (vp -¥a)?
- Khoang cach tit Mo(xo, yo) dén truc hoanh: d= lyo! {
Trang 3810 treng diém luyén thi DH-CD mén Toga - lé Hodénh Pho
— Khoảng cách từ Mo(o yo) dén truc tung: d = | x9!
— Khoảng cách từ Mo(xo, yo) dén duong thang y =b: d=| yo —bi
— Khodang cach tir Mo(xo, yo) đến đường thẳng x = a: d = |xạ — al Ss
— Khoang cach tir Mo(xo, xo) đến durong thang (A): Ax+ By +C=0: <>
lAxo +Byo +CI| A es
Va? +B? ` or
— Diện tích tam giác ABC:
= 5 AB.ACsinA = 5 BC.AH = > BCA(ABC) d= = p= abe wD PT aR” ZS Bài 1: Tìm m để đổ thị hàm số sau cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt: a) y = x` + (2m + 1)x2 + (3m +2)x+m +2 < ˆ b) y = x*~ 3mx + m + 1 ’ , Giải a) Cho y =0 œ x3 + (2m + 1)x? + (3m.+2)x +m +2 =0 © (x+1)(x?+2mx +m+2) =0, ©x=-—! hoặc f(x) = x? + 2mx +m +2= Ø (ay
D6 thi cua ham sé ý đã “cho cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) cĩ hãi nghiệm phân biệt khác — 1 A'>0 mã CỒn — ø > ư teaas°l ALS cm <~—1 hoặc m >2, m z 3 b) D=R Ta cĩ y*= 3x? - 3m, y'= 0 œ x? =m Điểu kiện-đổ thi cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt là m > 0 và ycp.vcr < 0 =f-Jm) (Vm) <0 ©(m+1-2m /m Xm+1+2m vĩm )<0>(m +1Ƒ#—4mÊ<0 ©-4m°+m2+2m+1<04>(m-1)(4m+3m +1)>0>m>1 ,1' (vì A=9~— 16<0 nên 4m2 + 3m +1 >0, Vm)
_ “Bài 2: Với các giá trị nào của m, đường thẳng :
ˆa)y=m +3x cắt đổ thị y = x*~ 2x? + 3x — 3 tại bốn điểm phân biệt b) y = 3mx — 3m cắt đổ thị y = x*- 3x? + 3x + 1 tại một điểm
Trang 39
| a)Phuong trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng và diving cong’
x'~2x? + 3x ~ 3 =m + 3x € x'~2x2~m ~3= 0 q@ °
| ĐặtX=x,X>0, ta được: X?-2X~m~3=0' `: | (2) Ss | Duong thing cit dudng cong di cho’tai bon diém phan biệt khi phương < *
trình (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt, điều này tương đương với phương bồn! (2) cĩ hai nghiệm dương phân biệt RQ A>0 - |m+4>0 - P>0 c©¿-m~ 3>0â-4<m<-3 Ơ: S>0 2>0 4 4 b) Phương trình hồnh độ giao điển tia đường thẳng và đường cong: x*-3#+3x+1 =3mx~ãm €> x*~3⁄Z +3( ~m)x +|1 +âm =0 Xét hàm số y = x?— 3x? +3(1 — m)x+1 +3m x6 Y D=R Ta cĩ y' =3x?~6x + 3(1 ~m), A'= 9m Sw
Nếu m <0 thì y' 20, ¥x nên (Cn) cắt trục hồnh đúng 1 đểm: thoả mãn
Nếu m >0 thì y'=0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x:, xz và 5= 2, P= 1 m
ĐK (Ca) cắt Ox đúng 1 điểm là ycp.ycr > 0 :
Ta cĩy= AG ~1)y +2(-mx#1 + m) = yi=2(-mx, +1 + m)|nén digu kign la: 4(-mx; +1 +m)(-mx; +1 +m)>0 en +m)(x;}+x) + (1++m)2>0 « mã(1 ~m)~2m(1 + m) + (1 +m)°>0esm°<1e+m<1 _| Vậy giá trị cần tìm là m <1 Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số: : a) y =x+~ 3m + 5)» + (m + 1}! cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng `
b)y= x*-2x? ng $m cắtOx tại 3 điểm phân biệt cĩ|hồnh độ xị, xi, xã
thỏa điều kiện xy $x; +x‡ <4
_— Giải
a) Cho y= =0eskt) 2 (3m + 5)x? + (m + 1= 0 (1)
Đặt t= x?/ tà 0 thì PT: t?~ (3m + 5)t + (m + 1)*=0 (2)
A Ÿ(ăm + 5) ~ A(m + 1)* = (6m +7)(m +3) |
Điều kiện (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng la (2) cĩ 2 nghiệm
Trang 40rig csi a Todn ~ tê Hồnh Phị
Vix, =-Jft,, x, =-k, Xy “VU, X, = Jt, vaxe=3x0
Ta cĩ tị; =g8m +82 ( ðm + 7)(m + 8)) nên điều kiện: 3@m+5 (6m +7)fm+8) = si +ð~ (5m + Tia 3) l m>— © 5 (5m + 7)(m + 3) = 12m + 20 œ a & 19m? —70m - 125 = 0 25 oy =5hoicm=-22, om acm 19 KY b) Phương trình hồnh độ giao điểm - ˆ ˆ x3 = 2x2 +(1 ~m)x +m=0 = Œ-1)62<x~m}=0 ©x=1 hoặc x?-x—m =0
Do đĩ am kiện cắt Ox tai 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ xì, xụ x3 thỏa
xP ex? +x2 <4ia phưng trình 'X?~x = me 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt khá 1 và xj +xŸ <3 F
»
Bài 4: Tìm các giá trị của m để đường thẳng d cắt đường cong (C) tại hai điểm: 3 :